人教版四年级下册数学思维训练讲义-第十讲定义新运算（含答案）

第十讲定义新运算第一部分：趣味数学考考你羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。而我们希望羊能战胜狼。所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算。运算的结果或是羊，或是狼。请你求一求下面这个公式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)。我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。都是2和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算。我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同。定义新运算就是指用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊的算式的一种运算。定义新运算中运算符号有：#、*、※、▽等，有时借用一些已有的运算符号“+、一、×、=”,但与四则中的运算符号是有区别的。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：①新的运算不定符合运算规律，特别注意运算顺序。②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。第二部分：奥数小练【例题1】设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b=a×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5。【思路导航】解这类题的关键是抓住定义的本质。这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍。5△6=5×3－6×2=36△5=6×3－5×2=8显然，本例定义的运算不满足交换律，计算中不能将△前后的数交换。练习1:1.设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算3○4。2.设a、b都表示数，规定：a○×b=3×a＋2×b。试计算：（1）（5○×6）○×7（2）5○×（6○×7）（2）(6○×7)=6×3+7×2=325○×32=5×3+32×2=793.有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17，求A。【例题2】对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。【思路导航】这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。6⊕2=6×2＋6＋2=20练习2：1.对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。计算3⊕5。2.对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。试算6☆4。3.对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。【例题3】如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。【思路导航】3△5=3＋4＋5＋6＋7=25练习3：1.如果5▽2=2×6，2▽3=2×3×4，计算：3▽4。2.如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。3.如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。【例题4】对于两个数a与b，规定a□b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知x□6=27，求x。【思路导航】经仔细分析，可以发现这道题规定运算的本质仍然是：从运算符号前面的数加起，每次加的数都比它相邻的前一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数，原式即x+(x+1)+(x+2)+…+(x+5)=27，解这个方程，即可求出x=2。练习4：1.如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x。2.对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，求x。3.如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算5！。【例题5】2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此规律计算：【思路导航】仔细观察和分析这几个算式，可以发现下面的规律：a▽b=2a+b，依此规律：7▽3=7×2＋3=17。练习5：1.有一个数学运算符号“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。按此规律计算：8▽4。2.对于两个数a、b，规定a▽b=b×x－a×2，并且已知82▽65=31，计算：29▽57。第三部分：数学史话数学家的故事——华罗庚数学家的故事——华罗庚同学们都知道，华罗庚是一位靠自学成才的世界一流的数学家。他仅有初中文凭，因一篇论文在《科学》杂志上发表，得到数学家熊庆来的赏识，从此华罗庚北上清华园，开始了他的数学生涯。1936年，经熊庆来教授推荐，华罗庚前往英国，留学剑桥。20世纪声名显赫的数学家哈代，早就听说华罗庚很有才气，他说：“你可以在两年之内获得博士学位。”可是华罗庚却说：“我不想获得博士学位，我只要求做一个访问者。”“我来剑桥是求学问的，不是为了学位。”两年中，他集中精力研究堆垒素数论，并就华林问题、他利问题、奇数哥德巴赫问题发表18篇论文，得出了著名的“华氏定理”，向全世界显示了中国数学家出众的智慧与能力。1946年，华罗庚应邀去美国讲学，并被伊利诺大学高薪聘为终身教授，他的家属也随同到美国定居，有洋房和汽车，生活十分优裕。当时，不少人认为华罗庚是不会回来了。新中国的诞生，牵动着热爱祖国的华罗庚的心。1950年，他毅然放弃在美国的优裕生活，回到了祖国，而且还给留美的中国学生写了一封公开信，动员大家回国参加社会主义建设。他在信中坦露出了一颗爱中华的赤子之心：“朋友们！梁园虽好，非久居之乡。归去来兮……为了国家民族，我们应当回去……”虽然数学没有国界，但数学家却有自己的祖国。华罗庚从海外归来，受到党和人民的热烈欢迎，他回到清华园，被委任为数学系主任，不久又被任命为中国科学院数学研究所所长。从此，开始了他数学研究真正的黄金时期。他不但连续做出了令世界瞩目的突出成绩，同时满腔热情地关心、培养了一大批数学人才。为摘取数学王冠上的明珠，为应用数学研究、试验和推广，他倾注了大量心血。据不完全统计，数十年间，华罗庚共发表了152篇重要的数学论文，出版了9部数学著作、11本数学科普著作。他还被选为科学院的国外院士和第三世界科学家的院士。从初中毕业到人民数学家，华罗庚走过了一条曲折而辉煌的人生道路，为祖国争得了极大的荣誉。参考答案：练习1:1.3○4=6×3-2×4=102.（1）（5○×6）=3×5+6×2=2727○×7=27×3+7×2=95（2）(6○×7)=6×3+7×2=325○×32=5×3+32×2=793.(A+6)÷2=17,由此得A=28练习2：1.3⊕5=3×5-(3+5)=72.6☆4=6×4÷23=123.根据题意得:5x+5+x=29,解得:x=4练习3：1.3▽4=3×4×5×6=3602.8▽4=84÷（8＋4）=73.由题意知：1+2＋3＋……＋x=15x=5练习4：1.由题意知：x+（x+1）+（x+2）=5973，x=19902.因为95□x=585，585÷95=6……15，所以x=63.5！=1×2×3×4×5=120练习5：1.因为：6▽2=