概率论与数理统计课件：多维随机变量及其分布

2首页返回退出首页返回退出第一节二维随机变量及其联合分布一、二维随机变量及其联合分布函数二、二维离散型随机变量的分布律三、二维连续型随机变量的概率密度四、常见的二维随机变量分布

在实际问题中,试验结果有时需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.

如，炮弹的弹着点的位置,(X,Y)是一个二维随机变量.

又如，研究天气变化状况，令X,Y,Z分别表示温度、湿度、风速，则(X,Y,Z)是一个三维随机变量.

研究多维随机变量有必要将多个变量作为一个整体来考虑，讨论它们总体变化的统计规律性，再进一步可以讨论各变量之间的相互关系§3.1二维随机变量及其联合分布函数3.1.1二维随机变量定义3.1

设有随机试验E,其样本空间S.若X=X(e),Y=Y(e)是定义在样本空间上S的随机变量，则称(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量.同理可定义n维随机变量(随机向量).图示3.1.2联合分布函数

定义3.3

(以下仅讨论二维随机变量)

设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数，二元函数称为随机变量(X,Y)的联合分布函数。一维随机变量X的联合分布函数(1)联合分布函数的定义(2)联合分布函数的几何意义二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，联合分布函数F(X,Y)在(x,y)处的函数值就是随机点落在以(x,y)左下方区域(如图所示区域内)的概率。x0F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)(3)联合分布函数的性质xyyx1x2o具有这5条性质的二元函数是二维r.v.的分布函数.

3.1.3二维离散型随机变量及其联合分布律

定义3.5若二维随机变量(X,Y)只取有限个或可列个数对(xi,yj),则称(X,Y)为二维离散型随机变量.称为二维随机变量(X,Y)的联合分布律.一维离散型随机变量X的分布律pij

=P(X=xi,Y=yj)，(X,Y)的联合分布律表格形式YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…………………xipi1pi2…pij…………………性质：

X

的所有可能值为解：

1，2，3，4

Y

的所有可能值为1，2，3，4当时，由乘法公式

P{X=1,Y=2}=0

P{X=2,Y=2}=1/8故所求(X,Y)的联合分布律为

P{X=3,Y=2}=1/12

P{X=4,Y=2}=1/16

P{X=1,Y=3}=0

P{X=2,Y=3}=0

P{X=3,Y=3}=1/12

P{X=4,Y=3}=1/16

P{X=1,Y=4}=0

P{X=2,Y=4}=0

P{X=3,Y=4}=1/12

P{X=4,Y=4}=1/16YX123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/163.1.4二维连续型随机变量及其联合概率密度函数成立，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X,Y)的联合(概率)密度函数.一维连续型随机变量X的概率密度

定义3.6设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x

,y),如果存在一个二元非负实值函数f(x

,y),使得对于任意有假设G

是平面上的任意一个区域，则

联合概率密度的性质例2若(X,Y)～试求常数k.解:所以,k=12.=k/12xy0解:0,其他.例3若(X,Y)～试求分布函数F(x,y).0,其他.解：例4若(X,Y)～试求：(1)

由上题解得分布函数及分布函数性质(5)可知:

3.1.5常见二维随机变量分布一、二维均匀分布定义3.8设二维随机变量(X,Y)的联合密度为：则称随机变量(X,Y)服从区域G上的二维均匀分布.其中SG为G的面积.解:0,其他.设二维随机变量(X,Y)在圆域上服从均匀分布，例5(1)写出(X,Y)的联合密度函数；(2)(2)计算二、二维正态分布若二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为：则称(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)

N(

m1,m2,s12,s22,

r).其中可以证明，f(x,y)满足联合密度的性质。(1)显然f(x,y)≥0；(2)令

22首页返回退出首页返回退出第二节边缘分布及随机变量独立性一、边缘分布二、随机变量的独立性§3.2边缘分布及随机变量独立性已知(X,Y)的分布，如何确定X,Y的分布？F(x,y)＝P(X≤x,Y≤y)FX(x)＝P(X≤x)P(X≤x)＝P(X≤x,S)＝P(X≤x,Y＜+∞)＝F(x,+∞)(X,Y)关于X的边际分布函数.FY(y)＝F(+∞,y)＝FX(x)一、边缘分布函数已知(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则

YFY

(y)=F(+

,y).

XFX

(x)=F(x,+

),

例1设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为求X,Y

的边缘分布函数分布函数.

二、二维离散型随机变量的边缘分布律设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律:则(X,Y)关于X的边缘分布律:同理，(X,Y)关于Y的边缘分布律:YXy1y2…yn…x1p11p12…p1n…x2P21p22…p2n…………………xmpm1pm2…pmn………………………P(Y=y1)=p·1P(Y＝yj)p

·

2p

·

n……1P(X＝xi)p

1

·

p

2

·pm

·例2在第3.1节例1中计算X与Y的边缘分布律.解：(X,Y)的联合分布律：25/48P(Y＝yj)13/481/161/4XY123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/167/48P(X＝xi)1/41/411/4所以，X与Y的边缘分布律为：X的边缘分布律为：Y的边缘分布律为：XpkYpk三、二维连续型随机变量的边缘概率密度已知(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)则(X,Y)关于X的边缘概率密度:同理，(X,Y)关于Y的边缘概率密度:解:例3设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为求X与Y的边缘概率密度fX(x)和fY(y).所以所以3.2.2随机变量的独立性成立，则称随机变量X与Y相互独立.

F(x,y)=FX(x)FY(y)成立，则称随机变量X与Y相互独立.

(1)X与Y独立的本质是：对任意实数a,b,c,d，有(2)X与Y是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.P(a<X<b,c<Y<d)=P(a<X<b)P(c<Y<d)在平面上几乎处处成立.若(X,Y)为二维连续型随机变量，X与Y相互独立等价于f(x,y)=fX(x)fY(y)XY123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/16例4例2中的联合分布律和X与Y的边缘分布律如下：问X与Y是否独立？25/48P(Y＝yj)13/481/161/47/48P(X＝xi)1/41/411/4由于P(X=1,Y=2)=0故X与Y不是相互独立的.P(X=1)P(Y=2)=13/192≠例5已知(X,Y)的联合密度为问X与Y是否独立？所以X与Y相互独立.解:边缘概率密度分别为:对一切x，y都有f(x,y)=fX(x)fY(y)，解:例6设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为求X与Y的边缘概率密度fX(x)和fY(y).由于存在面积不为0的区域，故X和Y不独立.解:例7求二维正态随机变量的边缘概率密度.因为则有同理则X与Y相互独立的充要条件是ρ=0.

定理

设二维正态随机变量

证明

当ρ=0时，从而X与Y相互独立.

反过来，当X与Y相互独立时，则对任意的x和y有特别地，有即，由此得，ρ=0.注意(1)若联合概率密度f(x,y)可分离变量，即

f(x,y)=g(x)h(y)

且取值区域为矩形域，则X与Y独立.(2)若(X,Y)服从二元正态N(m1,m2,s12,s22,r

)

则X与Y独立的充要条件是

=0.(3)应用中通常先根据实际情况判定两个随机变量的独立性，再利用联合分布求事件发生的概率.一般n维随机变量的一些概念和结果

1、n维随机变量（定义3.2）设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e};设是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量称为n维随机变量.2、分布函数（定义3.4）

称为n维随机变量的分布函数.

3、离散型随机变量的分布律4、连续型随机变量的概率密度（定义3.7）

称为n维离散型随机变量的分布律.设的所有可能取值为，ij=1,2,…

设的概率分布已知,则的k(1≤k≤n)维边缘分布就随之确定.5、边缘分布例如：46首页返回退出首页返回退出第三节条件分布一、二维离散型随机变量的条件分布律二、二维连续型随机变量的条件概率密度§3.3条件分布

一、离散型随机变量的条件分布律定义3.9设(X,Y)是二维离散型随机变量，若对于固定的yj，若P(Y=yj)>0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,…类似可定义在X=xi条件下，Y的条件分布律：P(Y=yj|X=xi)=，j=1,2,…定义3.10给定Y=yj条件下，随机变量X的条件分布函数为给定在X=xi条件下，随机变量Y的条件分布函数为

条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.条件分布律满足分布律的两条性质：例1设二维离散型随机变量(X,Y)

的联合分布律为：

解：例2设一只虫所生虫卵数X服从泊松分布P(l)，而每个虫卵发育成幼虫的概率是p(0<p<1)，并且各个虫卵能否发育为幼虫是相互独立的，求一只昆虫所生幼虫数Y的分布律.解：所以，Y服从泊松分布P(lp).k=0,1,2,…

二、二维连续型随机变量的条件密度函数

对于二维连续随机变量(X,Y)，由于P(X=x)=P(Y=y)=0不能像离散的情况那样直接利用条件概率来引入，需做如下处理：

设(X,Y)的联合概率密度f(x,y)，其边缘概率密度为：fY(y)定义3.11

设X和Y的联合概率密度为f(x,y),边缘概率密度为，则对一切使的y,

定义已知

Y=y下，X的条件概率密度为同样，对一切使fX(x)＞0的x,定义为已知

X=x下，Y的条件概率密度.

条件概率密度，也具有密度的一切性质.例如：解：概率密度f(x,y)的非零区面积为1，例3设二维随机变量(X,Y)服从的均匀分布，试求及G先求Y的边缘概率密度于是，当-1<y<1时,当y=1/2时，有从而，58首页返回退出首页返回退出第四节二