第三章 空间向量与立体几何 单元测试（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第三章空间向量与立体几何单元测试一、单选题1．已知，，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．2．如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A的坐标是A．(-1,-1,-1) B．(1,-1,1) C．(1,-1,-1) D．(-1,1,-1)3．若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（

）A． B． C． D．4．在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（

）A． B．C． D．5．两平面的法向量分别为，若，则的值是（

）A．－3 B．6C．－6 D．－126．已知，若平面的一个法向量为，则（

）A． B． C． D．7．在正方体中，过作一垂直于的平面交平面于直线，动点在直线上，则直线与所成角余弦值的最大值为（

）A． B． C． D．18．在三棱锥中，棱，，两两垂直，点在底面内，已知点到，，所在直线的距离分别为1，2，2，则线段的长为（

）A． B． C．3 D．二、多选题9．已知在边长为2的正方体中，点M在线段上（含端点位置），现有如下说法：①平面；②；③点M到平面的距离的最大值为1；④为等边三角形.则正确的说法为（

）A．① B．② C．③ D．④10．如图，正方体的体积为8，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（

）

A．直线与为异面直线B．向量在向量上的投影向量为C．若为上靠近点的四等分点，则4D．线段上存在点，使得平面11．已知正方体的棱长为2，点E，F，G分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（

）

A．B．分别是线段和上的两个动点，则C．平面与平面夹角的正弦值为D．平面EFG被正方体截得的截面面积为三、填空题12．已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为.13．已知向量，，且与平行，则.14．已知，分别是平面的法向量，若，则．四、解答题15．化简下列算式：(1)；(2)．16．如图所示是一个平行六面体，化简．

17．在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点．(1)用向量，，表示，；(2)若，求在基下的坐标．18．如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，过直线的平面与棱分别交于点．

(1)证明：；(2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值．19．化简：．参考答案：题号12345678910答案DCDBBCAAABDABC题号11答案ABD1．D【分析】根据投影向量的定义，分别计算出数量积及的模长，即可得出答案.【详解】易知，，所以．因为，所以，故在上的投影向量为．故选：D．2．C【分析】根据待求点在各个平面的射影点到各个坐标轴的距离以及对应的正负半轴确定点的坐标.【详解】依据空间点的坐标定义，点A的坐标是(1，-1，-1).故选C.【点睛】本题考查根据空间直角坐标系写出点的坐标，难度较易.3．D【分析】由题意利用待定系数法列出关于的方程组即可求解.【详解】设，又，，解得，即.所以向量在基底下的斜坐标为.故选：D.4．B【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.【详解】由题知，在正四面体中，因为平面，所以是的中心，连接，则，所以.

故选：B5．B【分析】由，可得，则，从而可求得结果.【详解】因为两平面的法向量分别为，且，所以，所以，故选：B6．C【分析】利用法向量和平面内直线的方向向量之间的关系求解即可.【详解】由得：，面的一个法向量为，所以，即，解得，所以，故选：C．7．A【分析】由正方体性质可知，平面，平面平面，故动点在直线上，建立空间直角坐标系，利用空间向量法表示线线角，并求最值.【详解】由正方体性质可知，，，，平面，平面，易知平面，平面平面，故动点在直线上，设正方体棱长为1，并如图建立空间直角坐标系，则，设两直线所成角为，，故，即，令，则，所以当时，即时，.故选：A8．A【分析】由棱，，两两垂直建立空间直角坐标系，设点坐标，分别表示出到三条轴的距离，然后得出OP的值.【详解】如图，棱，，两两垂直，可以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.设，由题意可得：，∴，∴，故选：A9．ABD【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量求解.【详解】以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，以D为原点，建立空间直角坐标系如上图，则有，设，，则，，；设平面的一个法向量是，则有，，，令得，故①正确；，，故②正确；，是平面的一个法向量，设与平面的夹角为，则，M点到平面的距离，当时取最大值为，故③错误；，④正确；故选：ABD.10．ABC【分析】根据异面直线的定义即可求解A，利用投影向量的计算方法即可求解B，利用空间向量的线性运算即可求解C，利用法向量可得为中点，此时平面，即可判定D.【详解】对于A，取中点，连接,由于,,与相交，因此与为异面直线，A正确，

对于C，若为上靠近点的四等分点，,则,故，C正确，对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，由体积为8可得棱长为2，则,,则，向量在向量上的投影向量为，故B正确，

对于D，假设线段上存在点，其中，使得平面，,设平面的法向量为m=x,y,z，则，取，则，,由于平面，所以，解得，此时为中点，此时,由于故也是平面的法向量，又平面与平面有公共点，因此平面与平面重合，故平面，故D错误，

故选：ABC11．ABD【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，再证四边形为平行四边形可得A正确；建立如图所示坐标系，求出异面直线和的公垂线的一个方向向量，再由空间点线间距离公式可得B正确；分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，代入空间向量二面角公式，再结合同角的三角函数关系可得C错误；画出截面图形，由三角形的面积公式可得D正确；【详解】

对于A，由正方体的性质可得平面，平面，所以，又对角线，平面，所以平面，又平面，所以，因为点E，G分别为棱的中点又且相等，所以四边形为平行四边形，所以，可知，故A正确；对于B，以为原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，

则，，，设为异面直线和的公垂线的一个方向向量，，即，取，则，故B正确；对于C，，，设n1=x，即，取，则，取为平面的一个法向量，，设平面与平面夹角为，则，所以，故其正弦值为，故C错误；对于D，如图延展平面易知平面EFG被正方体截得多边形为正六边形，则其面积为，故D正确；

故选：ABD.12．2【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算和距离的运算公式，准确计算，即可求解.【详解】设向量，，则，则点到直线的距离．故答案为：2．13．/【分析】根据题意，由空间向量平行的坐标公式，代入计算，即可得到结果.【详解】，，因为与平行，所以当时，，解得；当时，，.综上，.故答案为：14．【分析】根据法向量垂直即可求解.【详解】因为，所以，所以，解得．故答案为：15．(1)(2)【分析】（1）根据向量数乘运算即可求得答案；（2）根据向量的线性运算，即可求得答案.【详解】（1）.（2）.16．【分析】根据向量平行四边形法则运算即可；【详解】因为底面是一个平行四边形，所以，又因为，因此17．(1)，(2)【分析】（1）根据给定的平行六面体，利用空间向量的线性运算求解即得.（2）利用给定的基底表示，再利用空间向量基本定理求出坐标.【详解】（1）在平行六面体中，连接，，，，如图，

，．（2），因此，，，所以在基下的坐标为．18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先由平行四边形中的推出平面，再由线面平行的性质定理，结论即可得证；（2）建立空间直角坐标系，得点坐标，再求两个平面的法向量，再由公式求解平面与平面夹角余弦值即可.【详解】（1）证明：因为四边形为平行