一元二次不等式及其应用（精讲）高考数学高频考点题型归纳与方法总结原卷版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

第05讲一元二次不等式及其应用(精讲)

题型目录一览

①不含参数的一元二次不等式的解

法

②含参数的一元二次不等式的解法

③一元二次不等式综合应用

④分式不等式与绝对值不等式的解

法

一、知识点梳理

1.一元二次不等式

一元二次不等式ox?+6x+c〉0(aw0),其中A=ZJ2-4ac,石,9是方程

ax?+6x+c〉0(aw0)的两个根，且石<%2

(1)当。>0时，二次函数图象开口向上.

(2)①若A>0,解集为｛x|x>%2或^<%｝・

②若A=0,解集为｛x|xGR且x/———1.

③若A<0,解集为R.

(2)当。<0时，二次函数图象开口向下.

①若A>0,解集为｛%|不<%<%｝

②若AW0,解集为0

2.分式不等式

⑴手>0o/(x)・g(尤)>0

g(x)

⑵，<°o/(x)・g(x)<0

g(x)

C)/(x)>cd(x)・g(x)N°

g(x)〔g(x)丰0

(4)以乜0。尸)"。

g(x)[g(x)丰0

3.绝对值不等式

⑴|/(%)|>|g(x)|o"(x)]2>[g(x)]2

(2)|/(x)|>g(x)(g(x)>0)of(x)>g(x)期(x)<-g(x);

|/(x)|<g(x)(g(x)>0)o—g(x)</(x)<g(x)；

(3)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解

【常用结论】

1.已知关于x的不等式依2+"+c>0的解集为(加，ri)(其中相〃>0),解关于X的不等式

ex1+bx+a>0.

由Q—+—+。>。的解集为(血，〃)，得:〃d)2+人工+。>0的解集为(!，，~),即关于x的不

xxnm

等式ex2+bx+a>0的解集为(―,—).

nm

已知关于x的不等式o?+法+c>0的解集为旧，〃)，解关于元的不等式ex2+bx+a<0.

由Q*2+"+c>0的解集为⑺，〃)，得:〃d)2+/+c40的解集为(-8,—]U[―，+8)即关

xxnm

于九的不等式—+"+々<0的解集为(_QO,—]U[―,+00).

nm

2.已知关于x的不等式—+"+c>。的解集为(加，")(其中”相>0)，解关于x的不等式

ex1-bx+a>0.

由办2+陵+。>0的解集为⑺，")，得:Q(J_)2一6工+°>0的解集为(一_L,一J_)即关于x的不

xxmn

等式C一〃x+a>。的角尾集为(一_L,__).

mn

3.已知关于x的不等式+汝+。>。的解集为(形，〃)，解关于x的不等式ex1-bx+a<0.

由Q%2+笈+。>0的解集为(相，〃)，得:一人工+。《0的解集为(_8,一_L]U[_J_,+00)

xxmn

即关于X的不等式52一法+。40的解集为(一8,--]U[--，+00),以此类推.

mn

4.已知关于x的一元二次不等式/+6x+c>0的解集为R,则一定满足|“>°;

A<0

Q<0

5.已知关于x的一元二次不等式g?+"+。>。的解集为。，则一定满足

A<0；

〃<0

6.已知关于X的一元二次不等式改2+加;+。<0的解集为R，则一定满足

A<0；

4〉0

7.已知关于x的一元二次不等式g?+Z?%+cvO的解集为。,则一定满足

A<0

二、题型分类精讲

IJ

题型一不含参数的一元二次不等式的解法

畲策略方法解一元二次不等式的四个步骤

囱一地示攀决菱形一务三方疏系薮夫手索曲标灌拓惠I

国]T并算需应药灌的加丽装：

:求出对应的一元二次方程的根，晟根据判别式:

[说明方程有没有实根；

阿铲天手破而近下手取市面丁奇叮示擎表物

，解集；

【典例1】函数=J-x、2x+3的定义域是()

A.[—1,3]B.(-oo,-l]u[3,+oo)

C.[-3,1]D.(-00,-3ML+8)

【典例2】不等式x(2-x)>0的解集为()

A.{x|x<2}B.{x|x>2}C.{x|x<0或x>2}D.{x[0<x<2}

【题型训练】

一、单选题

1.(2020年全国统一高考数学试卷(新课标I))已知集合4={回--3；1-4<0},8={-4,1,3,5},

则A「3=()

A.{-4,1}B.{1,5}

C.{3,5}D.{1,3}

2.（贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试（五）理科数学试题）已知集合

A={x|%2—5尤4。},={x|尤=2"+1,"wN},则A（"|3=（）

A.{0,123,4,5}B,{1,2,3,4,5}C.{1,3,5}D,{3,5}

3.（陕西省榆林市2023届高三三模数学试题）若椭圆加炉+（疗+1卜2=1的焦距大于0,

则机的取值范围是（）

C.（-1,1）D.（-l,0）U（0,l）

二、填空题

4.不等式一2/+3无一;N0的解集为.

17Y

5.不等式/v半的解集为.

22

6.若方程=+工=1表示焦点在无轴上的椭圆，则实数。的取值范围是.

aa+2

题型二含参数的一元二次不等式的解法

畲策略方法解含参不等式的分类讨论依据

【典例1】关于x的不等式依"-（。-2.-240（。€尺）的解集不可熊是（

A.0B.R

~21「2、

C.一一,1D.（-oo,llu一一,+oo

_〃_a）

【题型训练】

一、单选题

1.（辽宁省丹东市2023届高三总复习质量测试（一）数学试题）已知集合

A=|(x+l)(x-tz)<o|,B={-3,-2,l},若且Ac3w0,则。=()

A.-3B.-2C.0D.1

2.(华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题)若集合

A=,集合5={R|x—l|vl},满足AcB={x[l<x<2}的实数〃的取值范

围是()

A.tz<3B.a<3

C.a>3D.a>3

二、填空题

—x—2〉0.

3.已知关于x的不等式组2SicyC的整数解的集合为{(-2},则实数后的取值范

围是.

4.(重庆市第十一中学2023届高三上学期10月自主质量抽测数学试题)设

-(m+l)x+m<0,若。是月的充分条件，求实数加的取值范围是

x+2

三、解答题

5.解下列关于x的不等式：(X+«)(X-26Z+1)<0.

6.解下列关于x的不等式62+g+2)x+i>og*o).

7.解下列关于x的不等式/+公+1<0.

题型三一元二次不等式综合应用

畲策略方法一元二次不等式与韦达定理及判别式结合问题思路

1.牢记二次函数的基本性质.

2.含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换.

【典例1】若不等式以2+次+c>o的解集为何-1<%<2},则不等式

a(*2+i)+6(x_i)+c>2ox的解集是()

A.1x|0<x<3}B.{%|尤<0或x>3}

C.1x|l<x<3}D.1x|-l<x<3}

【典例2】关于x的方程f+（m—2）%+2根-1=0恰有一根在区间（0,1）内，则实数机的取

值范围是（）

ABc2

-[rl]-Q'l]-[?]D.邛-2何

【题型训练】

一、单选题

1.（北京市第一0一中学2023届高三下学期数学统练三试题）已知关于x的不等式

/+依+>>0（°>0）的解集是{xlxwd},,则下列四个结论中错误的是（）

A.a2=4b

,1

B.a-+->4

b

c.若关于尤的不等式v+6-6<o的解集为a，%）,则占%>。

D.若关于x的不等式/+办+/><c的解集为（为，9）,且上-赴|=4,则c=4

2.（山东省山东师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）已知关

于X的不等式办2+法+1>0的解集为,其中m<0,则2+1■的最小值为

）ab

（）

A.-2B.2C.2A/2D.3

3.已知关于尤的不等式/+3+“+3>0的解集为R,则实数。的取值范围是（）.

A.（—2,6）B.（―oo,—2）u（6,+<©）

C.[-2,6]D.（-<»,-2]U[6,-KO）

4.若关于彳的不等式炉-6%+11-a<0在区间（2,5）内有解，则实数。的取值范围是（）

A.（-2,+oo）B.（3,+oo）C.（6,+oo）D.（2,+oo）

5.己知方程/+（根-2）X+5T〃=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2,则实

数机的取值范围是（）

A.（-5,-4）U（4,+»）B.（-5,+8）

C.（-5,-4）D.（Y,-2）U（4,+s）

6.设。为实数，若方程d一2分+“=0在区间（-M）上有两个不相等的实数解，则a的取值

范围是（）.

A.（-8,0）51,+8）B.（-1,0）

C.1-g,。）D.；,o]u（l,+8）

7.已知函数〃%）=2f+法+。⑶0为实数），/（—10）=〃12）.若方程〃x）=0有两个正

11

实数根为，演，则一+一的最小值是（）

%九2

A.4B.2C.1D.1

二、填空题

8.已知关于无的不等式渥-fcc+c>0的解集是，巩-1口（2,+⑸，则关于x的不等式

ax2+to+c<0的解集为.

9.已知关于x的不等式办2+2次+8>0的解集为（-（»,加）口（\,+，|,其中相<0,贝*+：的

最小值是.

10.（上海市宝山区2023届高三二模数学试题）已知函数〃尤）=二匕一;（a>0且awl）,

若关于x的不等式/■（依2+6x+c）>0的解集为（1,2）,其中6e（-6,l）,则实数。的取值范围

是.

11.（福建省大田县第一中学2022届高三上学期期中考试数学试题）若关于x的不等式

-炉+.+2）“—2a>0恰有1个正整数解，则。的取值范围是.

12.方程X2-（2-。卜+5-。=0的两根者口大于2,则实数。的取值范围是.

13.方程尤2一2分+4=0的两根均大于1,则实数。的取值范围是

题型区分式不等式与绝对值不等式的解法

畲策略方法绝对值不等式和分式不等式解法

1.分式不等式化为二次或高次不等式处理.

2.根式不等式绝对值不等式分类讨论或用几何意义或者平方处理.

【典例1]不等式一^41的解集为（）

x-2

A.[一3⑵B.(^,-3]C.[-3,2)D.(一叫一引U(2,+<»)

【典例2】不等式段-1|<1的解集为（）

A.RB.x\x<0或x>j

【题型训练】

一、单选题

1.（天一大联考皖豫名校联盟2023届高三第三次考试数学试题）已知集合

M={y\y>l},N=,则McN=()

A.[1,2]B.[2,+oo)C.[1,2)D.工+⑹

------>1,X£Z1,

2.（新疆维吾尔自治区部分学校2023届高三二模数学（理）试题）集合A=x

x+2

8={尤,为1~10以内的质数},记Ac3=Af,则（）

A.leMB.C.3色MD.4^M

3.（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第二次模拟考试数学试题）已知集合

A.(1,2]B.(1,2)C.[-1,5]D.[-1,5)

4.（浙江省宁波市2023届高三下学期4月模拟（二模）数学试题）若集合4=卜卜-[<3},

B={^|2V<8