第17讲 三角函数的图像与性质（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第17讲三角函数的图像与性质（10类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第7题,5分求含正弦(型)函数的值域和最值由正弦(型)函数的周期性求值2023年天津卷，第6题,5分求正弦(型)函数的最小正周期求正弦(型)函数的对称轴及对称中心求含cosx的函数的最小正周期求cosx(型)函数的对称轴及对称中心2022年天津卷，第9题,5分求sinx型三角函数的单调性，求含sinx(型)函数的值域和最值，求正弦(型)函数的最小正周期，描述正(余)弦型函数图象的变换过程2020年天津卷，第8题,5分结合三角函数的图象变换求三角函数的性质2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握三角函数的图像与性质，能够利用图像解决三角函数的定义域与值域问题2.能掌握三角函数的奇偶性与对称性问题3.具备数形结合的思想意识，会借助三角函数图像，解决平移与伸缩变换问题4.会解三角函数解析式，会根据三角函数的图像特征解决三角函数含参问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查三角函数图像特征与三角函数的周期性与对称性问题。知识讲解知识点一.三角函数的图像1．五点法作图用五点法作正弦函数和余弦函数的简图：(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(k∈Z))值域[－1，1][－1，1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数函数的最值最大值1，当且仅当x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z时取得；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z时取得；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z时取得无最大值和最小值单调性增区间：[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)；减区间：[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)](k∈Z)增区间：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；减区间：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)增区间(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)周期性周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π对称性对称中心(kπ，0)，k∈Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z对称轴x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Zx＝kπ，k∈Z无对称轴零点kπ，k∈Zkπ＋eq\f(π,2)，k∈Zkπ，k∈Z3.常用结论（1）函数y＝sinx与y＝cosx的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线．（2）正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期．正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．（3）三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．（4）对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数．知识点二.三角函数的平移与伸缩变换1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点x－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径3.两种变换的区别（1）先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq\f(|φ|,ω)(ω＞0)个单位长度．(2)变换的注意点无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．4.两种变换的注意点（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．（2）由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移eq\f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．（3）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标．5．简谐运动的有关概念与规律（1）相关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ（2）函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．（3）由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移eq\f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．考点一、三角函数的定义域1.（2024·浙江金华·模拟预测）若集合A=xsinx+π6A．A B．B C．∅ D．A∪B2.（2022高三上·河南·专题练习）函数fxA．(1,π2)∪(π2,4) B．(1,1.（22-23高三·全国·对口高考）函数y=16−A．[−4,4] B．−4,C．[−4,−π)∪(0,π2.（20-21高三上·江苏镇江·阶段练习）函数y=lnA．π6,1 B．−1,π6 C．3.（2022高三·全国·专题练习）函数fxA．0,3 B．xx<3且C．0,π2∪π24.（2024高三·全国·专题练习）函数y＝sinx−2sinx−5.（2020高三·全国·专题练习）函数y=lnsinx考点二、三角函数的值域与最值问题1.（2024高三·全国·专题练习）若x，y满足x24+y22.（2024·江苏·模拟预测）在梯形ABCD中，AB//CD,DA=DB=DC=1，则该梯形周长的最大值为1.（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数y=Asinx−ππ7π5πωx+φ0ππ3π2πA030-30根据表中数据，求：（1）实数A，ω，φ的值；（2）该函数在区间3π42.（2021·浙江·高考真题）设函数fx（1）求函数y=f（2）求函数y=f(x)fx−π4考点三、三角函数的值域与最值求参数1.（21-22高三上·辽宁大连·阶段练习）已知y=fx是奇函数，当x<0时，fx=cosx+sinx+a2.（2024·山东济宁·三模）已知函数f(x)=(3sinx+cosx)cosx−12A．[π6,π2) B．[1.（2023·四川自贡·一模）函数fx=a−3A．5π12 B．π3 C．π2.（2024·河北石家庄·二模）已知函数y=2sin(x−π4)在区间[0,a],[0,a+π3.（2023·四川成都·模拟预测）当x∈π6,m时，函数f(x)=A．π9,7C．π9,54.（2024·山东·模拟预测）若函数fx=cosx−φ+sinx+5.（23-24高三上·广东肇庆·阶段练习）已知函数fx=cosx+φφ>0在区间0,φ上的值域为−1,考点四、三角函数的周期性1.（2024·上海·高考真题）下列函数fx的最小正周期是2A．sinx+cosxC．sin2x+cos2.（2024·江苏盐城·一模）函数fxA．6π B．3π C．2π31.（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）函数fxA．π2 B．π C．2π 2.（2024高三·全国·专题练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=sin2x+πC．y=sin2x+cos3.（2024·湖北荆州·三模）函数f(x)=tanA．π B．π2 C．π3 4.（2023·广东·一模）已知函数f(x)=tanaa2+1x+φ(a>0)5.（2024高三·全国·专题练习）已知函数fn=2sinA．2025 B．2025+C．2026+2 D．考点五、三角函数的单调性1.（2024·福建泉州·一模）已知函数f(x)的周期为π，且在区间π6,πA．f(x)=sinx−πC．f(x)=sin2x−π2.（2024·全国·模拟预测）函数fxA．kπ−πC．kπ−71.（2024高三·全国·专题练习）下列函数中，以π为周期，且在区间(πA．y=sinx B．y=cos2x C．2.（2024·全国·二模）已知函数fx=cos2π3−2x，3.（2024·四川成都·模拟预测）若函数f(x)=sin(ωx)(ω>0)在0,πA．0,12 B．(0,2) C．0,14.（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)A．(1,2] B．23,43 C．5.（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数fx=sin2x+φ（0<φ<π）向左正移φA．π3 B．π2 C．π6考点六、函数的奇偶性与对称性1.（2024·河北承德·二模）函数fxA．x=π3+C．x=5π122.（2024·陕西·模拟预测）已知函数f(x)=2cosx⋅cosA．关于直线x=2π3对称 C．关于(π12,121.（2024·贵州毕节·三模）已知函数f(x)=2sinπ3−2ωx(ω>0)的最小正周期为π2.（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数Fx=sinx+φ3.（2024·湖北·三模）设函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)对任意的x(x∈R)均满足4.（2024·四川眉山·三模）若fx=2cosx+φ+5.（23-24高三下·吉林通化·期中）已知三角函数fx=sinωx+φω>0,φ∈0,π2的图象关于6.（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知函数fx=cos2x−φ，则“φ=πA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点七、三角函数比较大小1.（2024·山东日照·三模）已知a=22sin14°+cos14°，b=sin61°，A．a<c<b B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c2.（2024·河南·三模）设a=−lnsinA．a<c<b B．c<b<a C．a<b<c D．c<a<b1.（2024·云南·模拟预测）已知函数fx为R上的偶函数，且当x1,x2∈−A．c<b<a B．b<c<aC．a<b<c D．c<a<b2.（2024·山东临沂·二模）若实数a，b，c满足a=2sinπ12，bA．a<b<c B．b<c<a C．a<c<b D．b<a<c3.（2024高三·全国·专题练习）已知α，β为锐角，且α+A．sinα>sinβ B．cosα<sinβ4.（2024·全国·模拟预测）已知a=sin815，b=ln3A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a5.（2024·安徽马鞍山·三模）已知角α∈0,π4A．sinα B．cos(π−α) C．考点八、由图像确定三角函数的解析式1.（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，若∀x∈RA．1 B．2 C．3 D．42.（2024·四川·模拟预测）已知函数fxA．当x∈2π3,B．fx在区间πC．fx的最小正周期为D．fx的图象关于直线x=1.（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数fx的图象向左平移π

A．π6,π3 B．3π22.（23-24高三下·天津南开·阶段练习）已知函数fx=2sinωx+φω>0,①函数fx的最小正周期是π②函数fx在3③函数fx的图象关于直线x=④将函数fx的图象向右平移π24个单位长度后关于⑤当x∈π,5A．0 B．1 C．2 D．33.（2024·广东汕头·三模）已知A，B，C是直线y=m与函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，0<φ<π）的图象的三个交点，如图所示．其中，点A(0,2)A．φ=π4 C．f(x)的图象关于(π,0)中心对称 D．f(x)在4.（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数f(x)=4sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图，点Aπ6,2，B在fx的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形ACBD为平行四边形，且面积为2π3，则ω=5.（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=2sinωx+φω>0,0<φ<

考点九、三角函数的平移与伸缩变换1.（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数fxA．函数fx的最小正周期是B．函数fx在区间πC．函数fx的图象关于点−D．函数f(x)的图象可由函数y=2sin2x2.（2024·陕西安康·模拟预测）将函数f(x)=4sinx+3cosx的图象向右平移φ个单位长度得到函数A．35 B．45 C．−31.（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数fx=3sinx+cosx的图象向左平移φ个单位长度得到2.（2020·天津·高考真题）已知函数f(x)=sin①f(x)的最小正周期为2π；②fπ2是③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③3.（2022·天津·高考真题）已知f(x)=1①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在[−π③当x∈−π6,π④f(x)的图象可由g(x)=12sin以上四个说法中，正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．44.（2022·浙江·高考真题）为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数A．向左平移π5个单位长度 B．向右平移πC．向左平移π15个单位长度 D．向右平移π5.（2021·全国·高考真题）把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sinA．sinx2−C．sin2x−7π12考点十、三角函数的平移与伸缩变换求参1.（2024·重庆·模拟预测）已知函数f(x)=sin(4x+φ)|φ|<π2，先将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数A．12 B．−12 C．32.（2024·四川攀枝花·三模）将函数y=sin2x−A．2+π12 B．2+π6 C．1.（2024·湖北黄冈·模拟预测）函数fx=cosωx+φω>0的图象向左平移π2个单位后得到gxA．π6 B．π4 C．π32.（2024·江西景德镇·三模）函数fx=cosωxx∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数fxA．725 B．1625 C．−93.（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数f(x)=3sin2x−π3−4cos2x−π3，将f(x)的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数g(x)的图象．若A．−35 B．35 C．−4.（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f(x)=sinωx+π3+cosωx−π6(ω>0)，将f(x)图象上所有的点的横坐标缩短到原来的A．1 B．3 C．5 D．75.（2024·上海·三模）设a>0，已知函数fx=lnx2+ax+2的两个不同的零点x1、x2，满足1．（2024·云南·二模）函数f(x)=sinA．π B．π2 C．π3 2．（2024·河北保定·三模）将函数fx=sin2x−π3的图象向左平移A．sin2x B．−sin2x C．sin3．（2024·广西·二模）把函数fx=cosA．y=cos5x+1 C．y=cos5x−1 4．（2024·上海·三模）若函数fx=asinx−3cos5．（2024·上海·三模）函数y=tan(−x+π6．（2024·青海西宁·模拟预测）将函数y=4sin9x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=fx的图象，则fx7．（2024高三·全国·专题练习）设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，A>0,ω>0)．若f(x)在区间π6,π2上具有单调性，且1．（2024·四川成都·三模）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数fx=Asinωx+φ（A>0，①函数fx的图象关于点π②函数fx的解析式可以为f③函数fx在π12,④若把fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向右平移πA．①③