2025年高考数学复习之解答题：一、二次函数及方程、不等式（10题）

2025年高考数学复习之小题狂练600题(解答题)：一、二次函数及方程、

不等式(10题)

一.解答题(共10小题)

1.(2024•莲湖区校级三模)已知p：|2x-5|W3,q：W-(2a-2)x+a2-2a^0.

(1)若p是真命题，求对应x的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围.

2.(2024•东兴区校级模拟)已知2?+y2-2xy-2尤-1=0.

(1)若y>尤>1,求y的最大值，并求出此时x的值；

(2)若x>l且x>y,求2x-y的最大值.

3.(2024•北京模拟)已知关于x的不等式办2+5x-2a+l<0的解集是

(1)若-3CM,求实数a的取值范围；

7

(2)若〃=VrVm+引，求实数a,m的值.

4.(2023•南阳模拟)已知函数/Ge)=£+2ax+2.

(1)当a=l时，求函数/(无)在［-2,3］上的值域；

(2)当a=-1时，求函数/(x)在上，什1］上的最大值.

5.(2023•南阳模拟)已知集合A是函数y=/g(20-8x-/)的定义域，集合B是不等式/-2x+l-

0(a>0)的解集，p：xEA,<7：xEB.

(1)若ACB=0,求实数。的取值范围；

(2)若「°是q的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

6.(2023•和平区校级一模)在①/'(4)=-1,/(3)=2,②当x=2时，/(尤)取得最大值3,@f(x+2)

=/(2-x),/(0)=-1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.

问题：已知函数/(无)=--2ax+b,且.

(1)求/(x)的解析式；

(2)若/(无)在［m,(»i<n)上的值域为3n-2］,求m+〃的值.

7.(2022•宝山区校级二模)“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和

挑战性极强.如图：一个运动员从起滑门点A出发，沿着助滑道曲线f(x)=—V>一久2(一。三久w0)滑

到台端点2起跳，然后在空中沿抛物线g(无)=ax2-20ax-b(x>0)飞行一段时间后在点C着陆，

线段BC的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩.已知g(尤)=以2-20办-6在区间［0,30］上

的最大值为-30,最小值为-70.

(1)求实数a,b的值及助滑道曲线AB的长度.

(2)若运动员某次比赛中着陆点C与起滑门点A的高度差为120米，求他的飞行距离(精确到米).

A(起滑门)

8.(2022•青浦区二模)设函数/(无)—j?+px+q(p,qeR),定义集合〃尸{x,(/(尤))=x,xGR),集合

Ef={x[f(/(x))=0,x£R}.

(1)若p=q=0,写出相应的集合。和助

(2)若集合2={0},求出所有满足条件的),q；

(3)若集合身只含有一个元素，求证：p20,q20.

9.(2024•北京自主招生)求R上方程13印+11=0的解的个数.

10.(2023秋•邢台期末)已知关于尤的不等式质?+&-i＜o.

(1)若不等式的解集为{x|-2＜尤＜1},求实数上的值；

(2)若不等式的解集为R,求实数上的取值范围.

2025年高考数学复习之小题狂练600题(解答题)：一、二次函数及方程、

不等式(10题)

参考答案与试题解析

一.解答题(共10小题)

1.(2024•莲湖区校级三模)已知p：|2x-5|W3,q：x2-(2a-2)x+a2-2a^0.

(1)若p是真命题，求对应x的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围.

【考点】一元二次不等式及其应用；充分条件与必要条件.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】(1)[1,4]；

(2)[3,4].

【分析】(1)解绝对值不等式即可得出答案；

(2)由p是q的必要不充分条件，可得解不等式即可得出答案.

【解答】解：(1),:p：|2工-5斥3是真命题，二|右-5向3,

-3W2x-5W3,解得lWx<4,

的取值范围是口，4].

(2)由(1)矢口：p：q：X2,-(2a-2)x+a?-2〃W0即〃-

因为p是q的必要不充分条件，

所以｛?>

解得：3WaW4,

综上所述，a的取值范围是[3,4].

【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查必要不充分条件、含绝对值不等式的性质等基础知识,

考查运算求解能力，是基础题.

2.(2024•东兴区校级模拟)已知2_?+y2-2xy-2x-1=0.

(1)若y>尤>1,求y的最大值，并求出此时x的值；

(2)若无>1且x>y,求2x-y的最大值.

【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；运用基本不等式求最值；二次函数的应用.

【专题】转化思想；综合法；不等式；逻辑推理；数学运算.

【答案】(1)y的最大值为3,此时x=2；

(2)3.

X

22

【分析】(1)设一el(O,1),则工=6，代入2?+丫2-2到-2;(:-1=0中，得2y2斤-(2y+2y)k+v-1

y-'

=0,设/'")=2舟-(2/+2y)k+y2-1,根据一元二次方程根的分布得到不等式，求出l<yW3,

进而可得答案；

(2)设2x-y=f,由于x>l,x>y,故r=x+(尤-y)>1,将2x-f=y代入等式中得2/-(2r+2)x+P

-1=0,根据根的判别式得到1</W3,验证当t=3时满足要求，从而得到最大值.

%

【解答】解：⑴设一et(0,1),则x=h，

y

代入2/+9-2xy-2x-]=0,得(2^+1)y2-2ky2-2ky-1=0,即2y2lc-C2y2+2y)k+y2-1=0,

令/(%)=2/话-(2/+2y)k+y2-1,开口向上，则/(O)=f-l>0,

要想了。)=2寸诺-(2/+2y)k+y2-1=0(0,1)上有解,

则，⑴V。或帽)°20

由/(I)=y2-2y-1<0,解得l<yVl+鱼,

-21>0f(2y2+2y)2-8y2(y2-l)>0

/(I)>0)即卜2_2y_i?o，解得1+鱼Wy<3,

综上，1<户3,故y的最大值为3,止匕时/-4x+4=0,解得x=2.

(2)设2x-y=f,由于x>l且x>y,故/=尤+(x-y)>1,

将2x-t=y代入2/+12-2xy-2尤-1=0中，得2^+(2x-/)2-2x(2x-f)-lx-1=0,

即2?-(2z+2)x+r-1=0,A=(2f+2)2-8(r-1)=-4户+8f+12,

要想方程在xe(1,+8)上有解，则△》(),

解得-「IW/W3,

又t>l,故1CW3,

当t=3时，2/-(2/+2)x+t2-1=0,即2/-8x+8=0,

解得x=2,此时y=l,符合要求，

故2x-y的最大值为3.

【点评】本题考查一元二次方程根的分布与二次函数图象的关系，考查转化思想，属于中档题.

3.(2024•北京模拟)己知关于x的不等式o?+5尤-2a+l<0的解集是

(1)若-3CM,求实数。的取值范围；

7

(2)若“=〈加+眇求实数〃，机的值.

【考点】由一元二次不等式的解求参数.

【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】(1)［a］a<2｝；

(2)。=2,相=-3.

【分析】(1)由题意得，9a-15-2d:+l<0,求出。的取值范围即可;

(2)由题意可知，方程办2°+1=0的两个根为xi=〃z,X2=m+^,且。>0,再结合韦达定理求

解.

【解答】解：(1)由题意得，9a-15-2a+l<0,

解得a<2,

故a的范围为｛a|aV2｝；

(2)由题意可知，方程⑪2〃+1=0的两个根为血=根，12=根+夕且〃>0,

(15

+%2=--

由韦达定理可得，_2/1，

［力％2=

所以(XI-X2)2=(X1+X2)2-4x1X2=(―-)2-4x=(-)2,

aa2

解得〃=2或—段(舍去)，

75

所以m+m+=—2>

解得771=-3.

【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了韦达定理的应用，属于基础题.

4.(2023•南阳模拟)已知函数/(x)=x1+2ax+2.

(1)当a=l时，求函数/(无)在［-2,引上的值域；

(2)当。=-1时，求函数/(x)在［f,什1］上的最大值.

【考点】二次函数的值域；二次函数的最值.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算.

(t—I)?+1,t<5

【答案】(1)值域是［1,17］；(2)/(%),“办=14

了2+1,t>-

【分析】(1)函数在［-2,-1)上单调递减，在(-1,3］上单调递增，可得函数了(%)在区间［-2,3)

上的值域；

(2)当a=-1时，/(x)=/-2x+2=(x-1)2+1,分类讨论，即可求函数/(无)在区间［3什1］上

的最大值.

【解答】解：(1)当。=1时，f(x)=/+2尤+2=(x+1)2+1,其图象对称轴为直线x=-1；

所以函数/(x)在［-2,-1)上单调递减，在(-1,3］上单调递增，

•»X=~1ff(X)mm=f(11)=1,X=3,f(X)max=f(3)=17,

・•・函数/(x)在区间［-2,3)上的值域是［L17］；

(2)当a=-1时，/(x)=J？-2x+2=(x-1)2+1,

当函数/(X)在区间上，上的最大值/⑺=(/-1)2+1；

当自主函数/(x)在区间上，r+1］上的最大值/G+1)=?+1；

((t-I)2+1>t

函数/(x)在区间［3f+1］上的最大值/(x)〃m=《12.

9+1,t>1

【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学

思想，属于中档题.

5.(2023•南阳模拟)已知集合A是函数y=/g(20-8x-/)的定义域，集合B是不等式x?-2x+l-

0(a>0)的解集，p：xEA,q：xEB.

(1)若ACB=0,求实数。的取值范围；

(2)若「°是q的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【考点】一元二次不等式及其应用；函数的定义域及其求法；充分条件与必要条件.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)分别求函数y=/g(20-8x-?)的定义域和不等式尤2-2x+l-J》。的解集化简

集合A,由得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到。的取值范围；

(2)求出「°对应的x的取值范围，由「°是q的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端

点值的关系列不等式组求解a的范围.

【解答】解：(1)由条件,得&={%|-10cx<2},”{小或xWl-a}

H+a>2

若AC8=0,则必须满足11一aW-1。

［a>0

所以。的取值范围为［11,+8);

(2)易得「p：尤N2或xW-10,

是q的充分不必要条件，

{x|x22或xW-10}是8={x|尤21+a或xWl-a}的真子集,

H+GI<2

则11-aN-10,.•.0<aWl,

(a>0

的取值范围为(0,1］.

【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，正确理解充要条件的定义，是解答的关键.

6.(2023•和平区校级一模)在①/'(4)=-1,/(3)=2,②当x=2时，/(尤)取得最大值3,③/'(x+2)

=/(2-x),/(0)=-1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.

问题：已知函数/(x)—-JT-2ax+b,且.

(1)求/(无)的解析式；

(2)若/(无)在［m,川(m<n)上的值域为［3%-2,3n-2］,求m+〃的值.

【考点】二次函数的性质与图象；函数解析式的求解及常用方法.

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】(1)/(无)=-JC+Ax-1；(2)m+n=\.

【分析】(1)分别选①②③，得到关于a,b的方程组，解出即可求出了(无)的解析式；

(2)根据函数的值域以及二次函数的性质求出m+n的值即可.

【解答】解：(1)若选①，

,辽—^日(/(4)——16—8a+b——1,

由题1m意可得〈

1/(3)=-9—6a+b=2,

解得a=-2,b=-1,

故/(x)=-7+4x-1；

若选②，

由题意可得［一"=2,

1/(2)=—4—4a+b=3,

解得a=-2,b=-1,

故/(x)=-d+4x-1；

若选③，

因为/(x+2)=/(2-x),

所以/(x)图象的对称轴方程为％=2,

则-〃=2,即。=-2,因为/(0)=-1,所以

故/(x)=-f+4x-1.

(2)因为/(x)=-?+4A--1在R上的值域为(-8,3］,

所以3〃-2W3,即nw|,

因为了(无)图象的对称轴方程为x=2,且几<|<2,

所以/(X)在［租,用上单调递增，

r,C=-m2+4m-1=3m—2,

则7

If(ri)=-n2+4n-1=3n—2,

整理得”2-相2+机-w=0,即(n-m)(n+m-1)=0,

因为w-mWO,所以w+机-1=0,即〃+7"=l.

【点评】本题考查了二次函数的性质，考查转化思想，是中档题.

7.(2022•宝山区校级二模)“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和

挑战性极强.如图：一个运动员从起滑门点A出发，沿着助滑道曲线f。)=—A/炉一久2(一64久三0)滑

到台端点8起跳，然后在空中沿抛物线g(x)=«x2-20ax-b(x>0)飞行一段时间后在点C着陆，

线段8c的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩.已知g(x)=依2-20以-6在区间［0,30］上

的最大值为-30,最小值为-70.

(1)求实数。，》的值及助滑道曲线A8的长度.

(2)若运动员某次比赛中着陆点C与起滑门点A的高度差为120米，求他的飞行距离(精确到米).

【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】⑴。=一亲，b=40,助滑道曲线AB的长度为20n米;

(2)89米.

【分析】(1)令>=/(无)，即可得至U，+>2=序，(-bW;cWO,-6WyW0),即可得到/(x)的几何意

义，根据二次函数的性质得到g(10)=-30,g(30)=-70,即可求出a、b的值，从而求出曲线

AB的长度；

(2)由(1)可得g(无)的解析式，依题意可得yc=-120,代入解析式中解出无，即可求出C点坐标，

根据两点间的距离公式计算可得.

【解答】解：(1)因为=Zb?-x2(-bWxW0),令y=f(x),则/+/=/,(-bWxWO,-b

WyWO),

..,_________一^1

所以/(无)=Zb?—x21—bWxW0)表示以(0,0)为圆心，半径r=6的一圆弧，

4

所以当x=10时g(x)max=g(10)=-100〃-b=-30,g(30)=300。-b=-70,

解得］a=一存，所以通=［义2兀*40=20兀，

lb=404

即a=—1，b=40,助滑道曲线AB的长度为20n米；

(2)依题意可得A(-40,0),B(0,-40),yc=-120,

1

由(1)可得g(%)=-YQx2+2%—40(%>0),

1

令g(%)--120,即—yg+2%—40=—120,

解得％1=40,X2=~20(舍去)，

所以C(40,-120),所以|BC|=J402+(—40+120)2=40A/5«89,

即该运动员飞行距离约为89米.

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，属于中档题.

8.(2022•青浦区二模)设函数/(%)=f+px+g(p,qER),定义集合。={x,(/(%))=x,xGR),集合

Ef={x\f(/(x))=0,xeR}.

(1)若p=q=3写出相应的集合。和序

(2)若集合〃/={0},求出所有满足条件的p,q；

(3)若集合场1只含有一个元素，求证：p20,

【考点】二次函数的性质与图象.

【专题】压轴题；方程思想；函数的性质及应用；逻辑推理.

【答案】(1)D/={0f1},回={0}.

(2)p=l,q=0.

(3)证明见解析.

【分析】(1)由％4=%、¥=0解得%,可得0,Ef,,

(2)由/(/(%))-x=0得x2+(p+1)x+p+q+l=0或/+(p-1)x+q=0,然后由A1=(p+1)2-4

(p+q+1),、2=(p-1)2-4乡>41,方程/(/(x))-1=0只有一个实数解0,得A2=0,Ai<0,

转化为W+(p-l)x+9=0有唯一实数解0,可得答案；

(3)由条件，/(/(x))=0有唯一解，得了(X)=0有解，分/(%)=0有唯一解期、/(%)=0有两

个解％1,XI(X1<X2),则/(X)=(X-Xl)(X-XI),且两个方程/(x)=X1,f(x)=X2总共只有一

个解，结合/(X)图像可知/(X)=及有唯一解，所以X2<0,Xl<0,结合/(X)的图像和实数解的个

数可得答案.

【解答】解：f(X)=/,/(/(%))=x4,由/=%解得冗=0或x=l,

由)=0解得了=0,所以功={0,1},Ef={0}.

(2)由/(/(x))-x=f(/(x))-f(x)+f(x)-x

=/(x)+pf(x)-x2-px+f(x)-x=(/(x)+x+p+l)(/(x)-x)

=(/+(p+1)x+p+q+1)(/+(p-l)x+q)=0,

得x2+(p+1)x+p+q+l=0或％2+(p-1)%+夕=0,

A1=(p+1)2-4(p+q+l)=(p-1)2-4^-4,

△2=(p-1)2-4q=(p-1)2-4q>△1,

而方程/(7(%))-1=0只有一个实数解0,

所以42=0,△1<0,即只需~+(p-1)x+q=0有唯一实数解0,所以p=l,q=0.

(3)由条件，/(/(%))=0有唯一解，所以/(%)=0有解，

①若/(%)=0有唯一解xo,则/(x)=(x-xo)2,且/(x)=xo有唯一解，

结合/(x)图像可知％0=0,所以/(%)=/,所以p=q=0.

②若/(%)=0有两个解XI,X2(X1<X2),则/(x)=(X-Xl)(X-X2),且两个方程/(X)=X1,f

(x)=X2总共只有一个解，结合/(X)图像可知/(x)=X2有唯一解，所以X2<0,Xl<0,

则/(x)=(X-Xl)(X-X2)f且两个方程/(x)=X\,f(x)=%2总共只有一个解，

结合了(%)图像可知/(%)=X2有唯一解，所以X2<0,XIV0,所以9=XlX2>0,且/(x)的对称轴工=—§

<0,

所以p>0,所以P>O,夕>0.

综上，p20,4》0.

【点评】本题主题考查了二次函数与二次方程之间的关系的相互转换，方程根与系数的应用，考查了系

数对新定义的理解能力及计算能力.

9.(2024•北京自主招生)求R上方程％2-13印+11=0的解的个数.

【考点】解一元二次不等式.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】4.

【分析】由/=13印-116N得X>1,由尤-1V区Wx得卜2—13(x—1)+11>0,解得X的范围，

lx2-13x+11<0

得区可能取值为1,2,10,11,12,代入计算检验即可.

【解答】解：由13印+11=0,得/=13[x]-116N,所以x>l,

因为尤-1<印4，所以卜2—13(X—1)+11>0,

lx2-13x+11<0

整理得-24<7-13xW-11,

tojzg13—)73、J3+-7313+5^5,

解得久e(1,—2—)u(—2-'―2一]'

此时国可能取值为1,2,10,11,12,

分别代入计算可得久=V2,V15,7119,V132,V145,

经检验6不符合题意，故方程的解只有4个.

【点评】本题考查一元二次不等式的性质及解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.(2023秋•邢台期末)已知关于x的不等式Ax2+依-i<o.

(1)若不等式的解集为{x|-2<x<l},求实数上的值；

(2)若不等式的解集为R,求实数左的取值范围.

【考点】一元二次不等式及其应用.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】⑴k=挈

(2)(-4,0].

【分析】(1)由题意可知-2和1是方程依2+近_1=。的两个实数根，由韦达定理求左的值;

(2)讨论上是否为0,分别求得左的范围，求并集即为％的取值范围.

【解答】解：(1)若关于x的不等式质入日-1<0的解集为{尤|-2<x<l},

则-2和1是方程hc+kx-1=0的两个实数根，且k>0,

由韦达定理可得—2x1=F，

解得k=2；

(2)若关于％的不等式辰^辰-1V0解集为R,

当人=0时，不等式化为-1<0,恒成立，满足题意，

当20时，贝1|有,

(4=必+4k<o

解得-4〈左〈0,

综上所述，实数上的取值范围为(-4,0].

【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.

考点卡片

1.充分条件与必要条件

【知识点的认识】

1、判断：当命题“若p则为真时，可表示为pnq,称p为q的充分条件，q是p的必要条件.事实上，

与“p今等价的逆否命题是台「p”.它的意义是：若q不成立，则0一定不成立.这就是说，q对

于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件.例如：p：x>2；q：x>0.显然xCp,则xCg.等价于xCg,

则xip一定成立.

2、充要条件：如果既有“pnq”，又有“q=p”,则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是0成立的

充要条件，记作“poq”.p与q互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一

不可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学

生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若pnq为真命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若p0q为假命题且q0P为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若p=q为真命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若p=q为假命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题p与命题g所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q

的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内

容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

2.运用基本不等式求最值

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或

a+bI—a+b__

等于它们的算术平均数.公式为：—^―>yab(〃20,匕20),变形为abW(―^―)之或者

【解题方法点拨】

在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式.例如，要求代数式的

最小值，可以利用均值不等式%+122从而得出最小值为2,并且在x=l时取到最小值.需要注意

的是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证.

【命题方向】

均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等.例如，求解一个代数

式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大.这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求

解，并能正确代入和计算.

已知正数4,6满足则+1+-5+1的最大值是.

解：因为正数〃，Z?满足〃+。=1,

所以〃+1+/?+1=3,

则+vm<2『+i产i=V6,

当且仅当a=b=W时取等号.

故答案为：V6.

3.二次函数的性质与图象

【知识点的认识】

二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变

量的变化而变化.它的一般表达式为：y^a^+bx+c(aWO)

【解题方法点拨】

二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有

可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物

线的焦点、准线和曲线的平移.

这里面略谈一下他的一些性质.

①开口、对称轴、最值与X轴交点个数，当。>0(<0)时，图象开口向上(向下)；对称轴x=-六；

最值为：/(一/)；判别式△=庐-4a，当△=()时，函数与x轴只有一个交点；△>◊时，与x轴有两

个交点；当时无交点.

②根与系数的关系.若△》()，且XI、尤2为方程＞=。/+灰+(?的两根，则有无1+X2=—，，X1"X2=

③二次函数其实也就是抛物线，所以/=2py的焦点为(0,|),准线方程为含义为抛物线

上的点到到焦点的距离等于到准线的距离.

④平移：当y=a(x+b)2+c向右平移一个单位时，函数变成y=a(x-l+b)2+c；

【命题方向】

熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得

取得，这也是一个常考点.

4.二次函数的值域

【知识点的认识】

二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量

的变化而变化.它的一般表达式为：y^a^+bx+c(aWO)

【解题方法点拨】

二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可

能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线

的焦点、准线和曲线的平移.

-确定二次函数的开口方向(通过a的正负判断).

-计算顶点x坐标，x=-抬

-计算顶点处的函数值f(-A).

-根据开口方向确定值域范围.

【命题方向】

主要考查求二次函数的值域，涉及开口方向、顶点的计算及实际应用问题.函数/(X)=/+尤-2(xe[O,

2])的值域是.

解：函数/(X)=/+尤-2的对称轴为x=-称，

故函数/(x)=/+工-2在[0,2]上单调递增，

又/(0)=-2,f(2)=4,

所以函数/(x)=x2+x-2(xe[O,2])的值域是[-2,4].

5.二次函数的最值

【知识点的认识】

二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量

的变化而变化.它的一般表达式为：y=ax1+bx+c(a#0)

【解题方法点拨】

二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可

能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线

的焦点、准线和曲线的平移.

二次函数的最值出现在顶点处.对于/(x)=ajc2+bx+c,最值为/(-六)，根据a的正负判断最值类型.

-计算顶点x坐标久=-枭

-计算顶点处的函数值f(-A).

-根据«的正负判断最值类型(最大值或最小值).

【命题方向】

主要考查二次函数最值的计算与应用题.

15

设a为实数，若函数y=-x2-2x+3在区间山，2］上的最大值为了，则。的值为_____.

4

解：函数y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,对称轴为i=-1,

当时，则I=-1时，函数取得最大值为4,不满足题意；

C15

当时，则x=a时，函数y=-/-2%+3在区间⑷2］上的最大值为一，

4

即一/一2〃+3=孕，解得a=—春或a=(舍)，

综上，。的值为—

故选：C.

6.二次函数的应用

【知识点的认识】

二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量

的变化而变化.它的一般表达式为：y^cur+bx+c(aNO)

【解题方法点拨】

二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可

能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线

的焦点、准线和曲线的平移.

-分析实际问题，抽象出二次函数模型.

-确定二次函数的解析式，结合实际情况求解相关参数.

-运用二次函数性质求解实际问题，如最值、单调性等.

【命题方向】

常见的应用题包括抛物线轨迹问题、工程优化设计问题等，考查学生将实际问题转化为数学模型并求解的

能力.

2016年，某厂计划生产25吨至45吨的某种产品，已知生产该产品的总成本y(万元)与总产量x(吨)

2

之间的关系可表示为丫=器-2x+90.若该产品的出厂价为每吨6万元，求该厂2016年获得利润的最大

值.

解：设利润为g(尤)，

r2r2i

则g(%)=6%—yg+2x-90=—+8x—90=—yg(%—40)2+70,

当x=40时，g(x)"如=70万元；

7.一元二次不等式及其应用

【知识点的认识】

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是a^+bx+c>G

或a^+bx+c<0(a不等于0)其中。/+法+。是实数域内的二次三项式.

特征

当△=/-4ac>0时，

一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实根，那么可写成a(x-xi)(尤-尤2)

当△=/-4ac—0时，

一元二次方程ax2+bx+c=0仅有一个实根，那么cu^+bx+c可写成a(x-xi)2.

当△=%2-4ac<0时.

一元二次方程a^+bx+c=Q没有实根，那么a^+bx+c与x轴没有交点.

【解题方法点拨】

例1：一元二次不等式/<x+6的解集为.

解：原不等式可变形为(x-3)(x+2)<0

所以，-2<x<3

故答案为：(-2,3).

这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成以2+6尤+c<0的形式；然后应用了特征

当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解.

【命题方向】

①一元二次不等式恒成立问题：

一元二次不等式a)C+bx+c>G的解集是R的等价条件是：«>0且△<()；一元二次不等式or2+Z?x+c<0的

解集是R的等价条件是：。<0且△<().

②分式不等式问题：

",，>0=/(尤)(x)>0；

。(久)

~~(x)，g(x)<0；

。(久)

f(x)•9(x)20

g(x)-ulg(x)丰0；

f(x)f/(%)-g。)<0

。(乃U(x)丰0

8.解一元二次不等式

【知识点的认识】

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是a^+bx+cX)或

ax1+bx+c<Q(a不等于0)其中是实数域内的二次三项式.

特征

当△=户-4ac>0时，

一元二次方程°7+灰+°=0有两个实根，那么a/+6x+c可写成a(x-xi)(尤-尤2)

当△=d-4ac=0时，

一元二次方程af+bx+cu。仅有一■个实根，那么cu^+bx+c可写成a(x-xi)2.

当△=/?2-4ac<0时.

一元二次方程a/+bx+c=0没有实根，那么a^+bx+c与x轴没有交点.

【解题方法点拨】

例1：一元二次不等式f<x+6的解集为.

解：原不等式可变形为（尤-3）（x+2）<0

所以，-2<x<3

故答案为：（-2,3）.

这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成of+bx+c<0的形式；然后应用了特征

当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解.

【命题方向】

一元二次不等式aj^+bx+cX）

-将不等式转化为aj?+bx+c=G形式，求出根.

-根据根的位