三角函数中的最值模型之胡不归模型（解析版）

专题15三角函数中的最值模型之胡不归模型

胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟

考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，

方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之

间线段最短”，虽然从他此刻位置/到家方之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人

刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的

一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

知识储备：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做/A的正弦，记作即sinA=—

斜边

【模型解读】一动点尸在直线外的运动速度为％,在直线MN上运动的速度为V2,且V!<V2,4、

B为定点,点C在直线MN上，确定点C的位置使生+些的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）

%K

B

1）—BC+^AC\,记上=匕，即求BC+fc4c的最小值.

2）构造射线使得sin/DAN9,先=卜,将问题转化为求5C+CH最小值.

3）过3点作BH1AD交MN于点C,交AD于H点,此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小.

【解题关键】在求形如“如+在中的式子的最值问题中，关键是构造与任牛相等的线段，将“勿+枕中型问题

转化为“以+PC型.（若%>1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。

例1.（2023上•江苏淮安•八年级校联考期中）已知等边AABC中，AD1BC,AD=12,若点尸在线段AO

上运动时，JAP+BP的最小值为.

【答案】12

【分析】根据题意易得AB=AC=3C，ZBAC=ZABC=ZC=6Q°,则有/"4D=NZMC=30。，过点尸作

PELAC于点E,进而可得PE=3AP,当gAP+8P取最小时，即PE+成为最小，则有当点8、P、E三

点共线且BE，AC时最短，进而可求解.

【详解】解：回44BC是等边三角形，0AB=AC=BC,N3AC=NABC=NC=60。，

SADJ.BC,ABAD=ADAC=3Q°,过点尸作尸石，4。于点£,如图所示：

S\PE=-AP,^\-AP+BP=PE+BP,团当工4尸+8尸取最小时，即PE+3P为最小，

222

团当点8、P、E三点共线时且BE,AC时最小，如图所示：

团AABC为等边三角形，0BE=AD=12,回《AP+3尸最小值为12；故答案为：12.

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30。角的直角三角形的性质，垂线段最短，两点之间线段最短，

熟练掌握等边三角形的性质及含30。角的直角三角形的性质是解题的关键.

例2.（2023秋,山东日照,九年级校联考期末）如图，在矩形ABCD中，AS=2,BC=2y/3,点P是对角线

AC上的动点，连接尸£>,则F4+2PD的最小值为（）

D

A.B.6C.6乖）D.4

【答案】B

【分析】直接利用已知得出NC4B=60。，再将原式变形，进而得出尸A+P。］最小值，进而得出答案.

【详解】解：过点A作NGW=30。，过点。作DM,4V于点交AC于点尸，

团在矩形ABC。中，AB=2,BC=2^,0tanZCAB=^=>/3,

0ZC4B=6O°,则NZMC=30°,S\PM=-PA,

2

^PA+2.PD=2^PA+PD^=2（PM+PD）,=2DM=2AD・sin60°=2x2出乂与=6.

即上4+2尸£）的最小值为6.故选B.

【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键.

例3.（2023・重庆・九年级期中）如图所示，菱形ABCO的边长为5,对角线03的长为4岔，P为OB上一

动点，贝UAP+弓。尸的最小值为（）

A.4B.5C.2A/5D.3A/5

解：如图，过点A作AHLOC于点H,过点P作PFLOC于点尸，连接4c交OF于点J.

•.•四边形。1BC是菱形，..AC1,OB,

OJ=JB=2y/5,CJ=JoC。-"=6-（2后=卡,:.AC=2CJ=2下,

l

-.-AHLOC,:.OCAH=OBAC,:.AH=1X4^X275=4）

225

..sinZPOF=—=—=—,:.PF=—OP,AP+—OPAP+PF,

OPOC555

AP+PF..AH,:.AP+—OP.A,.•.">+gOP的最小值为4,故选：A.

55

例4.（2023•云南昆明•统考二模）如图，正方形A3CD边长为4,点E是8边上一点，且NABE=75。.P

是对角线上一动点，则+的最小值为（）

A.4B.4A/2C.D.五+遥

【答案】D

【分析】连接AC,作PGLBE,证明当+取最小值时，A,P,G三点共线，且AGL8E,此时最

小值为AG,再利用勾股定理，30。所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果.

【详解】解：连接AC,作PG工BE

团ABC。是正方形且边长为4,回NABO=45。，AC1BD,AO=2也，

EIZ/WE=75°,0ZPBG=3O°,S\PG=-BP,

2

团当AP+18P取最小值时，A,P,G三点共线，且AG，BE,此时最小值为AG,

2

0ZABE=75°,AG±BE,0ZBAG=15°,0ZBAC>=45°,0ZB4（9=3O°,

设OP=6,贝i]AP=»,回〃+（2何=（2域,解得：b=当,

设尸G=a,贝!|3P=2a,ElBO=2y/2<m2a+6=2应，解得：a=-j2--^~

EIAG=AP+PG=26+a=0+«,故选：D

【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，30。所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是

证明当AP+^BP取最小值时，A,P,G三点共线，且AGLBE,此时最小值为AG.

例5.（2023糊北武汉•一模）如图，在“。石中，CA=CE,NC4E=30。，半径为5的0。经过点C,CE是

圆。的切线，且圆的直径A3在线段AE上，设点。是线段AC上任意一点（不含端点），则如+的最

小值为.

【分析】过点C作关于AE的平行线，过点。作加垂直于该平行线于H,可将#。转化为DH,此时

OO+gcD就等于OD+D”,当共线时，即为所要求的最小值.

【详解】解：如图所示，过点C作关于AE的平行线，过点。作。以垂直于该平行线于”,

-,-CH//AB,NC4E=30。，OC=OA,.\ZHCA=ZOCA=30°,

sinZHCZ)=—=-,ZHCO=60°,:.-CD=HD,:.OD+-CD=OD+DH,

CD222

,•・当。，D,H三点共线，即在图中H在位置，。在。位置的时候有OD+D”最小，

,当。，D,"三点共线时，。。+工。有最小值，此时O/r=OCxsin///CO=OCxsin6()o=5xY^=±®,

222

.•.OD+gc。的最小值为芈，故答案为挛.

222

【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将进行转换.

例6.(2023・山东•九年级月考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=N-2x+c的图象与x轴交于A、

C两点，与y轴交于点8(0,-3),若P是x轴上一动点，点。(0,1)在y轴上，连接PD,则应+

32nr

C.272D.-+-V2

23

【答案】A

［分析］过点P作PJ^BC于J,过点。作DH^BC于H.根据近PD+PC=0PD+^-Pc\=^2（PD+PJ）,

求出DP+PJ的最小值即可解决问题.

【详解】解：过点P作PJ08c于J,过点。作O/70BC于H.

团二次函数y=/-2x+c的图象与y轴交于点8(0,-3),配=-3,

回二次函数的解析式为y=f-2x-3,令y=0,x2-2x-3=0,

解得x=-l或3,EL4(-1,0),B(0,-3),EIOB=OC=3,

EBBOC=90°,aaOBC=囱0cB=45°,

0D(0,1),回。£)=1,BD=4,BDHBiBC,^S\DHB=90°,

222

设。〃=x,则3"=x,El£)7/2+3/2=3£)2,0x+x=4,回犬=2夜，0DH=20

BPJ^CB,0ZPJC=9O°,国PJ=*PC,S\y/2PD+PC=y/2PD+^PC^=y/2(PD+PJ),

5iDP+PJ>DH,^DP+PJ>2^/2，回。尸+PJ的最小值为2及，回夜加+PC的最小值为4.故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题

的关键是学会用转化的思想思考问题.

例7.(2023•江苏宿迁•统考二模)已知AABC中，5C=6cm,NA=60。，则A3+且二1AC的最大值为.

2

【答案】65/2

【分析】过点。作。。，48,垂足为。,取。£=40，即可说明丫陋石是等腰直角三角形，求出248=30。，

进一步求出CE=3匚AC,继而将AB+叵1AC转化为BD+CD,推出点。在以3C为直径的圆上，从而

22

可知当△BCD为等腰直角三角形时，BD+CD最大,再求解即可.

【详解】解：如图，过点C作CDLAB,垂足为。，取DE=AD,

回VADE是等腰直角三角形，B!ZDAE=ZDEA=45°,

团ZA=60。，^ZCAE=15°,BZACD=ZAED-ZCAE=30°,^\AD=-AC=DE

2f

^CD=y/AC2-AD2=—AC,^CE=CD-DE=—AC--AC=^:^-AC,

2222

J3-1

0AB+——AC=AB+CE=AD+BD+CE=DE+BD+CE=BD+CD,

2

2222

0（BD+CO）=BD+CD+2BDxCD=BC+4SABCD=36+4SASCD,而BC一定,

回当△BCD的面积最大时，30+8最大，回/BDC=90。，回点。在以BC为直径的圆上，

团当£）平分BC时，点。到8C的距离最大，即高最大，则面积最大，

此时50=CD,则△BCD为等腰直角三角形，B1BD+CD=2BD=2^^=60,故答案为：6起.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，

解题的关键是添加辅助线，将最值转化为3D+CD的长.

例8.（2022•内蒙古鄂尔多斯・统考中考真题）如图，在0ABe中，A8=AC=4,团CAB=30。，ADI3BC,垂足

为。，尸为线段上的一动点，连接尸8、PC.则以+2PB的最小值为.

【答案】40

［分析M0BAC的外部作EIC4E=15。,作BF^AE于凡交A£）于P,此时B4+2PB=2尸4+呵=g（尸尸+PB）

=2BF,通过解直角三角形ABF,进一步求得结果.

【详解】解：如图，

Ez,

c

在I3比1C的外部作EIC4E=15。，作BfBAE于尸，交A。于尸，此时B4+2P2最小，EIEAFB=90o

0AB=AC,AD3\BC,回回。。=回』/R4C=』x30°=15°,

22

0EEAD=ECAE+0CAD=30°,0PF=|PA,回以+2PB=21；PA+=:（尸尸+尸2）=28尸，

在RtEABF中，AB=4,0BAF=EIBAC+0CAE=45",

0BF=AB.sin45°=4x^=272,团（PA+2PB）最大=2BF=4n，故答案为：4A历.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线.

例9.（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y=-1■尤2r+4与无轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点

。为线段AC的中点，直线与抛物线交于另一点E,与y轴交于点?

（1）求直线8。的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD,PF,当“DF

的面积最大时，在线段8E上找一点G,使得PG-qGE的值最小，求出点G的坐标及PG-qGE的最

【分析】（1）令-gx2+x+4=0,可求出点A和点B的坐标，令x=0,可求出点C的坐标，再根据点D时AC的

中点，可求出点D的坐标，利用待定系数法求直线解析式即可.（2）求三角形的面积最值可以转化为求线

段长度的最大值，利用点坐标表示线段长度，配方求最值，求PG-^GE的最小值，可将不共线的线段转换

为共线的线段长度.

【详解】解：(1)令-；/+彳+4=0,解得R=-2,尤2=4,(-2,0),A(4,0),

令x=0,y=4,0C(0,4),团。为AC的中点，0£>(2,2),

设直线的解析式为(辰0),代入点2和点。，

0=-2k+b

，解得2,回直线BD的解析式为y=gx+l.

2=2k+b

b=1一

(2)如图所示，过点尸作y轴的平行线，交BE交于点H,

团产〃=-々产+卅4-(:a1)=-!C-：)2+——，

2222g

当时，PH最大,此时点尸为(；，£)，当尸”最大时，AP。尸的面积也最大.

团直线8。的解析式为y=3x+l,令x=0,y=l,四点/(0,1),

在RtABP。中，根据勾股定理，BF=也,0sinEFB(9=

过点E作x轴的平行线与过点G作y轴的平行线交于点M,

^3\MEG=^FBO,0A/G=EG«sin0A/EG=—EG,0PG--GE=PG-MG,

55

当尸、M、G三点共线时，PG-MG=PM,否则都大于PM,

团当尸、M、G三点共线时，PG-MG最小，此时点G与点H重合，

令-x2+x+4=；x+l,解得xi=3,无2=-2,0点E(3,—)»0PM=---=一)0点G(g,—),

22282824

回点G(J,-y),PG-且GE的最小值为

2458

【点睛】本题考查二次函数求最值问题，线段的和差求最值问题，找等腰三角形的分类讨论，综合性较强.

课后专项训练

1.（2023・山东济南•统考二模）如图，在菱形A8CD中，AB=AC=6,对角线AC、8。相交于点。，点M

在线段AC上，且AM=2,点尸是线段3。上的一个动点，则MP+gpB的最小值是（）

A.2B.2退C.4D.4A/3

【答案】B

【分析】过M点作垂直于"点，与08的交点为尸点，此时+的长度最小为MX,再算出

MC的长度，在及△MPC中利用三角函数即可解得

【详解】解：过M点作垂直BC于X点，与。2的交点为尸点，

团菱形A8CD中，AB=AC=6,SAB=AC=BC=6,AABC为等边三角形，

0ZPBC=30°,ZACB=60°,团在中，/PBH=30°,S\PH=-PB,

2

团此时得到最小值，MP+-PB=MP+PHMH,

22

0AC=6,AM=2,0MC=4,又回NMCH=60°,S\MH=MCsin60°=B.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.

2.（2023•广东中山,统考二模）如图，菱形ABCD的对角线AC=3,NADC=120。，点E为对角线AC上的一

动点，则EA+EB+ED的最小值为.

D

【答案】3

【分析】过点E作AD的垂线斯，垂足为尸，过点。作"AC,根据已知条件求得AD的长，根据含30

度角的直角三角形的性质，^^EA+EB+ED=EA+2EB=^EA+EB^=2（EF+EB）＞2FB,当

时，即最小，股定理求得8尸的长即可求解.

【详解】如图，过点E作AD的垂线防，垂足为尸，过点。作DO^AC,

AC=3,ZADC=120°-.-RtAADO中，ZADO=-ADC=60°

—2

ZZMO=30°AD=2DOAO=^3DO,AO=-:.AD=2DO==6

232

•.•ZDAC=30°EA+EB+ED=EA+2EB=2\^EA+EB^=2（EF+EB）＞2FB

如图，当BFLAD时，BF最小,最小值为FB=ABX@=3

22

E4+EB+ED的最小值为2FB=3.故答案为：3

【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，垂线段最短,

转化线段是解题的关键.

3.（2023•浙江宁波•九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=分别交x轴、y

轴于A、B两点，若C为无轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为

y

【答案】6

【分析】先求出点A，点2坐标，由勾股定理可求A3的长，作点2关于的对称点3',可证AAS9是等

边三角形，由直角三角形的性质可得CH=^AC,贝IJ23C+AC=2（?C+CH）,即当点"，点C,点H三

点共线时，3'C+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，由直角三角形的性质可求解.

【详解】解：回一次函数y=冬-有分别交x轴、y轴于A、8两点，

0点A（3,0）,点、B（O-6）,她。=3,BO=y/3,E）AB=Joi+OB。=.+（商=2陋,

作点8关于04的对称点玄，连接AB',B'C,过点C作C/fflAB于X,如图所示：

^OB=OB'=43,回33'=2百，AB=AB=2y/3SAB=AB'=BB',回MB?是等边三角形，

11

回AO_LBB',[?]ZBAO=-ZBABr=30°,^\CH^AB^CH=-AC,

22f

S2BC+AC=2^BC+^AC^=2（B'C+CH）,

团当点9，点C,点X三点共线时，3'C+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，

此时，B'HIAB,AAB?是等边三角形，0BH=AH=6,ZBB'H=30°,

0B，H=y/BW-AH。=«2国_（国=3,回28C+AC的最小值为6.故答案为：6.

【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确

定点C的位置是解题的关键.

4.（2023.成都市九年级期中）如图，QABCD中，〃4B=60。，AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点,

则PB+且PO的最小值等于

解：如图，过点P作交相＞的延长线于点E,

・・•AB//CD:.ZEDP=ZDAB=60°,sinZEDP=——=—

DP2

；.EP=BpD:.PB+—PD^PB+PE

22

当点3,点尸，点E三点共线且BELAD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE,

「sinNA=^=且.•.8£r=3g故答案为：

AB2

5.（2023•陕西西安•校考二模）如图，在R/AABC中，EIACB=90o,回B=30。，AB=8,D、尸分别是边A3、

8C上的动点,连接CD,过点A作AE3CD交BC于点E,垂足为G,连接GF,则GF+^FB的最小值为.

A

【答案】3屈2

【分析】"胡不归模型"，以3尸为斜边构造含30。角的直角三角形,结合&8=30。，即把RMABC补成等边

过F作8P的垂线下〃，根据垂线段最短得，当G、F、H成一直线时，GE+；时最短，又根据直角所对的

弦是直径，可得点G在以AC为直径的圆上，取AC的中点O,连接0G,过点。作OQSBP于点。，据此

解题.

【详解】解：如图，延长AC到点尸，使CP=AC,连接8尸，

过点尸作尸加2尸于点打，取AC的中点O,连接0G,过点。作。。&8尸于点。，

o

00ACB=9O°,[?L4BC=30,AB=8,[3AC=CP=4,AP=8,BP=AB=8f

EBABP是等边三角形，回回尸8"=30。，在RtEIFHB中，FH^-FB,

2

团当G、F、H在同一直线上时，GF+工FB=GF+FH取得最小值,

2

BAESCD,03AGC=9O°,团0为AC的中点，S\OA=OC=OG=-AC,

2

0A、C、G三点共圆，圆心为O,即点G在团。上运动，

团当点G运动到。。上时，G尸+尸X取得最小值，

团在RtflOPQ中，回尸=60°,OP=6,sinP=^-=—,

OP2

@00=与OP=343,SGF+FH的最小值为30-2,

即的最小值为3如-2,故答案为：3^-2.

【点睛】本题考查了含30。直角三角形性质，特殊角的三角函数值，垂直平分线性质，点到直线距离，圆周

角定理，最短路径，解题关键是找到点G运动到什么位置时，GH最小，进而联想到找出点G运动路径再

计算.

6.（2023上•四川成都•八年级校考期中）己知在等腰AABC中，AB=AC=n,BC=m,NBAC=30。，点、D

是直线BC上一点，连接A。，在AD的右侧做等腰VADE,其中=ZEAD=30°,连接CE,贝U

AE+*CE]的最小值为（用含利”的代数式表示）.

【答案】一九2—m2

33

【分析】如图所示，过点A作AHL5C,过点后作£尸，。£,延长3C交所于点尸，可证

AABD^AACE(SAS),BD=CE,Z2=ZB,根据三角形内角和关系可得N3=30。，ZF=60°,

AE+—CE=AE+EF,当点A,E,F三点共线时，AE+EF的值最小，在RtaAHF中，可得4尸=34"2,

33

可证AABC是等腰三角形，H为3c的中点，可得=在中，根据勾股定理即可求

解.

【详解】解：如图所示，过点A作过点E作EFLCE,延长8C交E尸于点尸，

SZBAC=ZDAE,EIZ5+ZZMC=Z6+ZZMC,0Z5=Z6,

^\AB=AC,AD=AE,EAABD^AACE(SAS),^BD=CE,/2=/R,

0ZB+Z1+ZBAC=18O°,EIZl+Z2+ZBAC=180o,ZBAC=30°,

0Z1+Z2+Z3=18O°,0Z3=ZB/1C=3OO,在Rt^CEF中，Z3=3O°,ZF=60°,

0CF=2EF,CE=-J3EF,^EF=—CE,SAE+—CE=AE+EF,

33

当点A,三点共线时，AE+跖的值最小，回当点A及尸三点共线时，

SZDAF=ZDAE,回点。于点H重合，如图所示，

在Rt^AHF中，ZF=60°,则4Z4F=30°,0ZZMF=30°,0HF=-AF,

2

i24

在RtaAHF中，AH2=AF2-HF2-0AH2=AF2-I,HAF2=-AH2-,

QAB=AC,回AABC是等腰三角形，AH1.BC,

团H为8C的中点，S.AB=AC=n,BC—m,0BH=—BC=—m,

22

EAH2=n2-Qm^|

在RtZ\AB〃中，AH2=AB2-BH2，

回4/2m2]=g〃2_；机2,故答案为：।„2_lm2

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角的判定和性质，勾股定理，含30。角直角三角形的性质

等知识的综合，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键.

7.（2023•四川成都•九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2,E是AC上一个动点，连接,

过点C作AC的垂线/,过点。作以交/于点E过点。作OGL跖于点G,tanNEDG=①，点、H

是中点，连接贝IHE+当EC的最小值为.

【答案】也以叵

33

【分析】证明△ADEs^CDR,得出AZ）:8=DE:7）尸，再证AADCSAEC中,求出的。=N£DG,所以

tanZBAC=tanNEOG=0，即BC：AB=&,可得sin/BAC=手.作AC的垂直平分线7L,交AB的延长

线于点T,连接7r,过点E作EQ_LCT于点Q,求出sinZACT=sinZBAC=*^,所以EQ=9EC.求HE+与EC

的最小值，即为求成+EQ的最小值，过点”作用，CT于点J,即为所求最小值.设BT=x,根据勾股

定理可得出x=l,所以AT=CT=3,由，HTC~§矩形A5CD+S&BTC~^AHT-SRDH，可求得的长度.

【详解】解：在矩形ABCD中，ZB=ZADC=90°,EADAC+ZACD=90°,

EIB_LEC于点C,SIZECF=90°,^AECD+ADCF=90°.

0NDAE=NDCF.同理可证NAT>E=NEDC,HAADE^ACDF,^AD:CD=DE:DF,

ZADC=ZEDF=9Q°,^^ADC^EDF,^\ZDAC=ZDEG,

回Z)G_LM于点G,国/EDG+NDEG=90°,

田/DAC+NBAC=90。,^\ZBAC=ZEDGf

团tanABAC=tan/EDG=A/2,即8C：AB=应，

EIAB=2,EBC=2A/2，0AC=2A/3,EsinZBAC=—.

3

如图，作AC的垂直平分线7L,交AB的延长线于点T,连接7T,过点E作EQLCT于点°,

^\AT=CT,回ZBAC=ZACT,BPsinZACT=sinABAC=—.

3

®EQ=t~EC.aHE+当EC=HE+EQ,回求HE+^EC的最小值，即为求延+EQ的最小值,

过点〃作H/LCT于点J,即即为所求最小值.设57=x,贝ljAT=TC=2+x,

在RtOTC中，由勾股定理可知，/+(20f=。+2)2,解得彳=],^AT=CT=3.

如图，连接HT,HC,回点X是AD的中点，0AH=HD=e，

0S"HTC=S矩形ABC。+S“B7C-SaAHT-S^CDH,^HJTC=AB-BC+^BT-BCAT-AH-DH-CD,

BP-HJ-3=2X2^+-X1X2A/2--X3XV2--XV2X2,解得用=迫.故答案为：业.

222233

【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积等相

关知识，根据题意作出辅助线，将所求目标转化为求垂线段的长度是解题关键.

8.（2023春・浙江•八年级专题练习）如图，E1ABCD中，0DAB=3O°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，

则2PB+PD的最小值等于.

D

【答案】6

【分析】过点P作PE回AD交AD的延长线于点E,根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB0CD,推出PE=

|PD,由此得到当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用回DAB=30°,

EIAEP=90o,AB=6求出PB+PE的最小值=3AB=3,得到2PB+PD的最小值等于6.

【详解】过点P作PE回AD交AD的延长线于点E,

回四边形ABCD是平行四边形，0AB0CD,fflEDC=0DAB=3O°,回PE=：PD,

02PB+PD=2(PB+j-PD)=2(PB+PE),

El当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，

0EDAB=3O°,0AEP=9O°,AB=6,EPB+PE的最小值=：AB=3,

团2PB+PD的最小值等于6,故答案为：6.

【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30。角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点

共线的形式是解题的关键.

9.(2023・陕西西安•校考模拟预测)如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=2如,点尸是对角线AC上的动

点，连接P。，则B4+2PD的最小值_______.

【答案】6

【分析】直接利用已知得出团CA8=60。，再将原式变形，进而得出3以+「。最小值，进而得出答案.

【详解】过点A作团CAN=30。，过点。作OWEAN于点交AC于点尸，

回在矩形A2C£)中，AB=2,BC=2百,EltanEICA历乎=6,

fflCAB=60°,贝腼£>AC=30°,^\PA+2PD=2以+PD),

-PA+PD=PM+PD=DM=AD-sin60°=2s/3x—=3,

22

此时g以+PO最小，回以+2P。的最小值是2x3=6.故答案为：6.

【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键.

10.(2023•四川眉山・一模)两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD如图所示若a=30。，P是对角

【答案】3j5cm

【分析】先证明四边形ABC。是菱形，过点。作。硒BC于点E,连接AC,交于点。，可得

BC=CD=2DE=6,CE=30然后根据勾股定理可得BD=3#+3应，则

2O=36+30,tanNAB£)=tanNC2£>=2-石,进而求出4。=空二土也，要使的值最小，则

222

需要满足;(P8+PM)为最小，即PB+PM为最小，

当B、P、M在同一直线上时，PB+R0为最小，过点A作4M0AP,且使NAMP=30。，连接进而

求解即可.

【详解】•••两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABC。，

即AB//CD,AD//BC,四边形ABCD是平行四边形，

丁S四边形Meo=A5•3=•3,A5=8C,•.・四边形A5CZ）是菱形,

过点。作。比BC于点E,连接AC,交3。于点O,如图,

BO=DO=-BD,AO=CO,AC1BD,・.・NDC石=30。,。石=3,

2

BC—CD—2DE=6，/,c_E=VCD1—DE2-3^/3，.=BE=6+3A/3,

BD=\lBE1+DE2=3A/6+3y/2，BO=——~~--,tanZ.ABD=tan/CBD=——=2—，

2BE

A。=BO•tanNABD=通一逑,过点A作AM0AP,且使NAMP=30。，连接BM,如图,

2

:.MP=2AP,要使AP+：B尸的值最小，则需要满足g（P3+PM）为最小，即PB+PM为最小,

，当B、P、M在同一直线上时，PB+R0为最小，如图，

OM=-J3OA=9^-3^,:.BM=BO+OM=6五,

2

的最小值为3拒，故答案为：30cm.

【点睛】本题考查了三角函数、菱形的性质与判定及含30。直角三角形的性质，解题的关键是利用"胡不归"

原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可.

11.（2023广东广州•校考二模）如图，菱形A8CD中，ZA=60°,AB=4,点E、尸分别为线段CD、BD

上的动点，点G为边AB的中点，连接EF,尸G.⑴求3。的长；（2）连接BE,若NCEB=2NDEF,求证:

EB=CE+DF；⑶若CE<BF,试求EF+&FG的最小值.

【答案】⑴4⑵见解析⑶5我-卡

【分析】（1）证明△ABD是等边三角形，即可求解；（2）延长BD至N,使得DN=EC,在CB上取CM=EC,

连接证明ADCW丝ABCE,可得NCDM=NEBC,DM=EB,证明四边形EMZW是平行四边形，

可得DM=NE,即可得出NE=EB,进而证明=即可得证；（3）将AEFG绕点G逆时针旋转90。得

到AQPG,连接尸尸，贝！］「产=应打；，当。，尸，尸三点共线时，EF+也FG=QP”P=QF,此时EF+&PG

取得最小值，G为A3的中点，当尸为的中点时（或者设其他点为中点，再证明/为中点），过点歹作

切，8于点”，勾股定理解直角三角形，即可求解.

【详解】（1）解：回菱形A3CD中，ZA=60°,^\AB=AD,

EINA=60°,回△ABD是等边三角形，又回45=4,回应）=筋=4；

（2）解：如图所示，延长3。至N,使得DN=EC,在CB上取CW=EC,连接

DC=BC

在ADCM与ABCE中，|NC=NC0^DCM'BCE0ZCDM=ZEBC,DM=EB

CM=CE

EIAADBABC。是等边三角形，REM=ND=EC,ZECM=ZCDB=60°,

QDN〃EM,回四边形EMDN是平行四边形，

SNE//DM,DM=NE,0EB=EN,

0NCEB=2ZDEF,设NCEB=2NDEF=2a,则"E产=a

在ACE3中，ZEBC=180°-2a-60°=120°-2a,

回NEBD=60°-NEBC=2«-60°,EZMDC=NEBC=120°-2a

BNE//DM0ZNEF=ZEDM=120°-2cr,

0NNEF=NNED+NDEF=120°-2(z+«=120°-«

在ANEF中，ZNFE=180-ZN-ZNEF=180°一（2tz-60。）一（120。-a）=120。-a

^ZNEF=ZNFE,SNE=NF,0ND+DF=EC+DF=EB；

（3）如图所示，连接EG,FC,过点F作FHLDC于点H,

将AEFG绕点G逆时针旋转90。得到AQPG,连接尸尸，则依=&/G，

当。，尸，尸三点共线时，EF+y/2FG=QP+FP=QF,此时EF+0FG取得最小值,

回△PFG是等腰直角三角形，0ZGPF=45°,

回。,尸,尸三点共线ElNQPG=135°,回NEFG=135°,

EIG为AB的中点，当/为的中点时，

^\GF//AD,FB=DB,则Cb_LD8,0FG=FB,CF=y/3FB,

0CE=V3BF0CF=CE,0Z£>CF=30°

1QAO_30。

团ZDFE=ZCFD-ZCFE=90°---------------=15°

2

又GF〃5，ZADB=60°^\ZGFD=120°,回NGFE=135。，

团当月是3。的中点时，Q,P,尸三点共线，过点尸作方”LCD于点X,

^HF=—DF=y/3,EC=FC=—BC=2y/3,HC=—FC=^EH=EC-HC=2-^3-3,

222

在RtAEFH中，EF=^EH2+HF2=«26-3了+使了=,24-12百=30-指，

B1FG=^AD=2,0Fe=£F+V2FG=3V2-A/6+2^=572-76,

即EF+及FG的最小值为5^2-76.

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，旋转

的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

12.（2023•山东济宁•校考模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线AC,相交于点O,ACC©关于CO的对

称图形为ACED.（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE,若AB=6cm,BCfcm.

①求sin/EW的值；②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接0尸，一动点。从点。出发，以

Icm/s的速度沿