解三角形中的最值及范围问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第09讲解三角形中的最值及范围问题

（15类核心考点精讲精练）

1%.考情探究.

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等偏上，分值为13・15分

【备考策略】1会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题

2会利用正余弦定理及面积公式解决三角形的综合问题

【命题预测】本节内容一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同

时也结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。

核心考点考点8高线最值及范围问题

考点9其他线段类最值及范围问题

考点10外接圆及内切圆半径类最值及范围问题

考点11角度类最值及范围问题

考点12正余弦类最值及范围问题

考点13正切类最值及范围问题

考点14向量类最值及范围问题

考点15叁数类最值及范围问题

知识讲解

解三角形最值及范围问题中常用到的关联知识点

1.基本不等式

a〉0,6〉0=>，石当且仅当a=b时取等号，其中"2叫做正数。，b的算术平均数,

2,2

而叫做正数a,b的几何平均数，通常表达为：a+b>14dj(积定和最小)，应用条件：“一正，二定,

三相等”

基本不等式的推论重要不等式

Va,beR=a?+b?Nlab

a>0,+(和定积最大)

4当且仅当。二b时取等号

当且仅当。=6时取等号

2.辅助角公式及三角函数值域

形如y=asinx+6cosx,(a>0)=>j；=^a2+b2sin(x+^).其中tanQ=，，(pG(一„

对于了=Nsin(m+e)+/z,y=Zcos(5+Q)+/z类函数，/叫做振幅，决定函数的值域，值域为

[-4Z],有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围

3.三角形中的边角关系

(1)构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边

(2)在三角形中，大边对大角，小边对小角

(3)在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系：

即a>boZ>8u>sin幺>sin8=>cosA<cosB

注意：在锐角AABC中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如sinZ〉cos8。

事实上，由Z+8〉-nZ〉工—8nsinZ〉sin(工—5]=cos5,即得。由此对任意锐角

22(2J

AABC,总有sin^4+sin5+sinC>cosA+cosB+cosC。

考点一、面积类最值及范围问题

典例引领

1.(2024・上海•三模)已知的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且6a=2csiiM.

⑴求sinC的值；

(2)若c=3,求A/8C面积S的最大值.

2.（2024・河北•模拟预测）在锐角A/8C中，a,b,c分别是角48,C的对边，ctanfi=（2（a-c）tanC.

⑴求8；

（2）若6=6，求A48C的面积S取值范围.

3.（2024•辽宁•模拟预测）如图，在平面内，四边形/BCD满足8,。点在4C的两侧，AB=1,BC=2,

为正三角形，设N4BC=a.

（2）当々变化时，求四边形23。面积的最大值.

4.（23-24高三上•江西抚州,阶段练习）已知在平面四边形48CD中，AB=BC=CD=1,AD=2.

⑴求2cosZ-cos。的值；

（2）记△4BD与ACBD的面积分别为Si和邑，求S；+S；的最大值.

即0唧（

1.（2024•广东茂名•一模）在AABC中，内角4瓦。的对边分别是。/,c,且6sin（2+C）=asin——.

⑴求8的大小；

（2）若。是4c边的中点，且BD=2,求AA8C面积的最大值.

ACAV）

2.（2024・江苏•模拟预测）在“8C中，点。在48边上，且满足W=

nCBD

⑴求证：ZACD=ZBCD；

（2）若tan/+tan5+百tan/tan2-6=0，CD=2,求的面积的最小值.

3.（2024・山东济南•二模）如图，已知平面四边形中，AB=BC=2y[2,CD=2,AD=4.

⑴若四点共圆，求/C；

(2)求四边形48CD面积的最大值.

4.(23-24高一下•吉林长春•期中)已知锐角三角形48c的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且

J^ccosN+csin/=6b.

⑴求角C的大小；

(2)若c=2,角A与角8的内角平分线相交于点。，求△N3D面积的最大值.

5.(23-24高三上•江西•期末)如图，在△/8C中，AB=BC=2,。为"8。外一点，AD=2CD=4,记

⑴求2cosa-cos£的值;

(2)若A4AD的面积为S-ASCZ)的面积为邑，求S；+S；的最大值.

考点二、周长类最值及范围问题

典例引领

A

1.(2024・安徽淮北•二模)记"BC的内角4尻。的对边分别为。，仇c,己知c-Z^Zcsin：

⑴试判断。BC的形状；

(2)若c=l,求周长的最大值.

2.(2024・四川南充・模拟预测)在。BC中，.翌。sin：sm/

sinZ+sin5smz?+sinC

⑴求A；

(2)若8C=3,求“8C周长的最大值.

3.(2024・湖南常德•一模)己知。8C的内角4瓦C的对边分别是出上c,且」一=26.

cosC

⑴判断。8C的形状；

(2)若^ABC的外接圆半径为夜，求03c周长的最大值.

c

4.(2024•山西•三模)已知AA8C的内角N,B,C的对边分别为a,b,c,满足2cos/cos8=Zsir?万.

⑴试判断“BC的形状；

(2)若“8C的外接圆半径为2,求周长的最大值.

电，即时性测

1.(2024高三下•全国・专题练习)在“BC中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,

sin2B+(cosA+cosC)(cosA-cosC)=sin(4+B)sin(Z+C).

(1)求4;

(2)设a=4V§，求“8C周长的最大值.

2.(2024・湖南衡阳•模拟预测)在A/BC中，内角43,C所对的边分别为a,4c,已知向量云)满足

而=(2〃,-病)，n=^y/2sinB,b^,且/_L^.

⑴求角A；

(2)若。3C是锐角三角形，且。=3,求周长的取值范围.

3.(2024・四川绵阳•模拟预测)已知在。8C中，。为3C边的中点，且/。=布.

⑴若A48c的面积为2,cosZADC=—,求B；

5

(2)若/炉+/。2=18,求双8C的周长的最大值.

4.(2024・贵州贵阳•三模)已知A/8C的内角/、B、C所对的边长分别为b、c,且满足

COSC=c-cc°s'.请回答下列问题：

a

⑴证明:“3C为等腰三角形；

⑵若AABC的外接圆直径为1,试求A48C周长的取值范围.

5.(2024・云南曲靖•二模)在“8C中，角4民C的对边分别为。，4c,且acosC+&siM=b+c.

⑴求角B的取值范围；

(2)已知^ABC内切圆的半径等于@,求“8C周长的取值范围.

2

考点三、边长类最值及范围问题

典例引领

1.(2024•陕西西安•一模)已知A43C为钝角三角形，它的三个内角/、B、C所对的边分别为a、b、c,且

sin2C=sin2B+sin(—+B)cos(—+8),a<c,b<c.

36

⑴求tan(/+B)的值；

(2)若A48C的面积为12石，求c的最小值.

2.(2024・贵州遵义•一模)记。8C的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知

yj3b-asinC=V3acosC■

⑴求

⑵若。8C为锐角三角形，c=2,求6的取值范围.

3.(2024•山西晋中•三模)在“BC中,角4及C的对边分别为4c,已知/+族+历=八

⑴求tan4；

(2)若6=(若+l)c,在边上(不含端点)存在点。，使得/。=1,求。的取值范围.

1.(2024•全国•模拟预测)已知。8C的三个内角4瓦。所对的边分别为。也。，满足

(Z)+c)(sinC-sinS)=2acosC(sin4-sin8).

⑴求角C.

(2)当“8C面积的最大值为4百时，求。的值.

2.(2024・四川•三模)三角形/8C中，角43,C的对边分别为a,b,c,且l+sin28+co：28=走

sin28+2siir83

⑴求B；

(2)若/C边上的中线长为2,求6的最小值.

3.(2024•全国•模拟预测)记锐角三角形N8C的内角48,C的对边分别为a,6,c,已知

(a+c)-(a-cP]tanB=2abe(sinA+sinC).

(1)求8的大小.

(2)若。8C的面积为2g，求6的取值范围.

考点四、边长和差类最值及范围问题

典例引领

1.(2024•全国•模拟预测)在“3C中，内角42,C的对边分别为。力,5且2cosc=空吧网9

S1IL4

⑴求角A；

(2)若BD=?DC,且/。=2,求6+。的最小值.

b

8.8.2.(2024・上海嘉定•二模)在中，角A、B、。的对边分别为。、b、。，

cos25-sin2B=~—.

2

⑴求角3,并计算sin13+e)的值；

(2)若6=6，且“8C是锐角三角形，求。+2c的最大值.

3.(2024•广东湛江•一模)已知在一BC中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,且

acos(5-C)+ocosA-2A/3CsinBcosA-0.

⑴求4

(2)若A/8C外接圆的直径为2百，求2c-b的取值范围.

1.(2024・湖北・二模)已知AA8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c(a<b),

c=2acosAcosB-bcos2A.

⑴求，；

(2)者8。=：8(?,卜4=2,求6+c的取值范围.

2.(2024•江西•模拟预测)在“8C中，角A,B,C所对的边分别记为。，b,c,且

,cossinC

tanA=----------.

cosC+sin5

(1)若8=£,求C的大小.

6

(2)若a=2,求b+c的取值范围.

3.(2024・山西吕梁•一模)设的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知

bcosC+2acos/=-ccosB.

(1)求A；

⑵设A的角平分线交8C于点M,AM=1,求b+4c的最小值.

4.(2024•陕西安康•模拟预测)记“BC的内角4B,C所对的边分别为a,瓦c,已知

在①tan[N+：J=-2-A/§\②26-2acosC=c,③伍+c-a)(b+c+a)=3bc,这三个条件中任选一个填在

上面的横线上，并解答问题.

(1)求角A；

⑵若^ABC的面积为1,求(6+1)2+(c+l＞的最小值.

2

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

考点五、边长积商类最值及范围问题

典例引领

■

1.(2024•湖北武汉•模拟预测)已知锐角。8C的三内角4B,C的对边分别是。，6,c,且

b~+c2-(b-cosC+c-cosfi)2=be,

(1)求角A的大小；

(2)如果该三角形外接圆的半径为百，求be的取值范围.

2.(2024•宁夏固原•一模)在锐角中，内角C的对边分别是。，4c,且

2siri8sinC+cos2C=1+cos24-cos2S.

⑴求证：B+C=2A；

(2)求*的取值范围.

a

3.(2024・全国•模拟预测)在锐角三角形中，角4反。的对边分别为。也c,且满足

siih4+cosA_sin25

cosA-sirt4l+cos25

jr

(1)若c=],求A的大小；

(2)求二J的取值范围•

a+b

1.(2024・陕西安康•模拟预测)记锐角”8C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

2siiiBsinC+cos2C=1+cos24-cos25.

⑴证明：B+C=2A；

⑵求？的取值范围.

b

2.(2024•江苏盐城•模拟预测)在A/BC中，已知角A,B,C所对的边分别为。，b,c

加3ab

asm120+i—=

222(Q+b+c)

⑴求角C的大小；

(2)若。8C为锐角三角形，求生的取值范围.

C

3.(2024•山西朔州•一模)已知AABC的内角4/C的对边分别为a,6,c,向量

m=(a+b,c),n=(sirU-sinC,siib4-sinfi),且mlIn.

⑴求8；

(2)求上千的最小值.

a+c

考点六、中线最值及范围问题

典例引领

1.(2024・四川•三模)在AZBC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且满足

2csinBcosZ=6(sin4cosB+cos/sin5).

⑴求A；

(2)若AZBC的面积为16』，。为/C的中点，求皿的最小值.

2.(2024・陕西安康•模拟预测)在中，内角4瓦。所对的边分别为。，仇c,且

3

a(siih4-cosCsin5)-c(cos/sin5-sinC)=—asinC

⑴求cosB；

⑵设。为边/C的中点，AC=2,求线段助长度的最大值.

sin5+sinCcosB+cosC

3.(2024•湖北•模拟预测)在。5C中，已知，。为的中点.

siiL4cosA

⑴求4;

(2)当5。=4时，求4。的最大值.

即0唧(

1.(2024•四川南充•二模)在①2。sin8cos/=b(sin4cos5+cos/sin5)；②

bsinB+csinC-asinA2..、、人人八」“、心

sin2B+sin2C+cos224-l=sin(^+5)sin(^+C)；③————苏|…这二个条件中任选

一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

在AA8C中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且满足

⑴求A；

(2)若。8C的面积为166,。为/C的中点，求8。的最小值.

2.(2024・河北•模拟预测)在18C中，角4尻。的对边分别为。，dc,且

^siiL4-V3sinBja=(c-6)(sinC+sirL8).

⑴求角C的大小；

(2)若边c=2,边的中点为。，求中线CD长的最大值.

3.(2024•全国•模拟预测)在锐角“BC中,角4瓦。的对边分别为a,6,c,且

acosC+y/iasinC-b-c=0.

⑴求角A的大小；

⑵若。是线段8c上靠近点B的三等分点，。=3,求/。的最大值.

考点七、角平分线最值及范围问题

典例引领

1.(2023・浙江•二模)在锐角中，内角4民。所对的边分别为。，b,c,满足

sin41sin2^4-sin2C口彳「

---------1=----------------，且

sinCsin2B

⑴求证：B=2C；

⑵已知5。是。的平分线，若。=4,求线段助长度的取值范围.

2.(2024•陕西安康•模拟预测)已知锐角。中，角A,B,。所对的边分别为。，b,。，其中3=8,

a1sin2^4-sin2C口一

一=1+-----------------，且a。。.

csinB

⑴求证：B=2C；

⑵已知点M在线段4。上，且N/BM=NC9,求的取值范围.

即时检测

1.(2024•山东泰安・模拟预测)已知AA8C内角4瓦。的对边分别为a,6,c,Z>(sinB+sinC)=(o-c)(sinA+

sinC).

⑴求N;

⑵，的平分线4D交8C于。点，96+c=64,求4D的最大值.

2.(2024・广东深圳•模拟预测)己知中内角N,B,C的对边分别为a,b,c,且满足

y/3c+6sin/=y/iacosB■

(1)求角/的大小；

⑵若。是边5C上一点，且4。是角4的角平分线，求;三的最小值.

AD

3.（2023・河南•三模）在锐角A48C中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,已知3=一+」一厂，且

cb

（1）求证：B=2C；

（2）若//8C的平分线交/C于。，且。=12,求线段2。的长度的取值范围.

考点八、高线最值及范围问题

典例引领

1.（2024・全国•模拟预测）已知的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,a=l,

sin5+百6cos/=0.

⑴求角A；

（2）设MW•是AA8C的高，求⑷/的最大值.

2.（2023・贵州毕节・统考一模）已知“BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c.若

6cos"+B=csiiiS.

2

⑴求角C;

（2）若C=VL求2C边上的高的取值范围.

即时检测

71

L（2024•江苏苏州•模拟预测）已知函数/（x）=sinCOXH---（-。＞0）在［0,小上单调递增，在亍兀上单调

6

递减，设伉,0）为曲线昨“X）的对称中心.

⑴求不；

（2）记AABC的角A,B,C对应的边分别为a,6,c,若cos/=co酱,6+c=6,求2C边上的高AD长的最大值.

2.（2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市第六中学校校考一模）在锐角。3C中，设边仇c所对的角分别为

A,B,C,且潦；-丁=加.

⑴求角B的取值范围；

（2）若c=4,求中A8边上的高〃的取值范围.

3.（2023・全国•模拟预测）在锐角三角形48C中，sin/-sin/4CB=AB=\.

sin(Z5+ZT1C5)

⑴求—2.

(2)求边上的高的取值范围.

考点九、其他线段类最值及范围问题

典例引领

1.(23-24高三下•河南周口•开学考试)在“8C中，角43c的对边分别为

a,6,g1+cos2C=cos2/+cos25-2sirL4sin5.

(1)求角c；

(2)若c=5,。为边上一点，NACD=/BCD,求CD的最大值.

2.2024•陕西安康•模拟预测)在。8C中，内角48,C所对的边分别为a,6,c,且。-百ta必)(1-6tanC)=4.

⑴求3;

(2)若b=,4=3,AD=DB,连接CD,求CD?的值.

4

3.(23-24高一下•吉林白山•阶段练习)在。5C中，内角4SC所对的边分别为。也。，且

sin12-V3siib4sinB1

-------------------------=1.

COS%-cos2c

⑴求角C的大小；

⑵若“8C为锐角三角形，点尸为AASC的垂心，CF=6,求AF+8R的取值范围.

A

4.(2024・广东广州•三模)在锐角中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且c=bsin^+acosB.

⑴求4

CD

(2)若。是边2C上一点(不包括端点)，S.ZABD=ZBAD,求力的取值范围.

即时检测I

1.(2024・贵州贵阳•模拟预测)已知在"BC中,一sin4=0,

⑴求4;

⑵若点。是边BC上一点,BD=2DC,AZBC的面积为6，求/。的最小值.

2.(22-23高一下•黑龙江哈尔滨•阶段练习)已知A48c的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,

[b+c)(sin5-sinC)=(b-a)sinZ.

⑴求/C的大小；

⑵若c=3,。是边上的一点，且2AD,求线段C£＞的最大值.

3.(2024•辽宁沈阳•模拟预测)在AZBC中，内角4,B,。所对的边分别为Q,b,c,且

sin2C-sinCsin5

----2------7---=*'

cos5-cosA

(1)求角/的大小；

(2)若。8C为锐角三角形，点尸为。3c的垂心，AF=6,求CF+8尸的取值范围.

4.(2024•河北衡水•一模)在中，内角4属C所对的边分别是出上c,三角形面积为S,若。为4C边

上一点，满足=且/=-Rls+a6cosc.

3

⑴求角3；

⑵求三2+士1的取值范围•

考点十、外接圆及内切圆半径类最值及范围问题

典例引领

L(2024•吉林•二模)已知“8C的三个内角4瓦。的对边分别为的外接圆半径为6,且

sin2B+sin2C-sinBsinC=sin2A-

⑴求a；

(2)求。8C的内切圆半径厂的取值范围

2.(2024・全国•模拟预测)己知中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,

43b-csin4=43acosC■

⑴求角A的大小；

(2)若a=7,外接圆的半径为R,内切圆半径为人求四的最小值.

r

2.

即时性测

1.(2024•全国•模拟预测)在A/8C中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,且

.2,•2八sin2^4-sin25

sin/snB=-----------

4

⑴求C；

(2)若c=2,求“BC内切圆半径取值范围.

R+「i

2.（2024•全国•模拟预测）在"①百acosC=9-csiIL4;②asinff=6sin］；③acos8+”=c”这三个

条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.

在AA8C中，角48,。所对的边分别为a,6,c,且______.

⑴求角A的大小；

（2）若a=4,厂表示内切圆的半径，求厂的最大值.

考点十一、角度类最值及范围问题

典例引领

1.（2023・海南海口•校考模拟预测）在。8C中，角A、B、C所对的边长分别为a,6,c,若a/,c成等比数

列，则角8的取值范围为（）

A-「D八兀［B.凶/八兀］C.加「兀1D.加「兀、

2.（2024・山东荷泽•二模）己知在A/BC中，石.Q=-2,Z\4BC的面积为百.

C

⑴求角C的度数；

（2）若8。=2,。,£是A5上的动点，且/DCE始终等于30。，记NCED=a.当。£取到最小值时，求"的

值.

即时检测

L（2023春•上海宝山•高一校考期中）如果AA8C的三边。、b、c满足/=/，则角8的取值范围

为.

2.（2024•上海奉贤•三模）已知三角形28c的三个角对应的边分别为。、b、c

（1）求证：存在以sin4sin8,sinC为三边的三角形；

（2）若以sin24sin28,sin2c为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形ABC的最小角.

考点十二、正余弦类最值及范围问题

典例引领

1.（2024•全国•模拟预测）记“BC的内角4民。所对边分别为。也c,已知“38$。-1）=。（1一3:：055）,

⑴证明：b+c=3a；

⑵求cos4的最小值.

2.(2024•全国•模拟预测)记。8C的内角4及C的对边分别是。，仇c,已知

sin2B-2sin^sinC=2sinCsin(4-3).

⑴证明：2a2^3b2-2ac;

(2)若。3C为锐角三角形，求当的取值范围.

sin/

3.(2024•河北沧州•模拟预测)已知在“8C中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,且

Qsin/—csinC=(Q—6)sinB.

⑴求c；

⑵求sin?N+sin?B的最大值.

4.(2023•全国•模拟预测)已知“BC的内角42,。所对的边分别为。,6。加3=有(<;-或：053).

⑴求角A的大小；

(2)求「苏/的最小值.

sin25+sin2C

5.(23-24高三上•江苏南京•期中)在“BC中，4B,C所对的边分别为a,6,c,已知/=。(。+。).

(1)若8=一，求£的值；

4a

(2)若AABC是锐角三角形，求若sin8+2cos2C的取值范围.

即时他虬

1.(2024•陕西宝鸡•二模)A3C中，。为BC边的中点，40=1.

⑴若O8C的面积为2右，且N/DC=T，求sinC的值；

(2)若BC=4,求cos/氏4c的取值范围.

2.(23-24高三上•山东枣庄•期末)在AA8C中，角4及。所对的边分别为。,6,c.若

2a+bcosA-c=btanBsinA.

⑴求3；

(2)若。8C为锐角三角形，求任学西的取值范围.

sinC

3.(2024・河南•一模)A48C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,且满足

⑴求证：8=2/；

sin(C-A)-sinB

(2)若。8C为锐角三角形，求的取值范围.

sin/

73.(2024•全国,模拟预测)在443c中，内角4,8,C的对边分别为a,b,c,tan住-李=匕，|日

<42)sin25

⑴判断。BC的形状，并证明；

(2)求4-一四」的最小值.

c4ccos5

4.(2024・辽宁•一模)在A/3C中，内角43,C所对的边分别为见仇c,满足b(b+a)=/.

⑴求证：C=2B-

(2)若^ABC为锐角三角形，求2sinC+cosB-sin5的最大值.

2c-l

5.(2024・广东佛山模拟预测)在A/8C中，角4瓦。所对的边分别为a/,c,其中。=1,cosA=——.

2b

⑴求角3的大小；

(2)如图，。为皿外一点，八孙W,求彩成的最大值・

考点十三、正切类最值及范围问题

典例引领

1-___________

1.(2024•山东荷泽•模拟预测)在A/3C中，角4及。所对的边分别为a,6,c.已知次.就一防.而=彳砺,

⑴若彳=1,判断“3C的形状;

(2)若文=；,求tan(8-/)的最大值.

即时检测

I________L__________

1.(2024・云南・二模)中，内角/、B、C的对边分别为a、b、c,3是A与C的等差中项.

(1)若六=*,判断。BC的形状；

b-ac

tan5

⑵若。5C是锐角三角形，求的取值范围.

tanA+tanC

考点十四、向量类最值及范围问题

典例引领

1.（2023•湖北武汉・华中师大一附中校考模拟预测）周长为4的“8C,若6,c分别是4且C的对边，且

a2=bc,则冠.就的取值范围为.

2.（23-24高三上・北京•阶段练习）在“BC中，$吊（/+：卜11（2+：］=3/8$3.

⑴求C；

（2）若AB=4i，求而.丽的最小值.

3.（2024•湖南邵阳•一模）在“8。中，内角A满足#sin2Z-cos2Z=2.

⑴求角A的大小；

AD

（2）若发=2而，求的最大值.

BD

即时他虬

JT_

1.（23-24高一下•重庆•阶段练习）如图在“8C中，ZBAC=-,满足诟=3丽.

（2）点又是线段。上一点，且满足加=wK+g方，若。8C的面积为5求|而|的最小值.

2.（2024・重庆•模拟预测）在“BC中，内角/,B,C所对的边分别为a,b,c.己知

兀A.BB

b=2ZJCOS2-tzsm—cos—

12222

⑴求角4的大小；

（2）若丽=定，且6+c=2,求4尸的最小值.

考点十五、参数类最值及范围问题

典例引领

1.（2023・陕西榆林•统考一模）AABC的内角4瓦。所对的边分别为a,6,c,asmA+[b+Aa）sinS=csinC,

则几的取值范围为（）

A.（-2,2）B.（0,2）C.[-2,2]D.[0,2]

2.（2024•全国•模拟预测）在锐角三角形NBC中，角4民。所对的边分别为,c,且

asinC=c（2sin8-cos^tanC）.

⑴求C；

（2）若方=/l而（2>0）,且求实数2的取值范围.

即0唧（

1.（2023・全国•模拟预测）已知在A/BC中，角4瓦C所对的边分别为见6,。，且

Z?cos|—+|+sin（7t+B）J-----------=0.

（2）17V1-COS2C

⑴求csiib4的值；

（2）若2（bsinC-atanC）=ctanC,且鼠诋上a，求实数4的取值范围.

2.（2023•湖北咸宁•模拟预测）在AABC中,角4B,C所对的边分别为0,瓦c,满足6cosc+c=26,a=3.

⑴证明：外接圆的半径为百；

（2）若2S.ABC4，+2b。+1/）恒成立，求实数t的取值范围.

12.好题冲关•

基础.过关________

1.（2024•陕西宝鸡•一模）在中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

2acosA-cosB+bcos2A-拒c-b-

⑴求角4；

（2）若AABC的面积为1,求。的最小值.

2.（21-22高二下•山西•期中）在。8C中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且

bcos5=—QCOSC+—ccosZ.

22

⑴求角B；

(2)若6=6，c>b,求2c-a的取值范围.

3.(23-24高三上,河南•期中)在锐角“3C中，角4及。所对的边分别为。,6,c,已知

besinC=(c2+Z72-a2)-sin^5+.

⑴求A；

(2)若a=6,求A48C周长的最大值.

4.(22-23高二上•河南省直辖县级单位•期末)已知。BC为锐角三角形，角4瓦。的对边分别为仇c,且

(b2+c2-a2^tanA=乖>bc.

⑴求角A的大小；

(2)若.=&,求e-c的取值范围.

5.(2023•全国•模拟预测)在锐角“BC中，角43,C所对的边分别为。,仇。，已知a+6=6,且“BC的面

积S=ab-

4

⑴求C；

(2)求c的最小值.

6(2023・全国•模拟预测)在“8C中，角4&C所对的边分别为a,6,e,已知

sinA_cosB+cosC

cosB-cosCsin/-sinB

⑴求c；

(2)若A/8C外接圆的半径为地，求。3c的面积最大值.

3

7.(2024・广西•模拟预测)记。3C的内角4,B,C的对边分别为〃，b,c,分别以〃，b,c为边长的三个

丁一人m、r仁cc「心cosBcosC2cos4

正二角形的面积依次为Si,S2，S3.已知「一+----=------.

bca

⑴证明:2sLS2+S3；

(2)若。=3,求AA8C周长的最大值.

8.(200•安徽淮北•模拟预测)在AABC中，角4,B,C的对角分别为q,b,c且

bc

—cosC+—cos5=3cos5.

aa

⑴求sin5；

⑵若。为4C边的中点，且3。=1,求△45。面积的最大值.

9.(2023•四川绵阳•模拟预测)在斜三角形/3C中，内角4民。所对的边分别为。也。，已知

cos(C-B)siiU=cos(C-24)sinfl.

⑴证明：A=B；

⑵若，=sinB,求二一!的最小值.

cca

10.(23-24高三上•山东威海,期末)在"8C中，角48,C所对的边分别为a，b，c,记的面积为S,己

知百万.就=2S.

(1)求角A的大小；

(2)若a=2百，求座+。2的最大值.

能力提列,

1.(2024•青海，模拟预测)已知的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且

2acos2B+2bcosAcosB=c•

⑴求5

c

(2)若b=4,小3C的面积为S.周长为2,求工的最大值.

2.(2024•山东济南•二模)如图，在平面四边形/BCD中，BC1CD,AB=BC=^，N4BC=6,

120°46Ml80°.

⑴若。=120°,AD=3,求应4DC的大小;

(2)若CD二遥，求四边形/BCD面积的最大值.

3.(2024・河南•模拟预测)在“8C中，角4及C的对边分别为。、4c,且ccosB+2aco%+6cosC=0.

(1)求A；

TT

(2)如图所示，。为平面上一点，与A/BC构成一个四边形N8OC,且/BDC=§,若C=26=2,求/。的

最大值.

.a

4.（2024・重庆・三模）已知在数列（｛%｝中，01=19+1=虎1,

⑴求证：数列是等差数列，并求数列向｝的前〃项和I；

⑵在“8C中