第14讲 函数的零点、隐零点、极值点偏移问题（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第14讲函数的零点、隐零点、极值点偏移问题（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第20题,16分利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参)2023年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题2022年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的零2021年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析2020年天津卷，第20题,16分利用导数证明不等式2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为16分【备考策略】1.理解、掌握函数零点与方程的关系2.能掌握函数零点的求解方法3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像的交点解决函数的零点问题4.会解隐零点与极值点偏移问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式解决函数的零点相关问题。知识讲解知识点一.函数零点个数问题用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断;另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决，对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围，从图象的最高点、最低点、分析函数的最值、极值;从图象的对称性，分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等。但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.知识点二.零点存在性赋值理论1.确定零点是否存在或函数有几个零点，作为客观题常转化为图象交点问题，作为解答题一般不提倡利用图象求解，而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点，赋值之所以“热”，是因为它涉及到函数领域的方方面面:讨论函数零点的个数(包括零点的存在性，唯一性);求含参函数的极值或最值;证明一类超越不等式;求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等，零点赋值基本模式是已知f(a)的符号，探求赋值点m(假定m<a)使得f(m)与f(a)异号，则在(m，a)上存在零点2.赋值点遴选要领:讲选赋值点须做到三个确保:确保参数能取到它的一切值;确保赋值点x0落在规定区间内;确保运算可行三个优先:(1)优先常数赋值点;(2)优先借助已有极值求赋值点;(3)优先简单运算.知识点三.隐零点问题1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类:一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”;另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”2.利用导数求函数的最值或单调区间，常常会把品值问题转化为求导函数的零点问题、若导数零点存在，但无法求出，我们可以设其为x0，再利用导函数单调性确定x0所在区间，最后根据f’(x0)=0，研究f(x0)，我们把这类问题称为隐零点问题.注意若f(x)中含有参数a，关系式f(x0考点一、函数零点个数问题1.（2024·四川凉山·二模）若fx=xsinx+cosA．0 B．1 C．2 D．32.（2024高三·全国·专题练习）函数f（x）＝x－sinx的零点个数为．1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝x3－x－1.(1)求证：函数f(x)在区间(1，2)内恰有一个零点；(2)将（1）中的零点记为a，且a∈n42.（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数fx(1)求函数fx在区间1,(2)判断函数fx考点二、数形结合法研究零点问题1.（2023·四川甘孜·一模）设定义在R上的函数fx是偶函数，且fx+π=fx−π，f'x是fx的导函数，当x∈0,π时，0<fA．2 B．4 C．5 D．82.（2024高三下·全国·专题练习）已知fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=A．2 B．3 C．4 D．51.（24-25高三上·广东·开学考试）若函数f(x)=sinx−cosx+ax+1(a>0)，x∈[0,2π]的图象与直线x=0,(1)求a的值；(2)求函数f(x)单调区间及最值；(3)求函数g(x)=f(x)−m在区间x∈[0,2π2.（2024·浙江·模拟预测）已知函数fx(1)当a=12时，求(2)当a=1时，判断fx3.（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数f(x)=13x(1)若fx的极小值为−286，求f(2)讨论fx考点三、含参分类讨论确定零点问题1.（2024·山东聊城·一模）已知函数fx=xex−1(1)求fx(2)求φx(3)设ℎx=fx2.（2024·湖南·二模）已函数f(x)=x3+a(1)求a−b−c的值；(2)判断函数fx1.（2024·河南郑州·三模）已知函数fx(1)若a=2，求fx在1,f(2)讨论fx2.（2024·湖北·模拟预测）函数f(x)=ae(1)当a=1时，证明：f(x)≥0；(2)讨论函数f(x)的零点个数．3.（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数fx(1)求fx(2)讨论函数gx4.（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数fx(1)求fx的图象在x=2(2)讨论函数gx考点四、已知零点个数求参数问题1.（2024·山西·三模）已知函数f(x)=2x+1x,x>0ex,x≤02.（2018·全国·高考真题）已知函数fx（1）若a=1，证明：当x≥0时，（2）若fx在(0,+∞)只有一个零点，求a1.（2017·全国·高考真题）已知函数f（1）讨论fx（2）若fx有两个零点，求a2.（2024·内蒙古包头·三模）设函数fx(1)当a=1时，求fx(2)若fx考点五、隐零点问题1.22-23高三上·河南洛阳·开学考试）（1）证明不等式：ex−2（2）已知函数f(x)=(x−2)e2.（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数fx(1)判断函数fx(2)设gx=f2x1.（22-23高三上·河北·期中）已知函数fx(1)若a=−2e−1，求(2)记函数gx=−x2−a2.（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知函数fx(1)求函数fx(2)讨论函数gx=fx−sinx在3.（2024·山东·模拟预测）已知函数fx(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线l在(2)探究fx4.（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）已知函数fx(1)求fx在0,f(2)求证：当x∈−π,+∞时，函数考点六、极值点偏移问题1.（2024高三·全国·专题练习）设函数f(x)=e(1)判断函数f(x)的单调性；(2)若x1≠x2，且2.（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数fx=ax(1)若对于任意x∈0,+∞，都有fx(2)若函数y=gx−m有两个零点x11.（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数fx(1)当a=1时，求函数y=fx(2)若关于x的方程fx=12ax22.（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数fx(1)若函数y=f'x(2)设x1,x2是函数3.（21-22高三上·广东清远·期末）已知函数f(x)=e(1)讨论f(x)的零点个数．(2)若f(x)有两个不同的零点x1,x4.（21-22高三上·北京昌平·期末）已知函数f(x)=1（1）若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（2）若函数f(x)存在两个极值点x1,x1．（22-23高三上·天津和平·期末）设函数f(x)=xex−eA．0,2 B．0,2 C．2,+∞ D．2．（2020·重庆·一模）已知fx为R上的可导函数，当x≠0时，f'x+fA．0 B．1 C．2 D．0或23．（21-22高三上·天津河北·期中）已知函数fx=xlnA．0,1 B．1,2C．2,3 D．3,44．（2024高三·全国·专题练习）函数f（x）＝2x＋x－2的零点个数是（）A．0 B．1C．2 D．36．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数fx=x2+mx+nex7．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数fx(1)求曲线y=fx在点1,f(2)求函数fx在−2,2(3)设gx=fx−a在1．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）若函数fx=ax+A．−1,3 B．−3,1 C．3,+∞ D．2．（20-21高三上·天津南开·阶段练习）设函数f(x)=lnxA．(–1e2，0) B．(–C．(–1e2，0]∪(1，+∞) D．(–3．（2023·吉林·一模）已知函数fx=exx−1,x>0且4．（2023·天津河北·一模）设k∈R，函数fx=kx2−x+1,x<05．（23-24高三上·天津河北·期中）已知函数fx(1)求曲线y=fx在点1,f(2)求函数y=fx(3)若函数gx=fx−b在区间6．（22-23高三上·天津·期中）已知函数fx=x3+a(1)求函数fx(2)若函数gx7．（21-22高三上·天津东丽·阶段练习）已知函数f(x)=ax3−6（1）若a=2，求函数f(x)的单调区间；（2）若a=−4，求函数在区间[−2,3]的最值；（3）若f(x)恰有三个零点，求a的取值范围.1.（2023·全国·高考真题）函数fx=xA．−∞,−2 B．−∞