2025年高考数学复习之解答题：函数概念与性质（10题）

2025年高考数学复习之小题狂练600题(解答题)：函数概念与性质(10

题)

一.解答题(共10小题)

1.(2024•安溪县校级模拟)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱

布尼茨等得出悬链线的方程为y=,其中c为参数.当c=l时，该表达式就是双曲余弦函数,

记为coshx=U^,悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.已知三角函

数满足性质：①导数：出吗'=cosx；②二倍角公式：cos2尤=2cos2尤-1；③平方关系：sin2x+cos2x

((cos%)=—sinx

=1.定义双曲正弦函数为011b=丝4.

(1)写出sinhA,coshx具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质;

(2)任意x>0,恒有sinhx-日>0成立，求实数上的取值范围;

(3)正项数列｛斯｝(nEN*)满足〃r=a>Lan+i=2a^-1,是否存在实数a,使得〃2024=n?若存在,

求出〃的值；若不存在，请说明理由.

(4—(x>0)

2.(2024•昔阳县校级模拟)已知函数/(%)=R(%=0).

U-2x,(%<0)

(1)求/(7(3))的值；

(2)当-4WxV3时，求/(x)的值域.

3.(2024•昔阳县校级模拟)在①函数/(%)=〃-(b-1)鼠1是定义域为R的奇函数且/(1)=*②函

数/(x)=x如汁在点(1,/(D)处的切线方程为y=4x+l,(§y(x)=(〃-2)2*+2-Z?是指数

函数三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.

已知函数g(X)=loga(Z?+X)+10ga(b-X)(。>0,且〃Wl,/?>0).

(1)试确定g(%)的奇偶性；

(2)已知,求不等式g(x)的解集.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

4.(2024•昔阳县校级模拟)对于函数fi(x),fi(%),如果存在实数a,b,使得函数F(x)=a9fi(x)

+b・fi(x),那么我们称/(x)为力(x),fl(x)的“HC函数

(1)已知力(x)=x-3,fi(x)=-2x+l,试判断F(%)=5x-5是否为fi(x),fl(%)的aHC函

数”.若是，请求出实数a,b的值；若不是，请说明理由；

(2)已知力(x)=2X,fi(x)=4X,F(x)为力(x),fi(x)的"HC函数”且a=2,b=l.若关于

x的方程E(x)=m-fi(x)+1有解，求实数机的取值范围；

(3)在后续学习中，我们将学习如下重要结论：“对于任意的正实数a,b都有等当且仅当

a=6时，式中的等号成立”.我们将这个结论称为“基本不等式”.

请利用“基本不等式”解决下面的问题：

1

已知力(x)=x,fi(x)=-,F(%)为力(x),fi(x)的“HC函数”(其中。>0,b>0),F(%)的

定义域为(0,+8),当且仅当冗=2时，F(x)取得最小值4.若对任意正实数xi,X2,且XI+%2=2,

不等式/(xi)+F(X2)三机恒成立，求实数机的最大值.

5.(2024•红谷滩区校级模拟)若存在xoE。使得/(x)勺(%o)对任意在。恒成立，则称xo为函数/(x)

在。上的最大值点，记函数/(x)在。上的所有最大值点所构成的集合为

(1)若/(%)=-/+2%+1,D=R,求集合M；

(2)若/(吗=小舞，D=R,求集合M；

(3)设〃为大于1的常数，若/(%)=x+〃sinx,D=[Q,b],证明，若集合”中有且仅有两个元素，

则所有满足条件的b从小到大排列构成一个等差数列.

一2

6.(2024•潮阳区校级三模)已知函数/'(久)=bur-4久，g(x)=—,a去0.

(1)求函数/(无)的单调区间；

(2)若/(尤)Wg(x)恒成立，求a的最小值.

7.(2024•自贡二模)已知定义在R上的函数/(x)满足/(x+y)=/(无)+f(y)且/(I)=-3.

i1

(1)求f6),/©)的值;

(2)当x>0时，有/(x)<0恒成立，求证：a+6<0时，有/(a)+f(ft)>/(-a)+于Q-b).

8.(2024•闵行区校级三模)设/>0,函数y=/(无)的定义域为R.若对满足尤2-xi>r的任意无1、双，均

有/(地)-/(xi)>t,则称函数y=/(无)具有“P(f)性质”.

(1)在下述条件下，分别判断函数y=/(x)是否具有P(2)性质，并说明理由；

①f(x)=|x；

®f(x)=10sin2x；

(2)已知/(x)=6ZX3,且函数y=/(x)具有尸(1)性质，求实数a的取值范围；

(3)证明："函数y=/(x)-x为增函数”是“对任意t>0,函数y=/(无)均具有尸⑺性质”的充

要条件.

9.(2024•格尔木市模拟)已知函数/(%)=\x-m\-\x-2m\.

(1)当机=1时，求不等式/(%)〈咳的解集；

(2)若/(%)W渥-m-3恒成立，求实数机的取值范围.

10.(2024•凉山州模拟)已知函数/(%)=|1-2x|+|2R的最小值为

(1)求实数〃的值；

18

(2)求一+——(久e(0,a))的最小值.

2CL

2025年高考数学复习之小题狂练600题(解答题)：函数概念与性质(10

题)

参考答案与试题解析

一.解答题(共10小题)

1.(2024•安溪县校级模拟)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱

X_x

布尼茨等得出悬链线的方程为y=4安三，其中c为参数.当c=l时，该表达式就是双曲余弦函数，

记为cosh%="A，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.已知三角函

数满足性质：①导数：出x),一cosx；②二倍角公式：cos2x=2cos2尤-1；③平方关系：sinA-+cosNx

t(cosx)=­sinx

__pXp—X

=1.定义双曲正弦函数为sinhx=—2—.

(1)写出sinhx,coshx具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；

(2)任意x>0,恒有sinhx-丘>0成立，求实数人的取值范围；

(3)正项数列｛或｝(wCN*)满足ai=a>l,斯+1=2忌一1,是否存在实数a,使得及024=孝？若存在，

求出。的值；若不存在，请说明理由.

【考点】函数恒成立问题；正弦函数的单调性；数列的应用；数学归纳法；类比推理.

【专题】新定义；函数思想；转化思想；构造法；定义法；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归

纳法；逻辑推理；数学运算.

【答案】(1)①导数，②二倍角公式，③平方关系；证明见解析；

(2)(-8,1].

1—1

(3)存在实数a=*(222022+222022),使得@2024=孝成立.

【分析】(1)①求导数，②用二倍角公式，③利用平方关系；证明即可；

(2)构造函数/(x)=sinhx-fcc,求导数，利用导数讨论函数的单调性，求上的取值范围即可；

(3)方法一、求出ai,a»03,猜想即，用数学归纳法证明即可.

方法二、构造数列｛%｝,根据a”=cosh(龙”)，利用递推公式求解即可.

【解答】解：(1)①导数：(sinh(x))'=cosh(x),(cosh(x))'=sinh(x),证明如下：

(p—XpX_L_p—X

(sin/ix)/=(————y=——2——=coshx

pXp—Xpxp—X，

(coshxy=(——2——y=——2——=sinhx

②二倍角公式：cosh(2x)=2(coshx)2-1,证明如下：

»Z、2dn,e%+e—%、2Y?2%+2+e-2%2%-2%

2(cos/%)2—1=2X(————¥—1=-----2-------1=-e---+e2---=cosh(2x)；

③平方关系：(coshx)之-(sinhx)2=1,证明如下：

xx2x2x2x2x

(入、2,•入、2,e+e~\2,e-e~\2e+2+e~e-2+e~】

(cosrix)-(sinhx)=(————)一(——2——)=-----4-------------4-----=1；

(2)令/(x)=sinhx-kx,xE(0,+°°),F'(x)=coshx-k,

①当ZW1时，由cos欣二之号一>Vex-e~x=1,又因为x>0,所以炭We',等号不成立，

所以/(x)=coshx-k>0,即尸(龙)为增函数，

此时尸(x)>F(0)=0,对任意x>0,sinhx>点恒成立，满足题意；

②当斤>1时，令G(x)=F'(x),xG(0,+8),则G，(x)=sinhx>0,可知G(x)是增函数,

由G(0)=1-％<0与G(仇2k)=泰>0可知，存在唯一xoE(0,/曲)，使得G(xo)=0,

所以当比(0,xo)时，F(x)=G(x)<GGo)=0,则/(工)在(0,xo)上为减函数，

所以对任意xE(0,xo),F(x)<F(0)=0,不合题意；

综上知，实数％的取值范围是(-8,1]；

pXip—X

(3)方法一、由〃函数cos加=——2——的值域为[1，+8),

对于任意大于1的实数41,存在不为。的实数相，使得coshm=41,

类比双曲余弦函数的二倍角公式cosh(2x)—2(coshx)2-1,由coslvn=ai,

22n-1

a2=2(cos/im)—1=cosh(2m),a3=cosh(2Tn)9猜想：an=cos/i(2m),

1-1

由数学归纳法证明如下：①当n=l时，a1=a=cos/i(2m)=cos/i(?n)成立；

②假设当九=%(人为正整数)时，猜想成立，即以=。。5/1(2修1皿)，则

k12fc-1k

ak+1=2破—1=2[cosh(2~m)]—1=cosh(2x2m)=cosh(2m),符合上式，

n-1

综上知，an=cos/i(2m)；

若02024=cos/l(22。237n)=#,设片？?。??冽,贝|cos加：=??一二g,解得：i=4或j

1—1

即/=土历4,所以爪=士郎嘉，即的=cos/rni=竺岁二=:(222022+222022).

1—1

综上知，存在实数a=^(222022+222022),使得。2024=成立.

方法二、构造数列｛切｝(布>0),且〃“=cosh(xw),

2

因为a九+1=2忌—1,所以a九+i=2(cosftxn)—1=cos/i(2xn),则q〃+i=cosh(切+1)=cosh(2x«),

因为cosh(x)在(0,+8)上单调递增，所以加+1=2初，即｛融｝是以2为公比的等比数列，

1

2023x2023

所以第2024=%122023,所以短2024=(e^i)2,所以=(e2O24)2,

1171

2024624X20242024

又因为。=COSh(X2024)=(^°+6~)=行，解得蜡-4或

1—11—1

所以a=a】=cosh(X1)另—+e-)另+4/商)司(2萍+2严5，

1—1

综上知，存在实数a=g(222022+222022),使得@2024=#成立.

【点评】本题考查了函数与数列的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题.

(4—%2,(%>0)

2.(2024•昔阳县校级模拟)已知函数/(x)=b,(%=0).

[l-2x,(x<0)

(1)求/丁(3))的值;

(2)当-4Wx<3时，求/(x)的值域.

【考点】函数的值域；函数的值.

【专题】函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)由题意可得了(3),然后再代入符合条件的解析式即可；(2)分别求得函数每段解析式的

值域，最后取并集即可.

【解答】解：(1)由题意可得了(3)=4-32=-5,

所以/(/(3))=/(-5)=1-2(-5)=11；

(2)由分段函数可知：

当-4/x<0时，函数的解析式为y=l-2x6(1,9]；

当x=Q时，y=2；

当0<无<3时，函数的解析式为y=4-We(-5,4)；

故当-4<x<3时，求了(无)的值域为：(-5,9]

【点评】本题为分段函数的考查，分别代入和求解是解决问题的方法，属基础题.

8

②函

3.(2024•昔阳县校级模拟)在①函数无)=〃-(6-1)是定义域为R的奇函数且/(I)?3_

数/(x)=x/nx+or+b在点(1,/(D)处的切线方程为y=4x+l,(x)=(a-2)2斗2-6是指数

函数三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.

已知函数g(无)=loga(6+x)+loga(b-x)(a>0,且aWl,6>0).

(1)试确定g(x)的奇偶性；

(2)已知，求不等式g(x)W1的解集.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【考点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的概念；导数与切线的斜率；函数的单调性；函数的奇偶性.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】(1)偶函数；

(2)(-2,-1]U[1,2).

【分析】(1)由己知结合函数奇偶性定义，只要检验g(-无)与g(x)的关系即可判断；

(2)结合所选条件求出6,进而可求g(尤)，然后结合对数函数的性质即可求解.

22

【解答】解：(1)'''gQx')=loga(b+x)+loga(b-x)=loga(b-x),且6>0,定义域为(-b,b),

)=log*-x2)=g(x),

故函数g(x)为偶函数；

(2)若选择①，•.•函数/(x)=优-(6-1)晨、是定义域为R的奇函数，

(0)=a°-(b-1)a°=l-(6-1)=0,

一1R

：.b=2,又・・・/1)*

2

.•・〃=3,g(x)=log3(4—%),

故g(x)W1可化为10%(4—％2)<1,即0<4-％2<3,故-2Vx<-1或1WXV2.

・•・不等式gG)W1的解集为(-2,-1]U[1,2)；

若选择②，,:于(x)=xlwc+ax+b,

:・f(x)=lwc+\+a,

/.k=f(1)=1+。=4,即。=3,

V/(l)=3+6=5,

2

:.b=2,g(x)=log3(4—%),

故g(无)可化为/0。3(4-比2)w1,即0V4-/W3,故-2<尤W-1或lWx<2,

.,•不等式g(无)W1的解集为(-2,-1]U[1,2)；

若选择③，(无)=(a-2)2工+2-b是指数函数，

北九二即｛二会

，9(久)=1。。3(4-/)，故g(x)W1可化为log3(4-x2)W1,即0<4-/W3,

故-2<xW-1或1。<2,

.,•不等式g(无)W1的解集为(-2,-1]U[1,2).

【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了函数性质的综合应用，属于中档题.

4.(2024•昔阳县校级模拟)对于函数力(x),fi(x),如果存在实数a,b,使得函数F(x)=a-fi(x)

+b-fi（无）,那么我们称尸（无）为力（尤）,fl（无）的“HC函数”.

（1）已知力（x）=x-3,fi（无）=-2x+l,试判断F（无）=5x-5是否为力（x）,fi（x）的“HC函

数”.若是，请求出实数。，。的值；若不是，请说明理由；

（2）已知力（x）=2工，力（x）=4%,F（x）为力（x）,fi（尤）的“HC函数”且。=2,b=\.若关于

x的方程/（x）=m-f2（x）+1有解，求实数机的取值范围；

（3）在后续学习中，我们将学习如下重要结论：“对于任意的正实数a,b都有等2两，当且仅当

a=6时，式中的等号成立”.我们将这个结论称为“基本不等式”.

请利用“基本不等式”解决下面的问题：

1

已知力（x）=x,fi（x）=pF（x）为fi（x）,fi（无）的“HC函数"（其中。>0,6>0）,F（尤）的

定义域为（0,+°°）,当且仅当x=2时，F（x）取得最小值4.若对任意正实数xi,xi,且XI+X2=2,

不等式/（xi）+F（X2）2相恒成立，求实数机的最大值.

【考点】函数解析式的求解及常用方法.

【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；逻辑推理.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）若1（x）=5x-5是力（尤），及（彳）的"HC函数则尸（无）=5x-5=（a-2b）x-3a+b,

列出方程组，能求出a,b.

（2）由题意知：F（x）=2・2*+4*=机・4*+1有解，令2'=/>0,则方程化为：2r+?=m?+l,从而关于

r的方程（川-1）尸-2f+l=0有正根，根据根=1,"ZTM,分类讨论，能求出机的取值范围.

（3）F（x）—ax+^,a>0,b>Q,xG（0,+°°）,由基本不等式知：F（x）=ax+\22vH尻列方程

.A.A.A.

组求出从而尸（％），则/（）+尸（）'加恒成乂，由基本

Q=l,Z?=4,=%+-XXIX2=+%2--%--]--1%2

不等式能求出m的最大值.

【解答】解：（1）若尸（无）=5x-5是力（x）,fi（尤）的“HC函数

贝ijF（无）=5x-5=a（x-3）+b（-2尤+1）=（a-2b）x-3a+b,

•,・一；2:：5解得q=i,Q-2.

I—3a+b=—5

（2）由题意知：F（x）=2・2%+4%=机・4%+l有解，

令2%=/>0,则方程化为：2/+於=相於+1,

*,•关于t的方程（m-1）金-2t+l—0有正根，

①加=1时，/=2，符合题意；

②mWl时，A=8-4m^0,解得mW2,设其根为ti,ft,

2i

1°mE(1,2]时，九+12=--->①tit2=---->0,

」m—1m—1

则t\,Z2>0,符合题意，

i

2°m<l,tit2=~―VO，则力，/2为一正一负，符合题意，

m—1

・・・MW2,且加#1,符合题意.

综上，mE(-0°,2].

h

(3)F(x)=cix-\—，。>0,Z?>0,xE.(0,+8),

x

由基本不等式知：F(x)=ax+^,>2y/aby

a>0

b>0

4=2

2y[ab—4

解得4=1，b=4,!

A.A.A.

•'•F(x)=%+-，则/(XI)+F(X2)=%1+%2"I----1---之机恒成立，

X%-£%2

8

又xi,x2>0,XI+X2=2,则/(xi)+F(及)=xi+x2=2d----->m.

由基本不等式知：

%1+-2=2之2"1%2,当且仅当X1=X2时，取等号，

.•.尤1X2W1,则E(xi)+F(X2)=2+-^->10,

・••加W10,即m的最大值为10.

【点评】本题考查实数的取值范围、最大值的求法，考查函数性质、基本不等式等基础知识，考查运算

求解能力，是中档题.

5.(2024•红谷滩区校级模拟)若存在xoeD使得/(%)W/•(尤o)对任意无6。恒成立，则称无o为函数/(x)

在。上的最大值点，记函数/(x)在。上的所有最大值点所构成的集合为

(1)若/(x)=-X2+2X+1,D=R,求集合A/；

(2)若汽x)=0号左，D=R,求集合M；

(3)设a为大于1的常数，若/(x)=x+asiiu-,。=[0,b],证明，若集合M中有且仅有两个元素，

则所有满足条件的b从小到大排列构成一个等差数列.

【考点】函数恒成立问题；函数的最值.

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】(1)M={1}.

(2)M=[1,2}.

(3)证明见解答.

【分析】(1)配方得到当且仅当尤=1时，/(x)=-7+2x+l取得最大值，得到〃={1}；

(2)求导，得到函数单调性，求出当x=l或2时，/(%)取得最大值，故〃={1,2};

(3)求导，得到函数单调性，并得到/(x+2n)=/(尤)，得到f(尻)=/(2/OT—兀―wccos》，结

合/(以+1)-f(bk)=2m得到从+L株为定值，故所有满足条件的。从小到大排列构成一个等差数

列.

【解答】解：(1)/(x)=-f+2x+l=-(尤-1)2+2,

当且仅当x=l时，f(x)=-f+2x+l在R上取得最大值，故弘={1}；

(2)/(x)=*了)*定义域为R,

宇/(、_[(2x/n2—1)%+2X—x]4x—(2X—x)x-4xZn4

J⑺=

q72X

_(2X—2x)(1—%Zn2)

=?'

令q(x)=2%-2x,则/(x)=2xln2-2,

2

令，(x)=。得x=log2

X。出焉)22

(一00,1均7先放。。出京+8)

q,(X)0+

q(X)\极小值/

122

其中"2c("夜，Ine)=(2/1)，故(2，4),/。比瓦2),

可以看出q(1)=0,q(2)=0,

故9(x)有且仅有2个零点，分别为1和2,

1

令，(无)=0得比=而6(1,2)或1或2,

(-8,1①焉)1(焉，2)2(2,+8)

ln2

1)

f(X)+0-0+0-

f(x)/极大值、极小值/极大值\

1

其中/⑴=/(2)=本

故当％=1或2时，f(x)取得最大值，故/={1,2}；

(3)f(x)=x+〃sinx,D=[0,b],a>l,

f(x)=l+〃cosx,D=[0,b],a>\,

,ll

令，(x)=0得％=2/C7T±arccos(—公)=2/C7T±(7T-wccosR,依Z,

当OVTVTT—arccos石时，f(x)>0,f(x)单调递增，

当7T—arccos、<k<7r+arccos、时，f(x)VO,f(x)单调递减，

当7T+arccos、Vr<37r—arccos、时，f(x)>0,f(x)单调递增，

当3兀一arccos£Vr<3〃+arccos工时，f(x)<0,f(x)单调递减，

当3TT+arccos&Vx<5兀-arccos&,f(x)>0,f(x)单调递增，

.......,

由于，(龙+2TT)=l+acos(x+2n)=l+acosx=//(x),

故所有的单调递增区间经过适当平移可重合，同理，所有的单调递减区间经过适当平移可重合,

要想集合M中有且仅有两个元素，

11

则需要f(bi)=f(ji-arccosg)或/(与)=f(3"-arccos-),

或/(久)=f(5TT—arccos-),.......,/(4)=f(2kir—TT—arccos-),

其中/(x+2n)=x+2Ti+asin(x+2n)=x+2n+〃siar,

f(x+2n)-f(x)=x+2Ti+Qsinx-x-〃sinx=2Ti,

11

又/(b/c+i)—f3k)—/(2/CTT+2〃一TT—arccos-)—f(2kTi—n—arccos-)=2TT,

所有的从均处在单调递增区间上，

所以bk+\~以为定值，

故所有满足条件的b从小到大排列构成一个等差数列.

【点评】本题主要考查函数的最值和恒成立问题，属于中档题.

6.(2024•潮阳区校级三模)已知函数/(%)=仇]—a%,g(%)=—，aW0.

(1)求函数/(%)的单调区间;

(2)若/(尤)Wg(x)恒成立，求a的最小值.

【考点】函数恒成立问题；利用导数求解函数的单调性和单调区间.

【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；数学运算.

【答案】(1)当。<0时，/(%)的单调递增区间为(0,+8),没有单调递减区间；

当a>0时，/(x)的单调递增区间为(0,》，单调递减区间为+8)；

2

(2)—.

e3

【分析】(1)求导后，利用导数与函数单调性的关系，对，>0与。<0分类讨论即可得;

(2)结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.

【解答】解：(1)因为/(%)=lnx-ax,x>0,

所以/■/(久)=］一a=(aWO),

当a<0时，由于x>0,所以/(x)>0恒成立，从而/(%)在(0,+8)上递增;

当a>0时，当OVxV：时，/(x)>0；当X*时，/(%)<0,

从而得/(x)在(0,》上单调递增，在弓，+8)上单调递减；

综上，当a<0时，/(%)的单调递增区间为(0,+8),没有单调递减区间；

当。>0时，/(x)的单调递增区间为(0,%，单调递减区间为。，+8).

(2)令/(%)=/(%)—g(x)=Inx—ax——,要使/(x)Wg(x)恒成立，

只要使//(x)WO恒成立，也只要使。(x)根女W0.

若〃>0,x>0,所以办+1>0恒成立,

2

当OVxV1时，h'(x)>0,当一<^V+8时，h'(x)<0,

a

可知。(X)在(0,分内单调递增，在q,+8)内单调递减,

所以力(%)帽3=—340,解得：a>

2

可知。的最小值为f；

e3

若〃VO,x>0,所以〃x-2<0恒成立，

11

当OVrV一石时，h'(x)<0,当一&Vk<+8时，h'(%)>0,

可知/7(X)在(0,-6内单调递减，在(一},+8)内单调递增，

所以/z(x)在(0,+°°)内无最大值，且当x趋近于+8时，h(x)趋近于+8,不合题意；

综上所述：a的最小值为三.

e3

【点评】本题考查了导数的综合运用及分类讨论思想，属于中档题.

7.(2024•自贡二模)已知定义在R上的函数/(x)满足/G+y)=/(x)+f(y)且/(I)=-3.

(1)求/(》，的值；

(2)当尤>0时，有无)<0恒成立，求证：a+b<0时，有/(a)+f(&)>/(-a)+于(-b).

【考点】函数恒成立问题.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理.

【答案】⑴f(1)=-|,渴)=T

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据题干已知关系式代数求解即可.

(2)通过已知关系式推导出要证明〃+。<0时，f(tz+Z?)>0即可.

【解答】解：(1)因为/(X+/)=/(%)4/(y),/(I)=-3,

1»11111

令AX=y=,,有：/(I)=/(-+-)=f(-)+f(-)=2f(-),

乙zzzzz

所以/(}=-f-

令x=y=0,有：/(0)=2于Q0),

所以7(0)=0.

令尸-X,有：/(0)=f(x)+/(-x)=0,

所以/(%)=-/(-%),即/(%)为R上的奇函数.

人1-21

令工=产子有：/(-)=2f(-).

令.X=7—”=1,有:/(-1)=/(1).("()2,

。。

又因为/(一7分2

11

即：f(-)=-If(-)-3,

所以/弓)=-L

(2)因为/(-无)=-f(x),

所以/(-a)+于(-b)=-(/(a)+f(6))=-f(a+b).

即证：a+6<0时，有/(a+6)>-f(o+Z?)即可，

即证a+6<0时，于(a+b)>0即可，

因为当尤>0时，f(x)<0恒成立，

则令t=-x(f<0),

所以尤=-t>0,

于是/(x)=/(-力=-/(t),因为此种情况/(无)<0,

即-/(t)<0,

所以/(力>0,

即当z<0时，fG)>0,

从而当x<0时，f(x)>0恒成立，

取x=a+6<0,此时有/(a+b)>0,

即a+b<0时，有/(a)+f(Z?)>/(-a)+f(-b).

【点评】本题考查抽象函数以及函数恒成立问题，属于中档题.

8.(2024•闵行区校级三模)设，>0,函数y=/(x)的定义域为R.若对满足X2-xi>r的任意xi、xi,均

有了(%2)-f(xi)>t,则称函数y=/(x)具有“P(力性质”.

(1)在下述条件下，分别判断函数y=/(x)是否具有P(2)性质，并说明理由；

①f(x)=|x；

@f(x)=10sin2x；

(2)已知/(x)="3,且函数y=/(x)具有尸(1)性质，求实数a的取值范围；

(3)证明："函数y=/(x)-x为增函数”是“对任意f>0,函数y=/(x)均具有尸(力性质”的充

要条件.

【考点】由函数的单调性求解函数或参数；充分条件与必要条件.

【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】(1)①是，②不是(2)a24.(3)见解析.

【分析】(1)代入尸(2)性质直接计算即可.

07713

(2)将原式等价与当机>1时，——>1恒成立的问题即可求解.

4

(3)由充要条件的概念以及函数单调性的性质判断即可.

Q

【解答】解：(1)①是，因为对任意X2-尤1>2,f(%2)-f(%!)=j(%2-%1)>3>2,

所以符合定义；

②不是，学生只需举一组反例；

（2）显然〃>0,所以设12-工1=机>0,

则/（X2）-f（XI）=0X1,

wam

当％1=-2时，取/（%2）-/（%1）最小值一[一,

am

原问题等价于当m>l时，---->1恒成立，

4

即a>冬恒成立，所以得a24；

（3）证明：充分性：

如果函数y=/（x）-X为增函数，则对任意的X2>X1,均有了（X2）-X2^f（XI）-XI,

即/（X2）-/（XI）》X2-尤1,因此，对任意t>0,若X2-XI>3

则/（双）-/（xi）>t,函数y=/（无）具有尸（?）性质，充分性得证；

必要性：

若对任意r>0,函数y=/（x）均具有PG）性质，

假设函数y=/（x）-X不是增函数，则存在X2>X1,满足了（X2）-X2<f（XI）-XI,

即/'（X2）-/（XI）<X2-XI,取0=/（》2）―/（彳1）+冷一X1,

则显然了（眼）-f（XI）</0<X2-尤1,

即对于犯，存在但是/（X2）-/（XI）<t0,

与“对任意/>0,函数y=/（x）均具有尸G）性质”矛盾，因此假设不成立，

即函数y=f（X）-尤为增函数，必要性得证.

所以“函数y=/（x）-x为增函数”是“对任意/>0,函数y=/（x）均具有产（力性质”的充要条件.

【点评】本题考查了函数单调性的性质与判断，应注意充要条件的概念，属于中档题.

9.（2024•格尔木市模拟）已知函数/（x）=\x-m\-\x-2m\.

（1）当机=1时，求不等式/⑺昱的解集；

（2）若/（%）・川-加-3恒成立，求实数机的取值范围.

【考点】函数恒成立问题.

【专题】转化思想；对应思想；综合法；不等式；数学运算.

7

【答案】（1）（-8,-];

4

（2）（-8,-V3]U[3,+00）.

【分析】(1)将机=1代入，去绝对值求解即可；

(2)由三角绝对值不等式可得/(x)W|m|,将问题转化为\m\Wm1-m-3,即有

严正3曾？，求解即可.

(―(m—m—3)<m<m£—m—3

i

【解答】解：(1)由题意可知，当机=1时，原不等式即为-1|一-2|42，

当xWl时，不等式为1—%-(2-乃耳，化简为一1<匏成立，可得xWl；

当l<x<2时，不等式为一(2-久)多，解得lWxW；；

当龙》2时，不等式为久—1一(刀一2)W发化简为1W号不成立；

综上，不等式f(%)同的解集为(-8,-];

(2)因为-利-仅-2列-zn-(x-2m)\=\m\,

m

所以向WW-机-3,可得23竦2Q,

(―—m—3)<m<mz—m—3

f、1+713f/1-V13

可得『或m<有机》3或巾<—百，

[m>3豉n<—\/3

所以机的取值范围是(-8,-V3]U[3,+co).

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、转化思想及三角绝对值不等式的应用，属于中档题.

10.(2024•凉山州模拟)已知函数/(无)=|1-2x|+|2x|的最小值为a.

(1)求实数a的值；

18

(2)求一+—(%e(0,a))的最小值.

2OCCL

【考点】函数的最值.

【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算.

【答案】(1)1;

25

(2)——.

2

【分析】(1)利用绝对值的三角不等式计算即可；

(2)法一、利用基本不等式灵活运用“1”计算即可；

法二、利用柯西不等式配凑即可；

法三、利用权方和不等式计算即可.

【解答】解：⑴f(x)=|1-2x\+\2x\^\l-2x+2x\=l,

当04久时取等号，

・・〃=1;

（2）法一：由（1）可知。=1,

原式=2+吕+S+居），（2%+2-2%）=表17+宏+卷）号*（17+

2—2%32%、—25

2~UTX2=2^二不

当且仅当爱=及,即时取得等号,

1825

所以丁+—（xe（0,砌）的最小值为彳;

乙Ct'Z

181116

法二：由柯西不等式得，一+----=_（一+-----）X（2%+2-2%）

2x1—x2k2x2—2，

T（咫2+（6^）2][（后）2+（短，沟>呼25

T'

当且仅当《=三时,即行押取得等号,

1825

所以丁+—（xe（0,a））的最小值为彳；

I*1242（1+4）225

法三：由权方和不等式得，—+——>-——

2%2—2%2%+2—2%2

当：4即％=/时取得等号,

2-2%

1825

所