人教版六年级下册数学思维训练讲义-第二讲圆柱与圆锥（一）（含答案）

第二讲圆柱与圆锥（一）第一部分：趣味数学旋转杂技表演“咚咚哐、咚咚哐，”随着阵阵锣鼓声,几何城中在进行晚会。在高大的舞台上,竖立着一根根又高又大的柱子,柱子旁边有各种各样的图形“各位观众,你们好!”主持小姐走到舞台前,用清脆的声音向大家说,“旋转杂技表演现在开始!”话音刚落,在舞台的中央,排出了一列被隐藏了半边的图形:怎么全是半个图形呀?”有的观众议论。“咚咚哐!”又一阵锣鼓声响,随着动听的音乐,舞台上的半个图形,全部都旋转起来奇迹出现了,原来,台上的半个图形,一旋转,就变成了美丽的立体图了:“真好看啊!”大家情不自禁地鼓起掌来“你们看,长方形绕它的一条边旋转周,就成为圆柱了。”“直角三角形绕一条直角边旋转一周,就形成了圆锥!”“哈哈!旋转杂技真有趣啊!”“圆的一半以直径为轴旋转一周就成球形了。”“还有花瓶啊，”大家边议论边欣赏,台上台下一片欢腾。第二部分：习题精讲例题1：一个圆柱体底面周长和高相等。如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积。分析：一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．解题的关键在于求出底周长。根据条件：高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，用上图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周长C＝12.56÷2＝6.28（厘米）．这个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了．解：底面周长（也是圆柱体的高）：12.56÷2＝6.28（厘米）．侧面积：6.28×6.28＝39.4384（平方厘米）两个底面积（取π＝3.14）：表面积：39.4384＋6.28＝45.7184（平方厘米）答：这个圆柱体的表面积是45.7184平方厘米．练习1：一个圆柱体,高减少3厘米,表面积就减少37.68平方厘米,那么这个圆柱面积是多少？2.圆柱形的售报亭的高和底面直径相等,如图所示,开一个边长等于底面半径的正方形售报窗口，窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几?3.如图所示,从棱长为10的立方体(正方体)中挖去一个底面半径为2，高为10的圆柱体后,得到的几何体的表面积和体积各是多少?(x取3)例题2：一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米。当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米。瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？分析：由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的3倍（6÷2）．62.172立方厘米＝62.172毫升＝0.062172升．答：酒精的体积是62．172立方厘米，合0.062172升．练习2：1.如图所示,有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),容积是500毫升。现在瓶中装有一些饮料,正放时饮料高度为20厘米,倒放时空余部分的高度为5厘米，瓶内现有饮料多少毫升?2.某种饮料瓶的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),容积是2升。现在瓶中有些饮料正放时饮料高度为10厘米,倒放时空余部分的高度为5厘米。如图所示，瓶内现在有饮料多少升?3.如图所示,某种酒瓶的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),瓶身内直径为8厘米，现在瓶中装有一些酒,正放时酒的高度是12厘米,倒放时空余部分的高度是3厘米，求这个酒瓶的容积。例题3：如图所示,一个正方体的纸盒中恰好能装入一个体积为6.28立方厘米的圆柱，纸盒的容积有多大?思路点拨：我们不妨设圆柱的底面半径为r,则正方体的棱长为2r。圆柱的体积是πr²×2πr³=6.28,即r³=1。所以,(2r)³=8r³=8×1=8(立方厘米)答:纸盒的容积是8立方厘米。练习3：把一个正方体削成一个体积最大的圆柱，如果圆柱的侧面积是314平方厘米。求正方体的表面积。2.将一个正方体木块切削成一个最大的圆柱体,这个圆柱体的体积是1256立方厘米，问：原来正方体的体积有多大?3.如图所示,一个圆柱体的侧面展开图为正方形,已知它的一个底面面积是10平方厘米，求这个圆柱体的表面积。例题4：把一个横截面是正方形的长方体木料削剪成一个最大的圆柱体,圆柱体的表面积为32.97平方厘米。底面直径与高的比是1:3,原来长方体的表面积是多少？分析：我们不妨设底面直径为d,高为3d,那么,圆柱体的表面积为（d/2）²×3.14×2+d×3.14×3d.即（d/2）²×3.14×2+d×3.14×3d=32.97,d²=3所以,长方体的表面积为d²×2+d×3d×4=14d²=14×3=42(平方厘米)答:长方体的表面积为42平方厘米。练习4：1.把一段圆柱形木料通过底面直径沿高切成两块,它的切面是一个面积为25平方厘米的正方形。求切成的每块木料的表面积是多少?2.已知一个圆柱的底面半径等于一个正方体棱长的一半,高等于这个正方体的棱长,这个正方体的底面积是25平方分米，求这个圆柱的表面积。3.沿圆柱的底面直径把圆柱剖开,剖面的面积是60平方厘米,原来圆柱的侧面积是多少平方厘米?例题5：一个圆锥和圆柱的体积之比为1:2,底面积之比为4:3,圆柱的高为12厘米，圆锥的高是多少厘米?分析：根据圆锥与圆柱的体积之比、底面积之比,求出高之比,再求圆锥的高为多少。解：设圆锥的体积为x,底面积为4y,那么圆柱的体积为2x,底面积为3y。圆锥的高为3×x÷4y,圆柱的高为2x÷3y。所以圆锥的高：圆柱的高=（3×x÷4y）：（2x÷3y）=EQ\F(9,8),12×EQ\F(9,8)=13.5（厘米）答:圆锥的高是13.5厘米练习5：1.一个圆锥和圆柱的体积之比为3:2,底面积之比为2:3,圆柱与圆锥的高之比是多少2.一个圆锥和圆柱的体积之比为2:3,底面积之比为5:4,圆锥的高为20厘米，圆柱的高是多少厘米?3.一个圆锥与圆柱的底面积之比为3:2,体积之比为2:5,如果圆锥与圆高之和为72厘米,那么它们的高各是多少厘米?4.如图所示,园锥形容器内装的水正好是它的容积的8/27，水面高度是容器高度的几分之几?第三部分：数学史阿基米德与圆柱容球阿基米德是古希腊伟大的百科式科学家、数学家、物理学家、哲学家,他为数学和物理的发展做出了巨大的贡献,对社会进步和人类发展有着不可磨灭的影响。阿基米德是举世公认的伟大的数学家,他在数学上有着极为光辉的成就,留下的几何著作，堪称希腊数学的顶峰。他一生热爱科学,热爱自己的国家,最终献出了生命,并留下了“圆柱容球”的故事。公元前212年,古罗马军队攻陷叙拉古城,阿基米德被杀害了。传说阿基米德在生命的最后时刻,仍然在潜心研究画在地上的几何图形,这足以证明阿基米德对科学的热爱。统率罗马大军的马塞拉斯将军得知阿基米德被杀的消息后,为阿基米德举行了隆重的葬礼,并在墓地上立了一块碑,在上面刻着“圆柱容球”的几何图形。参考答案：练习1：1.底面半径为:37.68÷(3×3.14×2)=2(厘米);底面积为:3.14×2²=12.56(平方厘米)2.因为AB弧的长是底面圆周长的1/6,正方形窗口的边长等于圆柱高的1/2,所以挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的1/6×1/2=1/12。3.几何体的表面积为10×10×6-3×2²+2×3×2×10=696；几何体的体积为10×10×10-3×2²×10=880。练习2：1.500×EQ\F(20,20+5)=500×EQ\F(4,5)=400(毫升)2.1.2×1010+5=43.3.14×(8÷2)²×(12+3)=753.6(毫升)练习3：1.设正方体的棱长为a,a×3.14×a=314,得a²=100。6a²=6×100=600(平方厘米)2.切削成圆柱体的直径和高就是正方体的棱长,设正方体的棱长为a.则3.14×(a÷2)²×a=1256,3.14×a³÷4=1256,a³=1600(立方厘米)3.设底面半径为r,则πr²=10,侧面展开图的边长为2πr,所以,圆柱体的表面积为10×2+2πr×2πr=145.6(平方厘米)练习4：1.3.14×5×5÷2+25+3.14×（5/2）²=83.875(平方厘米2.设圆柱的底面半径为r,则高为2r,那么正方体的底面积为4r²=25,即r²=25/4.所以圆柱的表面积为2πr×2r+2×π×r²=117.75(平方分米)3.要求圆柱的侧面积,一般都要先知道圆柱的底面周长和高,但题中没有告诉我们。根据剖面的面积分析:剖面的面积=圆柱的底面直径×高；而侧面的面积=圆柱的底面周长×高。圆柱侧面的面积=60π=188.4平方厘