专题七复合函数的零点问题

专题七复合函数的零点问题一、确定复合函数零点的个数或方程解的个数【例题选讲】[例1](1)奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝()A．3B．7C．10D．14答案C解析由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,2)))＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,2)))))＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7．又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3．所以m＋n＝10，选择C．(2)关于x的方程(x2－1)2－3|x2－1|＋2＝0的不相同实根的个数是()A．3B．4C．5D．8答案C解析可将|x2－1|视为一个整体，即t＝|x2－1|，则方程变为t2－3t＋2＝0可解得，t＝1或t＝2，则只需作出t(x)＝|x2－1|的图像，然后统计与t＝1与t＝2的交点总数即可，共有5个．(3)已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________．答案5解析由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝eq\f(1,2)或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的图象．由图象知y＝eq\f(1,2)与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个．(4)已知定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2|x－1|－1，0<x≤2，,eq\f(1,2)f(x－2)，x>2，))则关于x的方程6f2(x)－f(x)－1＝0的实数根个数为()A．B．C．D．答案B解析已知方程6f2(x)－f(x)－1＝0可解，得f1(x)＝eq\f(1,2)，f2(x)＝－eq\f(1,3)，只需统计y＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,3)与y＝f(x)的交点个数即可．由奇函数可先做出x>0的图像，x>2时，f(x)＝eq\f(1,2)f(x－2)，则x∈(2，4]的图像只需将x∈(0，2]的图像纵坐标缩为一半即可．正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像．通过数形结合可得共有7个交点．在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间．(5)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于的方程3f2(x)＋2af(x)＋b＝0的不同实根的个数是()A．3B．4C．5D．6答案A解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b由极值点可得，x1，x2为3x2＋2ax＋b＝0①的两根，观察到方程①与3f2(x)＋2af(x)＋b＝0结构完全相同，所以可得3f2(x)＋2af(x)＋b＝0的两根为f1(x)＝x1，f2(x)＝x2，其中f1(x)＝x1，若x1<x2，可判断出x1是极大值点，x2是极小值点．且f2(x)＝x2>x1＝f1(x)，所以y＝f1(x)与f(x)有两个交点，而f2(x)与f(x)有一个交点，共计3个；若x1>x2，可判断出x1是极小值点，x2是极大值点．且f2(x)＝x2<x1＝f1(x)，所以y＝f1(x)与f(x)有两个交点，而f2(x)与f(x)有一个交点，共计3个．综上所述，共有3个交点．[题后悟通]确定复合函数零点的个数或方程解的个数问题：关于复合函数y＝f(g(x))的零点的个数或方程解的个数问题，先换元解套，令t＝g(x)，则y＝f(t)，再作出y＝f(t)与t＝g(x)的图像．由y＝f(t)的图象观察有几个t的值满足条件，结合t的值观察t＝g(x)的图象，求出每一个t被几个x对应，将x的个数汇总后即为y＝f(g(x))的根的个数，即“从外到内”．此法称为双图象法(换元法＋数形结合)．【对点训练】1．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2，2]的图像如下，给出下列四个命题：(1)方程f[g(x)]＝0有且只有6个根；(2)方程g[f(x)]＝0有且只有3个根；(3)方程f[f(x)]＝0有且只有5个根；(4)方程g[g(x)]＝0有且只有4个根．则正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．41．答案C解析每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出的总数．(1)中可得g1(x)∈(－2，－1)，g2(x)＝0，g3(x)∈(1，2)，进而g1(x)有2个对应的x，g2(x)有2个，g3(x)有2个，总计6个，(1)正确；(2)中可得f1(x)∈(－2，－1)，f2(x)∈(0，1)，进而f1(x)有1个对应的x，f2(x)有3个，总计4个，(2)错误；(3)中可得f1(x)∈(－2，－1)，f2(x)＝0，f3(x)∈(1，2)，进而f1(x)有1个对应的x，f2(x)有3个，f3(x)有1个，总计5个，(3)正确；(4)中可得g1(x)∈(－2，－1)，g2(x)∈(0，1)，进而g1(x)有2个对应的x，g2(x)有2个，共计4个，(4)正确．则综上所述，正确的命题共有3个．2．已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为________．2．答案5解析令y＝2f2(x)－3f(x)＝0，则f(x)＝0或f(x)＝eq\f(3,2)．函数f(x)＝的图象如图所示：由图可得，f(x)＝0有2个根，f(x)＝eq\f(3,2)有3个根，故函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为5．3．设定义域为R的函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\f(1,|x－1|)，x≠1，,1，x＝1，))若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3个不同的解x1，x2，x3，则x12＋x22＋x32＝________．3．答案5解析先作出f(x)的图像如图，观察可发现对于任意的t，满足t＝f(x)的x的个数分别为2个(t＞0，t≠1)和3个(t＝1)，已知有3个解，从而可得f(x)＝1必为f2(x)＋bf(x)＋c＝0的根，而另一根为1或者是负数．所以f(xi)＝1，可解得，x1＝0，x2＝1，x3＝2．所以x12＋x22＋x32＝5．4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,log2x，x＞0，))则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是()A．4B．3C．2D．14．答案A解析由f(f(x))＋1＝0，得f(f(x))＝－1，由f(－2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1，得f(x)＝－2或f(x)＝eq\f(1,2)．若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝eq\f(1,4)；若f(x)＝eq\f(1,2)，则x＝－eq\f(1,2)或x＝eq\r(2)．综上可得函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是4．故选A．5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋1，x≤0，,log2x，x＞0，))，则下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数判断正确的是()A．当a>0时，有4个零点；当a<0时，有1个零点B．当a>0时，有3个零点；当a<0时，有2个零点C．无论a为何值，均有2个零点D．无论a为何值，均有4个零点5．答案A解析所求函数的零点，即方程f(f(x))＝－1的解的个数，令t＝f(x)，先作出y＝f(t)的图像，直线y＝ax＋1为过定点(0，1)的一条直线，但需要对a的符号进行分类讨论．当a>0时，如图1所示，先拆外层可得t1＝－eq\f(2,a)＜0，t2＝eq\f(1,2)，如图2所示，而t1有两个对应的x，t2也有两个对应的，共计4个；当a<0时，如图3所示，先拆外层可得t＝eq\f(1,2)，如图4所示，t＝eq\f(1,2)只有一个满足的x，所以共1个零点．结合选项，可判断出A正确．6．已知[x]表示不超过x的最大整数，当x∈R时，称y＝[x]为取整函数，例如[1.6]＝1，[－3.3]＝－4，若f(x)＝[x]，g(x)的图象关于y轴对称，且当x≤0时，g(x)＝－x2－2x，则方程f(f(x))＝g(x)解的个数为()A．1B．2C．3D．46．答案D解析根据已知条件可知，当x>0时，－x<0，又函数g(x)的图象关于y轴对称，故g(x)为偶函数，所以g(x)＝g(－x)＝－(－x＋1)2＋1＝－(x－1)2＋1.由f(x)＝[x]，得f(f(x))＝[x]．在同一平面直角坐标系中画出y＝f(f(x))与y＝g(x)的图象如图所示，由图象知，两个图象有4个交点，交点的纵坐标分别为1，0，－3，－4，当x≥0时，方程f(f(x))＝g(x)的解是0和1；当x<0时，g(x)＝－(x＋1)2＋1＝－3得x＝－3，由g(x)＝－(x＋1)2＋1＝－4得x＝－1－eq\r(5)．综上，f(f(x))＝g(x)的解的个数为4．7．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3f2(x)＋2af(x)＋b＝0的不同实根的个数是()A．3B．4C．5D．67．答案A解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由极值点定义可得，x1，x2为3x2＋2ax＋b＝0①的两根，观察到方程①与3f2(x)＋2af(x)＋b＝0结构完全相同，可得3f2(x)＋2af(x)＋b＝0的两根为f1(x)＝x1，f2(x)＝x2，其中f(x1)＝x1．若x1<x2，可判断出x1是极大值点，x2是极小值点，且f2(x)＝x2>x1＝f(x1)，所以y＝f1(x)的图象与y＝f(x)的图象有两个交点，而y＝f2(x)的图象与y＝f(x)的图象有一个交点，共计3个交点(如图(1)所示)；若x1>x2，可判断出x1是极小值点，x2是极大值点，且f2(x)＝x2<x1＝f(x1)，所以y＝f1(x)的图象与y＝f(x)的图象有两个交点，而y＝f2(x)的图象与y＝f(x)的图象有一个交点，共计3个交点(如图(2)所示)．综上所述，共有3个交点．故选A．二、已知函数零点的个数，求参数的取值范围【例题选讲】[例2](1)已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x－eq\f(1,2))2＋1，x＞0，,－(x＋3)2＋1，x≤0，))，则方程g[f(x)]－a＝0（a为正实数）的实数根最多有______个．答案6解析先通过分析t＝f(x)，y＝g(t)的性质以便于作图，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，从而f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单增，在(0，2)单减，且f(0)＝1，f(2)＝－3，y＝g(t)为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取t＝f(x)能对应x较多的情况，由t＝f(x)图像可得，当t∈(－3，1)时，每个t可对应3个x．只需判断g(t)＝a中，t能在(－3，1)取得的值的个数即可，观察y＝g(t)图像可得，当a∈(1，eq\f(5,4))时，可以有2个t∈(－3，1)，从而能够找到6个根，即最多的根的个数．(2)已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|，若方程[f(x)]2＋bf(x)＋c＝0恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是()A．(－2，0)B．(－2，－1)C．(0，1)D．(0，2)答案B解析考虑通过图像变换作出t＝f(x)的图像（如图），因为[f(x)]2＋bf(x)＋c＝0最多只能解出2个f(x)，若要出七个根，则t1＝1，t2∈(0，1)，所以－b＝t1＋t2∈(1，2)，解得b∈(－2，－1)．(3)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lg－x|，x<0，,x3－6x＋4，x≥0，))若关于x的函数y＝f2(x)－bf(x)＋1有8个不同的零点，则实数b的取值范围为()A．(2，8)B．[2，eq\f(17,4))C．(2，eq\f(17,4)]D．(2，8]分析本题应先求方程t2－bt＋1＝0的根，设为t1，t2，再根据t1＝f(x)，t2＝f(x)的解的个数确定函数y＝f2(x)－bf(x)＋1的零点个数．已知函数y＝f2(x)－bf(x)＋1有8个不同的零点，先确定两个实数t的范围，再转化为一元二次方程t2－bt＋1＝0根的分布问题来解决．答案C解析因为函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lg－x|，x<0，,x3－6x＋4＝x－2x2＋2x－2，x≥0，))作出f(x)的简图，如图所示．由图象可得，f(x)在(0，4]上任意取一个值，都有四个不同的x值与之对应．再结合题中函数y＝f2(x)－bf(x)＋1有8个不同的零点，可得关于t的方程t2－bt＋1＝0有两个不同的实数根t1，t2，且0<t1≤4，0<t2≤4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4>0，,0<\f(b,2)<4，,0－b×0＋1>0，,42－4b＋1≥0，))解得2<b≤eq\f(17,4)．归纳总结本题结合图象可知，一元二次方程t2－bt＋1＝0的两个根0<t1≤4，0<t2≤4，结合二次函数图象的特点可知，对称轴0<eq\f(b,2)<4，且Δ>0，另外t＝0时的函数值为正，t＝4时的函数值非负．当涉及二次方程根的分布问题时，一般结合图象从判别式、对称轴位置以及特殊点函数值的符号来讨论．(4)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·2x，x≤0，,log\s\do9(\f(1,2))x，x>0.))若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，0)∪(0，1)解析若a＝0，当x≤0时，f(x)＝0，故f(f(x))＝f(0)＝0有无数解，不符合题意，故a≠0.显然当x≤0时，a·2x≠0，故f(x)＝0的根为1，从而f(f(x))＝0有唯一根，即为f(x)＝1有唯一根，而x>0时，f(x)＝1有唯一根eq\f(1,2)，故a·2x＝1在(－∞，0]上无根．当a·2x＝1在(－∞，0]上有根时，可得a＝eq\f(1,2x)≥1，故由a·2x＝1在(－∞，0]上无根可知a<0或0<a<1．(5)已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4x)，x＞0，,x＋1，x≤0.))若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4)))解析令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图，由图象可知，当1≤a＜eq\f(5,4)时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4)))．(6)已知函数f(x)＝eq\f(|x|,ex)，若关于x的方程f2(x)－mf(x)＋m－1＝0恰有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．(eq\f(1,e)，2)∪(2，e)B．(eq\f(1,e)，1)C．(1，1＋eq\f(1,e))D．(eq\f(1,e)，e)答案C解析f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\f(x,ex)，x≥0，,－eq\f(x,ex)，x＜0，))分析t＝f(x)的图像以便于作图，x≥0时，f′(x)＝(1－x)e－x，从而f(x)在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，f(1)＝eq\f(1,e)，且当x→＋∞，y→0，所以x正半轴为水平渐近线；当x<0时，f′(x)＝(x－1)e－x，所以f(x)在(－∞，0)单调递减．由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于f(x)的方程f2(x)－mf(x)＋m－1＝0中，t1∈(0，eq\f(1,e))，t2∈(eq\f(1,e)，＋∞)，从而将问题转化为根分布问题，则t2－mt＋m－1＝0的两根t1∈(0，eq\f(1,e))，t2∈(eq\f(1,e)，＋∞)，设g(t)＝t2－mt＋m－1，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g(0)>0，,g(eq\f(1,e))<0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1>0，,eq\f(1,e2)－eq\f(m,e)＋m－1<0，))，解得m∈(1，1＋eq\f(1,e))．本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。[题后悟通]已知复合函数零点的个数，求参数的取值范围的问题：关于已知复合函数y＝f(g(x))零点的个数，求参数的取值范围的问题，先换元解套，令t＝g(x)，则y＝f(t)，再作出y＝f(t)与t＝g(x)的图像．由零点个数结合t＝g(x)与y＝f(t)的图象特点，从而确定t的取值范围，进而决定参数的范围．即“从内到外”．此法称为双图象法(换元法＋数形结合)．【对点训练】1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x＞0，,2|x|，x≤0，))若关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3个不同的根，则实数a的值为()A．－2B．1C．2D．31．答案C解析作出函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x＞0，,2|x|，x≤0))的图象(图略)，令f(x)＝t，关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0等价于t2－at＋1＝0，因为t1·t2＝1，所以t1，t2同号，只有t1，t2同正时，方程才有根，假设t1＜t2，则0＜t1＜1，t2＞1，此时关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有5个不同的根，只有t1＝t2＝1，关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3个不同的根，此时a＝2，故选C．2．已知函数f(x)＝|x＋eq\f(1,x)|－|x－eq\f(1,x)|，关于的方程f2(x)＋a|f(x)|＋b＝0(a，b∈R)恰有6个不同实数解，则a的取值范围是__________．2．答案－4<a<－2解析所解方程f2(x)＋a|f(x)|＋b＝0可视为|f(x)|2＋a|f(x)|＋b＝0，故考虑作出|f(x)|的图像，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs1\al\co1(eq\f(2,x)，x>1,,2x，0<x≤1,,－2x，－1≤x<0,,－eq\f(2,x)，x<－1，))，则t＝|f(x)|的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有t1＝2，0<t2<2，所以－a＝t1＋t2∈(2，4)，解得－4<a<－2．3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx＋3，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x＜0，))若方程f(f(x))－2＝0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是()A．[0，＋∞)B．[1，3]C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))3．答案C解析∵f(f(x))－2＝0，∴f(f(x))＝2，∴f(x)＝－1或f(x)＝－eq\f(1,k)(k≠0)．(1)当k＝0时，作出函数f(x)的图象如图①所示，由图象可知f(x)＝－1无解，∴k＝0不符合题意；(2)当k＞0时，作出函数f(x)的图象如图②所示，由图象可知f(x)＝－1无解且f(x)＝－eq\f(1,k)无解，即f(f(x))－2＝0无解，不符合题意；(3)当k＜0时，作出函数f(x)的图象如图③所示，由图象可知f(x)＝－1有1个实根，∵f(f(x))－2＝0有3个实根，∴f(x)＝－eq\f(1,k)有2个实根，∴1＜－eq\f(1,k)≤3，解得－1＜k≤－eq\f(1,3)．综上，k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))，故选C．4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3|x－1|，x＞0，,－x2－2x＋1，x≤0，))若关于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a＝0有7个不等的实数根，则实数a的取值范围是()A．[1，2]B．(1，2)C．(－2，－1)D．[－2，－1]4．答案C解析函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3|x－1|，x＞0，,－x2－2x＋1，x≤0))的图象如图：关于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a＝0有7个不等的实数根，即[f(x)＋a][f(x)－1]＝0有7个不等的实数根，易知f(x)＝1有3个不等的实数根，∴f(x)＝－a必须有4个不相等的实数根，由函数f(x)的图象可知－a∈(1，2)，∴a∈(－2，－1)．故选C．5．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(elnx,x)，x>0，,－2019x，x≤0))(其中e为自然对数的底数)，函数g(x)＝f2(x)－(2m－1)f(x)＋2，若函数g(x)恰有4个零点，则实数m的取值范围是()A．m>2B．m≥2C．m>eq\f(1,2)＋eq\r(2)