江西省“金太阳大联考”2025届高三上学期10月联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江西省“金太阳大联考”2025届高三上学期10月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=A∪B={0,1,2,3,4,5}，A∩(∁UB)={1,3,5}，则集合B=A.{1,3,5} B.{0,2,4} C.⌀ D.{0,1,2,3,4,5}2.sin2A.12 B.32 C.−3.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)−f(x−y)=2f(y)，则f(0)=(

)A.0 B.1 C.2 D.−14.已知x>0，y>0，且1x+2y=1，则2x+1yA.2 B.4 C.6 D.85.设函数f(x)=ln(x2+1)+sinx+1，则曲线A.12 B.13 C.166.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是θ′℃，空气的温度是θ0℃，则tmin后该物体的温度θ℃满足θ=θ0+(θ′−θ0)e−t4.若θ0，A.t1>t2

B.t1<t2

C.若θ′>θ0，则t1>t27.已知lognm>1(m,n>0且m≠1，n≠1)，m+n=e2A.(m−n+1)e<1 B.(m−n+1)e>18.在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ABC=90∘，点P在△ABC内部，且∠BPC=90∘，AP=2，记∠ABP=α，则A.32 B.23 C.43二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知命题p:∃x∈R，x−|x|>x2;命题q:∀α∈(π2,π)A.p是真命题 B.¬p是真命题 C.q是真命题 D.¬q是真命题10.已知函数f(x)=cos(x+1xA.f(x)为偶函数 B.f(x)的最大值为cos2

C.f(x)在(1,2)上单调递减 D.f(x)在(1,20)上有611.已知函数f(x)=13x3A.若x=x0是f(x)的极小值点，则f(x)在(−∞,x0)上单调递减

B.若x=b是f(x)的极大值点，则b<0且c<0

C.若c=3，且f(x)的极小值大于0，则b的取值范围为(−2,−3)

D.若c=−3b，且f(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=sin(x+φ)(0≤φ<π)的图象关于y轴对称，则φ=

．13.已知函数fx=x2+ax,x<0−xx+1,x≥014.已知函数f(x)=sin(x+φ)+1，若|f(x1)−f(x2四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[−π416.(本小题12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA+1(1)证明：A=B．(2)若D是BC的中点，求∠CAD的最大值．17.(本小题12分)已知函数f(x)=ae(1)讨论f(x)的单调性;(2)若a>0，∀x∈(0,+∞)，f(x)>e−xa−18.(本小题12分)已知集合A，B中的元素均为正整数，且A，B满足： ①对于任意ai，aj∈A，若ai≠aj，都有aiaj(1)已知集合A={1,2,4}，求B;(2)已知集合A={2,4,8,t}(t>8)，求t;(3)若A中有4个元素，证明：B中恰有5个元素．19.(本小题12分)已知函数f(x)=x+(x+a)(1)若f(x)是增函数，求a的取值范围．(2)若f(x)有极小值，且极小值为m，证明：m≤1.(3)若f(x)≥0，求a的取值范围．

参考答案1.B

2.B

3.A

4.D

5.A

6.D

7.B

8.C

9.BC

10.AC

11.BCD

12.π213.2

14.π315.解：(1)由图可得，f(x)的最小正周期T=2×(2π3−π6)=π．

因为T=2π|ω|，且ω>0，所以ω=2，所以f(x)=sin(2x+φ)

由f(π6)=sin⁡(2×π6+φ)=0

所以π3+φ=2kπ，k∈Z，解得φ=−π3+2kπ，k∈Z.

因为|φ|<π2，所以φ=−π3．

故f(x)=sin(2x−π3).

(2)由−16.解：(1)证明：因为sinA+1cosA=sinB+1cosB，所以(sinA2+cosA2)2 sinA2+cosA22cos2 A2−sin2 A2= sinB2+17.解：(1)f′(x)=aex−1，

当a≤0时，f′(x)<0，f(x)是减函数.当a>0时，y=f′(x)是增函数．

令f′(x)=0，解得x=−lna.

当x∈(−∞,−lna)时，f′(x)<0;当x∈(−lna,+∞)，f′(x)>0．

所以f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增．

综上，当a≤0时，f(x)是减函数;当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增．

(2)f(x)>e−xa−1x，即aex−e−xa>x−1x．

令函数g(x)=x−1x，则g(aex)=aex−e−xa，所以g(aex)>g(x)．18.解：(1)由 ①可得2，4，8都是B中的元素．

下面证明B中除2，4，8外没有其他元素：

假设B中还有其他元素，分两种情况：第一种情况，B中最小的元素为1，显然81不是A中的元素，不符合题意;

第二种情况，B中最小的元素为2，设B中除2，4，8外的元素为bk(bk>2)，

因为bk2是A中的元素，所以bk为4或8，而4，8也是B中的元素，所以B中除2，4，8外没有其他元素．

综上，B={2,4,8}．

(2)解：由 ①可得，8，16，32，2t，4t，8t都是B中的元素．

显然8<4t，8<2t，16<2t，

由 ②可得，4t8，2t8，2t16是A中的元素，即t2，t4，t8是A中的元素．

因为t8<t4<t2<t，所以t8=2，t4=4，t2=8，解得t=16．

(3)证明：设A={a1,a2,a3,a4}，a1<a2<a3<a4．

由 ①可得，a1a2，a2a4都是B中的元素．

显然a1a2<a2a4，由 ②可得，a2a4a1a2是A中的元素，

即a4a1是A中的元素．

同理可得，a4a2，a4a3，a3a2，a3a1，a2a1，a3a4a1a2是A中的元素．

若a1=1，则a3a4a1a2=19.(1)解：f′(x)=lnx+ax+2，

令函数g(x)=lnx+ax+2，则g′(x)=x−ax2，

若a>0，则当x∈(0,a)时，g′(x)<0，当x∈(a,+∞)时，g′(x)>0，

所以g(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，

g(x)min=g(a)=lna+3．

因为f(x)是增函数，所以f′(x)min≥0，即g(x)min≥0，解得a≥1e3．

若a≤0，则g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增．

因为函数y=lnx+2与函数y=−ax的图象有1个交点，

所以存在x0，使得lnx0+ax0+2=0，

即当x∈(0,x0)时，g(x)<0，当x∈(x0,+∞)时，g(x)>0，

所以f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，与题设不符．

综上，a的取值范围为[1e3,+∞).

(2)证明：由(1)可得当a≥1e3时，f(x)是增函数，不存在极小值．

当0<a<1e3时，g(x)min=g(a)<0，g(x)在(0,a)上单调递减，

所以f(x)在(0,a)上不存在极小值点．

因为g(1)=a+2>0，所以∃x1∈(a,1)，g(x1)=0，

所以f(x)