数学课后导练：最大值与最小值问题优化的数学模型

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。一批货物随17列货车从A市以vkm/h匀速直达B市，已知两地间铁路线长为400km,为了安全，两列货车的间距不得小于（)2km，那么这批货物全部运到B市最快需要()A。6h B。8h C.10h D。12h解析:答案:B2。设a、b∈R+,若a+b=2,则+的最小值等于…（）A。1 B.3 C.2 D.4解析:因为(a+b）(+）≥2ab·2,即（a+b)（+）≥4，其中a+b=2，所以+≥2.当=,且a=b,即a=b=1时，+取得最小值2。答案:C3。下列函数中,y的最小值为4的是(）A。y=x+B。y=C.y=ex+4e—xD.y=sinx+(0＜x＜π)解析:y=ex+≥2=4,“=”成立当且仅当ex=，即x=ln2.B，D两选项“=”不能成立，A项无最小值。答案:C4。在区间［,2］上,函数f(x）=x2+bx+c（b∈R，c∈R)与g(x）=在同一点取得相同的最小值，那么f（x)在区间［，2］上的最大值是（)A. B。4 C。8 D。解析：g（x）==x++1≥2+1=5.又x∈[,2]，故当且仅当x=,即x=2∈［，2]时等号成立。所以g（x)在x=2处取得最小值5。依题意,f（x)也在x=2处取得最小值5，从而f（x）=x2+bx+c的对称轴为x=2,故—=2,b=-4,=5，c=9，f(x)=x2—4x+9=(x-2）2+5.又x∈［，2］，所以f(x）的最大值为f（)=。故选A.答案：A5。已知a＞b＞c，则与的大小关系是_________.解析：∵a-b＞0，b-c＞0，又∵,∴。答案：6。求f(x)=x2+(x2＞3）的最小值.解析：f(x）=x2+=x2+=2x2+3+=2(x2-3)++9≥6+9，当且仅当2(x2—3）=,即x2=3+时,f（x)取最小值9+6.7.设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ〈1），画面的上，下各留8cm空白,左,右各留5cm空白.怎样确定画面的高与宽的尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小？解:设画面高为xcm,宽为λxcm，则λx2=4840.设纸张面积为S，有S=(x+16）（λx+10）=λx2+（16λ+10)x+160,将代入上式，得S=5000+44(8+）.当8=,即λ=（<1）时，S取得最小值。此时，高：x==88cm，宽：λx=×88=55cm.8。某食品厂按计划每年需用鸡蛋800吨，鸡蛋的供应不能缺货，但不必每日购买,每次订货费需120元,每吨鸡蛋价格3500元，每吨鸡蛋每月贮存费90元，试制定贮存策略，即应多长时间进一次货，每次进货多少?解:设T天时间进货Q吨,每天用量R吨，单价为K元，订货费为D元，每吨日贮存费为C元.则Q=TR，总费用F(T）=360×(D+KQ+CQT)=360×(D+KTR+×CRT2）=360（D×+KR+CRT）≥360(KR+2）,当且仅当D×=CR时取等号，∴T=，Q=。对于给定的问题,将R=,C=3代入得T=6,Q=，即每6天进一次货,每次进货吨.9。某工厂今年1月，2月,3月生产某种产品的数量分别为1万件,1。2万件，1.3万件，为了估测以后每个月的产品,以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx+c(其中a,b,c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由。解：设y1=f(x）=px2+qx+r（p≠0)，y2=g（x)=a·bx+c。据已知，得及解得p=-0。05,q=0.35,r=0。7;a=-0。8,b=0。5,c=1.4.∴f(x)=-0。05x2+0。35x+0。7,g（x）=—0。8×0.5x+1.4。∴f(4)=1。3,g(4）=1。35。显然g（4）更接近于1。37,故选y=—0。8×0。5x+1.4。综合运用10。某地方政府为保护地方电子工业发展,决定对某一进口电子产品征收附加税.已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元,每年可销售40万件,若政府征收附加税率为每百元税金t元时,则每年销售将减少t万件。(1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；（2)若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元,那么附加税率应控制在什么范围内？解:(1)设每年国内销量为x万件，则销售收入为每年250x万元，征收附加税金为y=250x·t%，这里x=40-t,∴所求函数关系为y=250(40-t)·t％。（2)依题意,250（40—t）·t%≥600,即t2—25t+150≤0,∴10≤t≤15,即税率应控制在10％～15%之间。11。利民商店经销各种洗衣粉，年销售总量为6000包,每包进价2。8元，销售价3。4元,全年分若干次进货，每次进货均为x包，已知每次进货运输劳务费为62.5元,全年保管费为1.5x元.（1)把该商店经销洗衣粉一年的利润y（元）表示为每次进货量x（包)的函数，并指出函数的定义域;（2)为了使利润最大，每次应该进货多少包？解：（1)若每次进洗衣粉x包,则全年共需进洗衣粉次，而全年所需运输劳务费是×62。5=元，而全年的保管费是1.5x元，所以全年的总利润为y=(3.4-2。8）×6000-—1.5x=3600-（+),函数的定义域是{x｜0<x≤6000且x∈N}。（2）y=3600—（+)≤3600-2=2100(元).当且仅当=,即当x=500时,上式中等号成立,此时y的最大值为2100元。答：为了获得最大利润2100元，每次应进洗衣粉500包.12。某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元。(1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少?(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时,其价格可享受9折优惠（即原价的90％）,问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.解：（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉,其购买量为6x吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x+6(x—1）+…+6×2+6×1］=9x(x+1)，设平均每天所支付的总费用为y1元,则y1=［9x（x+1）+900]+6×1800=+9x+10809≥2+10809=10989。当且仅当9x=,x=10时取等号，即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少。（2)若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉。设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35）天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y元,则平均每天支传的总费用为y元，则y2=[9x（x+1）+900］+6×1800×0。90=+9x+9729（x≥35）.令f(x)=x+（x≥35)，x2〉x1≥35，则f（x1）-f（x2)=（x1+)—(x2+)=.∵x2〉x1≥35,∴x2-x1>0，x1x2〉0，100-x1x2<0。∴f(x1）—f（x2）〈0，f（x1）〈f(x2）,即f（x）=x+，当x≥35时为增函数。∴当x=35时，f（x）有最小值，此时y2<10989，∴该厂应接受此优惠条件。拓展探究13.某种名牌钢笔，每枝进货价为50元，当销售价格定为每枝x元，且50≤x≤80元，每天售出枝数，若想每天售出枝数获利最大,售价应定为每