2023-2024学年陕西省铜川市某中学高一年级下册期末考试数学试题+答案解析

2023-2024学年陕西省铜川市第一中学高一下学期期末考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数Z满足(3-=5,则2=()

43344334

A.-------iB.-------iC.-+-iD.-+-i

55555555

2.已知向量才=(2,m),了=(wz,3)，若定.7=5，则实数6=()

二4

A.-y/2B.0C.1D.-

O

3.已知直线/的一个方向向量为/=(—2,1"),平面Q的一个法向量为元=(4,—2,—2),若立a,则实数

力=()

A.-1B.-2C.1D.2

4.已知为两条不同的直线，以0为两个不同的平面，贝1()

A.若且。〃6,则。〃0

B,若Q_La,a_L。,则Q〃0

C.若a_L仇aC0=Q,b-La,则b_La

D.若Q,b为异面直线，Q_LQ,Q〃0,则b不垂直于

5.若一组数据Qi,。2,。3的平均数为4,方差为3,那么数据2QI+2,2a2+2,2a3+2的平均数和方差分别是()

A.10,12B.10,14C.4,3D,6,3

6.已知空间向量1=(1,0,3)/=(2,1,0),3=(5,2,z),若其员工共面，则实数z的值为()

A.0B.1C.2D.3

7.如图，在△ABC中，已知NACB=120°,将△4BC以NC为轴旋转一周形成的几何体的体积为力,以

AC1

8C为轴旋转一周形成的几何体的体积为匕，若％=2-，则石==()

£>C

1111

A'2B-3。4D，5

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8.已知圆锥的顶点为P,母线长为2,轴截面为△PZB’NAPB=120°,若。为底面圆周上异于N,8的一

7F

点，且二面角P—A。—B的大小为工，则△P/。的面积为（）

A.4B.2C.2\/2D.273

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.PM2.5是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物.PM2.5的监测值是用来评价环境

空气质量的指标之一.如图是某地5月1日至10日PM2.5的日均值（单位：〃g/m3）变化的折线图，则下

列说法正确的是（）

相均值

100

80

60

40

20

o|i2345’6’789日期

A.这10天中PM2.5的日均值的极差为50

B.这10天中PM2.5的日均值的中位数为43

C.这10天中PM2.5的日均值的平均数为47.8

D.这10天中PM2.5的日均值的第80百分位数为69

10.已知Z1,Z2,Z3为复数，且为#0,则下列说法正确的是（）

A.若2：+2；=0,则句=?2=0B.若2送3=Z2Z3,则Z1=Z2

C.若Z2=百，则|213|=|?2Z3|D.若婢=2表则々=Z2

11.如图，四边形/BCD,跖都是边长为2的正方形，平面48。。，平面/BEEP,0分别是线段

7T

A.PQ//DFB.异面直线NQ,尸尸所成角为己

C.点P到直线DF的距离为遗

D.△0RQ的面积是逐

2

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为.

13.已知平面。的法向量为方=(2,1,2),点4(0,1,1)为平面。内一点，点P(l,0,2)为平面a外一点，则点

P到平面a的距离为.

14.如图，在棱长为3的正方体4BCD-中，点跖N分别为棱N3,上的点，且⑷W=AN=1,

点尸是正方体ABCD-43G01表面上的一点，若QP〃平面CD.NM，则点尸的轨迹长度为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知平面向量方，了满足同=2,|引=1,a―2M=旧+引.

⑴若才与8的夹角为仇求cos。的值；

(2)求才在方+了方向上的投影向量的模.

16.(本小题12分)

某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意

程度进行打分，所得分数均在性0,100]内，将所得数据分成6组：

性0,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求。的值，并估计这200名员工所得分数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)和中位

数(精确到0.1)；

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⑵现从［70,80),［80,90)/90,100］这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求［70,80)这组中

抽取的人数.

17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，4Pl平面P8C,底面/BCD为菱形，且乙43。=60°，E,尸分别为3C,

CD的中点.

(2)已知。为棱8P上一点，且求证：PO||平面Q4F.

18.(本小题12分)

在中，角4。的对边分别为a,b,c,且acos。+v^asin。=b+c.

⑴求力;

(2)若△ABC为锐角三角形，且b+c=4，^，求。的取值范围.

19.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面N8CZ)是平行四边形，S.BC=NABC=45°，PABL

平面NBC。，PA=PB=BC.

⑴求证：平面PABJ_平面尸/C；

(2)在棱PC上是否存在点。，使得直线ND与平面8。。所成角的正弦值为零？若存在，求器的值；若

不存在，请说用理由.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查复数的四则运算，属于基础题.

根据复数的乘、除法运算即可求解.

【解答】

解：由(3—4初z=5,

彳导〜55(3+4z)5(3+的一34

3-4?(3—4,)(3+44)2555,

故选：D.

2.【答案】C

【解析】【分析】由数量积的坐标表示列方程即可求解.

【详解】向量N=⑵m),b=(m,3),则才.7=2m+3m=5m=5,解得m=1.

故选：C.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查平面法向量与直线方向向量的定义，属于基础题.

根据线面垂直，可知胃//求，由此可得两向量坐标之间有倍数关系，即可求得答案.

【解答】

解：当江a时，方〃记，所以(一2,1,力)=乂4,一2,—2),\ER

—2=4A]

则<1=—2A,解得A=——,t=1.

t=-2X2

故选：c.

4.【答案】D

【解析】【分析】由平面平行的判定定理可判断/错误，由线面垂直性质可判断8错误，利用面面垂直的

性质定理可判断C错误；由反证法可得D正确.

【详解】对于由平面平行的判定定理易知当两个平面内的两条直线平行时，不能得出两平面平行，即/

错误；

对于3,若则可得a〃。或aU0,故2错误；

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对于C,由面面垂直的性质知，两个平面垂直时，仅当直线在一个平面内且与交线垂直时才能确保直线与

另一个平面垂直，

而C中直线6与平面。的关系不确定，故6与a不一定垂直，故C错误；

对于。，若？a/L由条件易得a〃b,与二者异面矛盾，故。正确.

故选：D.

5.【答案】A

【解析】【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.

【详解】因为一组数据电,。2,。3的平均数为4,方差为3,

所以数据2%+2,2a2+2,2a3+2平均数为2x4+2=10,方差为22x3=12.

故选：A

6.【答案】D

【解析】【分析】利用三个向量共面，即可列出方程求出实数z的值.

【详解】因为反江工共面，所以存在实数对(2,夕)，使得工=/日+沙加

即(5,2,z)=x(l,0,3)+y(2,l,0)=(x+2y,y,3x),

x+2y=5,(2=1,

沙=2,解得(沙=2,

{3/=、z=3.

故选：D.

7.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查圆锥的体积，属于中档题.

分别过顶点3向对边作垂线，垂足分别为点。，E,设4。=6,BC=a,则。。=1，AD^—b^

22

CE=\a,BE=@a，结合圆锥的体积公式计算即可.

22

【解答】

解：分别过顶点N,3向对边作垂线，垂足分别为点D,E,如图所示,

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A

设AC=b，BC=Q，

又/4。8=120。则。。=与，AD=—b^CE=\a,BE=—,

2222

则%=$.,伍+|a)-$，(曰小.|a=，

^2=|^-(gb)2-(a+h)-|TT--h=^ab2，

所以匕=2=2,即=e=1

V2bBCa2,

故选：A.

8.【答案】B

_7T

【解析】【分析】作出辅助线，找到NPHO即为二面角P—A。—B的平面角，即NPHO=z，并利用勾

股定理求出各边长，求出三角形面积.

【详解】由题意得P4=P_B=2,

设底面圆圆心为O,取/C的中点X,连接PH,PO,OH,

则N4P0=/BP。=60°，故0P=1,AO=OB=四，

因为PA=PC,OA=OC,所以PH_LAC，OHVAC,

_7T

故/PH。即为二面角P-AC-6的平面角，即/-PHO=

故OH=OP=1,PH=MOP=的,

2

由勾股定理得24H=HC=\]O?!—OH?=J3—i=，AC=2\/2>

所以△PAC的面积为—AC•PH=-x2\/2x\/2=2

故选：B

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9.【答案】ABD

【解析】【分析】由极差定义可判断/正确，将数据按从小到大排序由中位数、平均数、百分位数定义计

算可得C错误，正确.

【详解】对于/，这10天日均值的最大值为80,最小值为30,所以极差为80-30=50,故N正确；

将10天中PW2.5日均值按从小到大排序为30,32,34,40,41,45,48,60,78,80,

所以这10天中PM2.5的日均值的中位数为一41丁+45=43,故8正确；

这10天中产M2.5的日均值的平均数为

_30+32+34+40+41+45+48+60+78+80,。。,,

x=-------------------------------------------=48.8;故C错误；

因为10x0.8=8为整数，所以这10天中PM2.5的日均值的第80百分位数为第8个和第9个数的平均数，

即为6°；78=69,故。正确.

故选：ABD.

10.【答案】BC

【解析】【分析】易知21=，？2=1时满足蜻+2；=0可得/错误，禾I用复数的运算法则可判断3正确，C

正确，易知Z]=1,22=一[+'g，，Z1=Z2=1可得D错误.

【详解】对于4,若Z1=，,Z2=1,则/+z：=,2+12=0,而此时Z浮0,Z2#0,故/错误；

对于3,因为21Z3=Z2Z3,所以的⑵一为)=0，又初#0，所以21—3=0，即Z1=Z2,故3正确；

设次=Q+历,Z3=c+d〃(Q,b,c,dG7?),则3=万=a—历，

所以2送3=(Q+bi)(c+di)=(QC-bd)+(ad+bc)i,Z2Z3=(Q-bi)(c+di)=(QC+bd)+(ad-bc)i,

所以\ziz3\=(ac—bd)2+(ad+be)2=\Ja2c2+b2d2+a2d2+62c2，

〔次喇=(QC+bd)?+(ad—be)?=，Q2c2+b2d2+02d2+62c2,所以⑶匐=区却,故C正确；

对于。，取Z1=1,Z2=—g+满足2?=zg=l,而21/22，故。错误.

故选：BC.

11.【答案】ACD

【解析】【分析】

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本题考查异面直线所成角，点线、线线距离的向量求法，属于中档题.

先利用面面垂直的性质推得AD,/尸两两垂直，从而建立空间直角坐标系，进而利用向量法逐一分析

判断各选项即可.

【解答】

解：因为四边形N5C。，N3访都是正方形，所以

又平面ABCDA.平面ABEF,平面ABCDH平面ABEF=AB<AFC平面ABEF,

所以平面/BCD,又ADU平面N3CD,贝!J4F_L4D,

所以48,AD,4F两两垂直，

以N为坐标原点，AD,AB,4F所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则4(0,0,0),3(0,2,0),0(2,0,0),E(0,2,2),F(0,0,2),

又尸，。分别是线段8。的中点，所以Q(l,l,0),

所以司=(1,0,—1),方亍=(—2,0,2)=—2司，

又尸0,。尸不共线，所以PQ〃。尸，故/正确；

项=(1,1,0)，P^=设异面直线40,尸尸所成角为。，

福一7N1(%

则cosO=又ee0,-，所以。=可，

AQ\-\PF2\2J3

7T

即异面直线/。，尸尸所成角为可，故8错误；

O

__V2

由方=(0,_U),W=(-2,0,2)，得阿|F，

所以点尸到直线。尸的距离为(两)2—写母=Y◎，故C正确;

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因为PQ//DF,所以。到。尸的距离即为尸到。咒的距离,

2

所以的面积S=j瓦曰><4=，^故。正确.

故选：ACD.

12.【答案】1：2

【解析】【分析】根据圆柱的表面积公式计算，再求母线及底面直径的比.

【详解】设圆柱的底面半径为八母线为/,则2仃2+2仃/=4仃2,所以，=「，所以

2r2

故答案为：1：2.

13.【答案】1

【解析】【分析】

本题考查点面距离的向量求法，属于基础题.

利用空间向量计算点面距离即可.

【解答】

解：由题意得助=(1,—1,1),

故点P到平面。的距离d=区里=1=1，

hl3

故答案为：1.

14.【答案】2，1^+2班

【解析】【分析】根据条件分别在棱4耳,5口取点反?，证明ECi〃平面CANM,同理FG〃平面

CDiNM,进而可得平面FEG〃平面。从而尸点在正方体表面上运动所形成的轨迹为△GEB,

进一步即可得解.

【详解】在棱4耳上取一点E,使得4E=1,连接GE,EM,如图所示，易得EM〃CCi，EM=CCX,

所以四边形EMCCi是平行四边形，所以MC//EC1，又刊Cu平面CAN”,

EGC平面CDJVA/,所以EQ〃平面CDiNAf.

在棱BBi上取一点尸，使得BF=1，连接月V,FE,FG，

如图所示.同理可得F。//平面。

又FCinECi=Ci，U平面FECi，所以平面平面。

所以尸点在正方体表面上运动所形成的轨迹为△GEF.

因为正方体48。。-481。山1的棱长为3,所以EG=FCi=\/32+22=V13>

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EF=，22+22=272，

所以点P的轨迹长度为EQ+FCi+EF=2>/13+2\/2.

故答案为：2，击+2班.

15.【答案】⑴

因为国一2了|=|力+引,

所以方2_4方.了+472=/+2/.7+了之,

因为E=2,E=l,所以记•号=g,

。了1

所以cos0=

⑵

因为|才+了『=才2+2^.了+12=6，所以同+5=瓜

•（才+下）|_|记2+才.了|_3\/6

所以向量才在记+了方向上的投影向量的模为：I©X

|/|.|/+了||^+T|4

【解析】⑴根据国-2用=国+用两边同时平方化简可得言•方=［，再根据向量的夹角公式计算即

可；

(2)先求出|a+b\,再利用向量数量积的几何意义即可求得结果；

16.【答案】⑴

由题意知(0.005+0.010+0.025+0.035+a+0.010)x10=1,

解得a=0.015.

第11页，共15页

估计这200名员工所得分数的平均数

亍=45x0.05+55x0.1+65x0.25+75x0.35+85x0.15+95x0.1=72.5.

[40,70)的频率为(0.005+0.010+0.025)x10=0.4,

[40,80)的频率为(0.005+0.010+0.025+0.035)x10=0.75,

所以中位数落在区间[70,80),设中位数为加，所以(0.005+0.010+0.025)x10+(m-70)x0.035=0.5,

解得m772.9,即估计这200名员工所得分数的中位数为729

⑵

[70,80)的人数：0.035x10x200=70,[80,90)的人数：0.015x10x200=30,

[90,100]的人数：0.010x10x200=20,

70

所以[70,80)这组中抽取的人数为：24x=14.

【解析】(1)由频率分布直方图的性质求得参数。，结合平均数公式直接计算即可;

(2)算出各个区间的人数，用总抽取人数乘以抽样比即可.

17.【答案】(1)

证明：如图，连接4。.

因为底面A8CD为菱形，且NABC=60°,

所以△48。为正三角形，AD\\BC,

因为£为5C的中点，所以BCLL4E.

又因为平面尸5C,8。。平面尸2C,所以BCLLAP.

因为APn4E=4,AP,4石。平面4尸£,所以平面P4E.

因为PEU平面NPE,所以BC1PE,

因为4Q田。，所以PEL4D

⑵

证明：连接8。交/尸于点跖连接QM.

第12页，共15页

因为4B||CD,所以△/MBs△F&LD,

.DMDF1

m^BM=BA=2'

所以黑=：，又PQ斗B,

UJD6o

PQ^DM^l

PBDB3-

所以在△APO中，PD\\QM.

又因为QMU平面。NRPDg平面勿凡

所以PQ|平面QAF.

【解析】(1)连接NG由题意可得△48。为正三角形，则BCLAE，再由AP_L平面P3C,得BCLAP,

所以由线面垂直的判定定理得6C_L平面尸/£,贝IJBC1PE，再由A0|田。，可证得结论；

⑵连接2。交/尸于点M,连接0”,则可得△AMBsAFWO,则曾吴，所以结合已知可得

UID3

厨=缪=：,所以P0IQM,再利用线面平行的判定定理可结论.

rijDID3

18.【答案】⑴

因为acosC+V^asinC=b+c，

由正弦定理得sin4cos。+\/3sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sin。，

=sin4cosc+cosAsinC+sinC,

所以V3sinAsinC-cosAsinC=sinC，

因为Ce(07),所以sin。/)，

所以sinA-cos4=1，即2sin(4——=1,

所以sin(4—：)=；,因为4e(0,7r),

g、I7r47r57r口口47T_7T

所以一/一/</，即=

6660b

“7T

可得4=示

O

⑵

由正弦定理得二三=T'

smAsmBsmC

a6+c且4=[b+c=4\/3,

sinAsinB+sinCo

第13页，共15页

(b+c)sinA66

所以“二

sinB+sinC.c.(2穴~~~v^31

smB+sinI———BsinB+cosB+-sinB

62通

\/3sin(B+3

sin+

7T27r7T7T7T

因为△ABC为锐角三角形，0<8<5,0<。=石—8〈万，所以

z<5zoz

所以3+3《彳)即sin(8+3e(享1

可得ae[2遍,4),

即a的取值范围为[2，9,4).

7T

【解析】(1)由正弦定理可得通sinA_cos4=1，再利用辅助角公式可得▲=可；

O

2^3k.

(2)利用正弦定理可得.=/吟,再由I<3J并利用三角函数单调性可求得a的取值范围.

smIB+—I02

19.【答案】⑴

证明：在△48。中，BC=&B，乙43。=45°，由余弦定理，得

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos45°=AB2，所以AC2+AB2=BC2>即AB1AC.

因为平面PA