2025年高考数学复习之解答题：数列（10题）

2025年高考数学复习之小题狂练600题(解答题)：数列(10题)

—.解答题(共10小题)

1.(2024•衡阳县校级模拟)已知等差数列｛板｝的前〃项和为甑,且S4=4S2,a2n=2an+l(nGN*').

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)求数列｛劭｝的前"项和S”；

(3)若6n=3"T,令”求数列｛Cn｝的前"项和7k

2.(2024•淄博模拟)定义：给定一个正整数处把它叫做模.如果用机去除任意的两个整数“与b所得

的余数相同，我们就说a,b对模相同余，记作a=6(〃70而).如果余数不同，我们就说a,b对模机

不同余，记作^modrn).

设集合A=｛x|x=0(modi),尤CN*｝,B=｛x\(log3x)=0(modi'),x€N*,尤＞1｝.

(1)求ACB；

(2)①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列｛a”｝,并构造@=(1+2)中，“6N*；

②将集合8中的元素按从小到大顺序排列后构成数列｛为｝,并构造Cn=£2i卷，沱N*.

请从①②中选择一个，若选择.

证明：数列｛Cn｝单调递增，且有界(即存在实数使得数列中所有的项都不超过M).

注：若①②都作答，按第一个计分.

3.(2024•回忆版)已知数列｛.｝的前“项和为S”,且4%=3斯+4.

(1)求｛久｝的通项公式；

(2)设勿=(-1尸啊,求数列｛加｝的前n项和为Tn.

4.(2024•济南二模)已知数列｛斯｝，｛加｝中,ai=4,加=-2,｛斯｝是公差为1的等差数列，数列｛劭+加｝

是公比为2的等比数列.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

(2)求数列｛a｝的前〃项和Tn.

5.(2024•朝阳区一模)若有穷自然数数列A：小，及，…，an522)满足如下两个性质，则称A为4

数列：

®ak^max｛ai+ak-i9ai+ak-2,…，ak-1+tzi｝(k=2,3,…，几),其中，max｛x\,xi,…，却｝表示xi,

X2,…，沏，这S个数中最大的数；

②以Wm加｛m+以-1,ai+ak-2,…，ak-1+^1｝+1(Z=2,3,…，n),其中，max｛xi,xi,…，龙s｝表示xi,

XI,•••,Xs,这S个数中最小的数.

（I）判断A：2,4,6,7,10是否为85数列，说明理由；

（II）若A：ai,a2,•••,。6是86数列，且。2,。3成等比数列，求。6;

（III）证明：对任意2"数列A：m,a2,…，a”（G2）,存在实数入，使得以=伏人］（左=1,2,«）.（［%］

表示不超过x的最大整数）

6.（2024•株洲模拟）各项都为整数的数列｛斯｝满足及=-2,R=4,前6项依次成等差数列，从第5项起

依次成等比数列.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）求出所有的正整数机，使得的"+。"什1+而+2=。"。”+1而+2.

7.（2024•浙江模拟）一般地，〃元有序实数对（al,ai,■,an）称为〃维向量.对于两个w维向量a=（%_,

a2，…，厮），b=（b「b2,■■■,bn）,定义：两点间距离d-

J（瓦一幻1）2+（匕2_&2）2H----F（如―0^）2,

利用〃维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算

向量与每个标准点的距离d”,与哪个标准点的距离办最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面

能力进行测试，得到业务能力分值（m）、管理能力分值（及）、计算机能力分值（03）、沟通能力分值

（«4）（分值七eN*,ie｛l,2,3,4｝代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位

的具体要求见下表：

冈UU位业务能力分值管理能力分值计算机能力分值沟通能力分值合计分值

（〃1）（。2）（。3）（〃4）

会计（1）215412

业务员（2）523515

后勤（3）235313

管理员（4）454417

对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量

—>

6=。4）的四个坐标.

（1）将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；

（2）小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方感均小于20的应聘者才能被

招录.

(i)小刚测试报告上的四种能力分值为另=(4,3,2,5),将这组数据看成四维向量中的一个点，将

四种职业1、2、3、4的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；

(n)小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1、2、3、4的推荐率(p)分别为

2

141397<7,

―/—'(P=22^2^2)试求小明的各项能力分值，

43434343n酹+的+帽

8.(2024•重庆模拟)已知在数列｛即｝中，m=l,an+1=1.

(1)求证：数列｛^｝是等差数列，并求数列｛斯斯+1｝的前”项和Sn.

an

11

(2)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为mb,c,且a=-----bcosC+ccosB=-2ACOSA,

an+lan

求△ABC面积的最大值.

9.(2024•鞍山模拟)设数列｛斯｝的前〃项和为S”，已知2S=a"+i-2"+i+l(“6N*),且碘=5.

(1)证明：｛$+1｝为等比数列，并求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设仇=log3(a〃+2"),若对于任意的“eN*,不等式瓦(1+〃)-入(°"+2〃)-6<0恒成立，求实

数人的取值范围；

(3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函

数称为高斯函数次》)=印，其中田表示不超过x的最大整数，如[2.3]=2,[-1.9]=-2,设&=声喑;，

数列｛Cn｝的前"项和为〃，求乃024除以16的余数.

10.(2024•莆田模拟)若有穷数列A：ai,ai,…，劭(〃>4)满足：ai+an+l-i=c(cGR,i=l,2,…，几),

则称此数列具有性质Pc.(I)若数列A：-2,ai,〃3,2,6具有性质Pc,求〃2,〃3,c的值；

(II)设数列A具有性质尸o,且2V…〈即，〃为奇数，当即aj>0(IWi,jW几)时，存在正整

数左，使得勾-访=以，求证：数列A为等差数列；

(III)把具有性质Pc,且满足1+。2左|=m(％€N",k<，，m为常数)的数列A构成的集合记作Tc(小

m).求出所有的小使得对任意给定的相，c,当数列(小m)时，数列A中一定有相同的两项，

即存在由=勾(，差/,IWi,jW〃).

2025年高考数学复习之小题狂练600题(解答题)：数列(10题)

参考答案与试题解析

一.解答题(共10小题)

1.(2024•衡阳县校级模拟)已知等差数列｛如｝的前〃项和为品，且S4=4S2,a2n=2an+l(neN*\

(1)求数列｛金｝的通项公式；

(2)求数列｛而｝的前〃项和S”；

n

(3)若6n=3T,令Cn=¥，求数列｛Cn｝的前n项和Ta.

【考点】数列的求和；数列递推式.

【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算.

【答案】(1)atl=2n-1；

2

(2)Sn=n；

n+1

(3)T=3一

n3nT

f

【分析】(1)由S4=4S2,a2n=2an+l(neN),可求解m,d,利用等差数列通项公式求解即可;

(2)由(1)知，m=l,a“=2…,利用等差数列求和公式求解即可；

(3)由6n=3叱1,版=2”-1,可知％=*=*＞利用错位相减法求和即可.

【解答】解：(1)设等差数列｛〃”｝的公差为力由54=48,a2n=2an+l(jiGN*),

可得，“我"上针器；?解得将=J,

+(2?1—l)u=2。1+2,(TL-l)u+1Id=2

所以斯=1+(«-1)X2=2n-1；

(2)由(1)知，d:i=l,an=2n-1,

?1(。1+斯)_几(1+2几-1)

所以S九=2=2

(3)因为6n=3吩1,an=2n-1,所以“=胃=等二,

T=J--PA+____|_2n-32H-1Q

n3°31323n-2

11352n-32n-l^

~T=~+—+―+•••+„+—②，

3n3132333n-1d3n

①-②得

212222n-l扣-2n-l271+2

-T=—+—+—+…+----=2-

3n3031323n-13n3九3n

【点评】本题考查数列递推式、数列求和，考查计算能力，属于中档题.

2.(2024•淄博模拟)定义：给定一个正整数徵，把它叫做模.如果用机去除任意的两个整数〃与匕所得

的余数相同，我们就说b对模机同余，记作。=Z?(MO力n).如果余数不同，我们就说〃，b对模机

不同余，记作〃WbQmodm).

设集合A=｛x|x=0(modi),xEN*｝,B=[x\(logsx)=0Qmod2),%CN”,x>l｝.

(1)求AD&

(2)①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列｛而｝,并构造cn=(l+[)于，“6N*；

②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列｛加｝,并构造Cn=£^i瓦三，iCN*.

请从①②中选择一个，若选择.

证明：数列｛cn｝单调递增，且有界(即存在实数使得数列中所有的项都不超过M).

注：若①②都作答，按第一个计分.

【考点】数列的应用；交集及其运算.

【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算.

【答案】(1)AAB=0；

(2)详见解答过程.

【分析】(1)由已知定义分别求出集合A,B,然后结合集合的交集运算即可求解;

(2)结合所选条件先求出Cn,然后结合单调性的定义及二项式定理即可判断.

【解答】解：(1)当x=0(〃KM2)成立时，则x能被2整除，得尤=2〃，"6N*,

即4=｛无以=2”,nGN*

当(log3x)=0(modi)成立时，则log*能被2整除,得(log*)=2n,MGN*,

即X=32"=9",nGN*,则8=｛小=9",nGN**｝,

显然集合A为全体正偶数组成的集合，集合8中所有的元素都是奇数，所以AC8=0;

(2)若选择①，将集合A中的元素按从小到大排列构成的数列｛斯｝为等差数列，

其通项公式为：an=2n,neN*,5=(1+卷)号=(1+》，％+I=(1+

由二项式定理得：％=(1+=呜。++C汽》2+…+cn(lr

1+x*n(n—1)1n(n—l)(n—2)1,,n!1

i.n-2!-记3!x^+-+^x

=1+1+齐(1-3+品(1一》*(1—$+…+=x(l—3x(l—$x…x(l—M),

11112112

“+lul+l+^Xa----ZTT)+有X(1----r)X(1--------j-y)+•••H----(•X(1----r)X(1--------ry)XX

n+12!'n+ly3!'n+ly'n+lyn!'n+17'n+1?

/Y九一1、.1/Y1、/Y2、/y九、

(1-------ry)+7~~x,X(1----rrr)X(1------rrf)X•••X(1------pr)

'n+17(n+1)!'n+17'n+ly'n+ly

显然Cn<Gz+l,

所以数列%=(1+卷泮，"6N*为单调递增数列，

同时“=(1+》n=G?+禺：+第今+*2+…+优,，

当G>,Rvfrk_J__几(几_1)(几-2)•••(??-.+1)_n几一1二一2'一:+1_____1_____<______1_____<

y'n心九上•左(左一1)…1nnnn/c(/c—1)…1—k(k—l)…1—

1_11

k(k—l)二口—『

ii11ii1

则”=(1+宗"W1+1+(1_2)+e_W)+…+(口—R=3_五<3,

且q=(1+y)1=2<3,

所以数列(1+2)智，在N*有界；

若选择②，将集合8中的元素按从小到大排列构成的数列｛为｝为等比数列，

其通项公式为“=9n,/1GN*,

设“=£匕尚=£%舌，",

、11

显然Cn+1_%=喃Z=产工>0，

所以数列％=£上1瓦，，iCN*单调递增，

_,11111111111

其中彳I=E=8X9t+9ITW1*环，%=£匕行〈月2匕产=可(1+7+乒+

1

…+尹)，

%=£匕有/x不一白(1-给〈白

19

所以数列%=£上1瓦，，正N*有界.

【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的交集运算，二项式定理的应用，等差数列与等比数列

的通项公式的应用，还考查了数列单调性的定义的应用，属于难题.

3.（2024•回忆版）已知数列｛即｝的前〃项和为品，且4%=3而+4.

(1)求｛久｝的通项公式；

(2)设勾=(-y,求数列｛加｝的前n项和为Tn.

【考点】错位相减法.

【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)由已知和与项的递推关系进行转化，然后结合等比数列的通项公式即可求解；

(2)先求出bn,然后结合错位相减求和即可求解.

【解答】解：(1)因为4s〃=3久+4,

所以4Si+i=3cin+i+4,

两式相减可得4an+i=3a”+i-3a”,

即an+i=-3an,又因为4si=3m+4,

所以“1=4,故数列｛m｝是首项为4,公比为-3的等比数列，

所以an=4•(-3严-1；

n-1n-1

(2)bn=(-l)nan=4n-3,

所以〃=4(l-30+2-31+3-32+-+n-3n-1),

37^=4(1-31+2-32+3•33+…+7”3"),

nnn

两式相减可得：-2Tn=4(1+31+32+…+-n-3)=4(1-3-n-3)=(2-4w)3"-2,

所以7；=(2n-l)3n+l.

【点评】本题主要考查了和与项的递推关系及等比数列的通项公式的应用，还考查了错位相减求和方法

的应用，属于中档题.

4.(2024•济南二模)已知数列｛而｝，｛"z｝中，m=4,61=-2,｛•｝是公差为1的等差数列，数列｛即+为｝

是公比为2的等比数列.

(1)求数列｛加｝的通项公式；

(2)求数列｛加｝的前〃项和%.

【考点】数列的求和.

【专题】综合题；整体思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列｛外｝的通项公式，再根据等比数列的通项公

式计算出数列｛斯+加｝的通项公式，即可计算出数列｛为｝的通项公式；

(2)根据数列｛加｝的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算

出前〃项和Tn.

【解答】解：(1)由题意，可得。"=4+(“-1)X1=n+3,

故a”=〃+3,"6N*,

:数列{加+为}是公比为2的等比数列，且幻+61=4-2=2,

an+bn=2•2"-1=2",

nn

：.bn=2-an=2-n-3,n£N*.

(2)由题意及(1),可得6n=2兀—(n+3),

则Tn=bl+b2+b3+"+bn

=(21-4)+(22-5)+(23-6)+-+[2n-(〃+3)]

=(21+22+23+-+2,!)-[4+5+6+-+(w+3)]

_2(1—2，(n+7)n

=1-22-

=7n+i

i22

【点评】本题考查等差数列和等比数列的基本运算，以及数列求和问题，分组求和法，等差数列和等比

数列的求和公式的运用，考查转化与化归思想，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题.

5.(2024•朝阳区一模)若有穷自然数数列A：ai,碘，…，斯(”、2)满足如下两个性质，则称A为瓦

数列：

①袱》加办{m+或-1,ai+ak-2,…，ak-1+ai}(左=2,3,…，n),其中，max{x\,xi,…，xs}表示x\,

XI,Xs,这S个数中最大的数；

②akWmin{ai+ak-1,ai+ak-2>…，ak-i+tzi}+l(k=2,3,…，n),其中，机ax{xi,xi,尤s}表示xi,

XI,Xs,这S个数中最小的数.

(I)判断A：2,4,6,7,10是否为85数列，说明理由；

(II)若A:ai,02,•••,。6是比数列，且41,02,43成等比数列，求46；

(III)证明：对任意8"数列A：ai,°2,…，(心2),存在实数人,使得袱=因1](%=1,2,…，ri').([x]

表示不超过x的最大整数)

【考点】数列的应用.

【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算.

【答案】(1)不是，理由见解析；(2)恁=8；(3)证明见解析.

【分析】(1)直接根据35数列的定义验证；

(2)根据86数列的定义先列式求出r72,。3,进而可求出。4,as,46;

(3)先说明历数列满足结论，然后假设存在自然数t>2,存在&数列使得结论不成立，设这样的t

的最小值为犯，即存在8%数列A：ai,ai,atQ,对任意实数入，存在kE{l,2,…，加，使得ak

#代人］,通过&数列的定义推出矛盾，进而达到证明结论的目的.

【解答】解：(I)A：2,4,6,7,10不是55数列.理由如下：

因为41+43=8,42+42=8,

所以相办〃2+。2}=8.

但〃4=7<8,所以A不满足性质①，故不是85数列.

(II)根据比数列的定义，可知A:a\,42,…，46满足：

〃2=。1+〃1或42=〃l+m+l,。3=〃1+。2或。3=。1+"2+1,

a2

(1)若。2=。1+。1,因为QI,O1,〃3成等比数列，所以。3=二=4。1，

又因为41W0,所以〃3W〃l+〃2,

当〃3=〃1+〃2+1时，由〃3=3ai+l=4m得m=l,

22

(2)若〃2=。1+。1+1,因为41,。2,43成等比数列，所以的=—=，

当〃3=〃1+〃2时，由的=3al+1=(2%+1)得的=3本店,

Q］Z

与m是自然数矛盾，舍去；

当〃3=〃1+〃2+1时，由=3al+2=31+1)得〃1=-1,

与m是自然数矛盾，舍去；

所以〃1=1,42=2,03=4,

由〃1+〃3=5,〃2+〃2=4,以及根QX{〃l+〃3,42+42}加〃2+42}+1,

可知5W3W5,所以3=5,

由〃1+。4=。2+。3=6,以及机办〃2+。3}加{。1+〃4,〃2+。3}+1,

可知6WQ5W7,

由7W〃1+〃5W8,。2+。4=7,。3+。3=8,

以及加〃%{41+45,〃2+的的+的}加〃2+〃4,〃3+的}+1,

可知8W46W8,所以46=8;

(III)证明：当〃=2时，根据比数列的定义，可知〃2=2〃1或〃2=241+1

若〃2=2〃1,取入=〃1+0.1>0,则41=［入］,。2=［2入］,结论成立.

若。2=2。1+1,取入=〃1+0.5>0,则。1=囚，〃2=［2入］,结论成立.

假设存在自然数f>2,存在&数列使得结论不成立，设这样的r的最小值为犯,

即存在%数列A：ai,“2…，atg,对任意实数入，存在比｛1,2,…，犯｝,使得圆#kA］.

根据假设，数列A的前犯-1项m,ar-,生厂］组成的数列是一个以。_1数列，

从而存在实数0,使得以=［印］U=l,2,to-1).

所以(k=l,2,to-1),

„„CLkClfc+1

即,<尸七一也=1,2,-,t-1),

K.K.0

令L=7YICLX{CL^f,…，.01},U=YTliTl{ci^+L~-,…，-z—},则LWR<U

乙LQ_L乙vQ.L

令L*=max{L,善},U*=min{U,则/XL*,ifWU

r0r0

(1)若L*=^,根据。的定义，存在小{1,2,ro-1},使得U=

r0u

又一°—<L<U=——,

t0-uu

川/*=%<%-u+au+l=ato-u+Mn+Dau+l=

、tg-tg(tg—U)+lZIL

且乙*=生<绰N，所以£*<U*

r0r0

(2)若L*=L根据L的定义，存在任{1,2,to-1},使得L=亨，*=L<UW生0-1+1

t0-l

川/*_/一⑷.+(%T+1)_田+%-/+1

叫-L-T<Z+(TO_O--—Wy

且Z*=L<U,所以L*<U*

所以Z_WL*<U*WU

令0，则LWL*<g<U*WU

即max{ai，铮，…，<f3'<min{a1+1,也牡，…，叱+\

zrozr0

所以小‘<哈

(k=L2,…，t0)

所以ak<k^'<a/d-l(Z=l,2,£o),

即以=［郊'］(左=L2,…，£o),与假设矛盾.

综上，结论成立.

【点评】本题考查数列的综合问题，考查反证法，属于难题.

6.(2024•株洲模拟)各项都为整数的数列｛久｝满足及=-2,s=4,前6项依次成等差数列，从第5项起

依次成等比数列.

(1)求数列｛。行的通项公式;

(2)求出所有的正整数相，使得丽+即+1+即+2=ClmClm+1Clm+2.

【考点】等差数列与等比数列的综合.

【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算.

n—4,n<4

【答案】⑴a=

n2n-5,n>5

(2)m=l,或m=3.

【分析】(l)由题意设数列前6项的公差为d,d为整数，表示出〃5,〃6,利用〃5,〃6,47成等比数列，

求出d,推出〃W6时等差数列的通项公式，〃25数列｛〃〃｝的通项公式；

(2)验证正整数机=1,2,3,4,时，等式加+而+1+〃加+2=。加即+1即+2是否成立，加25时，验证等式

的左边的值与右侧的值是否相同即可，得到结论.

【解答】解：(1)设数列前6项的公差为d,d为整数，则45=-2+3%期=-2+4以d为整数，

又45,46,。7成等比数列，

・•・(4d-2)2=4(3d-2),解得d=l,

当〃W4时,dn=n—4,

由此45=1,46=2,数列从第5项起构成以2为公比的等比数列.

n5

当〃25时，an=2,

n—4/n<4

故通项公式为册=

.271-5/n>5

(2)由(1)知数列｛斯｝为：-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,…

当m=l时等式成立，即-3-2-1=-6=(-3)(-2)(-1),等式成立；

当m=3时等式成立，即-1+0+1=0,等式成立；

当m=2、4时等式不成立；

m533m-12

当根三5时,即am+am+1-^-am+2=2~(2-1)，ClmClm+1Clm+2=2.

・・CLm~^Clm+1+〃旭+2WClmClm+1Clm+2•

故所求的m=1，或根=3.

【点评】本题考查等比数列的判断，通项公式的求法，考查数列的函数的特征，注意数列的前提条件的

应用，注意验证法在解题中的应用，注意分类讨论的思想，是中档题.

7.(2024•浙江模拟)一般地，〃元有序实数对(m,。2,…，劭)称为〃维向量.对于两个〃维向量。=(%,

―>

…，。九)，b=⑸,b2,•••/bn)定义：两点间距离d=

J(瓦―41)2+⑸—a2)2+-+(“—,

利用“维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算

向量与每个标准点的距离为，与哪个标准点的距离办最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面

能力进行测试，得到业务能力分值(小)、管理能力分值(。2)、计算机能力分值(03)、沟通能力分值

(04)(分值/CN*,ie{l,2,3,4}代表要求度，1分最低，5分最高)并形成测试报告.不同岗位

的具体要求见下表：

冈LLJ位I」业务能力分值管理能力分值计算机能力分值沟通能力分值合计分值

(〃1)(。2)(〃3)(〃4)

会计(1)215412

业务员(2)523515

后勤(3)235313

管理员(4)454417

对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量

—>

0=a2,a3,aQ的四个坐标.

(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；

(2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方嫌均小于20的应聘者才能被

招录.

⑺小刚测试报告上的四种能力分值为0=(4,3,2,5),将这组数据看成四维向量中的一个点，将

四种职业1、2、3、4的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；

⑺小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1、2、3、4的推荐率(p)分别为

141397r72

―/—77(P="2”2'”2)，试求小明的各项能力分值•

43434343n送+够+送+福，

【考点】数列的应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算.

【答案】(1)这组数据的第三四分位数为16；

(2)小刚最适合业务员岗位；

(3)小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为2,4,3,5.

【分析】(1)将合计分值从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求出结果；

(2)(/)根据条件，先求出各个岗位的样本点，再根据题设定义即可求出结果；

(z'z)先根据条件得到或eN*(ne{l,2,3,4})的相关方程组，利用四+必+堵+或V80,出6

N*(ne{1,2,3,4)),得到所=14,共=13,退=9,或=7,再根据题设列出方程，利用(a-2)

伐=2,d=l

~+(6-l)2+(c-5)2+(d-4)2-[(q-2)2+(6-3)2+(c-5)'+(d-3)2]=5,得出{6=3,d=3,

(b=4,d=5

再对三种情况分析讨论，即可求出结果.

【解答】解：(1)将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据12,13,15,17,

15+17

又i=初=4X0.75=3,所以这组数据的第三四分位数为^―=16.

⑵(力由图表知，会计岗位的样本点为良=(2,L5,4),贝蟠=(2-铲+(1-3>+(5-2/+

(4—5)2=18,

―>

业务员岗位的样本点为为=(5，2,3,5),则彩=(5—4>+(2—3)2+(3—2>+(5—5)2=3,

―>

后勤岗位的样本点为03=(2,3,5,3,),则底=(2—4)2+(3—3)2+(5—2)2+(3—5)2=17,

管理员岗位的样本点为良=(4,5,4,4),贝崛=(4—4)2+(5—37+(4—2)2+(4—5)2=9,

所以d2<d4<d3<di,故小刚最适合业务员岗位；

141397M

(n)四种职业1、2、3、4的推荐率(P)分别为n，—,—,—,且Pn=F--2^1--

43434343嫉+d升温+djv

询2_14

d-^+d2^^~d-^+d^2-43

嫁_13

2=43

所以《

,2又WO£口，2,3,4))均小于20,

______13_9

d-^+d^^d-^+d^2=43

_7

=

、d]+d2+d3+d4243

所以及+dl+dl+dl<80,且感GN*(nG[1,2,3,4}),故可得到西=14,退=13,退=9,或=7,

设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为a,b,c,d,且a,b,

c,deN*,b,c,dW5,

依题有(a-2)2+(b-l)2+(c-5)2+(d-4)2=蛋=14①，

(a-5)2+(b—2/+(c-3)2+(d-5)2=啰=13②，

(a-2)2+(b—3)2+(c-5)2+(d-3产=送=9③，

(a-4)2+(b—5)2+(c-4)2+(d—4尸=周=7④，

由①-③得，(a-2)2+<ib-1)2+(c-5)2+(d-4)2-[(a-2)2+(b-3)2+(c-5)2+(d-3)

2]=14-9=5,

(b=2,d=1

整理得2b-d=3,故有｛力=3,d=3三组正整数解，

(b=4,d=5

对于第一组解，代入④式有(a-4)2+9+(c-4)2+9=7,不成立；

对于第二组解，代入①式有(«-2)2+(…)2=4,解得｛，二;或［二；，代入②④式均不成立；

fa=2

对于第三组解，代入②式有(a-5)2+(c-3)2=9,解得『=京代入①②③④均成立，故1=。，

1c=3Ic=3

(d=5

故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为2,4,3,5.

【点评】本题考查了数列的应用，考查学生的运算能力和逻辑思维能力，属于难题.

8.(2024•重庆模拟)已知在数列｛而｝中，oi=l,an+1=.

(1)求证：数列｛；｝是等差数列，并求数列｛z.+1｝的前〃项和S”.

an

11

(2)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=--------，bcosC+ccosB=-24cosA,

an+l0九

求AABC面积的最大值.

【考点】数列的求和.

【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；解三角形；逻辑推

理；数学运算.

【答案】(1)证明见解答，s尸方3；

V3

(2)——.

3

【分析】(1)结合已知递推关系，两边取倒数，然后由等差数列的定义即可证明;

(2)先由(1)求出°,然后结合正弦定理，和差角公式进行化简可求A,再由余弦定理及基本不等式

可求6c的范围，最后由三角形面积公式可求.

071

【解答】证明：(1)因为数列｛。行中，。1=1,an+1=

l+2an

所以

,,1l+2a1

故----=------n-=—+2,

an+lanan

r11

即----——=2,

an+lan

所以数列｛上｝是以1为首项，以2为公差的等差数列，

an

1

则—=1+2(n-1)=2n-1,

an

11,11、

ClnCln+1=-<xZQ］」、-Q'\一)，

(2n-l)(2九+1)22n-l2n+l

11111111

则S〃=(1-亍+亍-己+…+5----4—5~工T)=5(1-5~7T)=9~n工T；

23352n—12n+l22n+l2n+l

11

解：(2)在△ABC中，a=—-------=2,

an+lan

因为bcosC+ccosB=-2〃cosA,

所以sinBcosC+sinCcosB=-2sinAcosA,

即sin(B+C)=-2sinAcosA=sinA,

因为sinA>0,

1

所以cosA=—2»

由A为三角形内角得，A=等，

由余弦定理得，/=4=Z)2+c2—2bccos^-=/?2+C2+/?C^3/?C,当且仅当b=c时取等号，

…4

所以bc<可，

△ABC面积S=IbcsinA=^-bc<字，即面积的最大值为

【点评】本题主要考查了数列递推关系的应用，等差数列的定义，裂项求和方法的应用，还考查了正弦

定理，和差角公式，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题.

9.(2024•鞍山模拟)设数列｛斯｝的前“项和为S”已知2%=斯+1-2〃+i+l("6N*),且破=5.

(1)证明：｛患+1｝为等比数列，并求数列｛板｝的通项公式；

(2)设加=log33+2"),若对于任意的〃6N*,不等式氏(1+/7)-人(如+2")-6<0恒成立，求实

数)的取值范围；

(3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函

数称为高斯函数次龙)=印,其中国表示不超过x的最大整数，如［2.3］=2,［-1.9］=-2,设“=［四要］,

数列｛Cn｝的前〃项和为求及024除以16的余数.

【考点】数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合.

【专题】对应思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算.

【答案】(1)证明见解析，=3"-2%

⑵导2+8）；

（3）8.

n+1

【分析】（1）由已知得2SnT=an—2n+l,2Sn^an+i-2+l,两式相减得an+i=3厮+2",进一步

33

可得｛翁+1｝是首项为5,公比为5的等比数列，即可求解；

（2）由（1）可知bn=n,不等式即可化为4〉浓；?一6恒成立,设%=*犷6,贝I]可得Dn+1一Dn=

2（皓2）,进一步可得外<D3=制可求解；

3九3n3

（3）由（1）可知％=,一；+/]=*],然后通过二项式定理可得当n为奇数时，7=[工]+->

3n3n1

当n为偶奇数时，—=[―]+再利用分组求和及二项式展开式可求得720