第一章 直线与圆 单元测试（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第一章直线与圆单元测试一、单选题1．若直线l斜率为k，向量在直线l上，且向量在方向上的投影的模是其在方向上投影的模的2倍，则该直线的斜率k的值为（

）A．2 B．C． D．2．已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（

）A． B．C． D．3．已知直线与圆：（）交于A，两点，且线段关于圆心对称，则（

）A．1 B．2 C．4 D．54．已知点，，，点是直线上的动点，若恒成立，则最小正整数（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．6．若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（

）A． B． C． D．7．莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（

）A． B．C． D．8．直线l过点，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知直线与圆交于，两点，点为线段的中点，且点的坐标为．当时，，则（

）A． B．的最小值为C．存在点，使 D．存在，使10．下列说法正确的是（

）A．已知直线过点，且在轴上截距等于轴上截距2倍，则直线的方程为B．直线没有倾斜角C．，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件D．已知直线的斜率满足，则它的倾斜角的取值范围是或11．已知直线l∶x+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值可以是（

）A．0 B．1 C．-1 D．-2.三、填空题12．已知斜率均为负的直线与直线平行，则两条直线之间的距离为．13．已知圆和圆，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值是.14．过点，且与直线垂直的直线方程是．四、解答题15．圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦．(1)当时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．16．圆过、两点，且圆心在直线上．(1)求圆的方程；(2)若直线在轴上的截距是轴上的截距的2倍，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程．17．已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍．(1)求动点的轨迹的方程；(2)求的最小值；(3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值．参考答案1．D【分析】设出，求出向量在和方向上的投影的模，从而得到，求出直线斜率.【详解】设，则向量在方向上的投影的模为，向量在方向上的投影的模为，则，故该直线的斜率.故选：D2．C【分析】根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案.【详解】由题意得，，则的中点的坐标为，直线的斜率.由圆与圆关于对称，得的斜率.因为的中点在上，所以，即.故选：C.3．D【分析】先求得圆心的坐标，进而列出关于的方程，解之即可求得的值.【详解】圆：的圆心，由圆心在直线上，可得，解之得.故选：D4．D【分析】先设出，得到的方程为：，由得到圆的方程，结合点到直线的距离公式，求出的最小值即可．【详解】设，由在上，得：，即，由得：，化简得，依题意，线段与圆，至多有一个公共点，故到直线的距离不小于，即，解得：或，是使恒成立的最小正整数，由于，故选：D5．B【分析】先求得直线所过定点，然后根据两点间的距离公式求得正确答案.【详解】直线，即，由解得，所以直线过定点，所以的最大值为.故选：B6．B【分析】求出圆的圆心和半径，判断直线与圆的位置关系，则线段PQ长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可.【详解】圆的圆心为，半径，因为圆心到直线的距离为，所以线段PQ长度的最小值为.故选：B7．B【分析】待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在处的切线方程，进而求出的坐标，得到答案.【详解】的外接圆设为，，解得，外接圆方程为，即，易知外接圆在处切线方程为，又，令得，，，在处切线方程为，又，令得，，则三角形的线的方程为，即故选：B.8．D【分析】根据直线的两点式方程运算求解.【详解】因为，则线l的方程为，整理得，所以直线l的方程为.故选：D.9．AD【分析】利用圆的弦长公式判断A、B；假设存在点，求出直线方程，判断与圆的位置关系，判断C，求出点的轨迹方程，可判断D.【详解】当时，直线，圆心到直线的距离，又，解得，A正确；由上可知圆，圆心到直线的距离，则，B错误；若，则直线斜率为，从而直线：，此时圆心到直线的距离，则直线与圆相离，即不存在点，使，C错误；设点，因为直线过定点，则，即，化简为，为点的轨迹方程，若，则，即，得，故存在存在，使，D正确.故选：AD.10．CD【分析】根据截距的概念可判定A，根据倾斜角的定义可判定B，利用两直线垂直的位置关系可判定C，根据倾斜角与斜率的关系可判定D.【详解】对于A，当直线在两个坐标轴的截距都是0时，显然直线方程为，故A错误；对于B，直线倾斜角是，故B错误；对于C，若直线与直线垂直，则有或，所以不满足充分性，反之时，此时两直线垂直，满足必要性，故C正确；对于D，由直线的斜率与倾斜角的关系知：满足的直线，则它的倾斜角的取值范围是或，故D正确.故选：CD11．ABCD【分析】求出两坐标轴上的截距，进而判断的可能取值．【详解】令y＝0，得到直线在x轴上的截距是，令x＝0，得到直线在y轴上的截距为2＋a，∴不论a为何值，直线l在x轴和y轴上的截距总相等.故选：ABCD.12．33/【分析】利用斜率为负的两直线平行，找到，表示出直线，利用两平行线间的距离公式计算即可.【详解】因为斜率均为负的直线与直线平行，所以同号，且，解得：，所以直线与直线，所以这两条直线之间的距离为.故答案为：.13．【分析】先得到，当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立，设C关于x轴的对称点，求出的最小值，进而得到的最小值.【详解】的圆心为，半径为1，，圆心为，半径为2，结合两圆位置可得，，当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立，设C关于x轴的对称点，连接，与轴交于点，此点即为所求，此时，故即为的最小值，故的最小值为故答案为：14．【分析】根据垂直求出斜率，再由点斜式方程可得答案.【详解】直线的斜截式为，故斜率是，所以所求直线的斜率是，所以所求直线方程是，即.故答案为：.15．(1)(2)【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出；（2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线的方程.【详解】（1）圆的圆心，半径，因为，所以直线的斜率，所以，即，所以圆心到的距离，所以；（2）因为弦被平分，所以，又因为，所以，所以，即.16．(1)(2)，，【分析】（1）先求得两点，的中垂线方程，再与联立，求得圆心即可；（2）先由直线且被圆截得的弦长为6，求得圆到直线的距离，再分截距为零和不为零求解.【详解】（1）解：两点，的中垂线方程为：，联立，解得圆心，则，故圆的方程为：；（2）由直线且被圆截得的弦长为6，故圆心到直线的距离为，A．若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为：，，此时直线的方程为：A．若直线不过原点，设直线为：，，此时直线的方程为：，综上：直线的方程为：，，.17．(1)(2)(3)7【分析】（1），根据两点间的距离公式化简可得方程；（2），法一：换元后与圆的方程联立，利用判别式法求解最小值；法二：几何法，利用直线与圆的位置关系列不等式求出最小值；法三：三角换元，结合辅助角公式利用余弦函数的性质求解最小值；（3），根据直线是否存在斜率进行分类讨论，当直线存在斜率时，利用点斜式写出两直线的方程，分别求出弦长，将四边形的面积用弦长表示，即可求出最大值.【详解】（1）由已知得，化简得，即，所以动点的轨迹的方程为：；（2）法一：设，得，代入轨迹的方程消去并整理得，∴，即，解得，故的最小值为；法二：设，即，由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆，由题意可知，直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径，即，解得，故的最小值为；法三：由（1）可设，，则，因为，所以当时，