第05讲平面向量-2022年高一数学寒假课（2019）(原卷版)

第05讲平面向量【学习目标】1．了解向量的概念。2．掌握向量的运算。3.掌握向量基本定理及坐标表示。4.能利用向量解决相关应用问题。【基础知识】一．位移与向量1.位移被“方向”和“距离”唯一确定，其中“距离”也被称为位移的大小.一般的，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量），向量的大小也称为向量的模；只有大小的量称为标量，长度、面积等都是标量。2.我们用有向线段来直观的表示向量，通常有向线段不带箭头的端点被称为向量的始点（或起点），带箭头的端点被称为向量的终点.始点为A终点为B的有向线段所表示的向量，可以用符号简记为，此时，向量的模用表示.3.始点和终点相同的向量称为零向量，表示为：，4.模长等于1的向量称为单位向量，表示为：，二．向量的相等与平行1.一般的，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量，向量等于向量，记作，2.如果两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行，向量与向量平行，记作，，两个向量平行也称为两个向量共线。注意：零向量的方向是任意方向，所以规定零向量与任何向量都平行。三．向量加法的三角形法则1.向量加法的定义一般地，平面上任意给定两个向量,在该平面内任取一点A,作，，作出向量,则向量称为向量与的和（也称为向量与的和向量）。向量与的和向量记作,因此,2.三角形法则一般的，当与不共线时，求它们的和可用下图所示．因为此时,正好能构成一个三角形，因此上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则。

3.对任意向量，有4.向量的模与向量的模之间满足不等式四．向量加法的平行四边形法则1.一般地，当两个向量不共线时，可以通过作平行四边形的方法来得到它们的和：如图所示，平面上任意给定两个不共线向量,在该平面内任取一点A,作，，以，为邻边作一个平行四边形,作出向量,因为,因此.上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则.

2.交换律：对任意向量，都有五．多个向量相加1.结合律：对任意向量，都有2.因为向量的运算满足交换律和结合律，所有有限个向量相加的结果是唯一的，可以调换其中向量的位置，也可以决定相加的顺序。为了得到有限个向量的和，只需将这些向量收尾相接，那么第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和。六．向量的减法的三角形法则1.向量加法的定义一般地，平面上任意给定两个向量,在该平面内任取一点O,作，，作出向量,则向量称为向量与的差（也称为向量与的差向量）。向量与的差向量记作,因此,2.三角形法则一般的，当与不共线时，求它们的差可用下图所示．因为此时,正好能构成一个三角形，因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量差法的三角形法则。3.相反向量给定一个向量，把与这个向量方向相反大小相等的向量称为相反向量。向量的相反向量记作4.对任意向量，有5.向量的减法可看做向量加法的逆运算，即6.对任意向量，满足不等式七．数乘向量1.数乘向量的定义一般地，给定一个实数与任意一个向量,规定它们的乘积是一个向量，记作,其中：（1)当且时，的模为,而且的方向如下：①当时，与的方向相同；②当时，与的方向相反．（2)当或时，.上述实数与向量相乘的运算简称为数乘向量。由定义不难看出，数乘向量的结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线（平行），即；数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小。特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即.当和都是实数，且是向量时：是向量，也是向量；是实数，但是向量。可以看出.2.向量平行如果存在实数，使得，则。3.三点共线一般地，如果存在实数，使得，则与平行且有公共点A，所以，三点共线。八．向量的加法与数乘向量的混合运算1.一般地，对于实数和，以及向量，有.2.一般地，对于实数，以及向量与向量，有.九.向量的线性运算向量的加法、减法、数乘向量以及他们的混合运算，统称为向量的线性运算。九．共线向量基本定理数乘向量一般地，有如下共线向量基本定理：如果且,则存在唯一的实数入，使得.在共线向量基本定理中：（1)时，通常称为能用表示。（2)其中的“唯一”指的是，如果还有,则有.这是因为：由可知,如果,则,与已知矛盾，所以,即.十．平面向量基本定理一般地，有如下平面向量基本定理：如果平面内两个向量与不共线，则对该平面内任意一个向量,存在唯一的实数对,使得.平面向量基本定理中，当与不共线时，“唯一的实数对”指的是用表示时，表达式唯一，即如果,那么.基底：平面向量基本定理是说，在给定的平面内，当向量与不共线时，任意一个向量,都可以写成与的线性运算（简称为用与表示向量),而且表达式唯一，因此，平面内不共线的两个向量与组成的集合,常称为该平面上向量的一组基底，此时如果,则称为在基底下的分解式。十一．平面向量的坐标如果平面向量的基底中，，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解。一般地，给定平面内两个互相垂直的单位向量，对于平面内的向量，如果，则称为向量的坐标，记作十二．平面上向量的运算与坐标的关系假设平面上两个向量，满足，则（1）；（2）；（3），；（4），；十三．平面直角坐标系内两点间距离公式与中点坐标公式设为平面直角坐标系中的两点，其中点为M,则（1）（2）十四．平面向量平行的坐标表示；【考点剖析】考点一：向量的概念与表示例1．下列物理量：①质量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能称为向量的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3变1．以下选项中，都是向量的是（）A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度考点二：向量的模、零向量与单位向量例2．下列说法：①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任意一个向量共线.其中，正确说法的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3变2．下列说法正确的是（）A．向量与向量的长度相等B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C．零向量没有方向D．向量的模是一个正实数考点三：向量相等与向量平行（共线）例3．下列说法正确的是（）A．向量与共线，与共线，则与也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C．向量与不共线，则与都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行变3．已知向量，且，则向量的方向（）A．与向量的方向相同 B．与向量的方向相反C．与向量的方向相同 D．不确定考点四：向量加法的三角形法则例4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（）A． B． C． D．变4．在平行四边形中，，，则等于（）A． B．C． D．考点五：向量加法的平行四边形法则例5．已知点O是的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（）．A． B．C． D．变5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D.设，，则向量＝（）A． B．C． D．考点六：向量加法的运算律例6．化简：（）A． B． C． D．变6．向量化简后等于（）A． B． C． D．考点七：向量减法的法则例7．如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（）A． B．C． D．变7．在中，，分别是，的中点，若，，则等于（）A． B． C． D．考点八：相反向量例8．若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（）．A． B． C． D．变8．向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（）A． B．为实数0 C．与方向相同 D．考点九：向量减法的运算律例9．化简（）A． B． C． D．变9．化简：（）A． B． C． D．考点十：向量数乘有关的计算例10．设是非零向量，，是非零实数，则下列结论中正确的是A．与的方向相同 B．与的方向相反C．与的方向相同 D．变10．设是非零向量,是非零实数,下列结论中正确的是（）A．与的方向相反 B．与的方向相同C． D．考点十一：向量数乘几何应用例11．若，则下列各式中不正确的是（）．A． B． C． D．变11．已知，设，则（）．A． B． C． D．考点十二：平面向量的线性运算例12．等于（）A． B． C． D．0变12．在中，D是AB边上的一点，且，则（）A． B． C． D．考点十三：基底的概念及辨析例13．若是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面的一组基底的是（）A． B．C． D．变13．设，是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是（）A．与 B．与C．与 D．与考点十四：利用平面向量基本定理求参数例14．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（）．A． B． C．1 D．变14．如图，在中，，，若，则值为（）A． B． C． D．考点十五：用坐标表示平面向量例15．如图，向量，，的坐标分别是________，___________，_____________．变15．在平面直角坐标系中，若，，则________．考点十六：平面向量线性运算的坐标表示例16．已知＝(2，1)，＝(－3，4)，求的坐标．变16．已知向量，，则（）A． B．5 C．7 D．25考点十七：直角坐标系内两点间距离公式和中点坐标公式例17．求线段的中点坐标：（1）；（2）；（3）．变17．已知，，且C与A关于点B对称，求C的坐标.考点十八：由向量平行（共线）求参数例18．已知向量，，且，则（）A． B． C．4 D．8变18．若向量，，，则（）A． B． C． D．考点十九：由坐标解决三点共线问题例19．若点，，三点共线，则（）A．2 B．4 C．3 D．5变19．若，，三点共线，则实数的值是（）A．6 B． C． D．2考点二十：向量在平面几何中的应用例20．如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形.变20．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点（1）试用向量证明：PQAB；（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.考点二十一：向量在平面几何中的应用力的合成例21．如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直于斜面向上的弹力．已知，求和的大小．变21．如图，一个三角形角铁支架ABC安装在墙壁上，AB∶AC∶BC=3∶4∶5，在B处挂一个6kg的物体，求角铁AB与BC所受力的大小（取）．【真题演练】1.（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（）A． B． C． D．2．（2021·山东·高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（）A． B．C． D．3.（2021·全国·高考真题）已知向量，，，_______．4．（2021·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________.5．（2021·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．6.（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．【过关检测】1．（2021·湖南·长郡中学高二阶段练习）若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（）A． B．C． D．2．（2021·福建省漳州第一中学高三阶段练习）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于与M，N（三角形顶点不重合）两点，且，，则2x+y的最小值为（）A． B． C． D．3．（2022·北京朝阳·高三期末）已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（）A． B． C． D．4．（2022·广东清远·高三期末）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（）A．16 B．12 C．5 D．45．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）在中，，．若边上一点满足，则（）A． B． C． D．6．（2021·贵州金沙·高二阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，，，是平行四边形所在平面内一点，且．若，则的最小值为（）A． B． C．0 D．2二、多选题7．（2021·湖北·公安县教学研究中心高三阶段练习）已知平面向量，且，则（）A． B．向量与的夹角为C． D．三、填空题8．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）下列命题中，正确命题的序号为______．①单位向量都相等；②若向量，满足，则；③向量就是有向线段；④模