人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册课时作业4：2 5 2圆与圆的位置关系 练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE12.5.2圆与圆的位置关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A．1条 B．2条C．3条 D．4条2．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切 B．相交C．外切 D．相离3．已知半径为1的动圆与定圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝94．已知⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)相交于A，B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且|AB|＝4，则⊙O1的方程为()A．(x－4)2＋y2＝20 B．(x－4)2＋y2＝50C．(x－5)2＋y2＝20 D．(x－5)2＋y2＝505．圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－2)2＝4的公共弦所对的圆心角是()A．60° B．45°C．120° D．90°二、填空题6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．7．已知两圆(x＋2)2＋(y－2)2＝4和x2＋y2＝4相交于M，N两点，则|MN|＝________.8．过原点O作圆x2＋y2－4x－8y＋16＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为________．三、解答题9．求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝eq\f(25,4)所截得的弦长.10．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求过两圆的交点的圆中面积最小的圆的方程．11．(多选题)已知直线y＝x＋b与曲线y＝3－eq\r(4x－x2)，下列说法正确的是()A．b＝1±2eq\r(2)时，直线与曲线有且仅有一个交点B．－1＜b≤3时，直线与曲线有且仅有一个交点C．1－2eq\r(2)＜b≤－1时，直线与曲线有两个交点D．b＞3或b＜1－2eq\r(2)时，直线与曲线没有交点12．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米 B．3.5米C．3.6米 D．2米13．(一题两空)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则实数m＝________，线段AB的长度为________．14．若圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________．15.如图，圆C：x2－(1＋a)x＋y2－ay＋a＝0.(1)若圆C与x轴相切，求圆C的方程；(2)已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)．过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝4相交于两点A，B.问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题1．D〖解析〗x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2,0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2,0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D.2．B〖解析〗法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2ay＝0，,x＋y＝0))得两交点为(0,0)，(－a，a)．∵圆M截直线所得线段长度为2eq\r(2)，∴eq\r(a2＋（－a）2)＝2eq\r(2).又a>0，∴a＝2.∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝eq\r(（0－1）2＋（2－1）2)＝eq\r(2).∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交．法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)⇔x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴M(0，a)，r1＝a.依题意，有eq\f(a,\r(2))＝eq\r(a2－2)，解得a＝2.以下同法一．3．D〖解析〗动圆可能在定圆的外部，也可能在定圆的内部，根据题意知，动圆圆心的轨迹应是(x－5)2＋(y＋7)2＝16的同心圆，半径分别为3和5，故应选D.4．C〖解析〗根据题意，⊙O的圆心O为(0,0)，半径为eq\r(5).⊙O1的圆心O1(a,0)，半径为r.∵⊙O与⊙O1相交于A，B两点，且两圆在A点处的切线互相垂直，∴(eq\r(5))2＋r2＝a2. ①又由|AB|＝4，则eq\f(1,2)×eq\f(|AB|,2)×|OO1|＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×r，即|a|＝eq\f(\r(5),2)r. ②由①②得5＋r2＝eq\f(5r2,4)，解得r2＝20，a＝5.故⊙O1的方程为(x－5)2＋y2＝20.5．D〖解析〗圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2,0)，半径为r＝2.圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为r＝2.圆心距为d＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，弦心距d′＝eq\f(d,2)＝eq\r(2).设公共弦所对的圆心角是2θ，则cosθ＝eq\f(d′,r)＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝45°，∴2θ＝90°.故选D.二、填空题6．a2＋b2＞3＋2eq\r(2)〖解析〗由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，eq\r(2)和(0，b)，1，因为两圆外离，所以eq\r(a2＋b2)＞eq\r(2)＋1，即a2＋b2＞3＋2eq\r(2).7．2eq\r(2)〖解析〗由题意可知直线MN方程为：(x＋2)2＋(y－2)2－x2－y2＝0，即MN：x－y＋2＝0.圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2则圆心(0,0)到x－y＋2＝0的距离d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).所以|MN|＝2eq\r(r2－d2)＝2×eq\r(22－（\r(2)）2)＝2eq\r(2).8．x＋2y－8＝0〖解析〗把圆的方程化成标准方程(x－2)2＋(y－4)2＝4∴圆心为(2,4)，半径为2.圆心到原点的距离为eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).∴切线长为eq\r(（2\r(5)）2－22)＝4，∴P，Q在以(0,0)为圆心，以4为半径的圆上，方程为x2＋y2＝16.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－8y＋16＝0，,x2＋y2－16＝0，))得x＋2y－8＝0.这就是PQ所在直线的方程．三、解答题9．〖解〗设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,x2＋y2－2x－2y＋1＝0))的解，两式相减得x＋y－1＝0.因为A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0，所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0，即C1，C2的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0，圆C3的圆心为(1,1)，其到直线AB的距离d＝eq\f(1,\r(2))，由条件知r2－d2＝eq\f(25,4)－eq\f(1,2)＝eq\f(23,4)，所以直线AB被圆C3截得的弦长为2×eq\f(\r(23),2)＝eq\r(23).10．〖解〗由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0.∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆心C1(－2,0)，C2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为eq\f(y－0,－1－0)＝eq\f(x＋2,－1＋2)，即x＋y＋2＝0.过两圆的交点的圆中面积最小的圆也就是以公共弦为直径的圆．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y＋2＝0，))得所求圆的圆心为(－1，－1)．又圆心C1(－2,0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离d＝eq\f(|－2－0|,\r(2))＝eq\r(2)，∴所求圆的半径r＝eq\r(\r(3)（2－\r(2)）2)＝1，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.11．BCD〖解析〗把y＝3－eq\r(4x－x2)化成为(x－2)2＋(y－3)2＝4，因为0≤x≤4，y≤3，所以曲线表示圆的下半部分，如图，C(2,3)，A(0,3)，B(4,3)．当y＝x＋b过A时，b＝3，直线与曲线有且仅有一个交点，当y＝x＋b过B时，b＝－1，这时直线与曲线有两个交点，当y＝x＋b与曲线相切时，eq\f(|2－3＋b|,\r(2))＝2，解得b＝1－2eq\r(2)(b＝1＋2eq\r(2)舍去)．∴当b＞3或b＜1－2eq\r(2)时，直线与曲线无交点；当－1＜b≤3或b＝1－2eq\r(2)时，直线与曲线有且仅有一个交点；当1－2eq\r(2)＜b≤－1时，直线与曲线有两个交点，故选BCD.12．B〖解析〗建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝4eq\r(0.77)≈3.5(米)．13．±54〖解析〗如图所示，在Rt△OO1A中，由已知条件知|OA|＝eq\r(5)，|O1A|＝2eq\r(5)，∴|OO1|＝eq\r(5＋20)＝5，所以当圆O1在y轴右侧时，m＝5，当圆O1在y轴左侧时，m＝－5.∴m＝±5.又AB⊥OO1，∴AC＝eq\f(\r(5)×2\r(5),5)＝2.故|AB|＝4.14．x－y＋2＝0〖解析〗圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4为等圆，所以直线l是C1C2的中垂线，由C1(0,0)，C2(－2,2)知keq\s\do3(C1C2)＝－1，且C1C2的中点坐标为(－1,1)，∴kl＝1，所求l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.15.〖解〗(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,x2－9（1＋a）x＋y2－ay＋a＝0，))得x2－(1＋a)x＋a＝0，由题意得Δ＝(1＋a)2－4a＝(a－1)2＝0，所以a＝1.故所求圆C的方程为x2－2x＋y2－y＋1＝0.(2)令y＝0，得x2－(1＋a)x＋a＝0，即(x－1)(x－a)＝0，所以M(1,0)，N(a,0)，假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入x2＋y2＝4得，(1＋k2)x2－2k2x＋k2－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，从而x1＋x2＝eq\f(2k2,1＋k2)，x1x2＝eq\f(k2－4,1＋k2).因为直线NA，NB的斜率之和为eq\f(y1,x1－a)＋eq\f(y2,x2－a)＝eq