2024-2025学年人教版高二年级数学上册 空间向量与立体几何 巩固训练

第一章空间向量与立体几何复习巩固

一、单选题

1.在所有棱长均为2的平行六面体ABCD-A.B^D,中，

AA.AB==ABAD=60°,则AG的长为()

A.2也B.275C.2底D.6

2.在空间直角坐标系中，点(-2,1,4)关于x轴对称的点坐标是()

A.(-2,1,^)B.(2,1,4)C.(-2,-1,^)D.(2-1,4)

3.已知向量£=(2,-1,3),5=(-1,4-2),2=(1,3，孙若2,5,工共面，则彳=()

A.4B.2C.3D.1

4.设x,yeR,向量商=,c=(2,-4,2),lb,b//c,则卜+可

等于()

A.2V2B.VlOC.3D.4

5.已知平面a的一个法向量为三=。,-2,2),点M在a外，点N在a内，且

W=(-1,2,1),则点M到平面。的距离d=()

A.1B.2C.3D.近

2

6.设。为坐标原点，向量市=(1,2,3),丽=(2,1,2),丽=(1,1,2),点0在直线如

上运动，则9•诙的最小值为()

A.-B.--C.-D.--

3333

7.已知空间单位向量£,b,Z两两垂直，贝山-石+4=()

A.石B.V6C.3D.6

8.已知空间向量a,B的夹角为三，且同=2,忖=1,则£+25与B的夹角是()

A.4B.2C.4D.塞

6644

9.如图，在四面体如欧中，函=2赤=瓦元=八点M在线段如上，且

2OM=MA^N为BC中点、,

322

c11r1

C.-a+—b-—cD.——a+—b+—c

222322

10.已知方=（2,0,-1）,B=（3,-2,5）,则向量B在向量力上的投影向量是（）

iiii

A.-（3,-2,5）B.-（3,-2,5）C.-（2,0,-1）D.-（2,0,-1）

jJo3Jo

二、多选题

11.若加，瓦可是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（）

A.a,2b,3cB.a+b,b+c,c+a

C.a+2b,2Z?+3?,3a-9cD.a+b+S,b,c

12.关于空间向量，以下说法正确的是（）

A.若己方＞0,则向量心B的夹角是锐角

B.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

1__.1__o_

C.若对空间中任意一点。，^OP=-OA+-OB+-OC,则RA,B,。四点共面

D.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不

共面

13.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABC。是直角梯形，AD//BC,AD=4,

ZABC=9Q°,PAL平面PA=AB=3C=2,下列说法正确的是（）

A.必与5所成的角是60°

B.平面9与平面⑸8所成的锐二面角余弦值是亚

3

C.必与平面板所成的角的正弦值是£

D.点/到平面/O的距离为孚

14.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱ABC-4BC中，AC=2,BB、=C,

D,E分别为棱BC,B用的中点，则()

A.9〃平面

B.AD1QD

C.异面直线AC与。E所成角的余弦值为平

D.平面ADG与平面ABC的夹角的正切值为0

三、填空题

15.已知向量万与5的夹角为60。，\a\=2,\b\=6,则2方-5在4方向上的投影

为.

16.已知。=(6,3,3),b=(.-2,t,-l).若0与B的夹角为钝角，则实数/的取值范围

是.

17.已知石是两个空间向量,若|回=2,出|=2,\a-b\=y/l,则cos〈£,石〉=.

四、解答题

18.如图所示，在三棱锥4一38中，DA、DB、加两两垂直，^.DA=DB=DC=2,

£为a1的中点.

⑴证明：AE1BC；

⑵求直线也与。。的夹角的余弦直

19.如图，在正方体ABCD-ABCQ中，E,歹分别是即，。用的中点.

(1)求证：4。〃平面3CC画;

⑵求证：EF1A.D

20.如图，已知四边形被⑦为矩形，AB=4,AD=2,£为。。的中点，将VADE沿

也进行翻折，使点。与点夕重合，且

PB=26

(1)证明：PA±BE；

⑵求平面总与平面尸CE所成角的正弦

值.

21.如图，四边形A5co中，AB^AD,AD//BC,AD=6,BC=4,AB=2,分别

在3C,A£＞上，EF//AB.现将四边形樨F沿EF折起，使得平面平面跖DC.

⑴当3E=1时，是否在折叠后的AO

上存在一点P,使得CP//平面AB£F?

若存在，求出P点位置；若不存在，说

明理由；

(2)设=问当x为何值时，三棱锥A-CD尸的体积有最大值？并求出这个最

大值.

22.如图，三棱柱ABC-AgG中，AB=AC=2,胡=6，AB=AC,点。为A3

的中点，且A4JC，4C,

8

(1)求证：的，平面A8C；

⑵若VABC为正三角形，求BC与平面A,DC所成角的正弦

XC

值.

B

参考答案

1.c

【分析】先将幅用福而，随表示，然后再结合数量积的运算律即可得解.

【详解】因为AC1=AB+W+CQ=AB+AD+A^,所以

|AG|=(AB+AO+AAj=AB+AD+A4i+2AB-AD+2AB-AA.+2AD-AA.

=4+4+4+2x2x2xcos60°+2x2x2xcos60°+2x2x2xcos60°

=4+4+4+4+4+4=24,

从而|宿卜2"，即AG的长为2«.

故选：C.

2.C

【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.

【详解】在空间直角坐标系中，点(-2,1,4)关于x轴对称的点坐标为(一2,-1,-4).

故选：C.

3.D

【分析】根据共面定理得心根£+小，即可代入坐标运算求解.

【详解】因为入b,I共面，所以存在两个实数机、”，使得％=拓+川，

2m-n=1m=l

ip(1,3,X)=m(2,-1,3)+M(-1,4,-2),gp<-m+4n=3,解得，w=l.

3m-2〃=XA=1

故选：D

4.C

【分析】由向量的位置关系列式求出不匕根据模的计算公式计算即可求解.

【详解】・.不/片，

:.2y=-4xl,

•••y=-2,.-.&=(1-2,1),

aVb，

:.d'b=xl+lx(-2)+l=0,

.'.x=l,..5=(1,1,1).

a+b=(2,-1,2),

:.\a+b\=^22+(-l)2+22=3.

故选：C.

5.A

【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可.

【详解】由题得d=W*」TT+2|=i.

同3

故选：A.

6.B

【分析】根据空间向量共线定理即可表示出丽，进而再求函，9的坐标即可运

算.

【详解】而=(1,1,2),点0在直线冰上运动，

可设0Q=AOP=(尢A,22),

又向量市=(1,2,3),砺=(2,1,2),

/.04=(1-2,2-2,3-22),0B=(2-A,1-2,2-22),

则诿•杂=(1_九*(2_4+(2_为><(1_；1)+(3_2；1卜(2_2/1)=6；12_]6；1+10.

4?

易得当4=§时，Q4QB取得最小值

故选：B.

7.A

【分析】先根据单位向量得出模长，再根据垂直得出数量积，最后应用运算律求

解模长即可.

【详解】因为空间单位向量4石忑两两垂直,

所以同=(D烟=1,同=。,cfb=cS)=bc=,

所以卜-B+W=+W=yja1+b2+c2-2cfb-bc+de

=71+1+1-0-0+0=73.

故选：A.

8.A

【分析】根据数量积的运算律以及模长公式，结合夹角公式即可代入求解.

【详解】由Z,B的夹角为（且同=2,忖=1得仿+2办5=7B+27=2xlx（+2=3,

fl+2^|=7a2+4&2+4a-&=.4+4+4x2xlx-=2^,

a+2bYb

________3

设Z+2B与B的夹角为则cos0=

卜+25帆一2有一2j

由于夕e[o,可，故

o

故选：A

9.D

【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得.

［详解］依题意，MN=MO+OB+BN=-^OA+OB+^BC=-^OA+OB+^(OC-OB)

1—,1—.1—.11-1

=一一OA+-OB+-OC=a+-b+-c.

322322

故选：D

10.C

【分析】直接利用向量的夹角运算及数量积运算求解投影向量.

【详解】因为a=（2,0,-1）,&=（3,-2,5）,则向量B在向量方上的投影为

展B_2x3+0x(-2)+(-1)x5_逐

同,4+15，

所以向量万在向量让的投影向量是乡后=冬也=卜=!（2,0,-1）.

3\Cl\JsjjJJ

故选:c.

11.ABD

【分析】根据空间向量基底的概念可得解.

【详解】由已知b,^不共面，则2b,31不共面，A选项正确；

y=1

^a+b=x(b+c^+y[c+d)=ya+xb+^x+y^c,即<x=l方程无解，

x+y=0

所以M+5,b+c,i+型不共面，B选项正确；

3n=l

设a+2b=m(2b+3c^+n(3a-9c^=3na+2mb+(3m-9n^c,即<2m=2,解得：

3m-9n=0

m=l

<1,

I3

即G+2方=(25+33+/3万-9可，所以"25,25+33,3商一%共面，C选项错误；

设。+5+无=焉+〃},显然三个向量不共面，D选项正确；

故选：ABD.

12.BC

【分析】根据空间向量共面定理即可判断B；根据2虚>0,得到圆Be0a)，即可

判断A；根据力1+；1+:9=1判断四点共面即可判断C;异面直线的平行线即可判断

D.

【详解】对A,若>B>0,贝词,Be0弓],则向量以5的夹角可以为0不是锐角，

故A错误；

对B,根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三

个向量一定共面，故B正确.

__.1__,1__,7___►119

对C,^OP=-OA+-OB+-OC,且不+1+；=1,所以P,B,A,C四点共面，故C

正确.

对D,分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是

异面直线的平行线可以共面，故D错误.

故选：BC.

13.AC

【分析】以钻，M，AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，由空间向量法求线线

夹角，二面角，线面角，点面距，从而各选项.

【详解】由已知，以钻，心”为x，%z轴建立空间直角坐标系，如图，则3(2,。,0),

C(2,2,0),0(0,4,0),P(0,0,2),

PB=2y[29CD=2y/29PC=(2,2,—2),

而=(2,0,-2),①=(-2,2,0),PBCD=-4,

__________、pR(JE)—4-1

c°s(丽也.同行0=<<MCZ5><180°,

所以＜而,该＞=120。，所以PB,CD的夹角是60。，A正确;

设平面尸CD的一个法向量是五=(x,y,z),

m•PC=2x+2y-2z=0

由＜取x=l,则y=l,z=2,即加=(1,1,2),

m-CD=-2x+2y=0

显然平面F钻的一个法向量是3=(0,1,0),

-一m-n1V6

cos＜m,n＞=]—n~~r——尸———

,悯V6xl6，

平面9与平面为8所成的锐二面角余弦值是逅，B错;

6

_P_B__-_m__2-4__B

cos<PB,m>=

阿同2丘义底6'

所以必与平面板所成的角的正弦值是3，C正确;

6

而=(0,4,0),

4_2A/6

D错.

故选：AC.

【分析】选项A由线面平行的判定定理可证；选项B由线面垂直可证线线垂直;

选项CD可由空间向量法可得.

【详解】选项A：

如图连接AC交AC于尸，连接。尸,

由题意可知/为AC的中点，又。为3c的中点，故48〃。尸，

又平面AOG,DFu平面A3G,故人吕〃平面故A正确;

选项B：由题意VA3C为等边三角形，。为BC的中点，

^ADIBC,

又棱柱ABC-为直三棱柱，故AOL8与，

又Ben典=3,BCu平面BCC由，典u平面BCC4,

故ADL平面BCGA,又CQu平面BCC4,故AOLC］。，故B正确;

选项C：

如图建立空间直角坐标系，则。(0Q0),C（0,-l,0）,E\0,1,

因A0=2X^^=6，故/（V^O'O），

所以前=卜6,-1,0),DE=。，成

7

设异面直线AC与OE所成角为。，则

_V6

cosa-|cosAC,£）E|=

二6

故c错误;

选项D：由题意平面A8C的一个法向量为7=(0,0,1),

G（0,-1,啦），次=（也,0,0）,南=（0,-1,0）,

设平面AQC］的法向量为7=(x,y,z),则

j-DA^O底=0J「E

I」，即L,设丁=应，贝（J%=0,z=l,

[j-DC^O—1xy+，2z=0

故7=（0,0R,

CST1

设平面ADQ与平面ABC的夹角为P,则l°3，

_A/6

故sin£=（l-cos?0=

一号'

故也”=黑=0，故D正确，

故选：ABD

15.1

【分析】根据题意可得无加=6,根据数量积的运算律结合向量投影的定义运算求

解.

【详解】因为方与方的夹角为60。，向=2,忖=6,则a/WWcos6(r=2x6xg=6,

则(2汗一5)0=2旧「一无5=2x22-6=2,

所以2”日在2方向上的投影为<I」=2=1.

同2

故答案为：L

16.S，-1)5-1,5)

【分析】

根据题意得出:7<0且0与后不共线，根据数量积公式列出不等式并排除向量反

向时/的值，即可得出答案.

【详解】由题意可知，:7<0,且£与B不共线.由：7=_12+3/-3<0,解得/<5•若

G与B共线，

则—=：=一，即，=-1，则£=-3B，Z与B方向相反需要舍去，

因此实数，的取值范围为(f,-03-1,5).

故答案为：(f-1)3-1，5)

17.1/0,125

O

【分析】将司=力■两边平方，求出的值，利用向量的夹角公式，即可求得

答案.

【详解】由题意得1=2,|昨2,\a-bl=y/7,

则|Z-W=7,即蓝一2力+坂2=7，则=g

故答案为：g

18.（1）证明见解析

⑵巫

6

【分析】（1）以。为空间直角坐标系原点，DB,DC,分别为x，Xz轴建立空

间直角坐标系，再根据荏.元=0证明即可；

（2）根据空间向量的夹角公式求解即可.

【详解】（1）以。为空间直角坐标系原点，DB,DC,D4分别为x»，z轴建立空

间直角坐标系.

则4(0,0,2),3(2,0,0),C(0,2,0),E(l,l,0),

故荏=(1,1,-2),BC=(-2,2,0),

则谡屁=1x(—2)+lx2+(-2)x0=0,故18c.

(2)由(1)AE=(1,1-2),DC=(0,2,0),

,mAEDC1x2屈

milcosAE,DC=।।

'JA£.DC^12+12+(-2)2X26

故直线也与爪的夹角的余弦值为£

6

19.（1）证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2,

则。(0,0,0),A(2,0,2),£(2,2,1),*1,1,2),C(0,2,0),

所以皮=（0,2,0）,国=（2,0,2）,

因为OC，平面BCC4,所以觉=（0,2,0）为平面BCCE的一个法向量,

又就访=。，即发

又AOcz平面BCC百，所以〃平面8CGA.

（2）由（1）知丽=（一1,一1,1）,

所以而•B=-1X2+（-1）X0+1X2=0,所以E/rAQ.

20.（1）证明见解析

⑵逅

3

【分析】（1）利用勾股定理分别证出BELAE,BE±PE,进而得出BE,平面R场，

即可得证；

（2）建立空间直角坐标系B-孙z,分别求出平面PCE和平面R4E一个法向量，利

用向量夹角公式即可求解.

【详解】（1）证明：由题知AE=2E=2忘，

所以AB?二检+3磨，

所以AABE为直角三角形，BE±AE,

因为PB=DE=2,BE=25/2,PB=2框,

^^PB2=PE2+BE~,

所以△P3E为直角三角形，BELPE,

因为=瓦AE,尸Eu平面R4E,

所以BE_L平面B4E,因为PAu平面B4E,

所以R4L3E；

（2）由题知以6为原点建立如图空间直角坐标系8-町z,

y

取四中点弘由题知PE=AE,所以PMLAE,

由（1）知BE_L平面外£,所以PM_LBE,

因为AEIBE=E,所以9,平面ABE,

B（0,0,0）,A（0,4,0）,C（2,0,0）,£（2,2,0）,M（l,3,0）,P（l,3,72）,

CE=（0,2,0）,CP=（-1,3,V2）,

设平面力"的一个法向量为正=（无,y,z）,

由（1）知BE_L平面B4E,

所以而是平面必£的一个法向量，而=（2,2,0）,

设平面以£与平面所成角为9,

所以13田=叵3=吕=¥，

\m\-\BE\V3.2V23

因止匕sin0—A/1—cos29—

21.（1）答案见解析

⑵x=3,最大值为3

AP7

【分析】（1）先找到点色=：,再证明此时CP//平面AB£F.

(2)BE=x,AF=x(0<x<4),e=6-x,体积的表达式为V=-1(x-3)?+3得到

答案.

APa

【详解】⑴存在点P,使得CP//平面筋防，止匕时器=£

AP3.AP3

当而二5时tH,而二二,

过点P作M