初中数学《垂线段最短》题型及答案

垂线段最短

模型展现

类型垂线段最短两条线段和的最小值问题

A

图示

B'BB"10N'、、lp,B

直线1外一定点A和直线1上一动点P是NA0B内部一点，点M,N分别是

特点

点BOA,0B上的动点

作点P关于0B的对称点P',过点P'作

过点A作AB，1于点B,此时

结论0A的垂线，分别与0B,0A交于点N,M,此

AB的值最小

时PN+MN的值最小

•怎么用

1.找模型

遇到“一定点两动点”求线段和（其中一条线段为两动点的连线）最值问题，考虑垂线段最短模型

2.用模型

通过对称的性质，三角形的三边关系及垂线段最短确定最值点位置

满分技法:求线段和最值实质上是将线段和转化到一条直线上，结合垂线段最短解决问题

结论：作点P关于0B的对称点P',过点P'作0A的垂线，分别与OB,0A交于点N.M,此时

PN+MN的值最小

证明：如图，若M',N'为OA,0B上任意一点，连接N'P',M'P',

则PN=PN

/.PN'+M'N'=^'N'+M'N'>P'M'^P'M,

.,.当P'M，0A时,PN+MN的值最小.

思考延伸:经典的“胡不归”就是垂线段最短问题

模型典例

1.如图，在RtAABC中，ZC=9（J,AD是NBAC的平分线，点E是AB上任意一点若AD=5,AC=4,

则DE的最小值为（）

C

A.3B.4C.5D.6

2.模型构造如图，在4ABC中，AB=4,ZBAC=45,ZBAC的平分线交BC于点D,

E,F分别是AD,AB上的动点，贝IJBE+EF的最小值是.

例2题图

_____________________针对训练________________________

1.如图，在Rb^ABC中,NC=90,AC=6,BC=2,点P是AB边上的一点（异于A,B两点），过点P

分别作AC,BC边的垂线，垂足分别为M,N,演MN，则MN的最小值是.

2.如图，在RtAABC中,NACB=90°,ZB=30,AC=2,点D是BC边上一个动点连接AD,过点D

作DE±AD交AB于点E,则线段AE的最小值为.

第2题图

3.如图，正方形ABCD的边长为10,E为DA延长线上一动点，连接BE,以BE为边作等边aBEF,连

接AF,则AF的最小值为

第3题解图

4.模型迁移如图，在平面直角坐标系中，0A=3,0B=4,点P的坐标为（4,0）,点M,N分别在线段

AB,y轴上,求PN+MN的最小值.

第4题图

5.，拔高如图，某小区有一块圆形的空地。0,在。。上点A,B,C,D处安装四个景观灯.已经修好一

条长为20米的经过圆心0的直路BD,根据设计需要在边AD,CD之间再修一条小路EF,使得点

E,F分别在边CD,AD上，为了美观使得CE=DF,B是标的中点，经测量AB=12米并以A,B,

C,E,F为顶点整修一块周长最小的五边形绿化地.试问，是否存在符合要求的周长最小的五边形

ABCEF?若存在，请求出五边形AB-CEF周长的最小值；若不存在，请说明理由.

第5题图

________________________课后练习_________________________

1.（2021•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点0,AC=6，3,BD=60>^^是

AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为（）

EL

C.3D.6JL

2.如图，在矩形ABCD中，AC=8,NBAC=30，点P是对角线AC上一动点，连接BP.

⑴线段BP的最小值为；

⑵若以AP,BP为邻边作nAPBQ,©PQ,则线段PQ的最小值为

AD

BC

备用图

3.如图，在4ABC中，AC=BC=6,SAABC=12,点D为AB中点，点M,N分别是CD和BC上的动点

则BM+MN的最小值是

4.如图，在RtZkABC中，ZC=9(J,ZB=30,BC=6,AD平分NCAB交BC于点D,点E为边AB上

一点，则线段DE长度的最小值为.

C

【答案】解：在RSABC中,

;.AC=?*6=2用

VZC=9(J,ZB=30，

AZCAB=60,

VAD平分ZCAB,

AZCAD=yX6(J=30.

在RtAACD中,

CD

tanZCAD=—,

AC

ACD=4X2V3=2.

o

VAD平分NCAB,且DC±AC,

...点D到AB边的距离等于线段CD的长,

即线段DE长度的最小值为2.

5.（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是对角线BD上一点，EF，BC于点F,EG±

CD于点G,©FG,贝UEF+FG的最小值为

6.如图，在RtAABC中，ZACB=90,AC=6,BC=8,AD是NBAC的平分线，若P,Q分另U是AD

和AC上的动点，求PC+PQ的最小值.

【思路引领】过点C作CM，AB交AB于点M，交AD于点P,过点P作PQ，AC于点Q,由AD是

ZBAC的平分线.得出PQ=PM,选寸PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB,

再运用SAAB（?}AB・CM=JAJBC,得出CM的值，即PC+PQ的最小值.

Q

7.（2023•江门三模）如图，4ABC中，ZACB=90,AB+BC=8,tanA=~，点0、D分别是边AB、

AC上的动点，则0C+0D的最小值为（）

A2426「96

A。TBR-瓦D-1

【思路引领】如图，作C关于AB的对称点C',混CC'，交AB于E,过C'作C'D，AC于D,交AB

于0,则0C=C'0,小出寸0C+0D的值最小，就是C'D的长，根据相似三角形对应边的比可得结论.

8.（2021春•龙岗区月考）如图，点P是NA0C的角平分线上一点，PD±0A,垂足为点D,且PD=5,

点M是射线0C上一动点，则PM的最小值为

【思路引领】根据垂线段最短可知当PM±0C时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答

案.

9.（2024春•北京期中）如图，菱形ABCD的周长为24,/ABD=3。，点P是对角线BD上一动点，Q是

BC的中点，则PC+PQ的最小值是（）

C.3^/5D.6V3

【思路引领】点Q和点C是定点，点P在直线BD上一动点，是轴对称最值问题，连接CQ,由菱形的对

称性可知，点A和点C关于BD对称，连接AQ,AQ即为所求.

10.（2021春•金寨县期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME±BC

于点E,MFJ,CD于点F,解EF,则EF的最小值为（）

A.1B.

【思路引领】连接MC,证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF=MC,当MC，BD时，MC

取得最小值，此时aBCM是等腰直角三角形，得出MC即可得出结果.

11.在锐角AABC中，BC=4,ZABC=30,BD平分NABC，点M、N分另U是BD、BC上的动点，连接

MN、CM，则CM+MN的最小值是多少？

【思路引领】过点C作CE_LAB于点E,交BD于点M',过点M'作M'N'±BC,则CE即为CM+

MN的最小值，再根据BC=4,NABC=30,由锐角三角函数的定义即可求出CE的长.

12.如图，在4ABC中，AC=BC=6,SAABC=12,点D为AB中点，点M,N分别是CD和BC上的动点

则BM+MN的最小值是.

【解答】解：如图所示:

YAP于点P,

AP是点A到直线1的最短距离.

13.如图，在菱形ABCD中，AC=6,BD=8,对角线AC与BD交于点0,点E是AB的中点，点M,N分

别在AC,BC上，则EM+MN的最小值为.

14.如图，已知二次函数y=-1x2+1_x+2的图象与x轴交于A,B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交

于点C,M为直线BC上一动点，N为x轴上一动点，连接AM,MN,求AM+MN的最小值.

7

15.如图，等边4ABC中，AB=6,点P是BC边上一点，则AP的最小值是

解析提示:

16.如图，在锐角三角形ABC中，BC=,ZABC=45,BD平分NABC,M、N分别是BD、BC上的

动点，则CM+MN的最小值是

解析提示:

17.如图，AABC中，ZACB90,AC=3,BC=4,AB连接PC,则线段

PC的最小值是

18.如图，点A的坐标为(-1,0),点B(a,a),当线段AB最短时，点B的坐标为，

19.如图，菱形ABCD的边长为9,面积为18/3,P、E分别为线段BD、BC上的动点，则PE+PC的最小

值为

20.如图，等边AABC的边长为4,AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上点，若AE=

1,EM+CM的最小值为o

21.如图，AABC中，AB=AC=13,BC=10,AD是BC边上的中线且AD=12,F是AD上的动点，E

是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为，

22.如图，正方形ABCD的边长是2,ZDAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动

点，则DQ+PQ的最小值为

23.如图，在AABC中，NB=9。，AB12,BC5,D为边AC上一动点，DE_LAB于点E,DFJ_BC

于点F,则EF的最小值为（）

A

A.4.8B.卷C.患D.13

24.如图，在AABC中，NA=90,NB=6。，AB=2,若D是BC边上的动点，贝U2AD+DC的最小值

A.2/T+6B.6C.JT+3D.4

25.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,AABC的面积为10,BD平分NABC，若M、N分别是BD、

BC上的动点，则CM+MN的最小值为（）

A.4B.5C.4.5D.6

26.如图，AABC中，ZBAC=75,ZACB=60°,AC=4,贝！JZXABC的面积为；点D,点E,点F

分另IJ为BC,AB,AC上的动点，连接DE,EF,FD,贝IjZXDEF的周长最小值为.

备用图

A

垂线段最短

模型展现

类型垂线段最短两条线段和的最小值问题

A

图示

B'BB"10N'、、lp,B

直线1外一定点A和直线1上一动点P是NA0B内部一点，点M,N分别是

特点

点BOA,0B上的动点

作点P关于0B的对称点P',过点P'作

过点A作AB，1于点B,此时

结论0A的垂线，分别与0B,0A交于点N,M,此

AB的值最小

时PN+MN的值最小

•怎么用

1.找模型

遇到“一定点两动点”求线段和（其中一条线段为两动点的连线）最值问题，考虑垂线段最短模型

2.用模型

通过对称的性质，三角形的三边关系及垂线段最短确定最值点位置

满分技法:求线段和最值实质上是将线段和转化到一条直线上，结合垂线段最短解决问题

结论：作点P关于0B的对称点P',过点P'作0A的垂线，分别与OB,0A交于点N.M,此时

PN+MN的值最小

证明：如图，若M',N'为OA,0B上任意一点，连接N'P',M'P',

则PN=PN

/.PN'+M'N'=^'N'+M'N'>P'M'^P'M,

.,.当P'M，0A时,PN+MN的值最小.

思考延伸:经典的“胡不归”就是垂线段最短问题

模型典例

1.如图，在RtAABC中，ZC=9（J,AD是NBAC的平分线，点E是AB上任意一点若AD=5,AC=4,

则DE的最小值为（）

C

例1题图

A.3B.4C.5D.6

思路点拨:遇到角平分线和垂直，想到角平分线上的点到角的两边的距离相等.

A【解析】在RtAACD中，VAD=5,AC=4,CD=yAD-AC^=752-42=3,当DE_LAB时，DE

的值最小（垂线段最短），：AD是NBAC的平分线,NC=9。，；.CD=DE（角平分线性质），DE的最小

值为3.

2.模型构造如图，在4ABC中，AB=4,ZBAC=45,ZBAC的平分线交BC于点D,

E,F分别是AD,AB上的动点则BE+EF的最小值是.

例2题图

思路点拨：求线段和最小值，一定点两动点，先转化在一条线段，再利用垂线段

最短求解即可。

_____________________针对训练________________________

1.如图，在RtZSABC中,NC=90,AC=6,BC=2,点P是AB边上的一点（异于A,B两点），过点P

分别作AC,BC边的垂线，垂足分别为M,N,雌MN,则MN的最小值是.

第1题图

【解析】如解图,连接PC.在4ABC中，

,/ZACB=90,AC=6.BC=2,

/.AB=，AC2+BC2=付”2=2/ID.

VPMAC,PN±BC,C

：.ZPMC=ZPNC=ZACB=90,

四边形PMCN是矩形（三个角是直角的四边形是矩形），产二

MN=PC（矩形的对角线相等），第1题解图

当PC_LAB时,PC的值最小（垂线段最短），此寸PC=A:-C=_6X2_=WW

AB2VW5

（直角三角形等面积转化），

MN的最小值为邛£.

5

2.如图，在RtAABC中,NACB=90°,ZB=30,AC=2,点D是BC边上一个动点连接AD,过点D

作DE，AD交AB于点E,则线段AE的最小值为

第2题图

【答案吟

O

【解析】如解图，取AE的中点F,连妾FD,过点F作FG，BC于点G.设AE=X,贝IAF=DF=

l-AE=.1-,,/AC=2,ZB=30,ZACB=90,AB=4,BF=AB-AF=4--1-,GF=-1BF=2-

竟GFWDF,2-.W*,解得x2)线段AE的最小值为-8_

y

第2题解困

3.如图，正方形ABCD的边长为10,E为DA延长线上一动点，连接BE,以BE为边作等边ABEF,连

接AF,则AF的最小值为.

第3题解图

【答案】5

【解析】如解图，以点B为旋转中心，将4ABF逆时针方向旋转60,得到AGBE,连接AG,.,.NABG=

60,AB=BG,AF=GE（旋转性质），.•.△ABG是等边三角形，且点G与直线AD的位置保持不变，当EG

±DA时,GE的长最短（垂线段最短），：AB=AG=10,.•.最短长度为GE=：AG=5,故AF的最

小值为5.

4.模型迁移如图，在平面直角坐标系中，OA=3,OB=4,点P的坐标为（4,0）,点M,N分别在线段

AB,y轴上,求PN+MN的最小值.

第4题图

【答案】解：；OA=3,OB=4,

/.AB=5,

如解图，过点P作PM'±AB于点M',交y轴于点N'.

:PN+MN2PN+NM,，即PN+MN2PM',根据垂线段最短可知，PN+MN的最小值为线段PM'

的长，

VZBAO=ZPAM'.ZAOB=ZAM'P=90,

.".△ABOsAAPM',

...空=比相似三角形的判定与性质），

APMP

,2二4

PM'

/.PM二等，

5第4题解图

APN+MN的最小值为2

5.1/拔高如图，某小区有一块圆形的空地。0,在。0上点A,B,C,D处安装四个景观灯.已经修好一

条长为20米的经过圆心0的直路BD,根据设计需要在边AD,CD之间再修一条小路EF,使得点

E,F分别在边CD,AD上，为了美观使得CE=DF,B是标的中点，经测量AB=12米并以A,B,

C,E,F为顶点整修一块周长最小的五边形绿化地.试问，是否存在符合要求的周长最小的五边形

ABCEF?若存在，请求出五边形AB-CEF周长的最小值；若不存在，请说明理由.

A

第5题图

【答案】解:存在，

如解图，：B是AC的中点，且BD是。0的直径，BC=AB=12米/BAD=ZBCD=90,ZADB

=NCDB（圆周角定理），由勾股定理得,AD=CD=16米，

CE=DF,AAF+CE=16米，

；.L五边形ABCEF=AB+BC+CE+EF+AF=12+12+16+EF=40+EF,

/.当EF取最小值时,L'五边形ABCEF就有最小值.

延长CD至点G,使DG=CE,连接GF并延长，过E作EH_LGF于点H.

VCE=DF,DG=CE,

DF=DG,

AZGFD=ZDGF,

X".'ZADB=ZCDB,ZADC=ZGFD+ZDGF,

.'.ZCDB=ZEGH,

又：CE=DF,

AEG=CD=16米.

在RtABDC中，sinZCDB=鬟-二

BD5

.•.在RtZXEGH中，sinZEGH=吸=g,

EG5

・・・EFmin二冬二9.6米

5

・\L有用形ABCEFmin=40+EF=49.6米，

・・・存在符合要求的周长最小的五边形ABCEF,它的周长最小值为49.6米

课后练习

1.（2021•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点0,AC=66,BD=6,点P是

AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为（）

A.30B.6V3C.3D.6V2

【答案】A

【解答】解：如图，连接DE,

在4DPE中，DP+PE>DE,

当点P在DE上时，PD+PE的最小值为DE的长，

•.•四边形ABCD是菱形，

/.AO=CO=3察,BO=DO=3,AC±BD,AB=AD,

AtanZABO=普A0-=0,

D0

.,.ZABO=60,

•••△ABD是等边三角形，

・・,点E是AB的中点，

.\DE_LAB,

VsinZABD二D舞F

BD

ADE=3V3-,

故选：A.

2.如图，在矩形ABCD中,AC=8,NBAC=30，点P是对角线AC上一动点，连接BP.

⑴线段BP的最小值为;

⑵若以AP,BP为邻边作uAPBQ,雌PQ,则线段PQ的最小值为

ADAD

BCBC

备用图

【答案】⑴当BP_LAC时，BP取最小值,

VAC=8,ZBAC=30,

AB-AC*cos30=40,

ABP最小=AB・sin30=2至；

故答案为：2/3；

⑵根据题意，作图如下：

'・•四边形APBQ是平行四边形,

VAO=：AB=2'PQ=20P,

要求PQ的最小值，即求OP的最小值，当OPLAC时，OP取最小值,

OP=A0•sin30;平,

APQ的最小值为2

3.如图，在4ABC中，AC=BC=6,SAABC=12,点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点

则BM+MN的最小值是，

【答案】解：如图，VCA=CB,D是AB的中点,

.1.CD是NACB的平分线，

...点N关于CD的对称N'在AC上，

过点B作BH±AC于点H.

VAC=6,SAABC=12,

X6-BH二12,

解得BH=4,

+MN=BM+MN2BH=4,

ABM+MN的最小值为4.

故答案为:4.

方法二：：CA二CB,D是AB的中点,

；.CD是AB的垂直平分线，

BM=AM，

BM+MN=AM+MN,

当AN_LBC时最小，

ABM+MN的最小值为4.

4.如图，在Rt^ABC中，NC=9。，NB=30,BC=6,AD平分NCAB交BC于点D,点E为边AB上

一点，线段DE长度的最小值为.

【答案】解：在RtZkABC中,

t+anBp=―AC―,

DC

AAC=纭义6=2".

o

7

VZC=90，/B=30,

AZCAB=60,

VAD平分ZCAB,

AZCAD=：X60=30.

在RtAACD中，

cn

tanZCAD二

AC

ACD=4X2VJ=2.

VAD平分NCAB,且DC±AC,

.♦.点D到AB边的距离等于线段CD的长,

即线段DE长度的最小值为2.

5.（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是对角线BD上一点，EF，BC于点F,

CD于点G,连妾FG,贝IEF+FG的最小值为.

【答案】解：如图，在AD上取一点P,使得PDPB,腌BP,PC,EC,过点C作CJ,BP于点J,

作EK±BP于点K.

•.•四边形ABCD是矩形，

；.AD=BC=6,AD〃BC,NA=90,

PD二PB=x,则x2—\。一X/2T,

_13

・I-'

VSAPB?；・PB・CJ=-1x6X4,

・.©=鲁79

•・・AD〃CB,

AZADB=ZDBC,

VPD=PB,

AZPDB=ZPBD,

AZPBD=ZPBC,

VEK_LBC,EK_LBP,

AEF=EK,

VEG±CD,

AZEFC=ZFCG=ZCGF=90,

；・四边形EFCG是矩形，

AFG=EC,

8

AEF+FG=EK+CE2CJ二皆，

・・・EF+FG的最小值为伴.

JLO

6.如图，在RtAABC中，ZACB=90,AC=6,BC=8,AD是NBAC的平分线，若P,Q分别是AD

和AC上的动点，求PC+PQ的最小值.

【思路引领】过点C作CM，AB交AB于点M，交AD于点P,过点P作PQ，AC于点Q,由AD是

NBAC的平分线.得出PQ=PM,迹JPC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB,

再运用SAAB（?yAB•CM=9AC・BC,得出CM的值，即PC+PQ的最小值.

【解答】解：如图，过点C作CM±AB交AB于点M，交AD于点P,过点P作PQ±AC于点Q,

：AD是NBAC的平分线.

；.PQ=PM，选寸PC+PQ有最小值，即CM的长度，

VAC=6,BC=8,ZACB=9（J,

AAB=VAC2+BC2=J62+82=10.

VSAABP-j-AB•CM=-i-AC•BC,

；.CM=12^=3=24,

AB105

即PC+PQ的最小值为学.

5

【总结提升】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置.

7.（2023•江门三模）如图，4ABC中，ZACB=90,AB+BC=8,tanA=~，点0、D分别是边AB、

AC上的动点，则0C+0D的最小值为（）

s

「9696

D.

,125南

【思路引领】如图，作C关于AB的对称点C',膝CC',交AB于E,过C'作C'D，AC于D,交AB

于。，则0C二C'0,止用寸0C+0D的值最小，就是C'D的长，根据相似三角形对应边的比可得结论.

【解答】解：作C关于AB的对称点C',搬CC',交AB于E,过C'作C'D，AC于D,交AB于0,则0C

=C'0,此时0C+0D的值最小，就是C'D的长;

,△ABC中，NACB=90,tanA二:，

,+ABC3

..tanA=—,

AC4

・BC3

**IT~S，

VAB+BC=8,

ABC=3,AB=5,AC=4,

VSAABEyBC-AC=yAB•CE,

.\3X4=5CE,

.「口12

5

,24

ACC=2CE=4，

5

VZC5E0=ZODA=9(J,NC'OE'NAOD,

「•NA’'NC,

VZCDC，=ZACB=9(J,

:•△CDC'^AACB,

24

ff

.cD=CC即C，D二号

~5~

・「，n_96

,*CD-%'

即OC+OD的最小值为是||；

故选：D.

【总结提升】本题考查轴对称-最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知

识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题.

8.（2021春•龙岗区月考）如图，点P是NA0C的角平分线上一点，PD±0A,垂足为点D,且PD=5,

点M是射线0C上一动点，则PM的最小值为5.

10

D.

【思路引领】根据垂线段最短可知当PM±0C时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答

案.

【解答】解：根据垂线段最短可知：当PMJ.OC时，PM最小，

当PM_L0C时，

XV0P平分/AOC,PD±OA,PD=3,

PM=PD=5,

故PM的最小值为5,

故答案为：5.

【总结提升】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解

题的关键.

9.（2024春•北京期中）如图，菱形ABCD的周长为24,/ABD=30，点P是对角线BD上一动点，Q是

BC的中点，则PC+PQ的最小值是（）

B.3VB■C.3百D.6^/3

【思路引领】点Q和点C是定点，点P在直线BD上一动点，是轴对称最值问题，连接CQ,由菱形的对

称性可知，点A和点C关于BD对称，连接AQ,AQ即为所求.

【解答】解：如图，由菱形的对称轴可知，点A和点C关于BD对称，连接AQ,AQ即为所求.

连接AC,

VZABD=30,ABCD是菱形,

/.ZABC=60,AB二BC,

.,.△ABC是等边三角形，

:点Q为BC的中点，

AQ±BC,

・・,菱形ABCD的周长为24,

・•・AB=BC=6,

在RtAABQ中，ZABC=6（J,

AZBAQ=30,

BQ=3AB=yX6=3,

/.AQ=vS^BQ=3察.

故选：B.

【总结提升】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此

题的关键.

10.（2021春•金寨县期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME±BC

于点E,MFLCD于点F,般EF,则EF的最小值为（）

A.1B.2V2C.V3D.V2

【思路引领】连接MC,证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF=MC,当MC，BD时，MC

取得最小值，此时aBCM是等腰直角三角形，得出MC即可得出结果.

【解答】解：连接MC,如图所示：

:四边形ABCD是正方形，

：.ZC=90,ZDBC=45,

：ME_LBC于E,MF_LCD于F

四边形MECF为矩形，

；.EF=MC,

当MCLBD时，MC取得最小值，

此时ABCM是等腰直角三角形，

MC=.BC=*,

，EF的最小值为，Z；

故选：D.

月I-------7f

A/ZL

B

E

【总结提升】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问

题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键.

11.在锐角AABC中，BC=4,ZABC=30,BD平分/ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，连接

MN、CM,贝！JCM+MN的最小值是多少？

【思路引领】过点C作CE，AB于点E,交BD于点M',过点M'作M'N'±BC,则CE即为CM+

MN的最小值，再根据BC=4,ZABC=30,由锐角三角函数的定义即可求出CE的长.

【解答】解:过点C作CE±AB于点E,交BD于点过点作N±BC,

VBD平分NABC,

E=N',

WN+CM'=EM+CM,=CE,

则CE即为CM+MN的最小值，

VBC=4,ZABC=30,

/.CE=BC•sin30=4X；=2.

ACM+MN的最小值是2.

【总结提升】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三

角函数的定义求解是解答此题的关键.

12.如图，在4ABC中，AC=BC=6,SAABC=12,点D为AB中点，点M,N分别是CD和BC上的动点

则BM+MN的最小值是.

【解答】解：如图所示:

13

b

TAP于点P,

/.AP是点A到直线1的最短距离.

13.如图，在菱形ABCD中，AC=6,BD=8,对角线AC与BD交于点0,点E是AB的中点，点M,N分

别在AC,BC上，则EM+MN的最小值为.

【答案】⑴2/3⑵

14.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是对角线BD上一点，EFXBC于点F,EG，CD于

点G,蟠FG,则EF+FG的最小值为.

【答案】m

5

14如图，已知二次函数y=-;x2+1_x+2的图象与x轴交于A,B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交

于点C,M为直线BC上一动点，N为x轴上一动点，连接AM,MN,求AM+MN的最小值.

【答案】V3

15.如图，等边4ABC中，AB=6,点P是BC边上一点，则AP的最小值是，

解析提示:

【解答】解：过A点作AH，BC于H,如图,

:△ABC为等边三角形，，BH=CH=}BC=3,

/.AH=V62-32:3察,

当P点与H点重合时，AP的值最小，AP的最小值是歹3.

16.如图，在锐角三角形ABC中，BC=。，ZABC=45,BD平分NABC,M、N分别是BD、BC上的

动点，则CM+MN的最小值是o

【解答】解：过点C作CE，AB于点E,交BD于点M,,过点M，作M'N」BC于N一则CE即为CM+

MN的最小值，

VBC=4肉/ABC=45°,BD平分/ABC,

.,.△BCE是等腰直角三角形，

；.CE=BC・cos45=4A/2-X^=4.

故CM+MN的最小值为4.

17.如图，AABC中,ZACB=9。，AC=3,BC=4,AB=5,P为直线AB上一动点，连接PC,则线段

PC的最小值是。

【角培】解：在RtAABC中，ZACB=90,AC=3,BC=4,AB=5,

•当PCLAB时，PC的值最小，

此时：Z\ABC的面积=4・AB・PC=4・AC・BC,

；.5PC=3X4,

.1.PC=2.4,

18.如图，点A的坐标为(-1,0),(a,a),当线段AB最短时，点B的坐标为

y

B

AO

【解答】解：过点A作AD，OB于点D,过点D作0E，x轴于点E,

•••垂线段最短，

当点B与点D重合时线段AB最短.

:直线0B的解析式为y=x,

•••△AOD是等腰直角三角形，

/.0E=1-0A=1,

19.如图，菱形ABCD的边长为9,面积为18/3,P、E分别为线段BD、BC上的动点，则+PC的最小

值为

【解答】解：如图，连接AP,过点A作AHLBC于H.

:四边形ABCD是菱形，；.A,C关于BD对称,

APA=PC,APE+PC=AP+PE,

VAP+PEAH,APE+PC2AH,

^・•S菱形ABCD=BC-AH,

AAH=二29，

9

z

APE+PC22vS',

APE+PC的最小值为20,故答案为：2/3.

20.如图，等边4ABC的边长为4,AD是BC边上的中线，M是AD上的动点,E是AC边上点，若AE=

1,EM+CM的最小值为0

【解答】解：幽BE,与AD交于点M.则BE就是EM+CM的最小值,

过B作BN_LAC于N,

「△ABC是等边三角形，

.•.AN=JAC,

:等边4ABC的边长为4,

.1.AC=4,VAE=1,

ANE=1,BN=察AB=2v

ABE=VBN2+NE2=J2G2+12=G,

AEM+CM的最小值为g,

故答案为：g.

21.如图，AABC中，AB=AC=13,BC=10,AD是BC边上的中线且AD=12,F是AD上的动点，E

是AC边上的动点，贝UCF+EF的最小值为o

A

【解答】解：作E关于AD的对称点M,连妾CM交AD于F,雌EF,过C作CN，AB于N,

VAB=AC=13,BC=10,AD是BC边上的中线，

ABD=DC=5,AD±BC,AD平分ZBAC,

M在AB上，

在RtAABD中，AD=12,

.".SAAB?-XBCXAD=yXABXCN,

.CN=B