湖北省部分学校2025届高三年级上册第一次大联考（一模）数学试题（含答案解析）

湖北省部分学校2025届高三上学期第一次大联考(一模)数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.命题“三。>0,/+1<2”的否定为()

A.Sa>0,a2+1>2B.3a<0,o2+1>2

C.Va>0,a2+l>2D.Va<0,a2+l>2

2.已知集合4={刀|X2-3<O},B={X[0<X+I<3},则人口3=()

A.(-B.C.(-0,代)D.(—1,2)

3.已知函数/(x)=e，_/'(l)x,则()

A-〃1)=-*IB./，(1)=-|

C.〃2)=e?-eD.r(2)=e2-e

4.已知函数f(x)=(x—2)",〃wN*,则，=1”是“〃x)是增函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.若对任意的x,yeR,函数〃尤)满足"：>)=/⑴+,则〃4)=()

A.6B.4C.2D.0

6.某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润s(单位：百万

元)与新设备运行的时间f(单位：年，leN*)满足s=B：：0’一对<8,当新设备生

[-?+10r-2r,/>8

产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间/=()

A.6B.7C.8D.9

7.如图，在AABC中，/BAC=120。,AB=2,AC=1,2是BC边上靠近B点的三等分点，E是

8c边上的动点，则荏.也的取值范围为()

A

8.已知函数/(x)=/+3x+l,若关于x的方程/(sinx)+/(〃z+coK)=2有实数解，则加的

取值范围为()

A.[-1,72]B.[-1,1]C.[0,1]D.卜亚,夜]

二、多选题

9.在等比数列｛%｝中，4%=2,%=4,则()

A.｛%｝的公比为也B.｛为｝的公比为2

D.数列logZ工为递增数列

C.〃3+〃5=2。

10.已知函数/(x)=gtan(s-e)(ty>0,0<e<7T)的部分图象如图所示，贝I]()

D.函数y=|/(到的图象关于直线X=对称

11.己知在，b=In瞿，c萼，则()

a■一乙9

试卷第2页，共4页

A.c>aB.a>b

C.c>bD.b>a

三、填空题

12.已知平面向量泣为满足式•为=3,且沆_L(庆-2万)，则网=.

13.若且cos2a=cos(a+3,贝i]a=.

14.已知正实数。/满足2a+36=2,则J；”的最大值为______.

-a2+2b+4-

四、解答题

15.在公差不为。的等差数列｛an｝中，％=1,且%是电与知的等比中项.

(1)求｛时｝的通项公式；

⑵若d=2。”，cn=anbn,求数列｛c,｝的前〃项和S”.

16.在锐角VABC中，内角A,民C的对边分别为a,b,c,且4=%£1彳1.

cb'-ac

⑴证明：B=2C.

⑵若点。在边AC上，且CD=3D=4,求。的取值范围.

17.已知函数〃xb^-alna+l).

⑴若a=4,求〃x)的极值点；

⑵讨论“X)的单调性.

18.已知数列｛%｝的前〃项和为%且4=g,S“=(2"-l)a".

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)证明：S2S4...S2„>^.

19.当一个函数值域内任意一个函数值y都有且只有一个自变量为与之对应时，可以把这个

函数的函数值y作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量》作为新的函数的函数值,

我们称这两个函数互为反函数.例如，由>=3x,xeR,得尤=1,yeR,通常用x表示自变量，

则写成y=»eR，我们称，=3x,xeR与y=互为反函数.已知函数“X)与g(x)互

为反函数，若4,8两点在曲线3/=/(乃上，＜?,。两点在曲线丫=。0)上，以A,8,C,。四点

为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线y=x垂直，则我们称这个矩形

为/⑺与g(x)的“关联矩形”.

⑴若函数〃力=石，且点在曲线y=f(x)上.

(i)求曲线y=/(x)在点A处的切线方程；

(ii)求以点A为一个顶点的“关联矩形'’的面积.

(2)若函数f(x)=］心，且“X)与g(x)的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形''的面积为S

证明:(参考数据:Ve-l-ln2<0)

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CACADBCDBCAD

题号11

答案ACD

1.C

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断.

[详解】因为3>0,/+1<2”的否定是“V。>0,/+122”.

故选：C

2.A

【分析】先确定两个集合中元素，再根据交集的定义求解，

【详解】因为4=卜有，石),2=(-1,2),所以Ac2=hl,有).

故选：A.

3.C

【分析】求导，通过赋值逐项判断即可.

【详解】因为〃x)=e</'(l)x,所以/'(x)=e-/"),

则广⑴=e—/'(l),所以广⑴=],

则〃x)=e=»所以〃1)=导-⑵=e*,〃2)=e2-e.

故选：C

4.A

【分析】由当"=2左+l/eN时，尸(久)N0,可得〃"=。-2)"是增函数，即可得到答案.

【详解】由/(x)=(x—2)",得广解)=〃a一2尸,

则当附=2左+l#eN时，f(%)>0,/(x)=(x—2)"是增函数，

当〃=1时,可得/⑺是增函数；

当/(元)是增函数时，72=2左+1,左wN,

故“附=1"是，"(X)是增函数”的充分不必要条件.

故选：A.

答案第1页，共12页

5.D

【分析】用赋值法即可求解.

【详解】令y=0,则由〃丁=〃x)+〃y),可得〃力=一2〃0),

所以/(尤)为常数函数，令尤=y=0,可得"0)=0,故"4)=0.

故选：D.

6.B

S-2r--+50,?<8

【分析】由已知可得y=-=t,当f<8和出8时分别求得最大值，即可求

,[-r2+10?-2j>8

解.

f98

c-2/--+50/<8

【详解】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润y=-=t',

t[-t2+10t-2,t>8

98

当,v8时，2^+—>28,当且仅当，=7时，等号成立，

t

98

则-2t——+50<22,

t

所以当f=7时，2取得最大值，且最大值为22,

t

当时，一产+10/-2=-。-5)2+23,

所以函数在[8,+8)上单调递减，

所以当7=8时，)取得最大值，且最大值为14,

t

故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间7=7.

故选：B.

7.C

【分析】先用余弦定理求出|阮再将向量用基底衣，通表示，借助向量运算性质计算即

可.

【详解】由cos/B4C=J----------——=-彳，解得忸4=近.

2AB\\AC\211

^CE=ACB,0<A<\,

则

答案第2页，共12页

A

2—-—.2--214414410

=-ACAB——AC+—2=——+——/U

33333

故选：C

8.D

【分析】设g(x)=/(x)-l=d+3x,利用函数的单调性和奇偶性，把

/(sinx)+y(m+cosx)=2转化成m=-sinx-co&x,再结合三角函数的性质求机的取值范围.

【详解】令g(x)=〃x)-l=£+3x,则g，(x)=3d+3>0恒成立，则g(x)在R上单调递增,

且g(x)是奇函数.

由/(sinx)+/(m+cosur)=2,得/(siirv)-l=-[/(/n+cosx)-l^,gpg(sinx)=g(-m-cosx),

从而sinx=-m-cosx,即根=-sinx-cosx=-后sin(x+：Je

故选：D

【点睛】方法点睛：设g(x)=〃x)-l=V+3x,可得函数g(x)为奇函数，利用导函数分析

函数g(x)的单调性，把/心血)+“机+8&%)=2转化成7”=_5加-88%,再求加的取值范

围.

9.BC

【分析】根据题意，列出等式求出等比数列的首项和公比，然后逐一判断即可.

【详解】设等比数列｛an｝的公比为4,

依题意得解得所以%=2片，

axq=4,[q=2,

故〃3+%=2?+24=20,故BC正确，A错误；

I11〃，则数列log?工为递减数列，故D错误.

对于D,log—=1-

2an

故选：BC.

10.AD

【分析】根据函数的图象确定其最小正周期，求出G=2,判断A；利用特殊值可求出。,

答案第3页，共12页

进而求出“X)的图象与y轴的交点坐标，判断BC；判断“X)的图象关于点［石■,())对称,

即可判断D.

【详解】由图可知，/(X)的最小正周期T=^=g,则。=2,A正确；

由图象可知X=］时，函数无意义，故^-。=5+痴,左eZ,

由0<°<兀，得©=莹,即〃x)=；tan(2x_3,则/⑼=_£,

即/(X)的图象与y轴的交点坐标为o,-^,B,c错误；

(6)

由于=j=0,则〃x)的图象关于点、1,o］对称，

可得函数y=|/(x)|的图象关于直线x=£对称.

故选：AD

11.ACD

【分析】将。，6变形作差，可得"°=:+，设/(x)=x+ln(l—x),xe(O,l),

求导判断函数的单调性即可判断D；将。变形，可得b-c=l*一田+稻,设

/z(x)=Inx-y/x+',xe(l,+s),求导判断函数的单调性即可判断C；根据C,D即可判

断A.

【详解】«=2IOS4^=2IOg^=-,&=ln^=-ln^-=-lnfl-^-L

10910I10；

八1i八口

a-b=—+ln1---,

10110)

令/(x)=x+ln(l-x)，XG(0,1),

则尸(x)=1-=产<0,/(X)在(0,1)上单调递减,

1-x1-x

所以/</(0)=0,即〃<6,故D正确;

//(X)=llLX-y]~XH--,xe(l,+oo),

'yjx

7，/、1112Vx—x—1—(\/x—I)2

则⑺一而一——=——<0，可力在(L+8)上单调递减，所以

答案第4页，共12页

即/<c,故C正确，

因为a<6,b<c,所以c>a,故A正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：数的大小的比较，通过构造函数，通过求导利用函数的单调性求解是解

题的关键.

12.屈

【分析】由向量数量积的运算律和向量垂直的表示直接计算即可得解.

【详解】因为用JL（庆一2河），

所以丽•（而一2方）=0,贝I］病=2庆.方=6,

所以恸=几.

故答案为：A/6.

兀

13.

12

【分析】化简三角函数式，求出sin［1+：］=；,根据即可求解・

【详解】由cos2a=cos(a+j,得cc^a-siYa=£^(cosa-sina

贝ljsin(a+：j=w.

因为。,所以cos。-sin。w。,贝!Jcosa+sina=——,

।(71八、ZQ兀।兀兀)p-.17T7LATIzo兀

由a1—5'°)'得a+'贝」a+l=Z，解得a=一不.

\\'IJUJ.乙

故答案为：

ab_1

【分析】将2a+3b=2代入可得—4+2才+4-加+些+14再由基本不等式求解即可.

ba

【详解】解：因为2a+3b=2,

ab_ab_ab_\

22

所以-/+26+4--a+b(2a+3b)+(2a+3b)-3a」+12〃+14"-3a।12b।了.又

ba

a>0,b>0,

答案第5页，共12页

匚匚3a12b_13a12b._

所以一+—>2------=12,

ba\ba

42

当且仅当时，等号成立,

77

ab的最大值为上.

则

一。2+2"4

故答案为：--

15.(l)a„=2n-l

⑵S“=等工用+个.

【分析】（1）根据等差数列通项公式把生、出、知都用q与d表示，结合已知解出“，即

可得出｛4｝的通项公式；

（2）先表示出a=227,再表示出%=（2〃-1）"1,用错位相减法即可求解.

【详解】（1）设｛%｝的公差为d（dH。），因为。5是。2与％4的等比中项，

所以ag=^2^141即（a1+4d）=（q+d）（%+13d）,

整理得/=2%d.

又％=1,dwO,所以d=2,

则an=al+(“-l)d=2M-1.

(2)由(1)可得£=2%=223,g=a“〃=(2〃-l).22i,

贝i]S'=lx2i+3*23+5x25+...+(2“一l>22"T(D,

4Sa=1X23+3X25+5X27+---+(2M-1)-22,,+1(2),

-3S„=2+2x(23+25+.••+22"-1)-(2n-1)-22,1+1

=2+2X23"22""-(2n-l)-22n+l=--.22n+1

1-4v'33

则S“=与"向+个.

16.(1)证明见解析

⑵(4仓响.

答案第6页，共12页

【分析】⑴化简已知等式结合余弦定理可得a=c(l+2cosB),再利用两角和的正弦公式即

可证明结论；

(2)由已知条件结合正弦定理可得3C=8cosC,根据锐角VA2C确定角C的范围，即可求

得答案.

【详解】(1)证明：因为旦=号或，所以2c=/c-c3,

cb-ac

整理得。2(a-c)=c(a+c)(a-c).

又一wl,所以a—cw。，从而/=ac+02=/+。2-2QCCOS5,

c

整理得a=c(l+2cos5),则sinA=sinC(l+2cos3).

由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,得sinBcosC—cos5sinC=sinC,

即sin(B-C)=sinC,结合锐角VABC中，B-Ce(-p|),

则5—C=C,即B=2C.

(2)如图，由CD=jRD,可得ZACB=ND5C,贝I]/RDC=TI—2/ACB.

BCBD

在△5CD中，由正弦定理得

smZBDC~smZBCD'

BDsin^BDC4sin2C

整理得3C==8cosC.

sin^BCDsinC

o<Y，

因为B=2C,且VABC是锐角三角形，所以〈0<2C<],解得黄c<,

204

71

0<兀一3C<一,

2

则泉eg#,

从而472<8cosC<4>/3,即°的取值范围为(4&,4^).

17.(1)极小值点为1,无极大值点.

答案第7页，共12页

(2)答案见解析

【分析】(1)利用导数，可得当Xe时，/(X)单调递减；当X6(1,+8)时，/(X)单

调递增，则得答案；

(2)由广⑺=2匚：;一”,则讨论2犬+2>“=0的解的情况，进而讨论出“X)的单调

区间.

【详解】(1)因为a=4,所以/(x)=x2-41n(x+l),x>—l,

贝"(x)=2x一工=2(X+2)(1),

')x+1x+1

令广⑺ARIL,解得尤=1或》=一2(舍)，

当xe(一1,1)时，/'(x)<OJ(x)单调递减;

当％G(1,+8)时,r(x)>o,〃x)单调递增,

故“X)的极小值点为1,无极大值点.

(2)由/(力=/_aln(x+］),x>_l,则尸(x)=2x――+2；-",

令"2x?+2%—〃=0,

若A=4+8a<0,即Q«-L

2

则方程2炉+2%-〃=0无解或有两个相等的实数解，

此时2/+2x-/0恒成立，则〃％)的单调递增区间为(T+"),无单调递减区间.

若A=4+8a>0,即Q>—,

2

则方程2d+2x-a=0的解为玉=T+,%=

若0<1+2〃<1,即一g<Q<0,贝|玉>入2>—1，

—1—Jl+2〃—1+Jl+2a、

当xe-1,,+。时，/'(%)>0,当

一—JA―一)

(S+2a—l+Jl+2a)」,,、

一1——，——\——时，/'(X)<0,

I22)

则/(X)的单调递增区间为［T土手药］和IT+,+J,单调递减区间为

\7\7

答案第8页，共12页

—1—Jl+2a—1+Jl+2a

若l+2a21,即贝|兄24一1<%1，

-1+Jl+2a—1+Jl+2〃

T-2时，/'（%）<0，当xw时，/'(%)>o,

2

则/（无）的单调递增区间为［士乎互,+/,单调递减区间为「1,上乎互.

综上，

当时，/（X）的单调递增区间为（-1,+8）,无单调递减区间；

当-g<a<0时，“X）的单调递增区间为11,土手药］和j士手互，+少，单调递

1Jl+2a1++2〃

减区间为

当时，“X）的单调递减区间为士手药］,单调递增区间为［士乎互,+".

<）\?

18.（1）«„=QJ

（2）证明见解析

【分析】（1）根据前〃项和为S”与。“的关系，利用相减法得数列递推关系式，从而根据等

比数列可得｛即｝的通项公式；

（2）由（1）得S,,=l-5，根据不等式1+J［"-=1+：-击>1,n>2,即可证

得结论.

【详解】（1）当时，由S“=（2"-l）%,得S“T=（2"T-1）%T，

则%=S“-S"T=（2"-1,“-（2"--）%,整理得见=：%.

因为q=g，所以｛%3是以g为首项，；为公比的等比数列，

则an=a©—=.

答案第9页，共12页

⑵证明：由⑴可得S"(2f)a,=U=l一g，则邑"1一J=+

当〃N2时'对于”+击［1一，)=1一，+击一击=1+：一击>1,

所以(i+£KT“+。/扑••“+击卜『!)>1，

从而S2s4…邑”=。一；>“+/(1一?〉［1+5］“一小上

19.⑴⑴>=";(ii)2夜+1；

^48

(2)证明见解析.

【分析】(1)(i)先由点在曲线y=/(%)上求出点4再利用导数工具求出广即可由直

线的点斜式方程得解；(ii)先由反函数性质依次得出y=f(久)的反函数g(x)和A关于直线

y=x对称的点为D,从而得kAD和\AD\，再由题意以及/'(x)=«图象特征得AC±AZ)和kAC,

进而得直线AC的方程，接着联立求出点C即可得|AC|,从而计算S=gD||AC|即可得解.

(2)先由题意设4。关于直线卫=尤对称，B,C关于直线y=x对称得进而设

X314

A(,Inxj),B(x2,lnx2),C(%3,e),D(x4,e］0<%］<x2,%4<x3,再由已知信息结合

|钻|=怛。得到9-2占+1叫=0,接着建立函数/?(x)=e£-2x+lnx并利用导数工具研究其

单调性从而由=0和(J<0得为>；,从而借助S=|AB|2=2(9-&)2的单调性得证

【详解】(1)(i)因为点在曲线〃x)=«上，所以,=£=；,即人［

由〃力=五，得/'(x)=E^，则=

所以曲线y=/(x)在点A处的切线方程为=x-;即丫=尤+；.

(ii)由⑴A］；［］，由/(%)=&得其反函数为8(力=犬2(%20),

则函数〃x)和g(x)图象关于直线>=彳对称，设A关于直线对称的点为

答案第10页，共12页

1_1

则。在曲线g(x)上，且Ngj，3安=-1，

2~4

则|叫=

一4

由题意以及由〃》)=«图象特征可知ACLAD,贝UKc=l，直线AC的方程为＞=无+；,

y=x2,

x=l±Yl或x=fl（舍去）,

联立方程组1解得