山东省济南市南山区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

2023-2024学年第一学期期中质量检测

八年级数学试题

注意事项：

第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

第I卷（选择题共40分）

一、选择题（下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来填入相

应的表格里.每小题4分，共40分）.

1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A3,4,4B.6,8,10C.5,5,5D.6,7,8

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边

的平方，那么这个三角形就是直角三角形.最长边所对的角为直角.由此判定即可.

【详解】解：A.：3z+42^42,•••三条线段不能组成直角三角形，错误；

B.；6?+8?=102,...三条线段能组成直角三角形，正确；

C.：52+52/52，•,.三条线段不能组成直角三角形，错误；

D....62+72282,•♦.三条线段不能组成直角三角形，错误；

故选：D.

2.16的平方根是（）

A.4B.-4C.±4D.72

【答案】C

【解析】

【分析】此题考查的是求一个数的平方根，根据平方根的定义判断即可.

【详解】解：16的平方根是土屈=土4.

故选C.

22

3.下列各数：0.16,示，一兀，―,旧0.2是无理数的有（）个.

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】此题主要考查了实数的分类.由题意根据无理数、有理数的定义即可判定求解.

2?

【详解】解：0.16,7101=10）-兀，0.2中，无理数有一兀，狗，共2个，

故选：A.

4.已知点A的坐标为（3,T）,则点A关于y轴对称的点的坐标为（）

A.（3,4）B.（-3,-4）c.（3,T）D,（-3,4）

【答案】B

【解析】

【分析】根据关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求解.

【详解】解：点A的坐标为（3,T）,则点A关于y轴对称的点的坐标为（-3,-4）

故选：B.

【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，掌握关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标

互为相反数是解题的关键.

5.一次函数y=3x—2的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质进行判断即可.

详解】解：•.•左=3>0,

,一次函数y=3x—2的图象经过第一、三象限，

b=—2<0,

•••一次函数y=3x+2的图象与y轴的交点在尤轴下方，

二一次函数y=3x—2的图象经过第一、三、四象限，

即一次函数y=3x-2的图象不经过第二象限.

故选：B.

6.如图，在高为3米，斜坡长为5米楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）

B

A.4米B.5米C.6米D.7米

【答案】D

【解析】

【分析】先求出AC的长，利用平移的知识可得出地毯的长度.

【详解】解：在RtAABC中，AC=7AB2_BC2=4米，

故可得地毯长度=AC+=7米，

故选：D.

【点睛】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本

题的关键.

7.如图，边长为1的正方形A3CD,A3在数轴上，点A在原点，点B对应的实数1,以A为圆心，

AC长为半径逆时针画弧交数轴于点E，则点E对应的实数是（）

2

A.-1-72B._72C.72D.—2+0

【答案】B

【解析】

【分析】根据勾股定理求出AC的长度，进而得出点E对应的实数.

【详解】解：：正方形ABCD边长为1，

,,AC=Vl2+12=V2，

•••AC=AE=万

，点E对应的实数是-四，

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理以及数轴上表示实数，熟练掌握实数在数轴上的表示方法以及勾股定理是解

本题的关键.

x+y=3

8.如图，直线y=-%+3与，=如+〃交点的横坐标为1,则关于不y的二元一次方程组<

-mx+y=n

x=lx=l

c.《D.<

y=2IE

【答案】C

【解析】

【分析】将横坐标为i代入y=-x+3,即可求出对应纵坐标.

【详解】解：X=1代入y=—九+3得y=2,

则方程组《x+y=3的解集为：\x=lC，

—mx+y=n[y=2

故选：C

【点睛】本题考查了二元一次方程组解与一次函数的交点坐标的关系，掌握相关知识是解题关键.

2x-y=0

9.已知直线y=2x与y=-x+b的交点的坐标为(1,2),则方程组<八的解是()

x+y-b=G

x=l[x=2fx=2[x=l

7=2[y=l[y=31y=3

【答案】A

【解析】

【分析】根据方程组的解是一次函数图象的交点坐标解答即可.

【详解】解：•.•直线y=2x与y=-x+b的交点坐标为(1,2),

•••方程组的解就是两个一次函数的交点坐标,

[尤=1

，方程组的解〈c,

b=2

故选：A.

【点睛】本题考查一次函数与方程组的关系，解题的关键是理解方程组的解就是两个一次函数图象的交点

坐标.

10.如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与X轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2,

4,6,8,...顶点依次用A，A,A3，4表示，则顶点4o23的坐标是（）

姝

*

x

A.（505,-505）B.（506,506）C.（506,-506）D.（-506,506）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了规律型：点的坐标，根据正方形的性质找出部分4点的坐标，根据坐标的变化找出变

化规律”40+1（一〃一1，一〃一1），&“+2（一"—1，"+1）,4"+3（〃+1，〃+1），4“+4（〃+1，―〃—DS为自然数）”，

依此即可得出结论.

【详解】解：观察发现：A（—L—1）,4（-1,1）,A（1,1）,A4（l,-1）,A（—2,—2）,儿（一2,2）,4（2,2）,

4（2,-2）,4（-3,-3）,…，

T，fT），4"+2（_“_1，九+1），AU+3（“+1，”+D，4“+4（附+1，-〃-1）（〃为自然数），

•.•2023=505x4+3,

••4o23（5O6,5O6）.

故选：B.

第II卷（非选择题共110分）

注意事项：填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11.8的立方根为.

【答案】2

【解析】

【分析】根据立方根的意义即可完成.

【详解】V23=8

，8的立方根为2

故答案为：2

【点睛】本题考查了立方根的意义，掌握立方根的意义是关键.

12.比较大小：7265（填“＞”，"V”或“=”）

【答案】＞

【解析】

【分析】先把5化成亚，再与亚比较大小，即可得出答案.

【详解】解：：5=后，

:•而＞后=5,

故答案为：＞.

【点睛】本题考查了实数的大小比较，注意无理数和有理数比较大小，常把有理数化成根式的形式，再进

行比较.

x=l

13.若1是二元一次方程2x+y=4的一个解，则机的值为一.

y=m

【答案】2

【解析】

%=1

【分析】将1代入此二元一次方程，即得出关于的等式，解出力即可.

y=m

x=l

【详解】解：将＜代入2x+y=4,得：2xl+m=4,

y=m

解得：m=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查二元一次方程的解的定义.掌握方程的解即是使等式成立的未知数的值是解题关键.

14.如图，在边长为2等边AABC中，以8为原点建立坐标系，则点A的坐标为.

【分析】过A点作A。，BC,垂足为。，根据等边三角形的性质及勾股定理得出AD=6，即可求出A

点的坐标.

【详解】解：过A点作ADLBC,垂足为

AAC=AB=BC=2,BD=CD=1,

AD=YIAB2-BD2=73-

...点A坐标为(1,6).

【点睛】题目主要考查等边三角形的性质及勾股定理解三角形，坐标与图形，熟练掌握等边三角形的性质是

解题关键.

15.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所

示.在图2中，若正方形A3CD的边长为14,正方形Z/KL的边长为2,且〃则正方形EEGH

的边长为

图1图2

【答案】10

【解析】

【详解】(14x14-2x2)+8=(196-4)+8=192+8=24

24x4+2x2=96+4=100

7100=10.

即正方形EFGH的边长为10.

故答案为10.

16.正方形AB£。，432c2。1，AJB-GG，…按如图所示放置，点A，4，A，…和GCC，…分别

在直线y=x+1和x轴上，则纥点的纵坐标是

【答案】2"T

【解析】

【分析】本题考查平面直角坐标下点的规律探究.根据题意求出与，^，&，^，风…，进而找出坐标规律,

进行求解即可.

【详解】当x=0时，y=x+l=l,

...点A的坐标为(0,1).

•.•四边形A与G。为正方形，

点耳的坐标为(Li),点的坐标为(1,0).

当x=l时，y=x+l=2,

.•.点4的坐标为。，2).

A52c2G正方形，

...点外的坐标为(3,2),点。2的坐标为(3,0),

同理，可知：点鸟的坐标为(7,4),点4的坐标为(15,8),

点打的坐标为(3L16),…，

点纥的坐标为(2"-l,2'i)(n是正整数)，

...点纥的纵坐标为2〃T；

故答案为：2〃T.

三、解答题(本大题共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，计算或证明过程)

17.计算：

(1)72x76-73+JI

(2)15^|+1V20-V45.

小岛痣V12+V27

(4)"-3后(3乒5塔

【答案】(1)A/3H—

2

(2)也

(3)-2

(4)5

【解析】

【分析】本题考查了二次根式的混合运算;

(1)根据二次根式的乘法，求一个数的立方根进行计算，再合并即可;

(2)先化成最简二次根式，再运用二次根式加减计算即可；

(3)根据二次根式的除法进行计算即可求解.

(4)先运用平方差公式展开，再合并即可.

【小问1详解】

解：A/2xA/6—A/3+

=273-73+-

2

=6+：；

2

【小问2详解】

=15X^+-X2V5-3A/5

52

=3A/5+A/5-3A/5

=;

【小问3详解】

到73x76疝+07

解：F--------『

3A/22A/3+3A/3

=3-5

【小问4详解】

解:(5A/2-3A/5)(3A/5+5V2)

=50-45

=5

18.解方程组:

x-2y=1

⑴《

3x-y=3

x-2y=3

(2)<1313

—x+—

124

x=l

【答案】（1）

y=0

x=5

(2)《

b=l

【解析】

【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，理解并掌握加减消元法的计算方法是解题的关键.

（1）运用加减消元法求解二元一次方程组即可；

（2）先去分母，再运用加减消元法求解二元一次方程组即可.

【小问1详解】

x-2y=1①

解：＜

3x-y=3®

②义2—①得,2x(3x-y)-(x-2y)=6-l,整理得，5x=5,

%=1,

把x=l代入①得，1—2y=l,

y=0,

...原方程组的解为〈x=lc

y=0

【小问2详解】

x-2y=3①

解：＜1313G

—x+—y=—②

[24-4

②去分母得，2x+3y=13③，

①x2-②得，2x(x-2y)-(2x+3y)=6-13,整理得，-7y=-7,

y=1,

把y=1代入①得，x-2xl=3,

••%=5,

x—5

・••原方程组的解为l一

b=1

19.已知：如图，四边形ABCD中，ZACB=90°,AB=15.BC=9.AD=5,DC=13,

求证：AACD是直角三角形.

【解析】

【详解】试题分析：首先利用勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理的逆定理证明NZMC=90。，可得

△ACD是直角三角形.

试题解析：证明：：45=15,3。=9,NACB=90。，

AC=7152-92=12,

•.•52+122=132,

:.AD~+AC2=CD2,

:.ZDAC^9Q°,

.•.△AC。是直角三角形.

20.已知“RC的顶点坐标分别是A®-3),8(—2,2),C(l,-2),且点A关于x轴的对称点尸的坐标为

(-3,b).

(])a=,b=；

(2)在平面直角坐标系中画出AABC,并求得&4BC的面积为

【答案】⑴-3,3

(2)见解析，9.5

【解析】

【分析】(1)利用轴对称变换的性质作出A,P两点，可得结论；

(2)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可.

【小问1详解】

解：关于x轴的对称点P的坐标为(-3,6),

a=-3,6=-(-3)=3,

故答案为：—3,3；

【小问2详解】

解:由(1)知A(-3,-3),

如图，

△ABCWM=4x5--xlx5--x3x4--xlx4=9.5.

222

故答案为：9.5.

【点睛】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型

21.已知V—5与X+3成正比例，且当x=l时，y=-3.

(1)写出y与x之间的函数关系式；

(2)求当x=-7时，y的值.

【答案】(1)y=-2x—1

(2)y=13

【解析】

【分析】(1)由V—5与x+3成正比例，设y—5=k(％+3),再利用待定系数法求解函数解析式即可；

(2)把x=—7代入y=-2x—1求解函数值即可.

小问1详解】

解：：丁一5与x+3成正比例，

设丁一5=左(尤+3),

当x=l时，v=-3.

4k=—8,

解得：k=-2,

.,.函数关系式为：y-5=-2(x+3),即丁=一2左一1.

【小问2详解】

当尤=一7时，

/.y=-2x-l=-2x(-7)-l=13.

【点睛】本题考查的是正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，求解函数值，掌握“待定系数法

求解函数解析式”是解本题的关键.

22.下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务.

4x-5y=2,①

解方程组：＜

2x-y-

解：②x2,得4%—2y=—2,(c》第一步

________,得-3y=4,第二步

_3

第三步

y="4,

37

将y=—代入②，得n=—.第四步

48

7

X=-8,

所以原方程组的解是■第五步

3

1)二4一7

任务一：

(1)以上解题过程中，第二步通过的变形得到了-3y=4；

A.①+③B.①-③C.①-②D.②+③

(2)第步开始出错：

(3)请直接写出原方程组的解：；

任务二：

请你根据平时的学习经验，说说解二元一次方程组的基本思路：

7

x=——

【答案】任务一：(1)B(2)三(3)|2，任务二：解二元一次方程组的基本思路是“

”(或转

4

1y=―一3

化)(合理即可)

【解析】

【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，进行计算即可求解.

【详解】解：解方程组：＜°,

2x-y=-l.@

解：②x2,得4x-2y=-2,③第一步

①—③，得—3y=4,第二步

4„

y=■第二步

3

47

将丁=——代入②，得％=——.第四步

36

7

元=——

所以原方程组的解是I6

任务一:

（1）以上解题过程中，第二步通过①-③的变形得到了-3y=4；

故答案为：①—③.

4

（2）第三步开始出错，应为y=-§；

故答案为：二.

7

%=——

（3）原方程组的解是16

7

x———

故答案为：，?

任务二：解二元一次方程组的基本思路是“消元”（或转化）（合理即可）

【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

23.小刚家与学校相距1000米，某天小刚上学时忘了带一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，

然后加快速度赶到学校.下图是小刚与家的距离y（米）关于时间x（分钟）的函数图象.请你根据图象中

给出的信息，解答下列问题：

八M米）

1000---------------------------------75

800/

600/

400/

200…一人/

八"」

02456810x（分钟）

(1)小刚走了多远才返回家拿书？

(2)求线段所在直线的函数关系式；

(3)求小刚走到8分钟时，小刚与家的距离.

【答案】(1)小刚走了200米后返回家拿书；(2)y=200x-1000；(3)小刚走到8分钟时，小刚离家600米.

【解析】

【分析】(1)直接观察图象即可得到结果；

(2)运用待定系数法设出直线AB的方程，根据图象过点A,B,列出关于k和b的方程组，求解即可得

到答案；

(3)根据(2)中的结果可知AB的函数解析式，将x=8代入求出y的值，即可得到答案.

【详解】解：(1)根据题中所给的分段函数的图象可得，小刚走了200米后返回家拿书；

(2)设直线AB的解析式为：y=kx+b,

:图象过点A(5,0),B(10,1000),

'5k+b=Q\k=200

|10^+ZJ=1000[b=-1000

直线AB的解析式为：y=200x-1000；

(3)由(2)可知，直线AB的解析式为y=200xT000,(5WxW10)

.•.当x=8时,y=200x8-1000=600,

答：小刚走到8分钟时，小刚离家600米.

【点睛】本题主要考查函数模型的选择与应用，函数解析式的求解及常用方法，考查了分段函数的理

解.解决实际问题通常有四个步骤：(1)阅读理解，认真审题；(2)引进数学符号，建立数学模型；(3)

利用数学的方法，得到数学结果；(4)转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型.属于中档

题.

24.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，。为原点，点A在x轴的正半轴上，点C

在y轴的正半轴上，OA=10,OC=8,在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点

E处，

(1)求D、E两点的坐标.

(2)求过D、E两点的直线函数表达式

3

【答案】⑴D(0,5)；E(4,8).(2)y=—x+5.

-4

【解析】

【详解】试题分析：(1)先根据勾股定理求出BE的长，进而可得出CE的长，求出E点坐标，在RtADCE

中，由DE=OD及勾股定理可求出OD的长，进而得出D点坐标.

(2)由(1)知D、E的坐标，根据待定系数法即可求得表达式.

试题解析：(1)依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，

.•.在R3ABE中，AE=AO=10,AB=8,BE=^AE2-AB2=7102-82=6>

ACEM,

；.E(4,8).

在RtADCE中，DC?+CE2=DE2,

又：DE=OD,

J(8-OD)2+42=OD2,

；.OD=5,

AD(0,5),

综上D点坐标为(0,5)、E点坐标为(4,8).

(2)由(1)得：E(4,8).D(0,5),

设直线DE的解析式为y=mx+n,

(4m+〃=8

n=5

,3

m=—

解得彳4,

n=5

3

直线DE的解析式为y=-x+5.

4

考点：1.翻折变换(折叠问题)；2.坐标与图形性质.

25.如图，直线y=-％+6分别与X轴、y轴交于A、B两点.

（2）已知点C坐标为（4,0）,设点。关于直线AB的对称点为£）,请直接写出点。的坐标；

（3）请在直线A3上找一点尸，使AOPC的周长最短，求出点尸的坐标.

（4）请在直线A