2024-2025学年山东省济南市山东师大附中高三（上）期中数学模拟试卷（含答案）VIP

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东师大附中高三（上）期中数学模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|log3x<2}，B={y|y=xA.(0,9) B.[9,+∞) C.{0}∪[9,+∞) D.[0,9)2.若“sinθ=−22”是“tanθ=1”的充分条件，则θ是A.第四象限角 B.第三象限角 C.第二象限角 D.第一象限角3.已知正数x，y满足9x2−1+A.1 B.2 C.3 D.44.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P为△ABC内的一点，AP=xAB+yACA.若P为△ABC的重心，则2x+y=1

B.若P为△ABC的外心，则PB⋅BC=18

C.若P为△ABC的垂心，则x+y=716

D.若5.数列{an}满足a1=1，an+1+an=2n+1，若数列{an+1A.6 B.7 C.8 D.96.已知f(x)=−x2+2|x|，若关于x的方程[f(x)]2+mf(x)+n=0(m,n∈R)A.m<−1 B.m≤0

C.m<−1或m>0 D.m=0或m<−17.设a=ln54,b=sin14,c=0.2，则aA.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a8.f(x)是定义在[a,b]上的函数，f′(x)为f(x)的导函数，若方程f(x)=f′(x)在[a,b]上至少有3个不同的解，则称f(x)为[a,b]上的“波浪函数”.已知定义在[−4,3]上的函数f(x)=x3+2x2A.−565⩽m<−7 B.−565⩽m<−4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=−2x+1,x>m−x2A.当m=0时，函数最大值为1

B.当m=1时，函数最大值为0

C.若f(x)存在最大值，则m≥12

D.∀m∈R，f(x)在10.已知函数f(x)=|sin2x|+cos4x，则(

)A.f(x)的最大值为54

B.f(x)的最小正周期为π2

C.曲线y=f(x)关于直线x=kπ4(k∈Z)轴对称

D.当x∈[0,π]11.1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数.当时他正研究扩展复数到更高的维次(复数可视为平面上的点).他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数.根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解.之后哈密顿立刻将此方程刻在BrougℎantBridge.对四元数u=a+bi+cj+dk，a，b，c，d∈R的单位i，j，k，其运算满足：i2=j2=k2=−1，ij=k，jk=i，ki=j，ji=−k，kj=−i，ik=−j；记u−=a−bi−cj−dk，N(u)=uA.集合{1,i,j,k}的元素按乘法得到一个八元集合

B.若非零元u，v∈V，则有：u−1vu=v−1

C.若u，v∈V，则有：N(uv)=N(u)N(v)

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.复数z满足|z−5|=|z−1|=|z+i|，则|z|=______．13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(a≠b).已知c=2acosA，则sinB−sinA的最大值是______．14.已知函数y=f(x)的图象关于y轴对称，且对于y=f(x)(x∈R)，当x1，x2∈(−∞,0)时，f(x1)−f(x2)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}公差为d，d≠0，且a2=7，a1=2，a4，a5成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)16.(本小题15分)

已知函数f(x)=cosx(23sinx+cosx)−sin2x．

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若把y=f(x)的图像先向右平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y=g(x)的图像，则当17.(本小题15分)

已知函数f(x)=x2+aln(x+1)，a∈R．

(1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求a的取值范围；

(2)求函数g(x)=f(x)−(18.(本小题17分)

数列{bn}满足b1+b22+b322+⋯+bn2n−1=n,{bn}的前n项和为Tn，等差数列{an}满足a1=b1，a4=T3．

(1)求数列{19.(本小题17分)

设正整数n≥3，集合A={a|a=(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)，xk∈R，k=1，2，⋅⋅⋅，n}，对于集合A中的任意元素a=(x1,x2,⋅⋅⋅xn)和b=(y1,y2,⋅⋅⋅yn)，及实数λ，定义：当且仅当xk=yk(k=1,2,⋅⋅⋅,n)时a=b；a+b=(x1+y1,x2+y2,⋅⋅⋅xn+yn)；λa=(λx1,λx2,⋅⋅⋅λxn).若A的子集B={a1,a2,a3}满足：当且仅当λ参考答案1.C

2.B

3.A

4.B

5.C

6.D

7.B

8.D

9.BC

10.BC

11.ACD

12.313.214.(−15.解：(1)已知等差数列{an}公差为d，d≠0，且a1=2，a2=7，a4，a5成等比数列，

则a1+d=7(a1+3d)2=a1(a1+4d)，解得16.解：(1)因为f(x)=cosx(23sinx+cosx)−sin2x

=23sinxcosx+cos2x−sin2x=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，

所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π．

令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)，可得−π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)，

17.解：(1)易知f(x)的定义域为(−1,+∞)，

可得f′(x)=2x+ax+1=2x2+2x+ax+1，

令f′(x)=0，可得2x2+2x+a=0，

因为函数f(x)有两个不同的极值点，

所以2x2+2x+a=0有两个大于−1的不等实根，

此时−22×2>−12×12+2×(−1)+a>0Δ=22−4×2a>0，

解得0<a<12，

则a的取值范围为(0,12)；

(2)因为g(x)=f(x)−(a2+2)x=x2+aln(x+1)−(a2+2)x，

可得g′(x)=2x+ax+1−(a2+2)=(4x+4−a)(x−1)2(x+1)，

令g′(x)=0，

解得x=a4−1或x=1，

当a>8时，a4−1>1，

令g′(x)<0，

解得1<x<a4−1，

所以函数g(x)在(1,a4−1)上单调递减；

当a=8时，a4−1=1，

令g′(x)<0，

解得x∈⌀，

所以函数g(x)无单调递减区间；

当0<a<8时，−1<a4−1<1，

令18.解：(1)由题可知，当n=1时，b1=1；

当n≥2时，得b1+b22+b322+⋯+bn−12n−2=n−1，

因为b1+b22+b322+⋯+bn2n−1=n，

两式相减得bn2n−1=1⇒bn=2n−1，

经检验，当n∈N”时，bn=2n−1，

显然，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以Tn=1−2n1−2=2n−1，

所a1=b1=1，a4=T3=7，

等差数列{}an}的公差d=7−14−1=2，

所以an=2n−1．

(2)由(1)可知，Tm+1=2m，T2m+1=22m，

因为an=2n−1，所以an=2n−1为奇数；

故cm(m∈N∗)为区间(Tm+1,T2m+1)的奇数个数，

显然Tm+1=2m，T2m+1=22m为偶数，

所以cm=22m−2m2=4m2−2m−1，

所以Hm=4+42+⋯+4m2−(1+2+⋯+2m−2+2m−1)=12×4(1−4m)1−4−1−2m1−2=22m+13−2m+13．

(3)根据第一问可知Sn=n2，Tn=2n−1，

所以Sm+Tm+3Sm+Tm=m2+2m+3−1m2+219.解：(Ⅰ)由λ11,0,0+λ20,1,0+λ30,0,1=λ1,λ2,λ3，

显然λ1,λ2,λ3=0,0,0只有唯一解，即λ1=λ2=λ3=0，

所以B1为A的完美子集；

同理，对于B2，λ11,