北京市房山区2022届高三一模数学试题 附答案

房山区2022年高考第一次模拟测试试卷数学本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在等题卷上作答无效。考试结束后，将答屋卡交回，试卷自行保存。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出题目要求的一项。(1)已知集合A={－2，－1，0，1，2}，，则(A){－2，－1，0，1，2)(B){－1，0，1}(C){－2，2)(D){0，1}(2)在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2，－1)，则(A)5(B)3(C)5－4i(D)3－4i(3)若，且，则下列不等式一定成立的是(A)(B)(C)(D)(4)若的展开式中的常数项为－20，则a=(A)2(B)－2(C)1(D)－1(5)已知M为抛物线)上一点，M到振物线的焦点的距离为4，到x的距离为3，则p=(A)(B)1(C)2(D)4(6)在等旋数列中.，，(A)(B)9(C)10(D)(7)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速(单位：m/s)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量，则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为(A)2600(B)2700(C)2(D)27(8)已知函数.则“”是“为奇函数”的(A)充分面不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(9)已知直线l被圆C：所截的弦长不小于2，则下列由线中与直线l一定有公共点的是(A)(B)(C)(D)(11)已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称(A1，A2)为集合U的一种真分拆，并规定(A1，A2)与(A2，A1)为集合U的同一种真分拆①A1∩A2=0②A1A2=U③的元素个数不是中的元素.则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是(A)5(B)6(C)10(D)15第二部分(来选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11)若双曲线的一条既近线方程关，则a=______________.(12)已知，是单位向量，.且，则·=___________，____________.(13)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，g(x)=_______；若g(x)在区间[0m]上的最小值为g(0)，m的最大值为______________.(14)函数的图象在区间(0.，2)上连续不断，能说明“若在区间(0，2)上存在零点，则”为命题的一个函数的解析式可以为=_________________.(15)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论：①D1O⊥AC；②存在一点P，D1O∥B1P；③若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为；④若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.其中所有正确结论的序号是_________________.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(16)(本小题14分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB=BC=BB1=1.(1)求证：AC∥平面BA1C1；(1)若，求①AA1与平面BA1C1所成角的正值；②直线AC与平面BA1C1的距高.(17)(本小题14分)在△ABC中，bsir.(1)求∠B的大小；(I)再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积条作①；条件②；条件③：AB边上的高为.注：如果选择的条件不符合要灰，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要点的条件合别解答，接第一个解答计分.(18)(本小题14分)良好的生态环境是最普惠的民生福祉.北京市集中开展大气污染防止以来，在经济快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碎式突破.下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月l1月12月合计空气质量优良天数241811272321262927292330288空气质量污染天数7102038952327177(Ⅰ)从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；(Ⅱ)从2021年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机变量X表示选出的3天中质量优良的天数，求X的分布列；(Ⅲ)在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量代息无能的方差为，空气质量污染天数的方差为，试判断，的大小关系.(结论不要求证明)(19)(本小题14分)已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(II)若在区间(0，e]存在极小值，求a的取值范围.(20)(本小题15分)已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为A(－2，0），m(2，0).(1)求椭圆C的方程；(1)过点(1，0)的直线与椭圆C交于M，N(不与A，B重合)两点，直线AM与直线交于点Q，求证：.(21)(本小题14分)若无穷数列{}满足如下两个条件，则称{}为无界数列：①(n=1，2，3......)②对任意的正数，都存在正整数N，使得.(Ⅰ)若，(n=1，2，3......)，判断数列{}，{}是否是无界数列；(Ⅱ)若，是否存在正整数k，使得对于一切，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；(Ⅲ)若数列{}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得.房山区2022年高考第一次模拟考试参考答案高三年级数学学科一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。12345678910BACDCBDACA二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11)2(12)－；(13)，(14)答案不唯一，如(15)①③三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(16)(本小题14分)（Ⅰ）在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1CC1为平行四边形.所以AC∥A1C1.......................................2因为AC平面BA1C1，A1C1平面BA1C1，所以AC//平面BA1C1............................................2(4)（Ⅱ）因为BB1⊥平面ABC，AB，BC平面ABC，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC.又AB⊥BC，所以AB，BB1，BC两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系B－xyz，.........................................................1(5)则A(1，0，0)A，B1(0，1，0)，C1(0，1，1)，A1(1，1，0)，B(0，0，0).所以，，.........................................................6(6)设平面的法向量为，则，即令，则，，于是.....................3(9)①设直线与平面所成的角为θ，则.............2(11)所以与平面所成角的正弦值为.②因为AC℃面，所以直线AC与平面的距离就是点A到平面的距离.......1(12)设A到面的距离为h，则................................2(14)(17)(本小题14分)(1)由正弦定理及........2得所以......................................2因为所以.............................1(5)(II)选择条件①②，△ABC存在且唯一，解答如下：由，及，得............1(6)由正弦定理及得，解得.........3(9)方法1：由，得.........................3(12)所以..............2(14)方法2：由余弦定理，得即，解得所以选择①③，△ABC存在且唯一，解答如下：由，及，得.............1(6)因为AB边上的高为，所以............2(8)由正弦定理及，得，解得：....................3(9)(以下与选择条件①②相同)(18)(本小题14分)(1)记事件A为“从2021年中任选1天，这一天空气质量优良”，则.......................................4(II)X的所有可能取值为0，1，2，3.................1方法1：记事件B为“从4月任选1天，这一天空气质量优良”，事件C为“从6月任选1天，这一天空气质量优良”，事件D为“从9月任选1天，这一天空气质量优良”.由题意知，事件B，C，D相互独立，且，...............2所以..............................1................1...............1.............1方法2：所以X的分布列为：X0123P...........................................1(II)..........................................2(19)(本小题14分)(1)当时，则所以，..........................................2所以曲线在处的切线方程为.................1(4)(II)............1(5)令，则...................................1(6)解，得与的变化情况如下：x(0，1)1（1，e）－0+↘极小值↗所以函数在区间(0，e]上的最小值为......................(8)方法1：①当时，.所以恒成立，即恒成立，所以函数在区间(0，c]上是增函数，无极值，不符合要求...........1(9)②当时，因为，，所以存在，使得x(1，）(，e)－0+↘极小值↗所以函数在区间(1，e)上存在极小值，符合要求...........................4(13)③当时，因为所以函数在区间(1，e)上无极值.取，则所以存在，使得易知，为函数在区间(0，1)上的极大值点.所以函数在区间(0，e)上有极大值，无极小值，不符合要求............1(14)综上，实数a的取值范围是.方法2：“在区间(0，e]上存在极小值”当且仅当，解得.证明如下：当时，因为，所以存在，使得x(1，）(，e)－0+↘极小值↗所以函数在区间(1，e)上存在极小值.所以实数a的取值范围是.(20)(本小题15分)(1)由长轴的两个端点分别为A(－2，0)，B(2，0)，可，................1由离心率为，可得，所以...........................................1又.解得......................................................1所以椭圆C的标准方程为..............................2(5)(II)方法1：当直线l斜率不存在时，直线l的方程为易得M(1，)，N(1，－).所以，直线AM所在的方程为求得Q(4，)，所以N，B，O三点共线，所以................................1(6)当直线l斜率存在时，设直线l的方程为).........1(7)由得...........................1(8)设M(，)，N(，)，则，......................................2(10)，直线AM的方程为..............1(11)所以Q(4，).........................(12)所以，所以，N，B，O三点共线，所以...................................................3(15)方法2：设直线l的方程为由得设M(，)，N(，)，则，，直线AM的方程为所以所以，(21)(本小题14分)(1){}是无界数列：{}不是无界数列..............................................4(II)存在满足题意的正整数k，且..................................................4当时，因为..................7..............8所以存在正整数对于一切