斜拉桥拉索参数振动的理论与数值分析

研究生学位论文斜拉桥拉索参数振动的理论与数值分析TheoreticalandNumericalAnalysisontheParametricVibrationofCablesinCable-stayedbridges申请学位级别工学硕士专业桥梁与隧道工程指导教师李永乐教授二○○九年五月摘要斜拉桥是广泛采用的大跨度桥梁形式之一。作为斜拉桥的主要受力构件之一，斜拉索具有大柔度、小质量、小阻尼的特点。拉索易在风荷载或者交通荷载的作用下发生大幅度的参数振动，影响全桥的安全性与耐久性。因此，对斜拉索参数振动进行理论研究与数值分析是非常必要的。本文首先研究了无垂度张紧弦、小垂度拉索、大垂度拉索动力特性的差别，以及造成差别的原因。然后，分别考虑理想激励和非理想激励建立了拉索的参数振动模型。通过Galerkin方法得出了拉索非线性参数振动微分方程表达式，采用多尺度方法研究了方程中参数激励项、外激励项、非线性项和阻尼对拉索振动特性的影响。采用数值积分方法得出了拉索在外激励作用下发生强迫共振和参数激励下发生参数共振时拉索的响应曲线；建立了拉索面内－面外耦合振动模型，得出了面内－面外耦合振动方程组；采用多尺度方法分析了拉索面内与面外耦合振动的特性，并用数值计算方法得出了3维空间拉索面内－面外发生耦合振动的响应曲线。采用有限元方法，基于ANSYS建立了实际拉索的三维空间的参数振动模型，考虑拉索的应力刚化和几何非线性，对拉索进行了瞬态动力分析。计算结果表明，有限元方法和数值方法计算差别不大。最后，从实际工程出发，建立了实际斜拉桥全桥有限元模型，评估了实际桥梁拉索发生大幅振动的可能性。对实际结构设计中如何考虑减少或避免拉索发生大幅振动的可能性提出了建议。关键词:斜拉桥；拉索；参数振动；非线性振动；有限元

AbstractThelongspancable-stayedbridgesarewidlyusedforlarge-spanbridges.Asthemainmemberstosupporttheweightofthebridge,thestayedcablesarepronetovoilencevihibitparametricoscillationwithlargeamplitudeunderthewindortrafficloadsduetoit’shighflexibility,lowdampingandsmallmass.Thisoscillationcangreatlyaffecttheperformanceofthebridge.Inordertoimprovethedesignofcable-stayedbridgeitisimportanttostudythemechanismofthevibrationandperformnumericalanalysis.Firstofall,thedynamiccharacteristicsofthecableswithdifferentsagsareinvestigatedandthereasonwhichcausethevaritionarediscussedinthisdissertation.Andthen,takingtheidealizedexcitationandnonidealizedexcitationintoconsideration,themodelsofparametricoscillationforcablesarebuiltup.ThenonlinearoscillationdifferentialequationisgotbyGalerkinmethod.Accordingtotheequation,theinfluenceofparametricexcitation,externalexcitation,nonlineartermsanddampingareinvestigated

bymultiple-scalemethod.ResponsecurveisobtainedformainresonanceandparametricresonancebynumericalanalysiswithRunge-Kuttamethod.Inordertoobtainthecouplingnonlinearvibrationequations,acouplingvibrationmodelofin-plantandout-of-plantoscillationisbuiltup.Multiple-scalsmethodisusedforcalculatingtheequationset.Theresponsecurveofcableswhichinthree-dimensionalspaceisdeteminedforin-plantandout-of-plantcouplingvibrationbynumericalmethod.BasedonANSYS,accordingtothecharacteristic

ofparametricoscillation,three-dimensionalmodelsforcableswhichtakestressintensificationandgeometricnonlinearityintoconsiderationarebuiltupfortransientanalysis.Theresultsshowthatthereisalittledistinctionbetweenfiniteelementanalysisandnumericalanalysis.Atlast,athree-demensinalfiniteelementmodelisbuiltupforarealbridge.Accordingtotheprincipleofparametricoscillation,wecanfindoutwhichcablemayoccurmainresonanceorparametricresonance.Theresultscanprovidereferencesfordesigningofcable-stayedbridges.Keywords:cable-stayedbridge;cable;parametricoscillation;nonlinearoscillation;finiteelementmethod;目录第一章绪论 第二章带垂度拉索的自振特性2.1引言斜拉索是斜拉桥的主要受力构件，它具有大柔度、小质量和小阻尼的特点。在风或者交通荷载的作用下，当桥面或桥塔的振动频率接近拉索固有频率的倍数时，拉索有可能产生大幅度参数振动。这种现象已经在实际桥梁中多次观察到。因为斜拉桥是多索系统，全桥的振动频率很容易与索的振动频率接近，拉索的参数振动容易被激起[24]。一般情况下，斜拉桥的拉索由于索力很大而导致拉索在自重作用下的垂度有限。因此，对于拉索的动力特性的计算通常是按照标准弦来处理的。但经Irvine的研究表明[25]，拉索的动力特性与反映索的拉伸及重力垂度的无量刚参数密切相关。随着的增大会出现面内一阶（对称）振动频率与二阶（反对称）振动频率相互跨越的现象。拉索的振动是一种综合性的现象，但不论是何种导致拉索振动的形式都是在了解拉索自身的动力特性的基础上来研究的。因此，在研究拉索产生大幅度参数振动的机理之前有必要对拉索本身的动力特性作深入的了解。以往的拉索动力特性研究通常都是采用解析方法，但解析方法一般只适用于自由度较少的问题，且在推导过程中因人而异地采用了各种各样的简化和假设。本章利用有限元方法对拉索的动力特性进行了数值分析，验证了一般斜拉索动力特性解析方法的正确性，并对拉索在不同垂度下的动力特性进行了分析，得出了一些有意义的结论。2.2索的振动方程本节首先讨论标准弦和具有较小垂度的拉索微幅振动时的动力学方程，根据理论公式计算实桥拉索频率，然后采用通用有限元软件ANSYS对拉索进行模态分析，并与理论计算结果进行了对比。2.2.1标准弦的振动方程图2.1弦的横向振动本节讨论两端固定、无垂度、以张力H拉紧的弦的振动。设弦的单位长度质量为m，以变形前弦的方向为x轴，横向挠度v(x,t)设为小量对于图2-1中所示长度为dx微元体有：图2.1弦的横向振动（2.1）图2-1标准弦振动模型微振动时展开得：图2-1标准弦振动模型（2.2）将式(2.2)和代入式(2.1)得：，0<x<l（2.3）索的两端固定，由索的边界条件，根据Galerkin方法，可选择振型函数（2.4）其中n为所求模态阶次，取一阶模态n=1代入（2.3）式,可得到弦上每一点的动力平衡方程，乘以振型函数并在x轴上对l积分，并考虑粘性阻尼得如下以时间为变量的动力学方程：（2.5）方程（2.5）描述了两端固定的无垂度弦存在微小振动时一阶模态的动力平衡关系。其中弦振动的线性频率为（2.6）为粘性阻尼系数，工程频率（Hz）f=由以上结论可知，对于无限自由度的连续系统通常可以采用Galerkin方法，选择一组符合边界条件的函数作为振型函数，将连续系统化简为单自由度系统求解，对于式，v(x,t)代表在弦上任意一点处对应的位移响应。2.2.2小垂度索的振动方程图2-2小垂度拉索模型在推导有较小垂度拉索面内振动方程时由于几何非线性的作用，不能忽略动拉力的轴向的一阶分量，假定微小振动时由于拉索变形产生的力的增量在轴向的分量为h图2-2小垂度拉索模型（2.7）其中，H为拉索静拉力轴向分量，h为动拉力轴向分量，v为面内横向振动模态函数，y为有垂度拉索曲线线型函数。由文献[27]可知垂度曲线y的表达式为（2.8）计拉索变形前（静态）弧长微段为，变形后（动态）为，若不计轴向变形的影响有：（2.9a）（2.9b）则动应变为[25]：（2.10）切向拉力与轴向分量有如下关系：（2.11）对于微幅振动有：（2.12）由于，所以由（2.10）～（2.12）可得：（2.13）对于微幅振动来说，的高阶项是可以忽略的，因此得到的表达式为[25]：（2.14）（2.15）其中，为拉索长度。由于斜拉桥拉索垂度很小，这里取索的振动模态为标准弦的振动模态[19]即：（2.16）根据Tagata[20]的实验指出，张紧弦的自由振动，基本模态占主要地位，固取式（2.16）的一阶振动模态，考虑线性阻尼，采用Galerkin方法将（2.8）、（2.14）和（2.16）式代入（2.7）式中，方程两边乘以振型函数，沿x轴方程对l求积分并化简得到如下以时间为变量的动力学方程：（2.17）方程（2.17）描述了小垂度索微小振动时一阶模态的动力平衡关系，其中：（2.18）（2.19）（2.20）（2.21）即为有垂度拉索一阶振动的固有频率，的表达式（2.6）中的标准弦频率表达式相同，为阻尼系数。工程频率f1=。式（2.18）中的即为反映拉索重力垂度对拉索自振频率影响的Irvine参数。由以上推导过程可知由于一般斜拉索索力很大，垂度很小，因此，对于小垂度拉索可以近似的认为le=l即（2.22）但在索存在较大的重力垂度时，更真实的反映了拉伸及重力垂度对拉索频率的影响。通常，拉索的垂度特征可以用垂跨比或者Irvine参数来描述[22]。在下文的大垂度拉索自振特性分析中，本文采用更直观的垂跨比来描述。2.3有限元自振特性分析本节采用通用有限元软件ANSYS对以上推导的方程进行验证，并通过软件中的模态分析程序求解大垂度拉索的振动模态。2.3.1实桥拉索自振特性分析本节采用某斜拉桥拉索的相关数据在ANSYS中进行有限元模态分析验证计算。使用Link8单元选取编号为m1～m9的拉索进行模拟，采用（2.6）弦的一阶频率的计算公式与ANSYS计算的面内一阶频率结果对比如表2-1所示，采用（2.22）面内一阶频率计算公式与ANSYS面内一阶频率计算结果如表2-2所示。表2-1不考虑垂度时拉索频率拉索编号拉索倾角(°)索力(KN)长度(m)弹性模量E每延米质量(Kg/m)理论计算面内一阶频率(Hz)ANSYS计算一阶频率(Hz)m135326846.8111.96e1160.12.490722.4928m230329959.7571.96e1160.11.960351.9618m328332172.931.96e1160.11.611611.6121m426343686.1651.96e1160.11.387481.3884m525352499.4741.96e1160.11.217141.2181m6243665112.7751.96e1160.11.094851.0959m7233833126.4281.96e11680.938940.9388m8233924139.841.96e11680.858910.8590m9224024153.2521.96e11680.793660.7938表2-2考虑重力垂度时拉索频率拉索编号拉索倾角(°)索力(KN)长度(m)弹性模量E每延米质量(Kg/m)理论计算面内一阶频率(Hz)ANSYS计算面内一阶频率(Hz)m135326846.8111.96e1160.12.49432.4982m230329959.7571.96e1160.11.96531.9695m328332172.931.96e1160.11.61781.6223m426343686.1651.96e1160.11.39441.3991m525352499.4741.96e1160.11.22481.2297m6243665112.7751.96e1160.11.10291.1078m7233833126.4281.96e11680.95000.9560m8233924139.841.96e11680.87050.8768m9224024153.2521.96e11680.80570.8120从表2-1中可以看出，不考虑重力垂度时理论公式计算与有限元软件计算面内一阶频率是非常接近的，相差数量级为10-4。从表2-2中可以看出当考虑重力垂度时ANSYS中计算的拉索一阶面内频率是偏大的，且当拉索的长度增加时偏大的值增加。这主要是因为理论公式中没有考虑拉索在重力作用下的轴向变形和拉索在重力作用下变形对轴向静拉力H的影响。而在ANSYS中直接采用了倾斜拉索计算，其在重力作用下的变形包括了竖向和轴向，因此结论更加精确。值得注意的是，ANSYS拉索模态计算结果中存在面外一阶模态，且面外一阶模态的频率和振型与面内一阶模态是很接近的。单独的讨论面外振动是没有实际意义的，因为事实上有垂度拉索的受激励（参数激励或外激励）产生的面外振动必然会激起面内振动而导致面内－面外耦合振动的发生。面内、外耦合振动的特性将在第三章中讨论。2.3.2大垂度拉索自振特性分析对于较大垂度的拉索，由于几何非线性的影响，拉索的线性振动模态将会有很大的变化，这时通过Galerkin方法选择符合边界条件的振型函数会变得相当复杂。本节将采用有限元软件分析大垂度拉索的线性振动模态。应该注意的是，由于在ANSYS中拉索的模态解为小振动的线性解，且拉索长度较大，因此本节振型曲线图均作了比例放大处理。同样采用上节中编号为m6的拉索通过在ANSYS中的迭代找型方法，得到每延米质量相同的拉索在不同垂度下的形态，通过模态分析求解，可得到不同垂度下的频率与振型。m6拉索参数：索长l=112.775(m)，倾角=，索力T=3665(Kn)每延米质量m=60.1(kg/m)，弹性模量E=1.96e11(Pa)，截面积A=0.012272(m2)。由ANSYS计算可知拉索的面内外一、二阶振动频率值如下表2-3所示。表2-3中第一行数据是根据M6号拉索的真实参数求得的。索的不同垂跨比的情况通过悬索的迭代找型方法[28]得到，迭代过程中除了索力有较大变化，索长有较小变化外，索的其他参数均不变。表2-3m6拉索不同垂跨比面内、面外的一、二阶频率垂度(m)跨度(m)垂跨比(%)面内一阶频率(Hz)面内二阶频率(Hz)面外一阶频率(Hz)面外二阶频率(Hz)0.231361112.7750.2051.10782.20081.09992.20080.308279112.7750.2730.98991.95230.97571.95230.399969112.7750.3540.87981.7040.85191.7050.559167112.7750.4950.78111.4340.71681.43421.087376112.7750.9640.79061.0220.51081.0221.140371112.7751.0110.80470.99740.49860.99771.31009112.7751.1620.84510.94360.47180.94381.476312112.7751.3090.88430.89980.44850.89721.5406112.7751.3660.88780.88780.43980.8901图2-4拉索随垂度频率变化图面内2阶面内1阶面内2阶面内1阶面内2阶面内1阶面内2阶面内1阶面外2阶面外1阶面外2阶面外1阶面外2阶面外1阶面外2阶面外1阶图2-5m6拉索振型图（垂跨比0.21%）图2-6垂跨比1.01%拉索振型图面内2阶面内1阶面内1阶面内2阶面内2阶面内1阶面内1阶面内2阶面外2阶面外1阶面外2阶面外1阶面外2阶面外1阶面外2阶面外1阶图2-7垂跨比1.31%拉索振型图图2-8垂跨比1.37%拉索振型图图2-4是根据表2-3的数据绘出的在不同垂跨比下索的面内一、二阶频率和面外一、二阶频率的变化趋势图。从图中可以看出，随着垂跨比的增加，索的面内一阶频率与面内二阶频率在一定垂跨比时将会达到频率跨越点（即：垂跨比达到1.37%时面内一阶频率与二阶频率相等）。而面内二阶振型与面外二阶频率一直没有太大差别，这和实际情况是相同的。图2-5～图2-8是ANSYS计算中给出的索在各个有代表性不同垂度下的振型图。图2-5中是实桥m6号拉索的振型，从图中可以看出拉索的面内一阶振型和二阶振型差别很大，但和面外一阶振型差别很小。图2-6中可以看出随着垂度的增加拉索的一阶振型已经发生了一些变化，且面内一阶频率和面内二阶频率差别变小了。图2-7反映了拉索面内一阶振型在较大垂度下发生了明显的变化，出现了二阶振型的特征，面内一阶频率与二阶频率更加接近。在图2-8中，在具有1.37%垂跨比的情况下，拉索的面内一阶模态与面内二阶模态已经基本上相同了。同时在图2-5～图2-8中也可以看出面内二阶模态与面外二阶模态的差别一直是很小的。文献[26]的研究也表明，由于实际斜拉索的垂度很小，因此面内和面外的振动频率很接近，面内与面外容易发生1：1耦合共振。但实际斜拉桥在施工状态有可能存在较大垂度。因此，在动荷载的作用下振动模式与成桥状态有所不同。根据文献[29]的描述，在实验中也观察到，随着拉索垂度的增加，索的面内一阶振动逐渐被面内二阶振动所替代。由于面内二阶振动与面外二阶振动频率的接近，索的面外二阶振动会激起面内二阶振动。索将从面内－面外一阶耦合振动过渡到面内－面外二阶耦合振动。这也与本文通过有限元分析得出的结论一致。2.4本章小结本章对斜拉桥拉索的振动特性采用Galerkin方法选取了简单的正弦模态函数进行理论分析，导出了有垂度拉索微幅振动时的振动方程，得出了有垂度拉索振动的自振频率表达式。采用通用有限元软件ANSYS进行了验证，并对比了同一拉索在不同垂度下动力特性的计算结果，讨论了垂度对拉索自振特性的影响。第三章拉索参数振动的理论分析3.1引言斜拉索的振动从本质上来说是非线性的。非线性指的是两个量之间的依赖关系不能用一条直线来表示。在运动方程中，恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动，称为非线性振动。目前，关于线性振动理论已达到了完善的地步，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用。例如固有频率或振型、共振现象等，线性振动理论都能给出满意的结果。在结构工程的分析计算中，通常都把系统尽可能地线性化，舍弃一些非线性项，使系统便于计算并能满足一定的精度要求。但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。一般说来，线性模型只适用于小运动范围。对于斜拉桥结构，这种柔性的、具有大位移的、超静定次数多的非线性系统，按线性问题处理不仅在量上引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究这类结构的非线性振动。研究非线性振动问题，有定性几何方法和定量方法两种途径。斜拉桥中的参数共振问题作为一个从工程问题中抽象出的非线性振动问题，不同于小自由度问题，难以从数学上进行定性的研究，只能对其进行定量的研究。引起斜拉索振动的激励类型通常有两种（1）激励作为系统运动方程的非齐次项出现（2）激励作为运动方程的变系数出现。第一种激励称为外激励，第二种激励称为参数激励。对于斜拉索，这两类振动的特点是：在风荷载或车辆荷载作用下，桥面或桥塔产生振动。当拉索端点振动的横向分量产生的外激励频率接近于索的固有频率一倍时，拉索会发生在外激励作用下的主共振。斜拉索端点振动的轴向分量产生的轴向激励作为参数激励出现在拉索的振动方程中。当参数激励频率接近于索的固有频率的两倍时，拉索将发生在参数激励作用下的主参数共振。考虑形式为：的方程，式中为任意的一个小参数，是的非线性函数，E代表激励源。这里我们可以把两种激励源区分一下。第一种，激励利用了这样的能源，这个能源被假定为无穷大，或者大到被激系统对它的影响可以忽略，在这种情况下，即E并不是系统状态、的函数。这种能源称为理想激励。第二种，激励利用了有限的能源，因而被激系统才对它有明显的影响。这种情况下，，即E是系统的状态函数，这种能源称为非理想能源。根据能源的情况系统也分为理想系统或非理想系统。A.PintodaCosta(1996),J.L.Lilen(1994),MichelVirlogeux(1998)等对斜拉索参数振动做过研究，MichelVirlogeux也建立了索桥相互作用的两质量模型，重点研究了强迫振动，认为当索桥的固有频率很接近时，索端小的横向振动可以使索产生极大的振幅。Kovacs曾指出，当激励的频率是索的固有振动频率的2倍时，索的振动特性将是不稳定的，同时还给出了简单的最大振幅公式。Tagata研究了索的一阶参数振动，把索认为是无重量的弦(不计垂度的影响，导出了无量纲的Mathieu方程。Takahashi用特征值方法计算了不稳定区域的边界。国内学者，汪至刚[23]、亢战[24]（2000）分别建立了各自的索一桥耦合参数振动模型，文献将拉索简化为一小的集中质量，首先提出了一个简化的索—桥耦合振动模型，并用精细时程积分进行了数值分析，得出了拉索在桥面振动下产生参数振动的可能性。浙江大学陈水生（2003）[22]考虑索的垂度、由于大位移而引起的几何非线性及桥面质量（或索端激励）运动而导致的索内力的变化等因素的情况下，推导了斜拉索的非线性参数振动振动方程，使用Galerkin方法将索的方程转化为对时间的常微分方程，分别建立了索－桥耦合参数振动模型及受轴向端部激励的参数振动模型。采用多尺度法和数值分析结合更加精确的描述了斜拉索的参数振动。从国内外的研究资料来看，对拉索振动的研究通常有两种方式（1）把斜拉桥主体结构对斜拉索的参数激励和外激励当做理想激励源，建立拉索振动微分方程，如文献[30]。（2）把激励源作为非理想激励，即考虑拉索和桥面或者桥塔的耦合振动，建立振动微分方程组，如文献[22]。通过两种研究方式，对于斜拉索最后都可以建立一个包含参数激励的和外激励的非线性振动微分方程。第一种方式中拉索的振动对激励源无影响。第二种方式一般就是建立索－桥耦合非线性振动方程组，拉索的振动方程中桥面的位移作为参数激励项，而拉索对激励源（即桥面的振动）的影响通过拉索变形的动张力（在桥面振动方向的分量）来体现。本文认为，考虑实际情况时，上述两种研究方式并无本质区别。实际斜拉桥中桥面以及桥塔的质量远远大于拉索的质量，且当斜拉桥在风荷载或者大量的车辆荷载的作用下时，桥面产生振动往往是持续且不可避免的。考虑理想激励的参数振动模型与非理想激励的索－桥耦合参数振动方程组模型相比是一种较极端的情况，但两者都体现了参数振动的本质。理想激励模型中方程形式更加简单，有利于研究各个非线性项与拉索振动的关系，确定参数振动发生的条件和原理。研究拉索参数振动的目的最终是为了避免或者减小参数振动的发生，在这一点上，两种研究方式的目的是一致的。本文中主要讨论了理想激励作用下拉索的振动，同时也建立了非理想激励模型并采用数值积分方法对方程进行了求解。本章中考虑了索的垂度、大位移而引起的几何非线性，推导了由于桥面运动产生的轴向激励和横向激励，以及斜拉索在外激励和参数激励下的振动方程，使用Galerkin方法将偏微分方程转化为对时间的常微分方程。采用经典的定量分析方法多尺度法对振动微分方程进行了分析。分别讨论了方程中非线性项、阻尼、外激励项、参数激励项对索的振动特性的影响。分析了拉索发生外激励下主共振、参数激励下的参数共振的特性，并以图形的方式说明了拉索发生参数振动的不稳定区域。采用数值积分方法求解拉索参数振动微分方程，绘制了拉索发生主共振和参数共振的最大响应图。3.1.1多尺度方法介绍本文对拉索参数振动的非线性微分方程采用多尺度方法来定量分析，多尺度方法属于求解非线性微分方程摄动方法中的一种，其基本思想是将一个振动过程用不同时间尺度、、、…来表达，时间尺度的阶次越高，振动过程的变化越迅速。这里是假定为摄动项的小参数，可以通过方程自身的变换引入方程，也可以自己设定。引入时间变量，（3.1）把上面的时间变量看作是独立的自变量，则非线性方程的解就是这个自变量的函数。引入新的时间变量以后，系统微分方程中的时间导数成为对的偏导数展开式：（3.2）（3.3）其中，为微分算子符号。设方程的解为：+…（3.4）将（3.2）～（3.4）代入需要求解的微分方程，归并方程中的同次幂系数得到关于、、、…的微分方程组，通过求解方程组，得到系统的近似解析解。多尺度方法方程的设解阶数越高，求解结果就越接近真实解，但求解过程中代数上的复杂性会随着设解阶数大幅度增加。对于非线性动力方程，一般为了讨论方程解反映的振动特性，假设二阶解已经足够。关于多尺度方法的具体思想和详细求解过程，以及近似解的精确性的讨论，可以参看A.H.奈弗关于非线性振动求解方法的著作[19][31][32]。3.2斜拉索非线性参数振动方程本节考虑有垂度索由于大位移而引起的几何非线性以及索端部运动而导致的索的内力变化等因素。推导索的非线性参数方程。为了使问题简化又体现问题的本质，本文在推导拉索非线性参数振动微分方程时，作了以下假定：不计索的抗弯刚度、抗扭刚度；认为索的重力垂度曲线为抛物线；认为拉索的质量是沿索弦向（即X轴上）均匀分布的；索的变形本构关系满足虎克定理且各点受力均匀；不记重力对索轴向拉力的影响；在实际情况中，如图3.1所示，拉索端部竖向运动的位移激励可以分解为沿轴向（X方向）与沿横向（Y方向）的位移激励。在端点有沿轴向位移激励时，由于考虑了拉索垂度的影响，方程中存在参数激励和外激励项。在端点有沿横向的位移激励时，由于横向加速度的作用，本节建立方程时将横向位移激励通过变动的边界等效为横向简谐外激励。在拉索端部存在位移激励时，由于端部位移相对斜拉索的长度是很小的，所以为了简化模型同时反映问题的本质，方程中没有考虑端部位移对拉索本身长度、垂度、的影响。图3-1斜拉桥参数振动模型图3-2拉索微段力学模型图不考虑倾斜索的轴向变形，考虑垂度时，在图3-1的坐标系下，根据图3-2同时考虑重力的作用时，拉索的面内振动微分方程可表示为如下形式：（3.5）其中T为在重力作用下的切向静拉力，为索的振动拉伸而产生的附加切向动拉力，s为索的动力变形弧长坐标，m为索单位长度质量，为索在X－Y面内的倾斜角度，y为索的自重在Y方向产生的垂度曲线，为拉索的振动模态函数。计变形前（静态）弧长微段为，变形后（动态）为，若不计轴向变形的影响有：（3.6a（3.6b）则动应变为[25]：（3.7）切向拉力与轴向分量有如下关系，h为轴向动拉力，H为轴向静拉力：（3.8）将（3.8）代入（3.5）中可得：（3.9）垂度曲线y的表达式为（3.10）为拉索两端点的距离，考虑静力平衡，，原方程为：（3.11）其中：考虑到由（3.7）、（3.8）可得h的表达式为：（3.12）若拉索振幅不大则 （3.13）对将（3.13）式代入（3.12）求积分得到（3.14）（3.15）这里值得注意的是，式（3.15）中的是Irvin参数的表达式中的一项[25]，Irvin参数是反映索的拉伸与垂度对线性振动的影响参数，对于拉索微幅的线性振动式（3.15）是成立的。而当研究拉索大幅度非线性振动时为动态变形弧长微段，表达式由式（3.6b）所示，因此有：（3.16）那么对于有（3.17）为静力变形弧长坐标，对于拉索的大幅度振动（3.15）式显然是偏小的，而得到的动拉力值h是偏大的。但若将（3.17）式代入（3.12）式，则最后得到的动力学方程中将包含随时间变化的变系数而使方程形式过于复杂，不利于进行定性和定量分析。这里为了简化研究对象同时反映问题本质。由于斜拉桥拉索的垂度很小，由（3.15）可以认为，得到考虑端部轴向激励时轴向动拉力h的表达式为：（3.16）面内振动模态还是可以采用Galerkin方法[22]近似取索的振动模态为标准弦模态同时考虑边界条件，即：（3.17）由于张紧弦的端激励振动，基本模态占主要地位[20]，故取（3.17）中的一阶振动模态，将（3.10）、（3.16）和（3.17）代入（3.11）式，同样由Galerkin方法可以求得拉索上每一点的动力平衡方程，如下：（3.18）其中、为积分系数，方程两边乘以型函数，沿轴对积分，整理系数并考虑粘性阻尼的作用得：（3.19）其中：（3.20）为拉索粘性阻尼系数，是考虑垂度影响时索的线性自振频率，是端点位移产生的等效外激励幅值。式（3.19）即为小垂度拉索在端部有竖向位移激励时面内非线性振动方程。方程中同时存在参数激励与外激励，弹性恢复力项中存在平方项与立方项，其中参数激励与外激励的频率是相同的。观察外激励项可以发现，外激励项中存在项，这是由在拉索垂度的影响下轴向激励力在Y方向的分量产生的。外激励项主要是由拉索端点沿Y方向的强迫激励产生的。系数、a2、a4中也存在项，即与索的倾角和垂度曲线y有关。当倾角为0度时，即方程中不存在参数激励而只有外激励项。当拉索倾角为90度时拉索没有垂度。拉索振动方程中只存在参数激励项。3.3斜拉索非线性自由振动特性当不考虑端部激励时，方程（3.19）即为张紧拉索发生一阶模态大幅度振动时的非线性振动方程。由非线性振动理论可知，非线性振动的频率与振幅有关。同时由于非线性项阶次的影响，在外激励作用下，非线性振动中除了主共振外还存在超谐波共振、与次谐波共振等现象。当Ux=0、Uy=0时，即不考虑参数激励和外激励时，方程（3.19）为：（3.21）其中系数、a2、a3意义与（3.20）中相同。这是一个包含2次项与3次项非线性恢复力的振动方程。文献[19]中指出，非线性项对振动系统的影响与非线性项的阶次和系数有关。微小振幅时，高阶项的值较小振动接近线性振动。在振幅的增加时，为了精确表示方程解所需要的项数也随之增长，且振动的频率是依赖于振幅的。在系统具有较大振幅时，方程中的立方项有一种强化恢复力的作用，此外还有显著改变相位的作用。而方程中的平方项会使振动会出现漂移，即运动的中心不在平衡位置。3.3.1多尺度法求解采用多尺度法对方程（3.21）进行分析可以得到关于方程中的非线性项对振动特性的影响。这里不记阻尼的影响，具体过程如下：设则在（3.21）式中：，（3.22）将（3.22）代入（3.21）得：（3.23）不记阻尼的影响：（3.24）为了简便，且符合习惯，以下还是记：=，=，方程的自变量为t，则得到方程（3.21）不记阻尼的无量纲变换式[31]如下：（3.25）设，为小参数，得到的摄动方程形式为：（3.26）采用多尺度法，这里讨论二次近似的情况，将解用不同时间尺度表示出来，设方程的解的形式为：（3.27）其中T0=t，T1=t，T2=2t将上式代入摄动方程（3.26）并改写为微分算子形式，展开令两端的的同次幂系数相等，得到方程（3.26）的二次近似微分方程组：（3.28a）（3.28b）（3.28c）设零次方程的解为复数形式：（3.29）这里A为复数形式的自由振动振幅，为A的共轭复数，将（3.29）式代入（3.28b）式中整理得：（3.30）其中cc代表方程右端复数项的共轭复数项，根据文献[31]，为了避免长期项出现，如果方程（3.30）存在周期解，则满足：（3.31）因此，得到一次近似方程为：（3.32）解出V1的表达式：（3.33）将式（3.29）、（3.33）代入二次近似方程（3.28c），得到：（3.34）其中cc按照惯例，代表前面各项的共轭项。同样根据消除长期项的条件，若方程（3.34）存在周期解，则满足：（3.35）所以二次近似方程为：（3.36）的表达式为：（3.37）为了求解二次近似解的表达式，将复数的导数写为（3.38）其中，和分别由式（3.31）和（3.35）确定，将和的表达式代入（3.38）得到A应满足的微分方程：（3.39）将复函数A写为指数形式：（3.40）其中和皆为t的实函数，代入方程（3.39）分离实部与虚部，积分得到：（3.41a）（3.41b）其中和分别为振幅和初始相位，取决于初始条件。将上式代入（3.40）再代入（3.29）、（3.33）、（3.37），最后将、、的表达式代入（3.27）得到拉索不记阻尼的非线性自由振动二阶近似解如下：+（3.42）其中：（3.43）将代入（3.43），再代入（3.42）则得到方程（3.21）不记阻尼的自由振动二阶近似解。3.3.2非线性项的影响通常对于非线性振动我们关心的主要不是解的具体形式，而是非线性项和各个系数对振动特性的影响。所以，观察二阶近似解（3.42）等式右边包含了和这两项，这说明了二阶非线性项会引起所谓的振动漂移现象，即：使振动曲线向负坐标位置移动。偏移值和振幅有关。将代入（3.43）可知。拉索发生大幅度一阶自由振动时频率的二阶近似解为：（3.44）其中为线性自振频率，，对于给定的拉索是一个固定值，拉索自由振动的频率由变量确定。因此，根据摄动方法的思想，式（3.44）可以看做是关于振幅的级数展开，若越大，则需要满足精度要求的解的阶数就越多。当振幅较小时，上式是接近精确解的。当一定时，和这两项分别代表了3次非线性项和2次非线性项对拉索振动频率的影响，可以看出3次非线性项使拉索振动频率增加，起硬弹簧的作用，而二次非线性项使拉索振动频率减小，起软弹簧的作用。为了讨论拉索垂度引起的二阶非线性项对频率的影响程度，设：（3.45）这里R代表了二次非线性项与三次非线性对频率影响贡献的比值，在表3.1中列出了某实桥m4～m15号拉索的R的值。可以看出，对于长度小、倾角大的拉索（如：m4）由于垂度很小，2次非线性项的影响是相对很小的，所以R值是很小的。对于长度大、倾角小的拉索（如：m15）由于垂度较大，R值相对较大，长索的非线性振动方程中2次项的影响相对短索较大。表3-1各拉索非线性自由振动方程系数对比拉索编号索力H(kN)倾角(°)长度l(m)每延米质量m(kg/m)截面积A(㎡)弹性模量E(Pa)频率(幅度/s)非线性系数非线性系数m43436.026.086.16560.10.01231.96e118.71787.8217.670.0506m63665.024.0112.77560.10.01231.96e116.87924.356.020.0738m83924.023.0139.84068.00.01391.96e115.39673.022.550.1361m104101.022.0166.69068.00.01391.96e114.62842.051.260.1719m124355.021.0193.46068.00.01391.96e114.10961.440.700.1960m144537.021.0220.29968.00.01391.96e113.68361.070.410.2248m154630.021.0233.71068.00.01391.96e113.50760.930.330.2381通过以上分析，可以知道，斜拉索发生大幅度振动时，频率与振幅有关。在非线性振动方程中，3次非线性项起硬弹簧的作用，使振动频率随着振幅的增加而增大，而2次非线性项导致振动漂移且起软弹簧的作用，使振动频率随着振幅的增加而减小，但总的来说，斜拉索呈现非线性硬弹簧的性质。同样由表3-1可知，对于短的拉索，由于非线性项系数很大，拉索的振动体现了较强的非线性性质，且R值很小，3次非线性项起主导作用；对于长的拉索，虽然R值相对较大，二次项的作用相对较大一些，但非线性项的系数都较小，振动的非线性性质较弱，其中3次非线性项还是起主导作用。因此，本文认为：定量分析外激励或者参数激励作用下索的非线性振动特性，对于一般的索可以只考虑方程中起主导作用的3次非线性项。对于很长或者超长的斜拉索。相同振幅下，由于非线性项系数很小，拉索的非线性性质较弱。振动接近线性振动，考虑非线性时同样可以只考虑3次非线性。3.3.3数值计算结果选取表3-1中实桥m6号拉索，和m15号拉索，分别设拉索中点的初始位移为4米，初速度为0，设索的阻尼系数为0，根据方程（3.21）采用用四阶龙格库塔法做数值计算，位移时间历程图如下：图3-3m6索线性振动与非线性振动曲线图3-4m15索线性振动与非线性振动曲线图3-5m6拉索振动曲线图3-6m15拉索振动曲线图3-3、3-4分别为m6、m15索在方程（3.21）中不考虑非线性项与考虑非线性项时，振幅为4m拉索中点的自由振动曲线。从图中可以看出相同振幅下考虑非线性项时拉索的振动频率明显增加了。这说明对于拉索的大幅度振动必须要考虑索的非线性性质，否则可能造成不可靠地结果。同样可以从图中看出，相同振幅下长索的非线性性质比短索弱，频率增加较小。图3-5、3-6分别为m6、m15索，方程（3.21）中不考虑二次非线性项与考虑二次非线性项振幅时，振幅为4m拉索中点的自由振动曲线。从图中可以看出二次非线性项造成了振动漂移现象。和理论描述一致，二次非线性项的作用是使振动频率变小。相同振幅下，由于短索的非线性较强、频率较大，二次项对频率的影响相对长索较为明显。但总的来说二次项对拉索的频率影响是较小的。根据振动理论，拉索是否发生共振的条件为激励频率与拉索振动频率（或频率倍数）的接近程度。因此，本文认为对于实际斜拉桥，分析拉索的非线性振动性质时可以不考虑二次非线性项的影响（即垂度对斜拉索大幅度振动频率的影响）。3.4斜拉索非线性强迫振动特性根据前面的分析可知，在斜拉索端点发生竖向振动时，拉索振动方程（3.19）中存在外激励项和参数激励项。本节将对外激励下拉索的发生共振的振动特性进行理论分析。将方程（3.19）改写为如下形式：（3.46）由3.3节中的分析且从实际工程情况考虑可知：对于实际斜拉索，由于索力很大，垂度效应产生的2次非线性项对拉索振动频率的影响很小。因此在讨论强迫振动时忽略2阶项，可以把方程（3.46）改写为：（3.46）上式即为标准张紧弦的在外激励作用下的非线性强迫振动方程。同样采用多尺度法分析方程（3.46），可以从理论上说明在外激励下斜拉索可能存在的振动特性，将方程（3.46）改写为如下形式：（3.47）其中=，，为小参数，设采用多尺度法，这里只讨论一次近似的情况，将方程的解用不同时间尺度表示出来，设方程的解的形式为：（3.48）其中T0=t，T1=t，与3.3节相同，将（3.48）式代入（3.47）式并把微分方程改写为微分算子的形式，外激励用T0来描述，方程如下：（3.49）展开后令两端的和的系数相等，得到一阶近似方程：（3.50a）（3.50b）设零次近似方程的解为：（3.51）其中A为复数形式的自由振动振幅，而受迫振动振幅为实数，（3.52）将零次近似解代入一次近似方程（3.50b），整理后得到： （3.53）在此方程的右边各项中，不仅含的项是可以引起共振的长期项，而且含和的项当或时也能产生长期项。拉索在频率为的外激励，作用下在时产生的共振称为主共振，在或时可能出现次共振现象，分别称为3次超谐波共振和1/3次亚谐波共振。考虑在实际情况下，拉索的强迫振动，次共振与这一项有关，通常外激励频率和幅值不会过大，因此亚谐波共振不太容易发生。同时由于阻尼的作用，即使发生超谐波共振，拉索也不会有太大的位移响应。因此，根据拉索的实际情况，这里只对最容易发生的主共振情况做理论上的说明。3.4.1非线性项的作用根据文献[33]，系统在外激励的作用下产生主共振时，小的激励也可以激起大的振幅。为了体现外激励项与非线性项的关系，摄动方程中外激励项也用的一阶尺度来描述，这里将方程（3.46）写为如下形式（3.54）其中=,，,为小参数，设,采用多尺度法，这里只讨论一次近似解，设方程解的形式为：（3.55）其中T0=t，T1=t，根据文献[19]，引进一个解谐参数以代替原来的激励频率，这个是和接近程度的定量描述。因此：（3.56）激励可表示为：（3.57）将（3.55）代入（3.54）中，按照多尺度法将（3.54）写成微分算子的形式，令两端的和的系数相等，可以得到一阶近似微分方程组：（3.58a）（3.58b）方程（3.58a）的解可以写为：（3.59）这里A为复数形式的自由振动振幅，为A的共轭复数，将代入（3.58b）中，并把用复数形式表示，可得：（3.60）式中cc代表前面各项的共轭复数，根据消除长期项的条件有：（3.61）将复数A写成指数形式，这里A的物理意义同3.3节的描述：（3.62）由于，=0。将（3.62）代入（3.61）式，将结果分离实部和虚部得到：（3.63a）（3.63b）积分上式，并将结果代入（3.62）、代入（3.59）得到的表达式，最后代入（3.55）可以得到主共振一次近似解：（3.64）式中a、和由式（3.63）给出。在这里我们主要关心并不是主共振解的具体形式，而是在外激励作用下，非线性系统具有稳态运动时，频率、振幅、非线性项系数的关系。方程（3.63）可以变换为一个自治系统，即不显含t的系统，所以假设（3.65）代入（3.63）其结果是：（3.66a）（3.66b）在系统具有稳态运动的时候，振幅和相位都是周期变化的，因此振幅和相位是有限的，所以对于稳态运动，必然存在，。对应着方程组：（3.67a）（3.67b）的解。这两个方程取平方后相加，得到：（3.68）上式中消除了小参数的影响，方程（3.68）是稳态响应振幅a作为依赖解谐参数（亦即依赖于激励频率）和的隐函数方程，称（3.68）为方程（3.54）的频率响应方程。将=,，，代入方程（3.68）变换为如下形式：（3.69）图3-7线性强迫振动频率响应曲线图3-8非线性强迫振动频率响应曲线由方程（3.69）可知，拉索非线性振动具有稳态响应时主共振振幅的峰值由确定。若方程（3.46）中无非线性项，则根据线性振动理论，线性共振稳态响应振幅峰值同样由确定，线性振动和非线性振动的频率响应曲线形式分别如图3-7和3-8所示。与线性振动不同，对于非线性振动，频率响应曲线是以为骨架曲线的一条非对称曲线。根据文献[19]，这说明了非线性项对拉索的振动有限制作用，外激励作用下振动具有跳跃性、多值性。可以看出，不考虑垂度影响的索的非线性振动方程（3.46），骨架曲线的弯曲程度与3次非线性项的系数有关，实际斜拉索非线性振动方程中>0骨架曲线向正方向弯曲，拉索的振动具有硬弹簧性质。因此，短索骨架曲线的弯曲程度较大，而长索由于非线性系数较小，且二次非线性项起了软弹簧的作用，骨架曲线的弯曲程度较小。根据方程（3.69）和图3-8可知：对于同一根拉索，若激励幅值Fy增加，则频率响应曲线会相对骨架曲线升高，对应的稳态响应振幅会变大。3.4.2拍振现象以及阻尼的作用从方程（3.63）中可以看出，对于在理想激励作用下的主共振，由于3次非线性项的作用，振幅是时间的函数。由于随着振幅的增大非线性项使拉索变硬且改变了系统频率且对振幅的增长具有限制作用。拉索在达到稳态振动之前振幅是不断变化的，这是拉索发生主共振的瞬态过程，通常称这个过程为“拍振”现象，而阻尼的存在可以使这个过程的时间缩短[41]。外激励频率保持不变，随着时间的增长，非线性项的“调谐”作用使相位差增加同时由于阻尼的作用使“拍振”现象减弱，当外激励输入能量的功率与阻尼耗散能量的速率和非线性恢复力做负功的功率精确的地平衡时，振动将最终达到理论描述的稳态响应[19]，即共振响应下的振幅不再变化。由如图3-8所示，相同激励幅值作用下，当时主共振响应不是最大值。激起最大主共振振幅的外激励频率应该是略大于拉索固有频率的。3.5斜拉索非线性参数振动特性本节将单独讨论拉索在端部轴向激励下的参数振动的特性，对发生参数振动时的振动特性进行理论分析。拉索的在端点位移作用下的参数激励主要是由在拉索局部坐标系下X方向的位移分量引起的。由3.3节可知，二次项对斜拉索非线性振动的影响主要是造成较小的位移漂移现象，且对频率影响不大。对频率影响主要是3次非线性项，外激励的影响在3.4节中已经做了理论分析。因此，本节方程中只考虑参数激励项，和3次非线性项，将方程（3.19）改写为如下：（3.70）这里还是采用多尺度法，考虑让参数激励项进入摄动项，将方程（3.70）改写为摄动方程如下：（3.71）其中=，，，为小参数，设，采用多尺度法，这里只讨论一次近似的情况，将解用不同时间尺度表示出来，设方程的解的形式为：（3.72）按照多尺度法将方程（3.71）写成微分算子形式，令两端的和的系数相等，可以得到一阶近似微分方程组：（3.73a）（3.73b）设方程（3.5.3a（3.74）同时将也写为复数形式，即：（3.75）将（3.74）、（3.75）代入（3.73b）式可得：（3.76）由式（3.76）可以看出，当时这一项会引起长期项。这说明，对于参数振动，当拉索参数激励的频率为固有频率的2倍时将会引起拉索大幅度振动，通常称这为主参数共振（以下称为参数共振）。但是由于非线性项的作用，在参数激励作用下，拉索的振幅不会无限制增大[19]。3.5.1参数振动的不稳定区域以下对拉索参数振动的不稳定区域进行分析。对于方程（3.70）可以假设代入方程得到：（3.77）为了方便且符合表达习惯，以下还是分别将和记为和，将记为t，设=则原式为：（3.78）上式即为一个带有阻尼项和非线性项的无量纲Mathieu方程和文献[20]中的描述一样，其中，，，。因此，我们可以按照标准Mathieu方程的处理方式来讨论各个系数和方程稳定性的关系。对于标准的Mathieu方程，文献[33]采用林滋泰德－庞加莱法和多尺度方法求出了方程的稳定过渡曲线和不稳定区域，形式如：（3.79）的方程二次近似解求出的稳定过渡曲线形式如下：（3.80a）（3.80b）方程的稳定图如下（阴影区域为不稳定区域）：图3-9Mathieu方程在简谐参数激励下的稳定图从反映简谐参数激励的Mathieu方程稳定图3-9中可以看出，当激励幅值和的值落入不稳定区域时，方程不存在周期解，参数激励将引起无限振幅。同样，由图可知，在曲线族与横坐标轴交点（n=1、2、3…）处，只要稍稍偏离零值，就可能出现不稳定而导致参数共振，由，可以推论出：在实际斜拉索中，当参数激励的频率与自由振动的线性频率满足（n=1、2、3…）时，就可能发生参数共振。当n=1时（即时）参数激励引起的共振为主参数共振，以下称之为参数共振。3.5.2阻尼的作用这里先不考虑三次非线性项的作用，对于带粘性阻尼的Mathieu方程：（3.81）Gunderson,Rigus和VanVleck(1974)[31]提出了确定有阻尼Mathieu方程稳定区域的方法，引入变换，可以将（3.81）改写为如下：（3.82）上式具有和（3.79）相同的形式，因此阻尼的作用是通过使振幅的增长速率减小并使系统固有频率从改变为()1/2从而促进了稳定性[31]。文献[33]给出了有阻尼的Mathieu方程的稳定性过渡曲线和稳定图。稳定性过渡曲线：（3.83a）（3.83b）图3-图3-10考虑粘性阻尼Mathieu方程稳定图出，在不包含非线性项的Mathieu方程中，阻尼只在一定范围内对不稳定区域的大小有影响，不稳定区域随着阻尼系数的增大而升高缩减，当阻尼足够大时，在一定范围内，（即）附近的不稳定区域变得很小。而（即）附近的不稳定区域还是较大。这说明阻尼对高阶的参数共振有较强的抑制作用，而对主参数共振的影响相对较小。值得注意的是：当激励幅值和的值落入不稳定区域时（无非线性项作用）阻尼并不能抑制振幅的无限增长，这一点完全不同于阻尼对强迫振动的作用。3.5.3非线性项的作用如前所述，受参数激励的线性系统，在一定条件下，不论是有阻尼还是无阻尼，都具有随时间无限增长的解。然而，在非线性系统中，一旦运动振幅过大时，非线性就起到了改变系统频率的作用，从而导致反映外激励频率和自振频率比值的发生变化，使系统最终进入稳态响应[31]。采用多尺度法分析方程（3.70），将其改写为如下形式：（3.84）其中，，其他系数与方程（3.78）相同，设，即这里只讨论主参数共振的一阶近似解。设方程的解为：（3.85）其中，将（3.85）代入（3.84）并将方程写为微分算子形式：（3.86）令两端的和的系数相等，可以得到一阶近似微分方程组：（3.87a）（3.87b）设方程（3.87a）复数形式的解为：（3.88）将（3.88）代入（3.87b）并将写为复数形式得：（3.89）如前面所述，当时，方程中这一项将引发主参数共振，所以，为了表示1接近的程度，可取：（3.90）这样可以将表示为：（3.91）将（3.91）代入（3.89）得：（3.92）若方程（3.92）存在周期解，则根据消除长期项的条件：（3.93）将复数A写成指数形式，这里A的物理意义同3.3节：（3.94）由于，=0。将（3.94）代入（3.93）式。将结果分离实部和虚部，得到：（3.95a）（3.95b）所以首次近似有如下形式的解：（3.96）这里的值由（3.95）式对时间积分后代入（3.94）再代入（3.88）求出，是初始相位。我们主要关心不是解的具体形式，而是对于斜拉索非线性参数振动方程，各项系数和解的稳定性的关系。所以设代入（3.95）得到：（3.97a）（3.97b）根据稳态解存在的条件，必然有由（3.97）式，考虑到，且是小量，消去得到稳态振幅的首次近似由（3.98）给出。这里设对于1的偏移量为，将，，代入（3.98）式，可以得到，稳态振幅的一次近似表达式为：（3.99）由（3.99）可知，非线性参数共振稳态解存在的条件是，。实际上，对于拉索非线性参数振动方程（3.70）拉索参数激励幅值为，将，，，代入稳定解存在条件，得到发生参数共振引起大幅振动时，拉索端点竖向位移激励幅值近似满足的条件为：（3.100）由（3.100）可知，和强迫振动不同。由于阻尼对参数共振的发生有一定限制作用。因此，频率比满足条件不一定发生参数共振。只有当参数激励频率与拉索固有频率满足且拉索端点轴向位移幅值满足式（3.100）时，参数激励才会导致参数共振而激起拉索的大幅度振动。当=0时，方程（3.99）为：（3.101）值得注意的是，将代入方程（3.101）即为主参数共振稳定曲线方程（3.83a）。根据（3.101）可以作出由频率比()相对于变化量、换算激励幅值（），振幅表示的平面上的近似稳定区域图和频率响应曲线。图3-11受参数激励的非线性振动方程图3-12受参数激励的非线性振动方程稳定区域图频率响应曲线图图3-13受参数激励的非线性振动方程稳定曲线和频率响应三维图图3-11可以做如下解释，即：对于所有的初始扰动，不论其振幅是多大，只要在区域1中，对应的响应都要衰减。在区域2中，线性系统对任何初始扰动的响应都无限制增长，而非线性系统的响应则有界且可以达到稳态响应。在区域3中，非线性系统对初始扰动的响应可以是衰减的也可以是达到稳态周期运动的。当激励幅值一定时，若沿A1、A2变化，则可根据方程（3.99）得到在一定激励幅值下受参数激励的拉索非线性振动方程的频率响应曲线的形式如图3-12。由图3-12受参数激励的非线性振动方程频率响应曲线图可知，激励频率变化值和换算激励幅值落在区域2中时，拉索将产生大幅度的振动，但由于非线性项的作用，斜拉索具有硬弹簧性质，频率响应曲线是弯曲的，拉索振幅不会无限增加，由于阻尼的作用拉索将最终达到稳态响应，拉索的最大响应值为点对应的值。。由于。所以在图3-12中，可以看出，当时，。因此，我们可以预期拉索参数共振的特点为：发生参数共振时，参数频率与拉索自振频率的关系为，拉索在经历“拍频”阶段后，进入稳态响应。当即时相同激励幅值下稳态响应振幅不是最大。稳态响应最大振幅对应的参数激励频率略大于。在图3-13中，、平面的阴影区为不稳定区域（这里计算的不稳定区域同样适用于线性振动的情况）。从图中我们可以更直观的看出，大的激励幅值，对应的不稳定区域就越宽，但是由于起主导作用的3次非线性项的影响，振动总是有界的，而且是能达到稳态响应的，大的激励幅值对应的最大稳态响应振幅也越大。3.6斜拉索参数振动数值算例选取实桥3组拉索的数据，根据方程（3.19）采用四阶龙格库塔法作数值计算，分别计算拉索在一定的频率比（）、竖向位移激励（）、粘性阻尼系数（）的作用下的位移响应图。拉索数据如表3-2所示：表3-2拉索参数拉索编号长度l(m)倾角(°)截面积A(㎡)弹性模量E(Pa)索力H(kN)每延米质量m(kg/m)固有频率(rad/