2024-2025学年安徽省池州市贵池区九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省池州市贵池区九年级（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.“长城是中华民族的骄傲”的英文是"77166「6矶勿£1山5/：/16「?"以60/'（：八6£71讥65671£1沉071”.在这句英文中，

字母“i”出现的频率是（）

c4

2.适量的运动有助于身体健康,经常运动的人在静息状态下心率的范围是60〜80次/分、某班班主任随机测

量了15名学生的心率，统计结果如下表所示：

心率/（次/分）6068707380

人数/名25512

这15名学生的心率的中位数是（）

A.65次/分B.67.5次/分C.70次/分D.72.5次/分

3.已知V3x—6+、6—3x+y=2024,则J2024孙的值为（）

A.202473B.2024/2C.2024D.2025

4.象棋是中国的传统棋种，如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发,

A.5B.y/~5C.713D./17

5.下列运算正确的是()

A.AA6———-7-2B.X=6V-5

C.(3-710)(3+A<10)=1D./18-<8=AA2

6.若关于x的一元二次方程(a-l)/+x—g=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()

11

A.a。1B.a>5且a。1C.a>/且a。1D.a>1

7.生活中，我们可以用肘、拄、步长等来估计距离，某校教室里新安装了一台屏幕为

矩形的多媒体设备，小明同学想知道屏幕有多大，他用手测得屏幕的长是12养，宽是

5挥，则屏幕的对角线长大约是（如图，20cm）（）

1"乍1

A.100cmB.240cmC.260cmD.340cm

8.某校举办了运动会，在200nl赛跑中，有5位同学的成绩如下表所示，其中有两个数据被墨水遮盖了，那

么被遮盖的两个数据依次是（）

同学甲乙丙T戊平均成绩方差

时间/S3234■363333■

A.30,4B.30,2C.32,4D.32,2

9.如图，在口ZBCO中，AD=2AB,F是/。的中点，作垂足E在线

段上，连接EF,CF.下列结论中错误的是（）

1

A.Z.DCF=今乙BCDB.EF=CF

C.乙DFE=3Z.AEFD.BC=BE

10.如图，在正方形ABC。中，M,N是对角线BD上的两点，且/MAN=45。.若8M=

1,DN=2,则MN的长为（）

A.5B.3<5C.2<5D.A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

11.计算：>A3x78-<6=

12.睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容.为了了解学生的睡眠情

况，张老师统计了八（3）班40名学生每天的睡眠时间，结果如下表所示.该班学生每天的平均睡眠时间是

h.

睡眼时间/%8910

人数/人62410

13.在44BC中,zC=90°,AB—c,BC—a,AC=6.若b—a—6,c—3y/~6,则4ABC的面积为

14.如图，在菱形4BCD中，4B=2,AABC=120°.

(1)菱形4BCD的面积为.

(2)若点E,F分另I」在4B,CD上，S.DF=BE,连接DE,AF,贝ijDE+AF的最小

值为.

三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题8分)

解方程.

(1)3%2+%—4=0.

(2)(3%-2/=(2%-3)2.

16.(本小题8分)

计算.

(1)<6XJ1+/12-AA27.

(2)(/7+隗)(，7—脆)+(C—2/.

17.(本小题8分)

如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”.

(1)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=2，亏.求证：△ABC是“梦想三角形”.

(2)在Rt△力BC中，ZC=90°,"=.若△ABC是“梦想三角形”，求BC的长.

18.(本小题8分)

若关于X的一元二次方程(X-2)(%-3)=m有实数根X1，乂2,且*1丰%2.

(1)求7H的取值范围.

(2)若好叼+xix2=15,求rn的值.

19.(本小题10分)

2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛.某商店为满足龙舟爱好者的需求,

特推出了龙舟模型.已知该模型每件成本30元，当模型售价为50元时，10月售出300件，11月、12月销量

持续走高，假如12月售出507件.

(1)求11月、12月这两个月的月平均增长率.

(2)为了让利于爱好者，商店决定在每月售出507件的基础上降价销售.已知模型单价每降低1元，可多售出5

件.若要使该商店仍能获利5570元，则每件模型应降价多少元？

20.(本小题10分)

观察下列等式.

第1个等式：(22-I)2+42=52；

第2个等式：(32—1)2+62=102；

第3个等式：(42—1)2+82=172；

第4个等式：(52-I)2+102=262.

(1)请用含混门为正整数，且九＞1)的等式表示上面的规律，并证明其正确性.

(2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如，3,4,5).现有一个直角边为

35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用(1)中得出的等式算出这组勾股数；若不能，

请说明理由.

21.(本小题12分)

像(怖+2)(75—2)=1,遍=a(a20),(71+1)(7^—1)=b—l(b20),两个含有二次根式的代

数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”.例如，与，52+1与2-

1,26+3门与20-3"等都是互为“有理化因式”.进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化

去分母中的根号.

(1)化简：①京=------；②"vj=--------•

(2)计算：(告1+悬交+"^+”'+局熹弱)(方砺+1)•

(3)己知a=，一河石一应Zb=网—=，一而而一，一版?，试比较a,b,c的大小，并说

明理由.

22.(本小题12分)

为了“弘扬载人航天精神，厚植爱国主义情怀”，某校团委从八、九年级学生中各抽取10名进行航天知识

竞赛.为便于统计成绩，采用了取整数的计分方式，满分10分.此次竞赛的成绩如下表所示：

学生编号①②③®⑤⑥⑦@⑨⑩

八年级8979867a108

九年级87978108779

(1)若八年级学生和九年级学生的平均成绩都是8分，则表中的a=.

(2)八年级学生成绩的中位数是多少？

(3)若八年级学生成绩的方差是1.2,请求出九年级学生成绩的方差，并判断哪个年级学生的成绩更为稳

定.

23.(本小题14分)

如图，在正方形4BCD中，P为BD的延长线上一点，连接P4过点P作PE1P4交BC的延长线于点E,过

点E作EFIBP于点F.

(1)求证：ABEF为等腰直角三角形.

(2)求证：①CE=，IPD；

@BD=2PF.

(3)若8P=BE,求证：PF=(V^+1)DF.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：由题意得，总共有40个，字母“i”出现的次数为：4次，

故字母“i”出现的频率为白=东

4U1U

故选：C.

找出字母“i”出现的次数，及总的字母数，再由频率=鳖即可得出答案.

总数

本题考查了频数与频率，解答本题的关键是掌握频数是指每个对象出现的次数.

2.【答案】C

【解析】解：•••共有15名学生，中位数是第8个数，

・••这15名学生心率的中位数是70次/分；

故选：C.

根据中位数的定义直接求解即可.

本题考查了确定一组数据的中位数的能力.一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选

其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有

奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

3.【答案】B

【解析】解：根据题意知:伊；6H

所以X=2.

所以y=2024,

所以J2024xy=V2024x2x2024=202472.

故选:B.

根据二次根式有意义的条件求得x=2,贝卯=2024,然后代入求值即可.

本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数.

4.【答案】A

【解析】解：如图，当马走一步之后的落点与“帅”的距离最大,

・••当马走一步之后的落点与“帅”的最大距离为：,32+42=5,

故选：A.

根据勾股定理即可得到结论.

本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：4<6-AA4=<6-2,所以4选项不符合题意；

x3<5=6x5=30,所以B选项不符合题意；

C.(3-710)(3+YIU)=9—10=—1,所以C选项不符合题意；

D./18-/8=3AA2-272=y[2,所以D选项符合题意.

故选：D.

利用二次根式的减法运算对a选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对8选项进行判断；利用平方差公式

对c选项进行判断；利用二次根式的减法运算对。选项进行判断.

本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、减法法则是解决问题

的关键.

6.【答案】B

【解析】解：因为关于x的一元二次方程(a-1)产+%-：=0有两个不相等的实数根，

所以/=12_4x(a—1)x(―2)>0,且a-1K0,

1

解得a>2且a丰1.

故选：B.

利用一元二次方程根的判别式即可解决问题.

本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：•••多媒体屏幕的长是12挥，宽是5拄，20cm,

;多媒体屏幕的长=12x20=240(cm),宽=5x20=100(cm),

;多媒体屏幕的对角线长度=V24024-1002=260(cm),

即多媒体屏幕的对角线长度约260an,

故选：C.

根据勾股定理求出多媒体屏幕的对角线长度即可.

本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：丙的成绩为33x5-(32+34+36+33)=30,

方差为：|[(32-33)2+(34-33)2+(30-33)2+(36-33)2+(33-33)2]=4.

故选：A.

先根据算术平均数的定义求出丙的成绩，再依据方差的定义列式计算即可.

本题主要考查算术平均数和方差，解题的关键是掌握算术平均数和方差的定义.

9.【答案】D

【解析】解：=2ZB,尸是“。的中点,

AB=^1AD,DF=AF=^1AD,

••・四边形48CD是平行四边形，

AD//BC,DC=AB=DF,

工乙DFC=LBCF,乙DFC=LDCF,

1

・•・乙DCF=Z.BCF=^BCD,

故A不符合题意；

延长EF、CD交于点G,

•••CD//AB,

Z.G=Z.AEF,

在△DFG和△AFE中，

Z.DFG=Z.AFE

(G=/.AEF，

、DF=AF

'.ADFG^AAFE(AAS)f

・•.GF=EF,

•・•CE于点E,

・•・(ECG=乙BEC=90°,

1

...GF=EF=CF=(EG，

故3不符合题意；

•・•Z-DFC=乙DCF=zG=Z,AEF,

・•・乙DFE=乙CFE+乙DFC=乙CFE+/AEF,

•••Z-CFE=Z-DCF+Z-G=Z-AEF+Z-AEF=2/-AEF,

••・乙DFE=2/-AEF+AAEF=3^AEF,

故。不符合题意；

BE1CE,

BC>BE,

故。符合题意，

故选：D.

-1

由4D=24B,F是4。的中点，得AB=DF=AF=次,由平行四边形的性质得4D〃BC,DC=AB=

DF,可证明NDCF=ABCF=：NBCD,可判断2不符合题意；延长EF、CD交于点G,可证明△。尸

AFE,得GF=EF,因为NECG=乙BEC=90°,所以GF=EF=CF=泄,可判断B不符合题意；由

乙DFC=乙DCF=NG=AAEF,推导出ZDFE=4CFE+乙DFC=MFE+NAEF=3AAEF,可判断C不符

合题意；由“垂线段最短”可证明BC〉BE,可判断。符合题意，于是得到问题的答案.

此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定与

性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】解:如图，将AABM绕点4逆时针旋转90。得到△ADH,连接NH,

•••^MAN=45°,

.­.乙MAN=4HAN=45°,

・•・旋转,

•••AM=AH,AABM=乙ADH=45°,DH=BM=1,

在A4MN和△4HN中，

-AM=AH

4MAN=/.HAN,

AN=AN

△力MN之△力HN(SAS),

MN=HN,

•••乙NDH=4ADN+乙ADH=45°+45°=90°,

MN=HN=VDW2+DN2=<5.

故选：D.

将AaBM绕点力逆时针旋转90。得到△AD",连接N"，证明AAMN出△力”N(SAS),可得MN=HN,最后

利用勾股定理有MN=HN=7DH?+DN2,即可解题.

本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识的综合应用，熟练掌

握全等三角形的判定定理和正确作辅助线是解题关键.

11.【答案】<6

【解析】解：原式=/3X272-

=2>/-6—>J~6

=<6.

故答案为：V-6.

先把形化简，再进行二次根式的乘法运算，然后合并即可.

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键.

12.【答案】9.1

8x6+9x24+10x10

【解析】解:=9.1（小时）,

-40-

即该班级学生每天的平均睡眠时间是9.1小时.

故答案为：9.1.

根据加权平均数的公式计算即可.

本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的定义是解答本题的关键.

13.【答案】|

【解析】解：由题意，(C=90°,

・•.BC2+AC2=AB2.

•••a2+b2=c2=(3V-6)2=54.

又(b—a)2=b2—2ab+a2=36,

••・2ab=M+炉—36=54-36=18.

••・ab=9.

1ACBC=IabQ

•••S—BC=22=2,

故答案为：

依据题意，由=90。，+AC2=AB2,则a2+庐=02=（3，g）2=54,又（力一口产=/—

2ab+a2=36,可得ab,进而求出S—BC=义人。♦8C=gab的值，可以得解.

本题主要考查了勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键.

14.【答案】2734

【解析】解：(1)如图，过点。作14B于H,

••・四边形4BCD是菱形，AB=2,/.ABC=120°,

AD=AB=2,4DAB=60°,

.­.^ADH=30°,

-1

・•・AH=-AD=1,DH=43AH=0,

・•・菱形ABCO的面积=AB,DH=2/3,

故答案为：2A/3;

（2）如图，连接CE,作。关于直线AB的对称点N,连接CN,BN,NE,DB,可得DE=NE,DK=NK,

DN1AB,

••・四边形ZBCD是菱形，

・•.AB=CD,AB//CD,AD//BC,

•；DF=BE,/.ABC=120°,

・•.AE=CF,乙DCB=乙DAB=60°,

・•・四边形ZECF为平行四边形，

・•.AF=CE,

・•.DE+AF=NECE>CN,

当E,N,C三点共线时，此时取等于号，DE+ZF最小，

••・四边形48co是菱形，乙48c=120°,

AB=AD,乙ABD=60°,

・•・△/BD为等边三角形，

AD=BD,

•••DNLAB,

・•.AK=BK,

•・•DK=NK,AAKD=乙BKN,

，公ADKm2BNK(SAS),

・•・乙NBK=乙DAB=60°,BN=AD=2,

•・•乙ABC=120°,△ADK名ABNK,

・•・乙NBK=乙DAB=60°,BN=AD=2,

•••^ABC=120°,

・•.Z.NBK+乙ABC=180°,

.­.N,B,C三点共线，

当E,N,C三点共线时，E,B重合，

BN=BC=2,

CN=4,即OE+4F最小值为4.

故答案为：4.

(1)由菱形的性质可得AD=4B=2,ADAB=60°,由直角三角形的性质可求的长，即可求解；

(2)如图，连接CE,作。关于直线力B的对称点N,连接CN,BN,NE,DB,可得DE=NE,DK=NK,

DNLAB,证明四边形4ECF为平行四边形，可得4F=CE,则DE+AF=NE+CEWCN,当E,N,C三

点共线时，此时取等于号，DE+2F最小，证明当E,N,C三点共线时，E,B重合，从而可得答案.

本题主要考查了菱形的性质，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知

识，作出合适的辅助线是解本题的关键.

15.【答案】解：(1)3久2+%-4=0,

(%-1)(3%+4)=0,

则％—1=。或3久+4=0,

-

所以乂1=1,X2=1-

(2)(3x-2)2=(2x-3)2,

(3久一2产一(2%—3)2=0,

(3x—2+2,x—3)(3比一2—2x+3)=0,

(5x-5)(x+l)=0,

贝”5x—5=0或％+1=0,

所以%=1,x2=-1.

【解析】(1)用因式分解法对所给方程求解即可.

(2)用因式分解法对所给方程求解即可.

本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键.

16.【答案】解：(1人行义JI+YH-YI7

=<3+2<3-3<3

=0；

(2)(/7+/5)(77-/5)+(AA3-2)2

=7-5+3-473+4

=9-4<3.

【解析】(1)先计算乘法，再计算加减即可；

(2)利用平方差公式，完全平方公式计算即可.

本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则.

17.【答案】(1)证明：如图，过点4作AD1BC于点D.

AB=AC,AD_LBC,

■.AD是BC边上的中线，BD=|x2/5=VT,

由勾股定理得：AD-7AB2一BD2=52-（，亏¥=2，亏，

AD=BC,

・•.△ABC是“梦想三角形”.

(2)解:如图，若RtAABC是“梦想三角形”，有两种情况:

D

C'-

①当AC边上的中线8。=AC=时，CD=1XC=|x2/3=0,

此时，BC=>1BD2-CD2=J(2<3)2-(<3)2=3-

②当BC边上的中线AE=BC时，CE=^BC,

止匕时，AC2=AE2-CE2,§P(2/3)2=BC2-(|fiC)2,

解得：BC=4,

综上所述，BC=3或4.

【解析】(1)过点4作4DIBC于点D,根据等腰三角形三线合一可知4。是BC边上的中线，且BD=^BC,

再利用勾股定理求出4。的长度，可知2D=BC,即可证明；

(2)①当AC边上的中线BD=HC时，利用勾股定理BC=VBD2—c£)2即可求得答案;②当也

边上的中线AE=BC时，CE=：BC,利用勾股定理AC?=AE2-CE2即可求得答案.

本题考查了“梦想三角形”的定义，等腰三角形三线合一，三角形中线的性质，勾股定理，读懂题意并熟

练掌握以上知识点是解题的关键.

18.【答案】解：(1)由(％—2)(%—3)=?n得,

x2—5%+6—m=0,

所以4=(-5)2—4xlx(6—m)=4m+1.

因为此方程有两个实数根且不相等，

所以4血+1>0,

解得m>一；,

故租的取值范围是：m>

(2)因为方程——5%+6—租=0的两个实数根为%1，外，

所以％1+%2=5,%1%2=6—771.

因为好％2+X1X2=15,

所以％1%2(%1+%2)=15,

即(6—zn)x5=15,

解得m=3,

故m的值为3.

【解析】(1)根据所给一元二次方程有实数根，利用根的判别式即可解决问题.

(2)利用根与系数的关系，用m表示出两根之和及两根之积即可解决问题.

本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及

根的判别式是解题的关键.

19.【答案】解：(1)设11月、12月这两个月的月平均增长率为为

根据题意得：300(1+x)2=507,

解得：%1=0.3=30%,%2=一2.3(不合题意，舍去)，

答：11月、12月这两个月的月平均增长率为30%；

(2)设当模型降价6元时，该商店获利5570元，

根据题意得：(50-30-m)(507+5m)=5570,

整理得：5m2+407m-4570=0,

解得：m1=10,m2=—91.4(不合题意，舍去).

答：每件模型应降价10元.

【解析】(1)设11月、12月这两个月的月平均增长率为x,根据10月售出300件，11月、12月销量持续走

高，假如12月售出507件.列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；

(2)设当模型降价m元时，该商店获利5570元，根据该商店仍能获利5570元，列出一元二次方程，解之取

符合题意的值即可.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

20.【答案】解：(1)第1个等式:(22-1产+42=52；

第2个等式：(32—1)2+62=102；

第3个等式：(42—1)2+82=172；

第4个等式：(52—1)2+1()2=262,

由题中等式的规律可得(声一I)2+(2n)2=(n24-1)2,

证明：左边=n4—2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+l)2=右边.

(2)它的三边长能为勾股数，理由如下：

•••35=36-1=62-1,

把n=6代入，得(62-I)2+(2X6)2=(62+I)2,

即352+122=372,

•••它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35,12,37.

【解析】(1)(声—1)2+(2n)2=(n2+1)2,证明见解析；

(2)它的三边长能为勾股数，为35,12,37；理由见解析.

本题考查了勾股数的定义，列代数式，数字类变化规律等知识点，能够根据题意得出(4-1)2+(2切2

(n2+I/是解题的关键.

【解析】解：(1)①猊=372x^2=T②犷一，=(^7-75)(77+75)=-2-'

故答案为：苧笞I

1111.------

(2)(—^=------1——------H——------+…4—]-----[)(42025+1)

V2+1V3+AA274+7372025+AA2024

AA2-1yf4-y/~3

=r-----------------------------1-------------------------------------1-------------------------------------1------F

(AA2+1)(A<2-1)(73+AA2)(AA3-72)(>A4+73)(74-AA3)

AAW5-AA2024

■](V2025+1)

(7W5+AA2024)(7W5-AA2024)

=QI-1+AA3-72+74-A<3+---+V2025-72024)(72025+1)

=(V2025-1)(42025+1)

=2025-1

=2024.

⑶=/2023+/2022,

a-/2023-72(j^(72023+AA2022)(72023-72022)

11____________

同理：5=询二™=逅两+2用,

11

=V2025+V2024,

c/2025-<2U5?

111

'''a<b<^

a>b>c.

(1)分母有理化即可；

(2)分母有理化可得结论；

(3)利用倒数法判断大小.

本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则.

22.【答案】8

【解析】解：(l)Ax(6+2x7+3x8+2x9+10+a)=8,

解得Q=8,

故答案为：8；

(2)把八年级学生的成绩按从小到大的顺序排列为6,7,7,8,8,8,8,9,9,10,

所以中位数是与=8(分).

⑶九年级学生成绩的方差是看x[4x(7-8)2+2X(9-8>+3x(8-8/+1x(10-8)2]=1,

•••八年级学生成绩的方差是1.2,九年级学生成绩的方差是1,

二九年级学生的成绩更为稳定.

(1)根据算术平均数的定义列出关于a的方程，解之即可得出答案；

(2)根据中位数的定义求解即可；

(3)先根据方差的定义求解出九年级成绩的方差，再由方差的意义求解即可得出答案.

本题主要考查中位数、算术平均数及方差，解题的关键是掌握中位数、算术平均数和方差的定义及方差的

意义.

23.【答案】证明：(1)vEFLBP,

.­•LBFE=90°,

•••四边形4BCD是正方形，

.­.Z.FBC=4ABD=45°,

BF=EF,

为等腰直角三角形.

(2)①如图1,在EF上取一点G,使FG=FP,连接BG,PG,CG,

BF=EF,

(BFG=(EFP,

、FG=FP,

.•.△BFG^AEFP(S71S),

•••乙PEF=^GBF,BG=PE,

•・•乙ABD=乙FP