数学课后导练：正态分布

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。如果提出统计假说：某工人制造的零件尺寸服从正态分布N(μ,σ2),当随机抽取其一个值a时，下列哪种情况中，可以说明假设不成立(）A。a∈（μ-3σ，μ+3σ）B.a(μ—3σ,μ+3σ）C.a∈（μ—2σ,μ+2σ）D。a（μ-2σ，μ+2σ)答案：B2。设随机变量ξ服从正态分布N（10，22)，且P(｜ξ-10|＜a)=0。9，则a=___________（a取整数）。答案：a=3.3.正态总体的概率密度函数f（x)=(x∈R）,则正态总体在区间（1,4）内取值的概率________________.答案:0.9974。ξ服从标准正态分布。试求:（1)P(ξ＜1。8）；(2)P（—1＜ξ＜1。5）；（3）P（ξ＞1。5）;(4)P（｜ξ｜＜2)。解析：标准正态曲线关于y轴对称,且有P（x＜x0）=Φ（x0）,Φ(-x0)=1-Φ(x0），关于Φ（x）的计算可查标准正态分布表，可得（1)P（ξ＜1.8）=Φ(1.8)=0。9641;（2）P（—1＜ξ＜1。5)=Φ(1.5）-Φ（-1）=0.9332—1+Φ（1)=0。7745；(3）P（ξ＞1.5）=1—Φ(1。5)=1-0.9332=0.0668；（4)P（｜ξ｜＜2)=Φ(2）—Φ（-2)=2Φ（2）—1=2×0。9772-1=0.9544.5。在某次人事录用考试中，某科的分数ξ—N（80,100）(满分100分)，已知某考生通过查分得知自己的成绩为92分，且排名第20名，而总共录取人数为50名，问录取分数线约为多少（若下限分数有相同者，再补充其他规定）.解析：因为ξ—N（80,100），由条件知P(ξ≥92)=1-P(ξ＜92)=1-Φ（）=1-Φ（1。2）=1-0.8849=0。1151。这说明成绩在92分和92分以上的这20名考生在全体考生中占11.51％。因此考生总数大致为≈174名,故前50名考生在全体考生中占的比例为0。2874。设第50名考生的成绩为x，则P（ξ≥x)=1—P（ξ＜x)=1-Φ(）=0。2874。Φ（）=0.7126，=0。56，解得x=85。6.所以录取分数线约为86分。综合运用6。总体密度曲线是函数f(x)=，x∈R的图象的正态总体有以下命题：(1)正态曲线关于直线x=μ对称;（2）正态曲线关于直线x=σ对称；（3）正态曲线与x轴一定不相交;（4)正态曲线与x轴一定相交，其中正确的命题是（）A。（2）（4）B.（1)(4)C。(1)(3)D。(2)（3）答案：C7。假设总体服从正态分布N(3，）时,如果要拒绝这个统计假设，则在一次试验中的取值a应落在区间____________内.答案：a∈（-∞，］∪[，+∞)。8。设随机变量ξ—N（μ,σ2），而且已知P(ξ＜0.5）=0。0793,P(ξ＞1.5）=0.7611,求μ与σ。解析:因为ξ—N（μ，σ2),所以P（ξ＜0。5）=Φ(）=0.0793,即1—Φ（）=0.0793，所以Φ(）=0。9207，查表得=1.41,易得=0.71.解方程组,得.9.假设某次数学考试成绩ξ服从正态分布N（70,102），已知第100名的成绩是60分，求第20名的成绩约是多少分？解析:由题意可知:P（ξ≥60）=1-P（ξ＜60)=1-Φ（）=1—Φ（-1）=0。8413.这说明数学成绩在60分和60分以上的考生（共100名)在全体考生中占84.13%，因此考生总数大致为≈119名,故前20名考生在全体考生中的比率大约为：≈0。1681。设t为第20名考生的成绩，则有P（ξ≥t)=1-Φ()≈0.1681。从而Φ（)≈0。8319，经查表，得≈0.96，于是第20名学生的数学成绩约为79.6分。拓展探究10。一投资者在两个设资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x(万元）分别服从正态分布N（8,32）和N（6,22），投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他应选择哪一个方案？解析：对第一个方案，有x—N(8,32)，于是P（x＞5）=1—P（x≤5）=1—F(5）=1-Φ（)=1—Φ（—1）=1-［1-Φ（1)］=Φ(1）=0.8413.对第二个方案，有x—N（6,22）,于是P（x＞5)=1-P(x≤5)=1—F（5）=1—Φ（）=1-Φ(-0.5）=Φ（0。5)=0.6915.相比之下，“利润超过5万元”的概率以第一个方案为好,可选第一个方案.备选习题11.设随机变量ξ-N（μ，σ2)，且P(ξ≤C）=P(ξ＞C），则C等于（）A。0B。σC。—μD。μ解析：由正态曲线的图象关于直线x=μ对称可得答案为D。答案：D12。某厂生产的零件外直径ξ-N（8。0,0。152）（mm），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为()A.上、下午生产情况均为正常B.上、下午生产情况均为异常C.上午生产情况正常、下午生产情况异常D.上午生产情况异常、下午生产情况正常解析：根据3σ原则,在8+3×0.15=8。45（mm）与8—3×0。15=7。55(mm）之外时为异常。答案:C13.随机变量ξ服从正态分布N(0,1),如果P（ξ＜1）=0。8413,求P（-1＜ξ＜0）。解析：∵ξ-N(0，1）,∴P(—1＜ξ＜0）=P（0＜ξ＜1)=Φ（1)-Φ（0）=0。8413—0.5=0.3413.14。将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器设定在d℃，液体的温度ξ（单位：℃)是一个随机变量，且ξ—N(d，0。52）.（1）若d=90°,求ξ＜89的概率;(2)若要保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0。99，问d至少是多少？（其中若η—N（0,1），则Φ（2）=P（η＜2)=0.9772，Φ(—2.327)=P（η＜-2。327）=0.01)。解析:（1)要求P（ξ＜89)=F（89),∴ξ—N(d,0.5)不是标准正态分布，而给出的是Φ(2），Φ（-2。327)，故需转化为标准正态分布的数值.P（ξ＜89）=F（89)=Φ()=Φ(—2)=1-Φ（2）=1—0。9772=0.0228.（2）由已知d满足0.99≤P（ξ≥80)，即1—P（ξ＜80)≥1—0.01，∴P(ξ＜80）≤0.01。∴Φ()≤0。01=Φ（-2。327）。∴≤-2.327。d≥81.1635。故d至少为81.1635。15。已知测量误差ξ—N（2,100)(cm)，必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量误差的绝对值不超过8cm的频率大于0.9？解析：设η表示n次测量中绝对误差不超过8cm的次数，则η-B(n,p).其中P=P（｜ξ|＜8）=Φ(）—Φ(）=Φ（0。6）-1+Φ（1)=0.7258—1+0。8413=0.5671.由题意，∵P(η≥1）＞0.9，n应满足P（η≥1）=1—P（η=0)=1—（1—p)n＞0.9,∴n＞.因此，至少要进行3次测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过8cm的概率大于0。9.16.某企业准备通过招聘考试招收300名职工，其中正式工280人，临时工20人，报考的人数是1675人，考试满分是400分,考试后得知，考试平均成绩μ=166分，360分以上的高分考生有31人，某考生甲得256分，问他能否录取？能否被聘为正式工？(参考数据：标准正态分布表（部分）)Φ（x0）=p(x＜x0)x00123456789……………0.90.81590.81860.82120。82130.82640.82890.83150。83400。83650。8389……………2.00.97720。97780。97830.97880。97930.97980。98030。98080.9810。9817解析:分二步解答.第一步，预测最低分线，设最低分数线为x1,考生的成绩为ξ，则对一次成功的考试来说，ξ服从正态分布。由题意知:ξ—N（166，σ）,∴η=—N(0,1）。∵高于360分考生占全体考生,∴P(ξ＞360）=P（η＞)=,∴P（η≤)=1-≈0。981,由题后附表可知=2。08，即σ=93，∴ξ-N(166,93).∵最低分数线的确定应该使录取考生的概率等于。即P(η＜)=，∴P(η≤)=1-≈0.819，查附表得=0.91.∴x1≈251,即最低分数线为251分.第二步,预测考生甲的考试名次，确定他是否能被录取，在ξ=256时,由题后附表知:P（η≤）=P(η≤）=P（η≤0.968)