与圆有关的位置关系（讲义）（原卷版）-2024年中考数学一轮复习

第27讲与圆有关的位置关系

目录

类型二无公共点：作垂直，证半径

一、考情分析题型05利用切线的性质定理证明

题型06切线的性质与判定的综合运用

二、知识建构题型07作圆的切线

考点一点、直线与圆的位置关系题型08应用切线长定理求解

题型应用切线长定理求证

题型01判断点和圆的位置关系09

考点三三角形内切圆与外接圆

题型02根据点和圆的位置关系求半径

题型判断三角形外接圆圆心位置

题型03判断直线与圆的位置关系01

题型求外心坐标

题型04根据直线与圆的位置关系求半径02

题型已知外心的位置判断三角形形状

题型05根据直线与圆的位置关系求点到直线03

的距离题型04求特殊三角形外接圆的半径

题型由三角形的内切圆求长度

题型06求圆平移到与直线相切时圆心坐标05

题型由三角形的内切圆求角度

题型07求圆平移到与直线相切时运动距离06

题型由三角形的内切圆求周长、面积

题型08根据直线与圆的位置关系求交点个数07

题型求三角形的内切圆半径

题型09圆和圆的位置关系08

考点二切线的性质与判定题型09直角三角形周长、面积和内切圆半径

的关系

题型01判断或补全使直线成为切线的条件

题型圆外切四边形模型

题型02利用切线的性质求线段长10

题型三角形内心有关的应用

题型03利用切线的性质求角度11

题型三角形外接圆与内切圆综合

题型04证明某条直线时圆的切线12

类型一由公共点：连半径，证垂直

考点要求新课标要求命题预测

>探索并掌握点与圆的位置关系.本专题内容也是各地中考数学中的必考

点、直线与圆>能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置

的位置关系圆.关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和

>了解直线与圆的位置关系.外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的

性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的

切线的性质与>掌握切线的概念.

问题和三角函数结合的求角度的问题等知识

判定>探索并证明切线长定理.

点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形

三角形内切圆>了解三角形的内心与外心.式给出，难度较大.关键是掌握基础知识、基

与外接圆>通过尺规作作三角形的外接圆、内切圆.本方法，力争拿到全分.

点与圆的位

置关系点在圆外、圆上、圆内

题型01判断点和圆的位置关系

相交直线与圆右两个交点题型02根据点和圆的位置关系求半径

宜线与圆的

位题型03判断直线与圆的位置关系

位置关系相切直线与圆右个交点

置1题型04根据直线与圆的位置关系求半径

关题型

柑离没有公共点05根据U线与圆的位置关系求点到U线的距离

系题型06求圆平移到与直线相切时圆心坐标

外离、内含没有公共点题型07求圆平移到与直线和切时运动距离

圆与圆的题型08根据直线与圆的位置关系求交点个数

位置关系外切、内切1个切点题型09圆和圆的位置关系

相交两个交点

与

圆性质圆的切线巾宜于过切点的半径.

题型01判断或补全使直线成为切线的条件

有直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.题型02利用切线的性质求线段长

题型03利用切线的性质求角度

关圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.题型（M证明某条直线时圆的切线

判定类型一由公共点：连半径，证垂直

的经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

切线的性质类型一无公共点：作垂直，证半径

题型利用切线的性质定理证明

位与判定连半径，证垂直05

常用辅助线作法题型06切线的性质与判定的综合运用

置作垂直，证半径题型07作圆的切线

题型08应用切线长定理求解

关切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和

题型应用切线长定理求证

这点的连线平分两条切线的夹角.09

系

题型01判断三角形外接圆圆心位置

题型02求外心坐标

题型03已知外心的位置判断「角形形状

三角形经过二角形二个顶点的圆叫做一角形的外接圆题型04求特殊二角形外接圆的半径

外接圆题型05由三角形的内切圆求长度

外心：二角形二边中垂线的交点题型06由三角形的内切圆求角度

三角形内切圆

三角形题型07由一角形的内切圆求周长、面积

与外接圆与二角形各边都相切的圆叫做二角形的内切圆

内切圆题型08求二角形的内切圆半径

内心：二角形三条角平分线的交点题型09直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系

题型10圆外切四边形模型

题型11■:角形内心有关的应用

题型12三角形外接IW与内切圆综合

考点一点、直线与圆的位置关系

f夯基-必备基础知识梳理

1.点和圆的位置关系

已知。。的半径为r,点P到圆心0的距离为d,贝U：

位置关系图形定义性质及判定

点在圆外点在圆的外部d>r«点P在圆外

点在圆上点在圆周上d=r6点P在圆上

点在圆内点在圆的内部d〈r6点P在圆内

【说明】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半

径的关系，可以确定该点与圆的位置关系.

2.直线和圆的位置关系

设。。的半径为r,圆心。到直线1的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表：

位置关系图形公共点个数性质及判定

相离没有公共点d>rO直线1与。0相离

相切有唯一公共点d=rO直线1与。。相切

相交4有两个公共点d<r6直线1与。0相交

【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.

3.圆和圆之间的位置关系

设。01、的半径分别为r、R（其中R〉r）,两圆圆心距为d,则两圆位置关系如下表:

位置关系图形公共点个数性质及判定

外离无d>R+r=两圆外离

外切1个切点d=R+r=两圆外切

相交©两个交点R—rVd<R+r=两圆相交

内切1个切点d=R—r=两圆内切

内含无0<d<R—ro两圆内含

两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是

两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.

易混易错

1.由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形，

并进行分类讨论，否则比较容易漏解.

2.经过一个点作圆，圆心的位置具有任意性；经过两个点作圆，圆心的位置就有了规律性,即圆心位于两

点连线的垂直平分线上.

3.直线和圆的位置关系可以转化为直线与圆的公共点的个数来研究；也可转化为圆心到直线的距离d

与半径r的大小关系来研究，这两个角度的论述其实是等价的.

4.圆与圆之间的有些位置关系有两种情况，做题时要分类讨论，防止漏解：①两圆没有交点：外离或

内含；②两圆有一个交点：外切或内切；③两圆有两个交点：两圆心在公共弦同侧或异侧.

提升-必考题型归纳

题型01判断点和圆的位置关系

【例1】（2022.广东广州.统考一模）平面直角坐标系中，。。的圆心在原点，半径为5,则点P（0,4）与。。

的位置关系是（）

A.点P在。。内B.点P在。。上C.点P在。。外D.无法确定

【变式IT】（2022•广东广州•统考一模）A,8两个点的坐标分别为（3,4）,（-5,1）,以原点。为圆心,

5为半径作。O,则下列说法正确的是（）

A.点A,点8都在。。上B.点A在。。上，点B在。。外

C.点A在。。内，点B在。。上D.点A,点B都在。。外

【变式『2】（2022.江苏扬州•校联考一模）若。。的半径为5cm,点A到圆心。的距离为4cm,那么点A

与。。的位置关系是：点A在。。.（填“上”、“内”、“外”）

题型02根据点和圆的位置关系求半径

【例2】（2023•湖北襄阳•统考一模）如图，在△ABC中，4ACB=90°,AB=5,BC=4.以点力为圆心，r为

半径作圆，当点C在04内且点8在04外时，r的值可能是（）

【变式2-1］（2022•江苏扬州・统考一模）如图，矩形A8CO中，AB=3,BC=4,点P是平面内一点，以

P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则尸。的最小值为（）

A.|4B.1C.（7D.2.5

【变式2-2］（2022•山东枣庄•校考一模）点P是非圆上一点，若点P到。。上的点的最小距离是4cm,最大距

离是9cm,则O0的半径是.

【变式2-3］（2022.上海静安•统考二模）如图，已知矩形ABCD的边48=6,BC=8,现以点A为圆心作圆，

如果8、C、。至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么04半径r的取值范围是.

题型03判断直线与圆的位置关系

【例3】（2023•广东广州・华南师大附中校考一模）如图，RtAABC^,zC=90。，AB=5,cosA=%以点8为

圆心，r为半径作。B,当r=3时，与2C的位置关系是（）

C.相交D.无法确定

【变式37］（2023•江西南昌・统考一模）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的

位置关系是（）

A.相切B.相交C.相离D.平行

【变式3-2］（2023.新疆乌鲁木齐.统考一模）如图，已知RtAABC中，ZC=90°,tanA=D、E分别是

4

边BC、48上的点，DE||AC,且B。=2CD.如果OE经过点2,且与。。外切，那么O。与直线4c的位置

关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.不能确定

【变式3-3］（2023•四川内江・威远中学校校考一模）已知平面直角坐标系中，点尸（x0,y0）和直线4十出

+C=0（其中A,2不全为0）,则点尸到直线Av+2y+C=0的距离d可用公来计算.

例如：求点尸（1,2）到直线y=2x+l的距离，因为直线y=2x+l可化为2x—y+l=0,其中A=2,B=

M%o+By()+C|_|2X1+"DX2+1|_J__V5

-1,C=l,所以点P（l,2）到直线y=2x+l的距离为：d=

y/A2+B2-V22+(-l)2-遍—5

根据以上材料，解答下列问题:

（1）求点M（0,3）到直线y=旧尤+9的距离；

（2）在（1）的条件下，0M的半径r=4,判断与直线y=旧久+9的位置关系，若相交，设其弦长

为"，求〃的值；若不相交，说明理由.

题型04根据直线与圆的位置关系求半径

【例4】（2023•重庆开州・统考一模）如图，OA是。。的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作。。

的切线尸3,点8为切点.若朋=1,PB=2,则半径。4的长为（）

P

o

B

438

A.-B.-C.-D.3

325

【变式4-1］（2023•上海浦东新•校考三模）在平面直角坐标系中，以点4（4,3）为圆心、以R为半径作圆A与

无轴相交，且原点。在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（）

A.0</?<5B.3<7?<4C.3</?<5D.4<R<5

【变式4-2］（2023•上海嘉定•统考二模）如图，在RtAdBC中，ZC=90°,AB=13,sinA=*以点C

为圆心，R为半径作圆，使A、8两点一点在圆内，一点在圆外，那么R的取值范围是—.

---------------------

【变式4-3］（2020•河北石家庄.石家庄市第五十中学校考模拟预测）在R3ABC中，NACB=90。，AC=3,

BC=4.点。为边AB上一点（不与A重合）。。是以点O为圆心，AO为半径的圆.当。。与三角形边

的交点个数为3时，则OA的范围（）

A.OCOAS竺或2.5WOAV5B.0<OA</或OA=2.5

88

C.OA=2.5D.OA=2.5或孩

【变式4-4］（2020.江苏盐城・统考模拟预测）在矩形ABCD中，AB=8,BC=6.点。为对角线4C上一点（不

与4重合），。。是以点。为圆心，2。为半径的圆.当。O与矩形各边的交点个数为5个时，半径。力的范围

是.

【变式4-5］（2021•浙江宁波・统考一模）如图，在Rt/ABC中，Z.C=90。,48=30°,AC=2,以C为圆心，「为

半径作圆.若该圆与线段力B只有一个交点，贝b的取值范围为

【变式4-6］（2020・上海金山・统考一模）如图，已知RM14BC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,如果以点C为

圆心的圆与斜边力B有公共点，那么。C的半径r的取值范围是（）

B

121212

A.0<r<—B.—<r<3C.—<r<4D.3<r<4

题型05根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离

【例5】（2021・江苏无锡・统考一模）如图,。C的圆心C的坐标为（1,1）,半径为1,直线I的表达式为y=-2%+6,

P是直线I上的动点，Q是OC上的动点，贝UPQ的最小值是（）

【变式5-1］（2020•福建福州•校考模拟预测）已知O。的半径为3,点。到直线小的距离为d,若直线rn与。。

公共点的个数为2个，贝心可取（）

C.3.5

题型06求圆平移到与直线相切时圆心坐标

【例6】（2023•山东日照・日照市田家炳实验中学校考一模）如图，已知OP的半径为1,圆心P在抛物线y

=|/-1上运动，当。尸与x轴相切时，圆心P的坐标为.

【变式6T】（2020•辽宁盘锦・统考二模）如图，半径r=2a的0M在x轴上平移，且圆心M在x轴上，当

D.(2,0)或(-6,0)

题型07求圆平移到与直线相切时运动距离

【例7】（2020•四川凉山•统考模拟预测）如图，在半径为5c机的。。中，直线/交。。于A、8两点，且弦

AB=Scm,要使直线/与相切，则需要将直线/向下平移（）

C.3cmD.4cm

【变式7-1］（2022上.河北唐山.九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的

坐标为（-3,0）,将圆P沿方轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（）

D.1或5

【变式7-2］（2022上•福建南平•九年级顺昌县第一中学校考阶段练习）如图,直线力B、CD相交于点。，乙4OC=

30°,半径为1cm的圆的圆心尸在直线4B上，且与点。的距离为8cm,若点P以lcm/s的速度由A向2的方向

运动，当运动时间t为时，OP与直线CD相切.

【变式7-3］（2020•江苏扬州•统考二模）直线/经过点A（4,0）,B（0,2）,若。/的半径为1,圆心M在y

在轴上，当。M与直线/相切时，则点用的坐标—.

【变式7-4］（2018.吉林.统考一模）等腰R3ABC和。O如图放置，已知AB=BC=1,ZABC=90°,。。的

半径为1,圆心O与直线AB的距离为5.

（1）若AABC以每秒2个单位的速度向右移动，。。不动，则经过多少时间AABC的边与圆第一次相切？

（2）若两个图形同时向右移动，AABC的速度为每秒2个单位，。。的速度为每秒1个单位，则经过多少

时间AABC的边与圆第一次相切？

（3）若两个图形同时向右移动，AABC的速度为每秒2个单位，。。的速度为每秒1个单位，同时AABC

的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大.AABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多

少距离？

题型08根据直线与圆的位置关系求交点个数

【例8】（2020•广东.统考一模）在平面直角坐标系中，圆心。的坐标为（-3,4）,以半径r在坐标平面内作

圆，

（1）当r___________时，圆。与坐标轴有1个交点；

(2)当r______时,圆。与坐标轴有2个交点;

(3)当r______时,圆。与坐标轴有3个交点;

(4)当厂______时，圆。与坐标轴有4个交点;

题型09圆和圆的位置关系

【例9】（2022•上海崇明•统考二模）RtZkABC中，已知NC=90。,BC=3,4C=4,以点A、B、C为圆心的

圆分别记作圆A、圆8、圆C,这三个圆的半径长都是2,那么下列结论中，正确的是（）

A.圆A与圆C相交B.圆8与圆C外切

C.圆A与圆8外切D.圆A与圆8外离.

【变式9-1］（2023•新疆乌鲁木齐•统考一模）已知在RtA48C中，ZC=90°,coM=|,那么以边4C长的|倍

为半径的圆A与以BC为直径的圆的位置关系是（）

A.外切B.相交C.内切D.内含

【变式9-2］（2022•湖北武汉•统考一模）如图，在平面内。。「OG，06两两外切，其中03的半径

为8,。。2,0。3的半径都为5.用一张半径为R的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则R的最小值为（）

(Q/Y\

40

A.—B.10C.13D.15

3

【变式9-3](2021•上海松江•统考二模)已知。。的半径04长为3,点B在线段04上，且。8=2,如果

与。。有公共点，那么。2的半径r的取值范围是()

A.r>lB.r<5C.l<r<5D.l</<5

【变式9-4](2023•北京东城・统考一模)在平面直角坐标系xOy中，己知点M(a,b),将点尸向左(aNO)或向

右(a<0)平移k|a|个单位长度，再向下(620)或向上(6<0)平移个单位长度快>0),得到点P',再将

点尸关于直线MP'对称得到点。，称点。为点尸的左倍“对应点特别地，当M与P'重合时，点Q为点尸

关于点M的中心对称点.

y

5

4

3

2

1

-54-3-2-1,O12345x

(1)已知点P(3,0),fc=2.

①若点M的坐标为(0,1),画出点P',并直接写出点尸的2倍“对应点”。的坐标；

②若。M=l,直线y=x+b上存在点尸的2倍“对应点”，直接写出b的取值范围；

(2)半径为3的O。上有不重合的两点Af,P,若半径为1的。。上存在点尸的左倍“对应点”，直接写出左的

取值范围.

考点二切线的性质与判定

・夯基•必备基购识侬

1.切线的性质与判定

定义线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点.

圆的切线垂直于过切点的半径.(实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心

的直线.)

解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中

性质作辅助线的一种方法）.根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算

或证明.

1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.

2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.

3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时，

判定

1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，

简称“连半径，证垂直”；

3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，

简称“作垂直，证半径”.

2.切线长定理

定义在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角

三角形来求解.

.提升-必考题型幽

题型01判断或补全使直线成为切线的条件

【例1】（2021•浙江绍兴•统考一模）如图，点B在。A上，点C在。A外，以下条件不能判定BC是。A切

线的是（）

A.ZA=50°,ZC=40°B.ZB-ZC=ZA

C.AB2+BC2=AC2D.。人与AC的交点是AC中点

【变式IT】（2021•广东揭阳•统考一模）如图，AB是。。的直径，BC交。。于点D,于点E,下列

说法不正确的是（）

A.若DE=DO,贝IDE是。。的切线B.若4B=4C,则DE是。。的切线

C.若CD=DB,则DE是。。的切线D.若DE是。。的切线，贝〃B=4C

【变式「2】（2019•新疆•校考中考模拟）已知。O的半径为5,直线EF经过。O上一点P（点E,F在

点P的两旁），下列条件能判定直线EF与。O相切的是（）

A.OP=5B.OE=OF

C.O到直线EF的距离是4D.OP1EF

题型02利用切线的性质求线段长

【例2】（2023•重庆巴南・统考一模）如图，已知UBC,点。在边力B上，以BD为直径的。。与边4C相切于

点C,若4C=4,4。=2,则线段BC的长为（）

A.5B.2V5C.yV5D.蔡而

【变式2-1］（2023•湖南衡阳•模拟预测）如图，在△CMB中，=OB=13,AB=24,以。为圆心，4为

半径作。。，P为线段4B上动点（从4运动到B）,过P作。。的切线PC,切点为C,贝UPC的取值范围是（）

A.3<PC<3V17B.5<PC<13C.4<PC<3V17D.1<PC<13

【变式2-2］（2022•福建厦门•统考模拟预测）如图，。。的直径48=2,直线/与O。相切于点8,将线段4B

绕点8顺时针旋转45。得线段BC,E是/上一点，连接CE,贝UCE的长可以是（）

B

A.1B.1.2C.1.4D.1.6

【变式2-3］（2023•陕西西安・西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，已知AB是。。的直径，4C是。。

的弦，过点C作。。的切线CM,过点A作4。1MC交其延长线于点D,过点B作BE1CM于点E,

（1）求证：CD=CE；

(2)若48=10,AC=6,求线段QE的长.

题型03利用切线的性质求角度

【例3】（2023•重庆沙坪坝•重庆一中校考二模）如图，线段力B为。。的直径，点C,。都在。。上，DE与O0

相切于点。，若N82C=a,乙BDE=0,贝此CBD可表示为（）

A.2a+BB.90°—a—°C.180°-a—2sD.180°—a一夕

【变式3-1］（2023•四川泸州•泸县五中校考三模）如图，A8是。。的直径，抬与。。相切于点A,ZABC

=25。，0c的延长线交小于点P,则/尸的度数是（）

A.25°B.35°C.40°D.50°

【变式3-2］（2023•山东泰安・统考一模）如图，AB,AC是。。的弦，过点A的切线交CB的延长线于点。,

若NB4D=35°,贝此。='

【变式3-3](2023•山东德州•统考三模)如图，在AABC中，乙B=9。。,。。过点A、C,与4B交于点

与BC相切于点C,若〃=32°,贝此4)。=

题型04证明某条直线时圆的切线

类型一由公共点：连半径，证垂直

【例4】(2023•广东佛山•校考一模)如图，以线段4B为直径作。0,交射线47于点C,AD平分NC4B交。。

于点。，过点D作直线DE14C于点E,交力B的延长线于点F.连接BD并延长交力C于点M.

(1)求证：直线DE是。。的切线；

(2)求证：AB=AM-,

(3)若ME=1,4尸=30。，求BF的长.

【变式4-1](2022•浙江衢州•统考模拟预测)如图，四边形ABC。内接于。O,AB为。。的直径，过点C

作CE_LA。交的延长线于点E,延长EC,AB交于点尸，ZECD=ZBCF.

(1)求证：CE为。。的切线;

(2)若DE=1,CD=3,求。。的半径.

【变式4-2](2023•江苏苏州•校考二模)如图，为。。的直径，点C是。。上一点，点。是。。外一点,

⑴求证：CD是。。的切线.

(2)若CE=OA,sm/LBAC=求tan/CE。的值.

【变式4-3](2020•甘肃酒泉・统考二模)如图，已知BC是。。的直径，AC切。0于点C,4B交。于点D,E为

AC的中点，连接CD,DE.

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)若BD=4,CD=3,求4C的长.

【变式4-4](2023•辽宁葫芦岛•统考一模)如图，48为。。的直径，点C在O。上，起=四，点。在B4的

延长线上，连接CD与。。交于点E,在4。上取点R使FD=FE.

(1)试判断直线EF与。。的位置关系？并说明理由;

(2)若tan/DEF=3AB=8,求。尸的长.

类型二无公共点：作垂直，证半径

【例5】(2021•江苏扬州•统考中考真题)如图，四边形4BCD中，AD//BC,Z.BAD=90°,CB=CD,连接BO,

以点8为圆心，B力长为半径作OB,交BD于点、E.

AD

(1)试判断CD与OB的位置关系，并说明理由；

(2)若45=2次，ABCD=60°,求图中阴影部分的面积.

【变式5TX2023・江苏宿迁・统考三模)如图:在RtAABC中,NB=90。,2。平分/84。,点£在48上,。£1=OC,

以。为圆心，。8长为半径作O。.

⑴判断2C与O。的位置关系，说明理由；

(2)若AB=6,EB=4,求tan/CMC的值.

【变式5-2](2023•湖南衡阳•校考模拟预测)如图，在RtATlBC中，/-ABC=90°,AC=10,BC=6,乙ACB

的平分线C。交4B于点O,以。B为半径作。0.

(1)请判断4C与。。的位置关系，并说明理由；

⑵求。。的半径.

【变式5-3](2022•江苏泰州•统考二模)如图，在平面直角坐标系中，。。的半径为1,直线y=-苧乂+•

与x轴、y轴分别交于点A、B.

(1)判断直线A8与。。的位置关系，并说明理由;

(2)求阴影部分的面积.

题型05利用切线的性质定理证明

【例6】(2023•山东临沂・统考二模)如图，半径为6的。。与尺公A8C的边AB相切于点A,交边2C于点

C,D,ZB=90°,连接OD,AD.

⑴若/ACB=20。，求40的长(结果保留兀).

(2)求证：A£＞平分/2D0.

【变式6-1](2023•贵州遵义・统考一模)已知：如图，为。。的直径，CD与。。相切于点C,交A8延

长线于点。，连接AC,BC,ZD=30°,CE平分/ACB交。。于点E,过点8作BfUCE,垂足为F.

(1)求证：CA=CD；

(2)若A8=12,求线段BP的长.

【变式6-2](2023•广东肇庆・统考二模)已知AB为。。的直径，AB=6,C为。。上一点，连接C4cB.

图②

(1)如图①，若C为初的中点，求NC48的大小和AC的长;

(2)如图②，若4c=2,。£)为。。的半径，且。D1CB,垂足为E,过点。作。。的切线，与AC的延长线相

交于点F,求FD的长.

【变式6-3](2023•江苏泰州•统考一模)如图，P为。。外一点，PA.尸8为。。的切线，切点分别为A、B,

直线PO交。。于点。、E,交于点C.

A

DJ/

(1)求证：ZADE=ZPAE.

⑵若/A£>E=30°,求证：AE=PE.

(3)若尸E=4,CD=6,求CE的长.

题型06切线的性质与判定的综合运用

【例7】(2023・山东聊城・统考一模)如图，在RtZkABC中，乙4cB=90。，。是BC边上一点，以。为圆心，OB

为半径的圆与2B相交于点D,连接CD,且CD=4C.

⑴求证：CD是。。的切线；

(2)若乙4=60。，AC=2V3,求的的长.

【变式7-1](2023•云南•模拟预测)如图，已知AC为O。的直径，直线出与。。相切于点A,直线产。经

过O。上的点B且NCBD=NC4B,连接。尸交A3于点M.求证：

(1)PD是。。的切线；

(2)4M2=OM-PM

【变式7-2](2021・山东聊城・统考一模)如图1,在四边形A8CD中，AD//BC,^DAB=90°,AB是。。的

直径，CO平分乙BCD.

图1

(1)求证：直线CD与O。相切；

(2)如图2,记(1)中的切点为E,P为优弧搦上一点，AD=1,BC=2.求tan/APE的值.

图2

【变式7-3*2022•河北石家庄.石家庄外国语学校校联考二模)如图，在团4BCD中，乙4=120°,AB=2BC=8,

点M在8c边所在的直线上，CM=8,PQ=6,以PQ为直径的半圆。与3C相切于点P,点X为半圆弧

PQ上一动点.

探索：如图1,当点尸与点M重