人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册课时作业3：1 2 第二课时 空间向量基本定理的应用练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1第二课时空间向量基本定理的应用一、选择题1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则直线AB和CE所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(5),2) B.eq\f(\r(5),5) C.eq\f(\r(5),8) D.eq\f(\r(5),3)〖答案〗B〖解析〗设AB＝1，则由eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1E,\s\up6(→))＝eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(DD1,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(DC,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,2)，又|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),2)，故cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))〉＝－eq\f(\r(5),5)，则直线AB和CE所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).2.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则AM＝()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(5),2) C.eq\f(\r(7),2) D.eq\f(7,4)〖答案〗C〖解析〗如图所示，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，故|eq\o(AM,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AA1,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,4)，则AM＝eq\f(\r(7),2).3.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CE,\s\up6(→))，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交 B.平行C.在平面内 D.平行或在平面内〖答案〗D〖解析〗∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CE,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.无法判断〖答案〗B〖解析〗eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1N,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，设|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝a，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AA1,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AA1,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))2＝－eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a2＝0，故eq\o(ON,\s\up6(→))⊥eq\o(AM,\s\up6(→))，即ON⊥AM.5.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是()A.30° B.45° C.60° D.90°〖答案〗D〖解析〗不妨设棱长为2，则eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up6(→))，cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))〉＝eq\f(（\o(BB1,\s\up6(→))－\o(BA,\s\up6(→))）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BB1,\s\up6(→)))),2\r(2)×\r(5))＝eq\f(0－2＋2－0,2\r(2)×\r(5))＝0，故AB1与BM所成的角为90°.二、填空题6.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于________.〖答案〗12〖解析〗∵eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))2＝eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝36＋36＋36＋0＋0＋2|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos60°＝108＋2×6×6×eq\f(1,2)＝144.∴PC＝12.7.已知a，b是异面直线，点A，B∈a，点C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________.〖答案〗60°〖解析〗eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝1，∴cos〈eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(CD,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))||\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，∴异面直线a，b所成角是60°.8.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，F为BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H为C1G的中点，则FH＝________.〖答案〗eq\f(\r(41),8)〖解析〗设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝0，|a|2＝a2＝1，|b|2＝b2＝1，|c|2＝c2＝1.∴eq\o(FH,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1H,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a－b)＋b＋c＋eq\f(1,2)eq\o(C1G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a－b)＋b＋c＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c－\f(1,4)a))＝eq\f(3,8)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，∴|eq\o(FH,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)a＋\f(1,2)b＋\f(1,2)c))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,64)a2＋eq\f(1,4)b2＋eq\f(1,4)c2＝eq\f(41,64)，∴FH的长为eq\f(\r(41),8).三、解答题9.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.(1)试用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))；(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长.解(1)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1N,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))又eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.(2)∵AB＝AC＝AA1＝1，∴|a|＝|b|＝|c|＝1.∵∠BAC＝90°，∴a·b＝0.∵∠BAA1＝∠CAA1＝60°，∴a·c＝b·c＝eq\f(1,2)，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c))＝eq\f(5,9)，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),3)，即MN的长为eq\f(\r(5),3).10.已知空间四边形OABC的各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值.解如图所示，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).∵eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－b，∴eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－b))＝eq\f(1,4)a·c＋eq\f(1,4)b·c－eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)b2＝－eq\f(1,2)，又∵|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，∴cos〈eq\o(OE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(OE,\s\up6(→))·\o(BF,\s\up6(→)),|\o(OE,\s\up6(→))||\o(BF,\s\up6(→))|)＝－eq\f(2,3).∴异面直线OE与BF所成角的余弦值是eq\f(2,3).11.(多选题)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则()A.A1M∥D1P B.A1M∥B1QC.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1〖答案〗ACD〖解析〗eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(A1M,\s\up6(→))∥eq\o(D1P,\s\up6(→))，又A1M与D1P无公共点，∴A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.故选ACD.12.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝eq\r(3)，AD＝2eq\r(2)，P为C1D1的中点，M为BC的中点.则AM与PM所成的角为________.〖答案〗90°〖解析〗eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))，故eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))－\o(AA1,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×4－eq\f(1,4)×8＝0，即eq\o(AM,\s\up6(→))⊥eq\o(PM,\s\up6(→))，则AM与PM所成的角为90°.13.如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长.(1)证明设eq\o(AB,\s\up6(→))＝p，eq\o(AC,\s\up6(→))＝q，eq\o(AD,\s\up6(→))＝r.由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)·p＝eq\f(1,2)(q·p＋r·p－p2)＝eq\f(1,2)(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0，∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD.(2)解由(1)可知eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p).∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)(q＋r－p)2＝eq\f(1,4)〖q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)〗＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2＋a2＋a2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2)－\f(a2,2)－\f(a2,2)))))＝eq\f(1,4)×2a2＝eq\f(a2,2).∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(2),2)a，∴MN的长为eq\f(\r(2),2)a.14.在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点.(1)求证：DE∥平面ACF；(2)求证：BD⊥AE；(3)若AB＝eq\r(2)CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出eq\f(EG,EO)的值；若不存在，请说明理由.解设eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，eq\o(CE,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)证明依题意得eq\o(DE,\s\up6(→))＝c－b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CF,\s\up6(→))＝