人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册第二章 直线和圆的方程章末复习课

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1章末复习课〖网络构建〗〖核心归纳〗1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°.(2)斜率keq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(存在，α≠90°，,不存在，α＝90°.))(3)斜率的求法：①依据倾斜角；②依据两点的坐标；③依据直线方程.2.直线方程的几种形式的转化3.两条直线的位置关系设l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0；(2)相交⇔A1B2－A2B1≠0；(3)重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0).4.距离公式(1)两点间的距离公式.已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).(2)点到直线的距离公式.①点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))；②两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).5.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.6.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形的三边长.(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.7.圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用直线与圆相交的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.要点一直线方程的求法及应用求直线方程的一种重要方法就是待定系数法.运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要.〖例1〗在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2).(1)若C点坐标为(1，0)，求AB边上的高所在的直线方程；(2)若点M(1，1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程.解(1)∵A(0，1)，B(3，2)，∴kAB＝eq\f(2－1,3－0)＝eq\f(1,3)，由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3，∴AB边上的高所在直线方程为y－0＝－3(x－1)，化为一般式可得3x＋y－3＝0.(2)∵M(1，1)为AC的中点，A(0，1)，∴C(2，1)，∴kBC＝eq\f(2－1,3－2)＝1，∴边BC所在直线方程为y－1＝x－2，化为一般式可得x－y－1＝0.〖训练1〗已知△ABC的顶点A(6，1)，AB边上的中线CM所在直线方程2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.求：(1)顶点C的坐标；(2)直线BC的方程.解(1)由题意知AC边上的高所在直线斜率为eq\f(1,2)，故AC边所在的直线的斜率为－2，则它的方程为y－1＝－2(x－6)，即2x＋y－13＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－13＝0，,2x－y－5＝0，))求得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,2)，,y＝4，))故点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，4)).(2)设B(m，n)，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋6,2)，\f(n＋1,2))).把M的坐标代入直线方程2x－y－5＝0，把点B的坐标代入直线方程x－2y－5＝0，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2·\f(m＋6,2)－\f(n＋1,2)－5＝0，,m－2n－5＝0，))求得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(7,3)，,n＝－\f(11,3)，))故点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(11,3))).再用两点式求得直线BC的方程为eq\f(y－4,－\f(11,3)－4)＝eq\f(x－\f(9,2),－\f(7,3)－\f(9,2))，化简为46x－41y－43＝0.要点二两条直线的位置关系解决此类问题关键是掌握两条直线平行与垂直的判定：若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.对于两条直线平行的问题，要注意排除两条直线重合的可能性.〖例2〗(1)当a＝________时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行；(2)当a＝________时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直.〖解析〗(1)直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2.因为l1∥l2，所以a2－2＝－1且2a≠2，解得a＝－1.所以当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行.(2)直线l1的斜率k1＝2a－1，l2的斜率k2＝4.因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即4(2a－1)＝－1，解得a＝eq\f(3,8).所以当a＝eq\f(3,8)时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直.〖答案〗(1)－1(2)eq\f(3,8)〖训练2〗(1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值等于________；(2)已知直角三角形ABC的直角顶点C(1，1)，点A(－2，3)，B(0，y)，则y＝________.〖解析〗(1)∵直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0，且l1⊥l2，∴2a－3(a＋1)＝0，∴a＝－3.(2)kAC＝eq\f(3－1,－2－1)＝－eq\f(2,3)，kBC＝eq\f(y－1,0－1)＝1－y.∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴－eq\f(2,3)(1－y)＝－1，∴y＝－eq\f(1,2).〖答案〗(1)－3(2)－eq\f(1,2)要点三距离问题解决〖解析〗几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合.三种距离是高考考查的热点，公式如下表：类型已知条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)点到直线的距离P(x0，y0)l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0)两平行直线的距离l1：Ax＋By＋C1＝0l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0，C1≠C2)d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))〖例3〗直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为3eq\r(2)，求直线l的方程.解当直线过原点时，设所求直线方程为kx－y＝0，则eq\f(|4k－3|,\r(1＋k2))＝3eq\r(2).解得k＝±eq\f(3\r(14),2)－6，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3\r(14),2)－6))x.当直线不经过原点时，设所求直线方程为x＋y＝a，则eq\f(|4＋3－a|,\r(2))＝3eq\r(2)，解得a＝13或a＝1，∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.综上，所求直线方程为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3\r(14),2)－6))x或x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.〖训练3〗已知直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，且点A(3，1)到它的距离为eq\r(2)，求直线l的方程.解当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0.由题意知eq\f(|3k－1|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k＝1或k＝－eq\f(1,7).所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0.当直线不经过原点时，设所求直线的方程为eq\f(x,a)－eq\f(y,a)＝1，即x－y－a＝0.由题意知eq\f(|3－1－a|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝4或a＝0(舍去).所以所求直线的方程为x－y－4＝0.综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x－y－4＝0.要点四对称问题1.关于点的对称问题(1)点关于点的对称问题：若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于点P(x0，y0)对称，则P是线段AB的中点，并且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x1＋x2,2)，,y0＝\f(y1＋y2,2).))(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P对称，则：①l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上；②若l1∥l2，则点P到直线l1，l2的距离相等；③过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点.2.关于直线的对称问题(1)点关于直线的对称问题：若A，B两点关于直线l对称，则l是线段AB的垂直平分线.①直线AB与直线l垂直；②线段AB的中点在直线l上；③直线l上任意一点到A，B两点的距离相等.(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l对称，则①l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；②过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点.〖例4〗已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4，5)关于l的对称点坐标；(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程.解(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′＋5,2)＝3·\f(x′＋4,2)＋3，,\f(y′－5,x′－4)·3＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝－2，,y′＝7.))∴P′点坐标为(－2，7).(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0，,3x－y＋3＝0，))得交点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2))).取直线x－y－2＝0上一点B(0，－2)，设点B关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为B′(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0＋2,x0－0)·3＝－1，,3·\f(x0,2)－\f(y0－2,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝－1.))故所求直线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))与(－3，－1)，斜率k＝eq\f(－1＋\f(9,2),－3＋\f(5,2))＝－7，∴所求直线方程为y＋eq\f(9,2)＝－7eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,2)))，即7x＋y＋22＝0.(3)设直线l关于点A(3，2)的对称直线为l′，由于l∥l′，故可设l′为y＝3x＋b(b≠3).由点到直线的距离公式得eq\f(|3×3－2＋b|,\r(32＋（－1）2))＝eq\f(|3×3－2＋3|,\r(32＋（－1）2))，即|b＋7|＝10，解得b＝－17，或b＝3(舍去)，∴直线l′的方程为y＝3x－17，即对称直线的方程为3x－y－17＝0.〖训练4〗已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程.解(1)设A′(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0＋2,x0＋1)×\f(2,3)＝－1，,2·\f(x0－1,2)－3·\f(y0－2,2)＋1＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(33,13)，,y0＝\f(4,13).))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在m′上.设M′(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,13)，,b＝\f(30,13)，))∴M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设m与l的交点为N，则由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3).又∵m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0，即为所求直线方程.(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y).∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0，即为所求直线方程.要点五求圆的方程求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题.(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解.(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解.〖例5〗一个圆C和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋eq\r(3)y＝0相切于点M(3，－eq\r(3))点，求圆C的方程.解由x2＋y2－2x＝0得(x－1)2＋y2＝1，故其圆心为(1，0)，半径为1.∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又∵圆C与直线l：x＋eq\r(3)y＝0相切于点M(3，－eq\r(3))，可得圆心与点M(3，－eq\r(3))的连线与直线x＋eq\r(3)y＝0垂直，其斜率为eq\r(3).设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b＋\r(3),a－3)＝\r(3)，,\r(（a－1）2＋b2)＝1＋r，,r＝\f(|a＋\r(3)b|,2)，))解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4eq\r(3)，r＝6，∴圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.〖训练5〗已知直线l经过两条直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直.(1)求直线l的方程；(2)若圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为2eq\r(2)，求圆C的标准方程.解(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－3＝0，,4x－3y－5＝0))解得两直线交点为(2，1)，∵l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1.又∵l过点(2，1)，∴l的方程y－1＝x－2即x－y－1＝0.(2)设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－a）2＝r2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－1|,\r(2))))\s\up12(2)＋2＝r2，))解得a＝3，r＝2.∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.要点六直线与圆、圆与圆的位置关系圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等.充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量.另外，对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路.〖例6〗有一个圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3，6)，且经过点B(5，2)，求此圆的标准方程.解设圆心为C，则CA⊥l.又设直线CA与圆的另一个交点为P.∵CA⊥l，∴直线CA的斜率为－eq\f(3,4)，故直线CA的方程为y－6＝－eq\f(3,4)(x－3)，即3x＋4y－33＝0.又kAB＝eq\f(6－2,3－5)＝－2，从而由平面几何知识可知kPB＝eq\f(1,2)，则直线PB的方程为x－2y－1＝0.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－33＝0，,x－2y－1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝3，))即点P的坐标为(7，3).∵圆心C为AP的中点，∴圆心C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,2)))，半径长|CA|＝eq\f(5,2)，∴所求圆的标准方程为(x－5)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(9,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,4).〖训练6〗已知点P(0，5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P，且被圆C截得的弦AB的长为4eq\r(3)，求l的方程.解由x2＋y2＋4x－12y＋24＝0得(x＋2)2＋(y－6)2＝42，∴圆C的圆心为C(－2，6)，半径r＝4.如图所示，|AB|＝4eq\r(3)，设D是线段AB的中点，连接CD，则CD⊥AB，|AD|＝2eq\r(3)，|AC|＝4.在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离|CD|＝eq\f(|－2k－6＋5|,\r(k2＋1))＝2，得k＝eq\f(3,4)，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0，又∵直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，易知也满足题意.∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.要点七与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题包括：(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝|m－r|；(3)已知点的运动轨迹方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求①eq\f(y,x)；②eq\f(y－m,x－n)；③x2＋y2等式子的最值，一般是运用几何法求解.〖例7〗已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点，(1)求eq\f(y－2,x－1)的最大、最小值；(2)求x－2y的最大、最小值.解法一(1)设k＝eq\f(y－2,x－1)，则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.∵P(x，y)为圆C上任一点，∴圆心(－2，0)到直线kx－y＋2－k＝0的距离d＝eq\f(|－2k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|2－3k|,\r(1＋k2))≤1，即|2－3k|≤eq\r