广东省广州市某中学2024-2025学年高二年级上册开学考试 数学试卷（含答案）

2024年9月广附高二开学考试数学问卷

姓名:班级:.考号:

一.单选题（8道，共40分）

1.已知/={xhdx<2},5={xx<a},若“xe是“xe无，的充分不必要条件，则a的取

值范围是（）

A.a<\B.“21C.D.a>2

2.已知z=l-i是方程i+2az-6=0(a,6eR)的根,则.+/?=

()

A.一3B.-1C.2D.3

已知=五,则

3.ae"=7t,blnb=n,c()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

2-21

cosa—sina=—

4.已知7,且3sin/=sin(2a+0)则a+’的值为（）

71兀7171

A.12B.6C.4D.3

71

--X小则（）.

已知函数/（x）=sin（2x+S）（0<。<兀）,

5.

A./（o）4

71

/（x）的图象向左平移％个单位长度后关于y轴对称

B.

[71271

/(X)在

C.上单调递减

71

—+X=0

D.

6.在某种药物实验中，规定l0°ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效力现测得实验

动物血液中药物含量为08mg/ml,若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么

至少经过（）个小时才会“药物失效”.（参考数据：lg2«0.3010）

A.4B.5C.6D.7

13」兀

7.已知圆台的体积为3,母线长为3,高为石，则圆台的侧面积为（）

A.36兀B.24兀C.18兀D.⑵

而/_妪___

8.已知O为的内心，角/为锐角，sm—一「，若=+则〃+九的

最大值为（）

j_345

A.2B.4C.5D.6

二.多选题（3道，共18分）

9.已知心°力且。+6=1,则下列不等式成立的是（）

149

ab

A.-lB_7/25cG+Gw四口.aJa

10.如图，已知棱长为2的正方体,88-44G2中，点p在线段与C上运动，现给出下

A.直线42与直线DP所成角的大小不变

B,平面网平面4CQ

2」

c.点尸到平面的距离为定值亍

71

D.存在一点尸，使得直线/P与平面8cqq所成角为§

11.一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中可能出现点

数6的有（）

A.平均数为3,中位数为4

B.中位数为4,众数为3

C.平均数为2,方差为2.1

D.中位数为3,方差为0.85

三.填空题(3道，共15分)

12.从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这

50名学生成绩的75%分位数为分.

频率

0.030

0.024

0.020

0.016

OO6

OS.OO4L

O

405060708090100成绩/分

13.已知△"SC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,是△NBC的中线.若

4)=2,且62+C2+6C=(6COSC+CCOS8)：则△N2C面积的最大值为.

14.设函数/G)的定义域关于原点对称且满足：

X),/(%),/(无2)+1

⑴12"%)-/(王)；5)存在正常数a使/(4)=1.

则函数/(龙)的一个周期是.

四.解答题(13,15,15,17,17,共77分)

f(x)=V3sin(a)x+^)(0<0<1,|^|<^)N百］

15.已知函数2的图象过I3),13帆点，将

171

/(X)的图象上各点的横坐标缩短为原来的5,纵坐标不变，再向右平移3个单位长度，得

到函数g(x)的图象.

⑴求函数g(x)的解析式；

F(x)=g(x)-->0

(2)若函数2,求函数尸(%)的单调区间.

16.已知斜三角形/BC.

(1)借助正切和角公式证明：taM+tanS+tanC=taMtanStanC.

并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值：

①tan20°+tan40°+V3tan20°tan40°；

tan200+tan40°+tanl20°

②tan20°tan40°.

(2)若C=135。，求taM+tauB的最小值.

17.如图，在平行四边形N28中，APVBC,垂足为尸，£为8中点,

⑴若N•就=32,求/P的长；

_叵

⑵设尸G,|/C尸石，cosABAC=—10,AP=XAE+yAC)求孙的值.

18.如图，在四棱锥尸中，底面N2C。为平行四边形，

ABAD=60°,PD=AD=1,PB=AB=2.

(1)证明：8。1平面尸/。；

(2)当二面角D-PA-B的正切值为屈时，求直线BD与平面PBC所成角的大小.

19.已知有序数对X：5，/，%｝,有序数对,：｛%，%，％｝,定义“Q变换”：必=同一引，

%=同一工3|,%=上一再|,可以将有序数对X转化为有序数对厂

⑴对于有序数对X：｛3'4,5｝,不断进行“Q变换”，能得到有序数对｛°。0｝吗？请说明理

由.

(2)设有序数对X：｛』,无2，W｝经过一次“C变换”得到有序数对丫：加2,x｝(x2)),且有序数对

X

Y的三项之和为2024,求x的值.

⑶在(2)的条件下，若有序数对丫经过〃次变换”得到的有序数对的三项之和最小，求

n的最小值.

1.D

【分析】利用充分不必要条件求参数，得到/U8,即可求解.

【详解】因为“xe/”是“xeB”的充分不必要条件，所以/[台，所以。22.

故选：D.

2.A

【分析】2=1-“弋入方程，根据复数相等即可得出即可得解.

【详解】由题意,得(17)2+241)-6=0,即2"6+(-2-2a)i=0,

所以2°-6=0,且-2-20=0,解得。=-11=-2,

所以Q+6=-3.

故选：A.

3.A

ea=-]nb=—c=—

【分析】将已知转化为。，b,C,作出函数＞=^,y=lm,y=x,

n

y=~

X图象，数形结合即可得大小关系.

/—eq=—兀1\n7b=兀—c=兀—

[详解]已知〃/二兀，61nb=兀，。=，兀，贝ija,b,c,

故选：A.

4.D

tanCL——

【分析】利用同角三角函数关系可得2,利用两角和与差的正弦公式化简

3sin[(a+£)-a]=sin[(a+0+a],可得tan(a+£)=2tana=指，根据角的范围，即可得

到答案.

2.712•2124.23

coscr-sina=—,cosa+sma=\cosa=—,sma=—

【详解】因为7，所以77,

2V3tan"

aecosa--j=sma=—j=

因为吟，所以行，〃，所以2

由3sin/?=sin(2cr+4)，得3sin[(a+/)一a]=sin[(a+/7)+a],

即3sin(6Z+(3)cosa-3cos(a+/)sina=sin(a+0)cosa+cos(a+0)sina

所以sin(a+0cosa=2cos(a+p)sina,所以tan(a+尸)=2tana=VJ

Q<a+B<—

又2,所以

故选:D

5.D

71

=/（x）f（\x=A/(x)=si.n2Gx+.—

fxI3

【分析】根据,即函数关于12对称，可得

根据三角函数的性质和图象变换，逐项判断.

7171

--X一/6），即函数/（X）X-----

【详解】根据题意,关于12对称,

.717177r

2x(D——Fkn.k£Z八

即12,2,又0<0<兀，

sinf2x+y

(p=-/(^)=

所以3,

f(0)=sin—=

则32,A错误;

71

/（X）的图象向左平移％个单位长度得,

兀

80)=小+.=sin2x+-+-=sin|2x+—

63I3

g(0)=sin-=*±1

而32所以B错误;

兀2兀c兀2兀5兀

XG2x+—G

6'T,则3T'T，则函数"x）先减后增，C错误;

=sin（7i-2x）+sin（兀+2x）=sin2x-sin2x=0

D正确.

故选：D

6.D

【分析】由题意得到不等式，两边取对数求出答案.

【详解】物实验中，100ml血液中药物含量为20mg的浓度为0.2,

设至少经过，个小时才会“药物失效”，根据题意

0.8（1-0.2）’<0,2,两边取对数得"n0.8<Ina,

-2In2〜c-21g221g221g22x0.3010

t>------=-2lnd2=----=---------------=------——«----------------«6.206

Ind|lgiIg5-lg4l-31g21-3x0.3010

可得55

所以至少经过7个小时才会“药物失效”.

故选：D.

7.D

【分析】利用母线长和高，求出上底面半径和下底面半径的等式关系，然后利用体积求出

上底面半径和下底面半径的另一个等式关系，然后求出上下底面半径，再用侧面积公式即

可求解.

设上底面半径为人下底面半径为尺,

如图，根据题意"=3,BG=,00『小CO、=BO=rAO=RAB=R-r>

在中，（R.r）2+gj=3［即火―=2----------①，

13囱兀y=—7rh（R2+Rr+户）=>兀x也义（R2+Rr+r）=^石兀

又因为圆台的体积为3,所以3'73'73

gpR2+Rr+r2=13----------②

由①②方程可得：氏=3,〃=

所以圆台的侧面积为成(灭+')=兀x3x*+l)=⑵.

故选：D.

8.C

【分析】方法一：先得到点。是△NBC内心的充要条件是：aOA+bOB+cOC=Q,其中

b+c1a7

〃+4==1+------cosA=—

BC=a,4c=b,AB=c,从而得到a+b+c4+4b+c,求出8

15

a

b+c

b1+c2——be=a2X+2

利用余弦定理得到4,求出。b,由基本不等式求出最大值,

得到答案;

方法二：作出辅助线，得到'°=孙/8+武1-v)NC,得到方程组，得到2+〃=x,作出

sin3.A1

sin—二一

内切圆，根据8,求出24,设出内切圆半径，故/°=4/，由图知

AO4r

x=

AD4r+|0D|4

OD>OE=rf从而求出

【详解】方法一：点。是△Z3C内心的充要条件是：aOA+bOB+cOC=0,其中BC=a,

AC=b,AB=c

理由如下：^adA+bdB+cOC=Q,贝广方+60+而冰@+及）=%

整理得（Q+6++bAB+cAC=6

、

04=―—1-AB1-AC

a+b+c

所以FlPI.),即点。在N8NC的角平分线上,

同理可证，点。在NZ8C,的角平分线上，即点。为△NBC的内心.

AO=-1—AB+^^AC

故a+b+ca+b+c

b+c11Q

//+4==1+------

故a+b+c/z+2b+c

因为角4为锐角，8

222

,b+c-a1,,7,2

cos^ZcosA=--------------=——b+c2——bc=a

所以8.由定理得到2bc84

故

又因为cd（当且仅当6=c时取等号）,

1515

1____4>।_4_,—

X+2-2+2-16-J-=1+^>1+JI=A

所以cb,所以〃+几b+c'164,

//+2<-

故5

方法二：如图，延长交BC于点、D,

^CD=yCB；^AD-AC=y(AB-AC^故AD=y/8+(l-y)/C

、儿AO-xAD=x^yAB+(1—y)/C)=xyAB+x(1—y)AC

J”孙

则卜=x(17).

二.4+〃=x,

作△/5C的内切圆与5c边切于点E,与45切于点尸,

设圆。半径为片

15

,/sinA=

8且4为锐角,

「

2sm—4cos—42ctan—4

...AA22

smA=2sin—cos—=------差----J_____2_

22.2AA2A।

sm—+cos2—tan—+1

222

2tan-

2

2/1

tan—FI

故2

sm幺姮A

cos—

故2152

.2%2'-I.AI

sin——Feos,sin—=

又22，解得24,负值舍去,

OF1

OA4,即/O=4r,由图知OZ)2O£=r,

AO4r4

-----=--------<—

AD4r+\0D\~5

故选：C.

【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：

①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后

根据平面图形的特征直接进行求解；

②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的

解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.

9.BCD

【分析】利用基本不等式可判断ABC；由。的范围可判断D.

【详解】对于A,因为。>°力>°,所以1=。+北2而，所以油故A错误;

对于B,所以

—=—a=—,b——

当且仅当。b,即55等号成立，故B正确；

对于C,要证&+64亚即证a+6+2V^Kw2

所以2&/6W1,即证4,由A可知4,故C正确；

对于D,因为〃>0，6>0,且a+6=l,所以0<°<1,

所以所以故D正确.

故选：BCD.

10.ABC

【分析】求得直线与直线。尸所成角判断选项A；利用面面垂直判定定理判断选项B；

求得尸到平面4Go的距离判断选项C；求得直线/P与平面8CG占所成角的范围判断选项

D.

【详解】连接4°,则由正方体”38中,

ADX1A、D,ADX1CD,AXDC\CD=DZQ,CDu平面ABCD,

可得,平面4瓦。。，

又DPU平面AACD,则AD\1DP,

则直线与直线。尸所成角的大小不变.故选项A判断正确;

连接4cl，3D,BP,BD[,PD],

由正方体ABCD_中，BDi1平面4G。.

又2〃u平面PBD\,则平面PBD\,平面.

故选项B判断正确；

由4。〃用。，4。u平面4。]。耳。二平面4G。

可得4c〃平面4G。，

则点尸逃到平面的距离相等，设该距离为d,

v_v-xlx2x2x2=-x—x(2V2^.£/

由'o-4与G—4G。，可得3234'/

J2百2A/3

d-------

解之得3,则点尸到平面4Go的距离为定值3

故选项C判断正确；

正方体ABCD_4用。1。1中,

直线NP与平面8CG4所成角为//四,

AB=2,BPe

由△4P5中，ABLBP

tanNNP8=4^e「l,0]‘an尸

则8尸L」，由//尸2为锐角,

兀,兀

—<<—

则4ZAPB3.

故不存在一点尸，使得直线4P与平面2CG4所成角为1选项D判断错误.

故选：ABC

11.ABD

【分析】ABD举例，C用反证法证明不能出现6.

【详解】对于A：10次点数为11，1，1，4,4,4,4,4,6符合题意，故A正确;

对于B：10次点数为333,3,4,4,4,6,6,6符合题意，故B正确;

对于C：设10次点数为，，12，x3，14，工5，%6，工7，%8，工9，再0且

X1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<xs<x9<x10；平均数为机,

假设有一次点数为6,不妨设再。=6,由方差公式

2X：+%2+¥+%：+%；+X；+X；+Xg+Xg+X^Q2

S-iom，代入相关数据得：

Xy+x；+x；+x：+x；+Xg+Xy+Xg+Xg+36

2.1=----------------------------------------4

1。,即

X\+X2+X3+X4+X5+X6+X7+Xl+X9=25,显然与最大只能取4,

不妨设X9=4得才+4+考+立+片+北+只+君=9,此时方程无解，所以须*4,

当％=3时得：x；++%；+%：+%；+篇+*+%；=16,/最大只能取3,

不妨设4=3得玉2+考+考+说+*+、；+后=7,此时方程有唯一解，

再—X?~工3=x4=%5="6=Xq~1

即10次点数为1』，1」」」，1，3,3,6,但此时平均数为1.9不合题意，所以无9*3,

当Xg—2彳曰X；+%2+X；+X；+X；+X；+X；+X；—21gyX5=%="7=*8=2彳曰X；+X；+X；+X：—5

此时方程无解（其余情况也均无解），所以居*2,

当尤9=1时，平均数为L5不合题意.

综上所述，假设有一次点数为6不成立，故C错误；

对于D：10次点数为333,3,3,3,3,4,4,6符合题意,故D正确.

故选：ABD

12.86.25

【分析】利用给定的频率分布直方图，借助频率估计75%即可.

【详解】依题意，前四个小矩形的面积之和为（0-004+0.006+0.020+0.030）X10=0.6,

前五个小矩形的面积之和为0.6+0.024X1O=0.84>0.75,

r。80+10xS75-S6=8625

因此75%分位数位于［80,90）内，0.84-0.6,

所以估计这50名学生成绩的75%分位数为86.25分.

故答案为：86.25

13.

【分析】利用正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式化简，结合余弦定理求出A,最后

AD=-AB+-AC

根据22,利用数量积的运算律及基本不等式求出税的最大值，即可求出面

积的最大值.

【详解】因为62+/+6c=0cosC+ccos'）2,

由正弦定理可得sin2'+sin?C+sin'sinC=（sinBcosC+sinCeos'）

又sinBcosC+sinCcos3=sin（3+C）=sin（兀-4）=sin4

所以sin2B+sin2C+sin5sinC=sin2A,

由正弦定理可得从+,+bc=a\

,1

222c7iCOSZ—

由余弦定理°=b7'+c--2bccosA,所以2,

2兀

又Ze(O,7t),所以=y；

AD=-AB+-AC

因为/。是△/BC中8C边上中线，则22

----►--►-->2->2---2------

即240=45+4C,所以44。=AB+AC+2AB-ACf

22

^16=b+c-bc>2bc-bcf可得bc〈16,当且仅当6=。=4时等号成立,

1k

S八ARC=—bcsinZ=——be<4^/3

故24,

即MBC面积的最大值为4月.

故答案为：4公

14.4a

【分析】令”=占一尤2,根据题意可证得了（x）是奇函数，根据条件/（。）=1,结合抽象函数

的关系以及周期的定义进行推导即可.

【详解】令x=S

/(尤2)/(%)+1/(网)/(马)+1

f(7x)=f(x2-xi)=

/(Xj)-/(X2)")-"无2)

.•J（x）是奇函数.

/(一a)/(x)+l-/⑺/(x)+l

/(X+O)=/[x-(-<2)]=

--/(X)

=公＞）二］）

“x)T1

f(x+2a}=+=’夕)+1——=

'JLkJJ〃尤)t11/(x)

/(x)+l

f(x+4a^—/[(x+2a)+2a]=_/(x+2a)=/(x)

是以4。为周期的周期函数.

【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关抽象函数的应用以及函数奇偶性和周期性的判断

和求解，正确解题的关键是熟练掌握定义并能熟练应用.

15.q)g(x)=Gsinx

(2)

答案见详解

-+kT=na)=-(-,V3)

【分析】(1)根据题目条件可得4，由可得2,再将3代入解

(p=—/(x)=V3sin(—x+—)

析式解得3,故23,最后根据三角函数图象的伸缩平移变换即可求

出g(x)的解析式；

(71_.5兀-7

F{x)—A/3sinx—tv、、cXG—+2左兀,——+2/cji

(2)由(1)可得2,根据尸(x)>°,可得(66

斤eZ,再根据正弦函数sinx的单调区间即可求出厂(%)的单调区间.

/(x)=>/3sin(®x+67)(0<®<1,1®!<—),0)(―,V3)

【详解】(1)因为函数112的图象过'3,3，两

点，

T[,7、2兀1.._

—+K1=71(一+左)X——=71a)=—+K,kGZ

所以4，即40,解得2,

1

。=­

又因为则2.

A/3sin(—x—+0)=V3

所以32,

—(P——F2左兀,keZ(p——F2ATI,左£Z

所以6*2，则3,

\(p\<—(z?=—/(x)=V3sin(—x+—)

又因为2,所以"3,即’23,

]_

所以将4工)的图象上各点的横坐标缩短为原来的5,纵坐标不变,

71

再向右平移3个单位长度得g(x)=Gsinx.

F(x)=V3sinx------

(2)由(1)知，2,

»、八A/3smx------>0sinx>—

因为尸(x)>°,所以2,即2,

71_.571c77r

---\~2nJl<X<F2nJl,左£Z

解得66,

|—+2kn,—+2kn],keZ

所以尸(无)的单调递增区间为162),单调递减区间为

(71…5兀〜

—F2ATI,----F2,/CTI|,左£Z

(26y

16.(1)证明见解析，①5②一6；

(2)2-72-2

【分析】(1)由内角和及诱导公式得到tanC=-tan(/+2),然后根据两角和的正切公式即

可得证；然后根据结论即可求出①②的值；

(2)可得出tan/+tan8=l-tan/tanB,然后根据基本不等式即可得出关于

tan/+tan2的一元二次不等式，从而得出tan/+tan2的最小值.

【详解】(1)■-C=n-(A+B))

tanC=tan[兀一(4+5)]=-tan(4+B)

「tan^4+tanB

tanC=----------------------

1-tan4tan8,

z.tanC(l-tanAtanB)=-(tanA+tanB)

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

①tan200+tan40°+Gtan20°tan40°

=tan200+tan400+tan120。+Gtan20°tan40°+V3

=tan20°tan40°tan120°+V3tan20°tan40°+百

=-V3tan20°tan40°+6tan20°tan40°+V3=V3.

tan200+tan40°+tan120°tan20°tan40°tan120°A

---------------------------------=-----------------------------=tan120°=-V3

②tan20°tan40°tan20°tan40°.

(2)vC=135°,则0。</<45。，0°<5<45°,且4+8=45。,

所以tan4>0,tan3>0,

/.tanA+tanB=-tan135°+tanAtanBtan135°=1-tanAtanB>\-(匕11"+tan

4,

z.(tanA+tanB)2+4(tan74+tan5)-4>0

解得tanZ+tan3N2近一2或tan/+tanB<-2/—2(舍去)，

tan+tan5>272-2?当且仅当tanZ=tanB=血一1时取等号

tan+tan5的最小值为2行一2.

17.⑴40

20

⑵一9

【分析】（1）利用投影向量来求向量的数量积即可；

（2）先解三角形得到各边长，再利用向量知识来求解即可.

【详解】⑴,•.4^8。../是就在不方向上的投影向量，

.,AP.AC=AP=网=32,即N44也；

法二：■：APIBC,-,AP-7c=\APAC\cosAPAC=\AP\-\APf\AF\=32

即AP=442.

（2）在△ABC中，BC2=AB^AC22AB-AC-cosABAC=

=2+5-2xV2xV5x-^^）=9

所以8c=3,

BC2+AB2-AC22+9-5近

cosB—一2xABxBC—=2x3x亚=,

B=-

因为Be（0,乃），所以4,AP=ABsinB=].,BPABcssB尹PC邙CPB2,

以P为坐标原点，PC，尸区所在直线分别为x轴，y轴，建系如图：

易知P(0,0>>4(01),C(20)D(31)因为£为C。中点，

所以唱)，

AP=(O,-l)AE=[^~1]次=(2,-1)

'9，

-JB~TpI(&_=)、44；)尸(2l)=(1x,+2j；-^-x-y)

•・•AP=x4E+yZC2222

4

—x+2y=0x=——

3

11=520

—x—y=—I孙

2,解得:y~3,所以:=-3

法二:

=2+5-2xV2xy/~5x-------=9

在ZUBC中，BC-AB^AC22AB-AC-cosABAC=I10J

所以8c=3,

BC2+AB--AC12+9-5历

cosB~2xABxBC=2x3xV2=T,

B=-

因为Be(0,哈,所以4,AP=ABsinB=l,若PAB3sBtP€3cPB2,

AP=AB+JP=AB+-JC=AB+-(AC-AB}=-AB+-AC

因为PC=2尸5,所以3J33,

AP=xAE+yAC=x(AC+CE)+yAC=x(AC--AB)+yAC=--AB+(x+y)AC

又•・•22

由平面向量基本定理得：

12[4

—x=—x——

233

__1_520

x+y-TWxy=一_

〔3,解得：13,所以：9

18.(1)证明见详解

71

⑵6

【分析】(1)由余弦定理，结合勾股定理的逆定理证得8。，借助三角形全等得

PD1BD,再利用线面垂直的判定推理即得；

(2)取尸/中点"，由给定二面角结合勾股定理的逆定理证得尸。，/。，再利用线面垂直

的判断性质求出线面角的正弦.

【详解】(1)在中，由余弦定理得

BD2=AD2+AB2-2AD-ABcosA=l+4-2x\x2x-=3

2,

显然/。2,+8。,2=/8,2,贝1JZADB=2-,即

7t

ZPDB=-

由40=尸Q,AB=PB,BD=BD,得△轴自PBD,贝ij2,即7V)_L5Z),

又ADC\PD=D,尸平面R4。，所以瓦平面P4Z).

(2)取尸/中点E,连接BE,DE,如图,

由/8=尸8,AD=PD,则DE1PA,即N8ED为二面角。一尸/一8的平面角,

由(1)知，平面P4D,DEu平面PAD,则80=百，

tanABED==&DE=-^―

于是