高三数学一轮复习：直线与椭圆（一）专项训练

直线与椭圆（一）

一、单项选择题

22

1.椭圆三十一=1与直线1）的位置关系是（）

82

A.相离B.相交

C.相切D.无法确定

22

2.在椭圆卷+?=1上求一点“，使点M到直线尤+2厂10=0的距离最大，点

M的坐标为（）

A.（—3,0）B.（一9，）

C.（—2,—雪）D.（-2,0）

22

3.已知椭圆E：篇+篇=1伍>6>0）的右焦点为"4,0）,过点R且斜率为1的

直线交椭圆于A,3两点.若A3的中点坐标为（3,-1）,则E的方程为（）

A.—+—=1B.—+—=1

45293620

C.-+^=1D.-+^=1

3216248

22

4.椭圆C：亍+?=1的左、右顶点分别为Ai,A2,点P在C上且直线防的

斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线以2斜率的取值范围是（）

AE斗BI--1

C[”D.[|,1]

5.已知椭圆C：㊀+V=1的左、右焦点分别为F2,直线y=x+m与C交于

A,3两点，若面积是2AB面积的2倍，则机=（）

2

-V-2

A.3B.3

C.--D.--

33

22

6.直线x—2y+2=0经过椭圆今+京=l（a>6>0）的左焦点E交椭圆于A,B

两点，交y轴于M点，若前=3前，则该椭圆的离心率为（）

V17+V5口V17-V5

AA•--------D•--------

84

V17-V5D.V17+V5

c.29

7.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、外两圈的钢骨架是由

两个离心率相同的椭圆组成的对称结构.某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似,

其平面图如图2所示，已知外层椭圆的长轴长为200m,且内、外椭圆的离心率

均为字，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC,若AC的斜率为

-p则内层椭圆的短轴长为（）

A.75mB.50V2m

C.50mD.25V2m

8.已知过椭圆C：f+5=l的上焦点R且斜率为左的直线/交椭圆C于A,B

两点，0为坐标原点，直线OA,OB分别与直线y=2相交于M,N两点.若

NMON为锐角，则直线/的斜率上的取值范围是（）

A.（一8,—1）U（1,+00）

B（V，f）

C（-8,詈）Ug，+8）

D.（-8,,f）u（l,+8）

二、多项选择题

22

9.已知椭圆E：宏+誉=1（。＞万＞0）的右焦点为网3,0）,过点R的直线交椭圆

E于A,3两点.若A3的中点坐标为（1,-1）,则（）

A.直线A3的方程为3）

B.层=2左

22

C.椭圆的标准方程为言+9=1

D.椭圆的离心率为苧

22

10.在平面直角坐标系。孙中，已知直线/：入一厂上=0,椭圆c：京+云=1（。

>b>Q),则下列说法正确的有()

A./恒过点(1,0)

B.若/恒过C的焦点，则〃+〃=1

C.若对任意实数左，/与C总有两个互异公共点，则。巳1

D.若则一定存在实数左，使得/与C有且只有一个公共点

三、填空题

22

11.过椭圆C：^+3=1的左焦点R作倾斜角为60。的直线/与椭圆C交于A,

43

§两点’则看+[^=--------

12.已知椭圆万十丁2=1,若此椭圆上存在不同的两点A,3关于直线y=2x+m

对称，则实数m的取值范围是.

四、解答题

13.已知动圆与圆Ci：(x+4)2+y2=l外切，同时与圆。2：(%—4)2+y2=81内切.

(1)求动圆圆心〃的轨迹厂的方程，并说明它是什么曲线；

(2)若直线/：4x—5y+40=0,求曲线「上的点到直线/的最大距离.

22

14.已知椭圆C：苒+一=1，左、右焦点分别为B，F2,直线/与椭圆交于A,

164

3两点，弦A3被点(g,平分.求：

⑴直线I的方程；

(2)Z\FiAB的面积..

参考答案

22

1.B［直线过定点M(l,0)且该定点在椭圆三+匕=1内，故直线与椭圆相交.故

选B.］

2.B［如图所示：根据题意可知，当点〃在第三象限且椭圆在点M处的切线与

直线x+2y—10=0平行时，

x+2y-10=0

点M到直线x+2y—10=0的距离取得最大值，可设切线方程为x+2y+m=0(m

x+2y+m=0

>0),联立9

.4%2+9y2=36,

消去x整理可得25y16帆y+4帆2—36=0,

J=162m2—100(4m2—36)=0,因为m>0,解得机=5,

22

所以椭圆^■+?=］在点M处的切线方程为x+2y+5=0,

因此，点M到直线x+2y—10=0的距离的最大值为萼粤=3曲,

'V1Z+2Z

(%+2y+5=0,

联立心2”2

土+匕=1,

94

可得点M的坐标为(一—§.故选B.］

3.D［设A(xi,yi),5(x2,”),则XI+%2=6,yi+y2=-2,

道=度_城

作差得德-22

a~b匕2

则一走—(yi-y2)(yi+y2)__i_

2

好.据g-%2)g+%2)3a

2222

所以/=3〃，又c=4,a=b+c=3b-,解得。2=8,a=24,

22

则E的方程为F—=1.

248

故选D.]

22

4.A[由题意，椭圆C:—+—=1的左、右顶点分别为Ai(—2,0),A2(2,0),

43

设尸(xo,yo),则光=[(4—就)，又由七公•*r^=A=-?可得

—

4上二XQTZXQZXQ-414

_3_3

kpA】=S因为加2,-1],即—2&mw—1，可得2《加42^^所以

KK

PA2PA284

直线以2斜率的取值范围是[|,非故选A.]

y=x+m,

X2消去y可得4f+6mx

(y+y2=1,

+3m2—3=0,因为直线与椭圆相交于A,3点，则/=36机2—4X4(3机2—3)＞0,

解得一2＜相＜2,设Fi到AB的距离为di,F2到A3距离为di,易知Fi(-V2,

__|—V2+?n|_

0),F2(V2,0),贝Id尸中，流=粤，产=声=需=2,

V272S&F2ABN2+叫|V2+m|

故网-2,0),M(0,1),则前=(2,1),设A(xo,yo),则俞=(一初，1一”),

而前=3俞，

12=3(_&),

11=3(1-yo),

又点A在椭圆上，左焦点网一2,0),右焦点〃(2,0),

由2k朋+四，尸后可由+后在守=3，

贝|Ja=4+y,椭圆的离心率=故选C.]

3

7.B[内、外椭圆的离心率均为芋，设内层椭圆的短半轴长为b,e=^=Jl-g

=~,所以a=2乩则内层椭圆方程为磊+，=1,由外层椭圆长轴的一个端点

A向内层椭圆引切线AC,AC的方程为y=-|(x+100),

代入内层椭圆方程可得：炉+100x+5000—2/=0,

可得4=10000—4X(5000—2户)=0,解得庐=1250.

所以8=25/.即内层椭圆的短轴长2。=50奁m.故选B.]

8.D[由题意可知，cr=2,方=1,所以°2=。2—〃=],

-.2

所以椭圆C：x2+y=l的上焦点为F(0,1),

则直线/的方程为y=Ax+l,设A(%i,yi),B(X2,yi),

y=kx+1,

联立2消去y,得(2+/)/+2日一1=0,

x2+—V=1,

2

所以％1+%2=二咎，％1%2==二.

2+k22+k2

由题设知，OA所在的直线方程为y=4.

X1

因为直线OA与直线y=2相交于点M,

所以,2;

同理可得，2.

所以而=(等，2),

，2-

因为NMON为锐角,

所以南•~ON>Q,

所以南•丽=3+4=—今、+4

7172(/c%i+l)(/cx2+l)

=_______4%I*2_____+4

2

kx1x2+k(<x1+x2')+l

4X-^2

=___________2+fc^________\A

k2'

2+kz2+kz

2,4k2-2

=---+4A=----

k2-lk2-l*

即崇言＞°，解得或标＞1，

所以一子＜上＜手或左＞1,或左V—1.

故直线/的斜率左的取值范围是（一8,—i）u（_*号）u（l,+8）.故选D.]

9.ABD[因为直线A3过点网3,0）和点（1,-1）,所以直线A3的方程为了=

|（x—3）,代入椭圆方程马+1,消去y,得（9+炉）%2—1。2》++2—。2。2=0,

32

所以AB中点的横坐标为~~r=l,即/=2户.

又42=廿+°2,所以b=c=3,tZ=3V2,离心率为I，

22

所以椭圆E的方程为F—=1.故选ABD.]

189

10.ACD[方程近一y一左=0可化为y=-x—l）,

所以直线/恒过点（1,0）,A正确；

设椭圆的半焦距为c（c＞0）,则焦点R的坐标可能为（c,0）或（一c,0）,

若直线恒过点（一c,0）,则0=网一。-1）,

故c=-1,矛盾,

若直线恒过点（c,0）,则0=左（。一1）,故c=l,所以/一。2=],B错误;

、偿+艺=],

联立卜2b2'消丁可得，（/3+序）/—2〃2女2元+〃2女2—〃2》2=0,

[y=kx—k,

由对任意实数与。总有两个互异公共点，

可得方程（序於+62）——2〃2%2%+〃23—〃2b2=o有?个不相等的实数解,

所以/=（一2/k2）2-4（4/2^+廿）（/左2—42b2）>0,

所以3（〃-1）+。2>0,

所以〃21,C正确；

因为/=（—2/^）2—4（/9+廿乂/^—々252）=4Q2b2/（。2—]）+〃],

所以a<\时，则左2="-立即k=±时，

l-a271-a2

可得/=0,此时方程组有且只有一组解，

故/与。有且只有一个公共点，D正确.

故选ACD.]

11.|[由题意可知只一1,0),故/的方程为y=g(x+l).

(y=V3(X+1),、8

由《丫22得・•・%=()或--.

土+匕v=1,5

43

设A(0,V3),B(-|,—言).

又只一1,0),：.\AF\=2,\BF\=l，

\AF\\BF\3」

12.(-苧,y)「.•椭圆1+y2=l,.•.尤2+2/-2=0,

设椭圆上两点A(»,yi),Bg,*)关于直线丁=2%+用对称，AB中点为M(%o,

冲)，

则淄+2*=2,①

好+2资=2,②

①—②得：(Xi+%2)(xi—X2)+2(y\+y2)(yi—券)=0,

即2M)•(xi—%2)+2X2)7o,(y1—y2)=0,

:,kAB=y^=_i.^=-1

Xr-x22y02

・\yo=M),代入直线方程y=2x+/n得%o=一根，yo=~m.

V(x0,yo)在椭圆内部，

机2+2(一机/V2,

解得一手〈机〈手，

即实数机的取值范围是(誉，y).]

13.解：⑴设动圆M的半径为兀

由动圆“与圆。外切可知：|MG|=7-+1,①

由动圆”与圆C2内切可知：|MC2|=9一厂，②

则①+②可得:|MCi|+\MC2\=10>IC1C2I=8.

所以动圆〃的轨迹是以Cl,C2为焦点，长轴长为10,焦距为8的椭圆(不含顶

点(一5,0)).

22

动圆Af圆心的轨迹广的方程为|^+g=l(xW—5).

(2)设与直线/平行的直线/o:4x~5y+m=0(机#40).

y2

----1----=1

由、259'得25%2+8阳+机2—225=0.

.4%—5y+m=0,

A-(8m)2-4X25X(m2-225)=0.

当/=0,即加=±25时，直线与椭圆相切.

由图形(图略)可知，当加=—25时，切点P到直线/的距离最大.

设最大距离为d,则4=号潜=巴3.

-v4z+5z41