第24讲 数列的概念（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第24讲数列的概念（9类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第19题,15分由递推数列研究数列的有关性质等比数列通项公式的基本量计算求等比数列前n项和裂项相消法求前n项和2023年天津卷，第19题,15分等差数列与等比数列综合应用等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和写出等比数列的通项公式2023年天津卷，第5题,5等比数列通项公式的基本量计算利用等比数列的通项公式求数列中的项2022年天津卷，第18题,15分等差数列通项公式的基本量计算等比数列通项公式的基本量计算错位相减法求和分组(并项)法求和2021年天津卷，第19题,15分等差数列前n项和的基本量计算由定义判定等比数列错位相减法求和数列不等式恒成立问题2020年天津卷，第19题,15分等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和等比数列通项公式的基本量计算分组(并项)法求和2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为15分【备考策略】1.理解、掌握数列的概念2.能掌握数列的通项公式与递推公式3.具备数形类比递推的思想意识，会借助函数求解数列的最值与单调性4.会解数列中的规律问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出数列求解数列的通项公式与求和问题。知识讲解知识点一．数列的有关概念1.数列：按照确定的顺序排列的一列数2.数列的项：数列中的每一个数3.通项公式：如果数列{an}的第n项an4.递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式5.数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即知识点二.数列的分类1.项数：（1）有穷数列：项数有限（2）无穷数列：项数无限2.项与项间的大小关系：（1）递增数列：an＋1>an（2）递减数列：an＋1<an（3）常数列：an＋1＝an（4）摆动数列：从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列（其中n∈N*）知识点三.数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．知识点四.数列常用的结论1．已知数列{an}的前n项和Sn，则a2．在数列{an}中，若an最大，则an≥an−1an≥an+1(n≥2，n∈N*)；若an最小，则知识点五.数列的两种常用表示方法（1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．考点一、数列的周期性1.（·湖南·高考真题）已知数列an满足a1=0，aA．0 B．−C．3 D．32.（2024·陕西安康·模拟预测）在数列an中，an>0,a1A．2 B．1 C．3 D．51.（2024·河北·模拟预测）已知首项为2的数列an满足4an+1−5an+1an−2A．40 B．41 C．42 D．432.（2024·山东济宁·三模）已知数列an中，a1=2A．−2 B．−1 C．1 D．23.（2024·陕西榆林·三模）现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（

）A．2 B．4 C．6 D．84.（2024·辽宁·模拟预测）数列an中，a1=4，a2=3A．14 B．34 C．3 考点二、数列的单调性1.（2024·贵州·模拟预测）已知数列an满足an=A．k<0 B．k<1 C．k>0 D．k>12.（2024·天津南开·二模）设数列an的通项公式为an=A．−3,+∞ B．−2,+∞ C．−2,+∞1.（2024·北京西城·三模）对于无穷数列{an}，定义dn=an+1A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2.（2024·江西·模拟预测）已知数列an满足an=n−aa∈R，则“A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.（2024·四川雅安·模拟预测）已知数列an满足an+2=3an+1−2an，a14.（2024·河南信阳·模拟预测）在数列an中，a1=(1)记bn=a(2)记Sn为an的前n项和，若Sn考点三、数列的最值1.（2020·北京·高考真题）在等差数列an中，a1=−9，a5=−1A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项2.（·辽宁·高考真题）已知数列an满足a1=33,1.（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在递增数列an中，a1=π6，sinanA．12 B．32 C．−12.（24-25高三上·山西大同·期末）等比数列an中，Sn为其前n项和，a1=1，且A．12 B．49 C．163.（2024·山东济南·二模）已知an是各项均为正整数的递增数列，an前n项和为Sn，若Sn=2024A．63 B．64 C．71 D．724.（2024·天津和平·二模）已知数列an满足12a1+122a2+⋯+12nan=nn∈考点四、an与S1.（2024·山东济南·三模）若数列an的前n项和Sn=n(n+1)A．10 B．11 C．12 D．132.（2024·贵州遵义·二模）已知数列an的前n项和Sn=A．16 B．17 C．18 D．191.（2024·内蒙古呼和浩特·二模）数列an的前n项和为Sn=3−2A．1681 B．21181 C．8272.（2024高三·全国·专题练习）已知数列an的前n项和为Sn，an+1=Sn3.（2024高三·全国·专题练习）在数列an中，a1=13，前n项和S4.（2024高三·全国·专题练习）已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=考点五、累加法求通项公式1.（2024·重庆·三模）已知数列an的前n项和为SA．276 B．272 C．268 D．2662.（2024·河北保定·三模）设bn是公差为3的等差数列，且bn=an+1A．21 B．25 C．27 D．311.（2024·陕西咸阳·三模）在数列an中，a1=1，aA．43 B．46 C．37 D．362.（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知数列an满足：a1=1，an=an−1A．Sn=nn+1 B．Sn=3.（2024·全国·模拟预测）已知数列an满足a1=3,a2=15，且an+2A．2016 B．2017 C．4032 D．40344.（2024·广东深圳·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+3n，若首项为1A．10122023 B．20252024 C．20232024考点六、累乘法求通项公式1.（2024·西藏·模拟预测）已知数列an对任意k∈N*满足aA．21012 B．21013 C．220242.（2024·全国·模拟预测）已知数列an满足an+1an=A．28 B．220 C．2251.（2024高三下·全国·专题练习）在数列an中，a1=13，前nA．12n−12n+1 B．3n−22n+1 C．2−2.（23-24高三上·河南·期中）在数列an中，an>0，a1=1A．414 B．15 C．223 3.（2024·四川泸州·三模）已知Sn是数列an的前n项和，a1=1，n4.（2024高三下·全国·专题练习）已知数列{an}中，3.（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，2an+1=3SnA．−3,2 B．−3,2 C．−3,2 D．−3,24.（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，数列bn的前n项和为Tn，且an+1A．1 B．32 C．76考点八、递推数列问题1.（2025·广东·一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设an为斐波那契数列，a1=1,a2=1,an=A．5 B．6 C．7 D．82.（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，满足an+1A．a3a4和a5a6 B．a4a5和a61.（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知函数fx=3x−13x+1，数列anA．1 B．2 C．3 D．42.（2024·安徽马鞍山·模拟预测）数列{an}共有9项，且a1=1 ，A．28个 B．36个 C．45个 D．56个4.（2024·四川乐山·三模）峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名．其中“九十九道拐”景点约有2000级台阶，某游客一次上1个或2个台阶，设爬上第n个台阶的方法数为an①a5=8；②3an+1=an−1其中所有正确结论的序号是．考点九、数列中的规律1.（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则aA．10 B．55 C．89 D．992.（24-25高三上·广东深圳·开学考试）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（

）A．6种 B．10种 C．11种 D．12种1.（2024·四川·模拟预测）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为1,4,8,13，则该数列的第18项为（

）A．188 B．208 C．229 D．2512.（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（

）A．366 B．422 C．450 D．6003.（2024·浙江绍兴·二模）汉诺塔（TowerofHanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具.如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子，A柱子从下到上按金字塔状叠放着n个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为Hn，例如：H(1)=1，H(2)=3A．H(3)=5 B．H(n)为等差数列C．H(n)+1为等比数列 D．H4.（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”a、“股”b与“弦”c之间的关系为a2+b2=c2（其中a≤bA．145 B．181 C．221 D．2651．（2024·天津·二模）已知数列an为不单调的等比数列，a2=14,aA．34 B．78 C．982．（23-24高三上·天津和平·期末）已知数列an为等比数列，Sn为数列an的前n项和，aA．9 B．21 C．45 D．933．（23-24高三上·天津·期中）设Sn是数列an的前n项和，已知a1=1且A．9 B．27 C．81 D．1014．（22-23高三上·湖南娄底·期末）已知Sn为等差数列an的前n项和，a3A．157 B．C．114 D．5．（22-23高三上·天津静海·阶段练习）设命题P：已知定义在(0,+∞)的可导函数f(x)，其导函数f'x=xlnx−x，存在k∈R，使得A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（21-22高三上·天津河西·期中）已知数列an中，a1=−1，an=2an−1+3，则通项公式1．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列an满足a1+2A．53 B．85 C．1272．（2024·全国·模拟预测）已知Sn为正项数列an的前n项和．若Sn+2aA．7 B．15 C．8 D．163．（2024·四川宜宾·二模）在数列an中，已知a1=2,a2A．3 B．2 C．1 D．04．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等比数列an的前n项和为Sn，且an+1=A．4n−13C．4n−1 5．（23-24高三上·天津西青·期末）已知an是等比数列，Sn是数列an的前n项和，2A．3 B．18 C．54 D．1526．（23-24高三下·天津·阶段练习）著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将n个不同元素全错位排列的总数记为an，则数列an满足a1=0,a1.（2023·全国·高考真题）已知等差数列an的公差为2π3，集合S=cosanA．－1 B．−12 C．0 2.（2022·全国·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，