2023-2024学年江苏省常州外国语附属双语学校九年级（上）竞赛数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年江苏省常州外国语附属双语学校九年级（上）竞赛数学试卷1．O、H分别是锐角△ABC的外心、垂心．证明分别存在D、E、F在边BC，CA，AB上，并且AD，BE2．已知：O、I、H为△外心、内心、垂心，OI∥BC，证明：AI⊥IH．3．如图，ABCD是圆内接四边形，AC与BD交于点P，连接EP并延长交DC于点F，点G，DE的延长线上，满足∠EAG＝∠FAD，求证：C，D，G，H四点共圆．4．已知⊙O1和⊙O2外离，PM，PN分别是⊙O1和⊙O2的切线，M，N分别是切点，且PM＝PN．直线MN再次交⊙O1，⊙O2于点A，B．直线PA，PB再次交⊙O1，⊙O2于点C，D．证明：∠BCN＝∠ADM．5．设△ABC是一个锐角三角形，AD是BC边上的高，以AD为直径的圆分别与AC，F．P是△AEF的垂心，O为△ABC的外心，P，O三点共线．

2023-2024学年江苏省常州外国语附属双语学校九年级（上）竞赛数学试卷参考答案与试题解析1．O、H分别是锐角△ABC的外心、垂心．证明分别存在D、E、F在边BC，CA，AB上，并且AD，BE【解答】证明：如图，连接AH，并延长分别交BC，M和K1，H2和H2，连接OH1，OH2和OH3，分别交BC，AC和AB于点D，连接HD．∵AN⊥BC，BM⊥AC，∴∠BCA+∠H1AC＝∠BCA+∠H2BC＝90°，∴∠H5AC＝∠H2BC，∴＝，∴∠H1BC＝∠H2BC．在△HBN和△H3BN中，∠HBN＝∠H1BN，BN＝BN1NB，∴△HBN≌△H3BN（ASA），∴HN＝H1N∴点H和H1关于BC对称，∴HD＝H2D，∴OD+DH＝OD+DH1＝OH1．同理，可得：OE+EH＝OH4，OF+FH＝OH3．∵OH1＝OH4＝OH3．∴OD+DH＝OE+EH＝OF+FH．为了证明AD，BE，连接BO，则∠OBD＝∠OCD．根据圆周角定理，∠BOD＝2∠BAN＝180°﹣5∠ABC，∵在△BOD中，根据正弦定理得：＝＝，在△COD中，根据正弦定理得：＝＝．∴＝，即：．同理可得：，．∴＝1．根据塞瓦定理的逆定理可得：AD，BE．2．已知：O、I、H为△外心、内心、垂心，OI∥BC，证明：AI⊥IH．【解答】证明：如图，⊙O为△ABC的外接圆，连接DO并延长交⊙O于点E，IN⊥AB，N、M分别为垂足，连接BD，BI，LC．由垂径定理可得：ED⊥BC，BK＝KC．又∵IM⊥BC，OI∥BC，∴四边形OKMI是矩形．由内心的性质，IM＝IN，∴OK＝IM＝IN．由圆周角定理得：∠EBD＝∠BCL＝∠BAL＝90°．点H为△ABC的垂心，则AH⊥BC．∴OK∥IM∥AH∥LC，AL∥HC，∴四边形AHCL为平行四边形，∴AH＝LC．∵OK为△BCL的中位线，∴LC＝AH＝2OK＝2IM＝3IN．在△BDI中，∠DBI＝∠IBM+∠DBC，∠BID＝∠IBN+∠BAI，点I为△ABC的内心，则∠IBM＝∠IBN，由圆周角定理可得：∠DAC＝∠DBC，∴∠DBI＝∠BID，∴BD＝ID．在Rt△DBE和Rt△INA中，由圆周角定理可知：∠E＝∠IAN，∴sinE＝sin∠IAN，即，∴，∴，∴，∵AH∥ED，∴∠IDO＝∠HAI．在△DOI和△AIH中，∠IDO＝∠HAI，，∴△DOI∽△AIH，∴∠AIH＝∠DOI＝90°，∴AI⊥IH．3．如图，ABCD是圆内接四边形，AC与BD交于点P，连接EP并延长交DC于点F，点G，DE的延长线上，满足∠EAG＝∠FAD，求证：C，D，G，H四点共圆．【解答】证明：∵四边形ADCE为圆的内接四边形，∴∠AEG＝∠ADF，∵∠EAG＝∠FAD，∴△AEG∽△ADF，∴∠G＝∠AFD，∵∠FAD+∠AFC＝180°，∴∠G+AFC＝180°，∴A，F，C，G四点共圆1．∵四边形EDCB为圆的内接四边形，∴∠HEB＝∠BCD，∵∠EBH＝∠FBC，∴△BEH∽△BFC，∴∠H＝∠BFC，∵∠BFD+∠BFC＝180°，∴∠H+∠BFD＝180°，∴B，F，D，H四点共圆2．则F是圆O4，圆O2 的一个公共点，延长FP1于点K，如图，∵ABCD是圆内接四边形，AC与BD交于点P，∴PA•PC＝PB•PD，∵PA•PC＝PF•PK，∴PF•PK＝PB•PD，∴点K也在⊙O8上，∵在⊙O1中：EK•EF＝EG•EC，在⊙O2中：EK•EF＝EH•ED，∴EH•ED＝EG•EC，∴．连接GH，∵∠GEH＝∠CED，∴△EGH∽△ECD，∴∠EGH＝∠EDC，∴C，D，G，H四点共圆．4．已知⊙O1和⊙O2外离，PM，PN分别是⊙O1和⊙O2的切线，M，N分别是切点，且PM＝PN．直线MN再次交⊙O1，⊙O2于点A，B．直线PA，PB再次交⊙O1，⊙O2于点C，D．证明：∠BCN＝∠ADM．【解答】证明：连结CM，如图，∴PM、PN分别与⊙O1、⊙O2相切，∴PC•PA＝PM2，PN2＝PB•PD，∵PM＝PN，∴PC•PA＝PB•PD．∴A、B、C、D四点共圆，∴∠PCB＝∠PDA．∵PN2＝PC•PA，∴，∵∠CPN＝∠NPA，∴△PNC∽△PAN，∴∠PNC＝∠PAN．由弦切角定理知∠PMC＝∠PAM＝∠PAN，∴∠PNC＝∠PMC，∴P、C、M、N四点共圆，∴∠PMB＝∠PMN＝∠PCN．∵PM6＝PB•PD，∴，∵∠MPB＝∠DPB，∴△PBM∽△PMD，∴∠PMB＝∠PDM，∴∠PDM＝∠PCN，∵∠PCB﹣∠PCN＝∠PDA﹣∠PDM，∴∠BCN＝∠ADM．5．设△ABC是一个锐角三角形，AD是BC边上的高，以AD为直径的圆分别与AC，F．P是△AEF的垂心，O为△ABC的外心，P，O三点共线．【解答】证明：连接并且延长AP交EF于点H，连接DE，∵P是△AEF的垂心，∴AP⊥EF，∵以AD为直径的圆分别与AC，AB交于点E，F，∴∠AHF＝∠AED＝90°，∠AFE＝∠ADE，∴∠BAP＝90°﹣∠AFE＝90°﹣∠ADE＝∠DAC，作△ABC的外接圆，连接并且延长AO交△ABC的外接圆