第21讲 平面向量基本定理及坐标表示（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第21讲平面向量基本定理及坐标表示（4类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第14题,5分平面向量基本定理的应用平面向量线性运算的坐标表示数量积的运算律数量积的坐标表示2023年天津卷，第14题,5分余弦定理解三角形用基底表示向量用定义求向量的数量积基本不等式求积的最大值2022年天津卷，第14题,5分用基底表示向量向量夹角的计算2021年天津卷，第15题,5分数量积的运算律2020年天津卷，第15题,5分已知向量共线(平行)求参数用定义求向量的数量积数量积的坐标表示2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握平面向量的基本定理2.能掌握空间直角坐标系的点坐标的运算3.具备数形结合的思想意识，会建立空间直角坐标系，利用点坐标解决向量共线问题4.会利用向量点坐标的公式求解向量共线以及加减数乘问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出图形，求解向量的线性表示与模长数量积问题。知识讲解知识点一．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．知识点二．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．知识点三．平面向量的坐标运算1.向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).2.向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).知识点四．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0知识点五．平面向量基本定理的推论1.设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4.2.若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.3.平面向量基本定理的推论：①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得eq\o(OP,\s\up15(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up15(→))＋teq\o(OB,\s\up15(→)).特别地，当t＝eq\f(1,2)时，点P是线段AB的中点．②对于平面内任意一点O，有P，A，B三点共线⇔存在唯一的一对实数λ，μ，使得eq\o(OP,\s\up15(→))＝λeq\o(OA,\s\up15(→))＋μeq\o(OB,\s\up15(→))，且λ＋μ＝1.4.常用结论：已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则线段AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，△ABC的重心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).考点一、平面向量基本定理的应用1.（2022·天津·高考真题）在△ABC中，点D为AC的中点，点E满足CB=2BE.记CA=a,CB=b，用a,b表示2.（2024·陕西铜川·模拟预测）在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足CE=2EA，若AB=λA．12 B．14 C．−11.（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量e1、eA．2e1+e2和eC．3e1−e2和22.（2024·江苏扬州·模拟预测）在△ABC中，DC=2BD,M为线段AD的中点，过M的直线分别与线段AB､AC交于P､QA．16 B．13 C．123.（2024·贵州六盘水·三模）已知点O为△ABC的重心，AC=λOA+μA．−3 B．−2 C．1 D．64.（23-24高三上·天津武清·阶段练习）在△ABC中，BD=13BC，E是线段AD上的动点（与端点不重合），设A．10 B．4 C．7 D．135.（23-24高三上·江苏南京·期中）在△ABC中，已知点D满足BC=λCD，若AD=3AC6.（23-24高三上·天津和平·期末）如图，在△ABC中，BO=3OC，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N，记AB=a,AC=b，用a,b表示AO=考点二、平面向量的坐标运算1.（2024·河南·模拟预测）已知向量AB=2,−1，AC=A．−2,−1 B．0,5 C．2,−5 D．2,−12.（22-23高三·全国·对口高考）已知向量a=(3,1),b=(0,−2)．若实数k与向量cA．(3,−1) C．(−3,−1) 1.（2024·湖北武汉·二模）已知点A,B,C,D为平面内不同的四点，若BD=2DA−3DC，且2.（2024·福建泉州·模拟预测）菱形ABCD中，AB=1,t，BD=2,2，则3.（2023·内蒙古赤峰·三模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=120°，∠DAC=30°，AB=1，AC=3，AD=2，AC=xAB+y

A．23 B．2 C．3 4.（2023·江西·模拟预测）在平面四边形ABCD中，AB⊥BC,AC⊥CD,AB=BC=CD，若AC=λAB+μA．43 B．2 C．325.（2024·北京·三模）已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λ考点三、利用向量共线求参数1.（2024·内蒙古包头·三模）已知向量a=1,−1，b=m+1,2m−4，若A．4 B．3 C．2 D．12.（2024·陕西渭南·二模）已知向量a=t−3,−1，b=2,t，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件1.（2024·江西南昌·模拟预测）已知a=(1,2),b=(−1,3)，若(ka+2.（23-24高三上·江西·期中）已知平面向量a→=1,m，b→=−2,1，c→=考点四、利用向量共线求向量与点坐标1.（·上海·高考真题）已知点A1,−2，若向量AB与a=2,3同向，AB=213，则点B的坐标为2.（2024·全国·模拟预测）已知M4,−2，N−6,−4，且MP=−A．1,1 B．9,−1 C．−2,2 D．2,−11.（2024·陕西宝鸡·三模）已知向量a=(m,2)与b=(−2,−4)共线，则A．(10,8) B．(4,8) C．(0,0) D．(1,2)2.（2024·河南信阳·模拟预测）抛物线E：y2=4x的焦点为F，直线AB，CD过F分别交抛物线E于点A，B，C，D，且直线AD，BC交x轴于N，M，其中N2,0，则M3.（2024·山东泰安·模拟预测）已知向量a=3，b=1,2，且a//b4.（22-23高三·全国·对口高考）已知点A(1,−2)，若AB与a=(2,3)的夹角是180∘，|AB1．（23-24高三上·天津·期中）与向量a=3,−1和A．255B．55,C．255D．55,−2．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在△ABC中，M是AC边上一点，且AM=2MC，若BM=xA．−13 B．13 C．−3．（20-21高三上·天津红桥·期中）设0<θ<π2，向量a=sin2θ,cosθA．1 B．13 C．2 D．4．（23-24高三上·天津静海·阶段练习）已知平面内三个向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)，若(5．（21-22高三上·天津·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=2，AC=23，AD=12，∠CAB=π6，AD⋅AB=−126．（21-22高三上·全国·阶段练习）在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E为CD的中点，若EF=2FB，AF=λAB+μ7．（20-21高三上·天津·期末）如图，在边长1为正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，则AM⋅AC=，若AC=λ1．（2024·天津·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=2，AC=5，cos∠CAB=35，D是边BC上一点，且BD=2DC.若BP=34AD，记PD=λAB+μACλ,μ∈R，则2．（2024·天津·二模）在四边形ABCD中，∠A=120∘，AC=1，AB=2DC，M为AD中点．记AD=a,AB=3．（2024·天津南开·一模）平面四边形ABCD中，AB=2，∠ABC=π3，AC⊥AB，E为BC的中点，用AB和AE表示AC=4．（2024·天津河东·一模）已知△ABC，如图所示，点E为BC中点，点D满足AD=13AB，记CA=a,CB=b，用

5．（23-24高三上·天津宁河·期末）在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，AF=2FE，若设BA=a,BC=b，则BF可用a，b表示为；若6．（23-24高三上·天津·阶段练习）如图，在菱形ABCD中AB=2，∠BAD=60°，E、F分别为BC、CD上的点．CE=2EB，CF=2FD，点M在线段EF上，且满足AM=12AB+567．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=2,AC=3,AB⋅AC=3，点D是BC的中点，点E在边AC上，3AE=AC,BE交AD于点F，设BF=λAB+μACλ,μ∈R

1.（2022·全国·高考真题）在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，A．3m−2n B．−2m+3n2.（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点（如图所示），设AB=a，AD=

A．12a+b B．12a3.（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=12DE,BE=λBA+μBC，则λ+μ