2024-2025学年江苏省南京某中学高三（上）暑期测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京一中高三（上）暑期测试数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若集合C=4UB且4CB=0,则称4B构成C的一个二次划分，任意给定一个正整数nN2,可以给出

整数集Z的一个n次划分[Ok，[1k，…，[n-1bl.其中同式0<i<n-1）表示除以n余数为i的所有整数构

成的集合.这样我们得到集合Z/nZ=-｛[0]n,[l]n，…，[n-l]n｝,称作模n的剩余类集.模九的剩余类集可定义

加减乘三种运算，如[2]n+[n-l]n=[2+（n-l）]n=[l]n,[0]n-[n-2]n=[0-（n-2）]n=[2]n,

[k]nx[/]„=[kxl]n=[7]n（其中/为kxI除以n的余数），根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为

乘法，因此要定义除法运算只需通过因我定义倒数就可以了，但不是所有Z/nZ中都可以定义除法运算.如果

该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域、那么下面说法错误的是（）

A.Z/ziZ能构成素域当且仅当n是素数B.[3]54-[4]5=[2]5

C.Z/2Z是最小的素域（元素个数最少）D.[2]7+[6]7=[3]7

2.“a=）+/OT（kCZ）”是“迎包也追=门+1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条伴D.既不充分也不必要条件

3.已知复数Z满足｝=g+苧3则Z,z2,Z3,…，z2020中不同的数有（）

A.4个B.6个C.2019个D.以上答案都不正确

4.若单位向量匕3满足位,3〉=120°,向量下满足0-砂l（c-b：）,则|五亮+九4皿=（）

A/3n1+/3c1+/3

A.2B-4C-2D.V3

5.17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根,并得到连分式的一个重要功能：用其逼近

实数求近似值.例如，把方程/—X—1=。改写成久=1+；①，将其再代入等式右边得到x=1+工，继

1+5

续利用①式将工再代入等式右边得到久=1反复进行，取久=1时，由此得到数列1,1+1,1+

1+率

X

乎,数列｛｝的前项中，满足|厮-

]1，1+]+1，记作｛。九｝，则当71足够大时，。久逼近头数an2024

『1+1

与马<0.005的厮的个数为（参考数据：与^«1.618）（）

A.1007B.1009C.2014D.2018

6.如图，已知正三棱台力BC-的上、下底面边长分别为4和6,侧棱长为2,点P在侧面BCC/i内运

动（包含边界），且4P与平面BCG2所成角的正切值为，则所有满足条件的动点P形成的轨迹长度为（）

A47r

A-T

B•丁

c/7r

c--

D.y

7.某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师

安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不

少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为pi，p2,且满足pi+

P2=*每局之间相互独立.记甲、乙在九轮训练中训练过关的轮数为X,若E（X）=16,则从期望的角度来

看，甲、乙两人训练的轮数至少为（）

A.27B.24C.32D.28

8.已知函数/（%）=s讥X+仇％,将/（%）的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列｛/｝,对于VziC

密,则下列说法中正确的是（）

A.H7T<<（71+1）7T

B.Xn+1-Xn<71

C.数列｛1%-若划|｝是递增数列

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.如图所示，在五面体48CDE尸中，四边形A8CD是矩形，

DCE均是等边三角形，且4B=2，^,EF=x（x>0）,贝心）

A.£77/平面A8CD

B.二面角力-EF-B随着光的减小而减小

C.当BC=2时，五面体力BCDEF的体积U（x）最大值为年

D.当BC=|时，存在x使得半径为r的球能内含于五面体力BCDEF

10.已知椭圆的：£+'=1（的>b>0）,双曲线C2：U=>0也>0），椭圆G与双曲线。2有

共同的焦点，离心率分别为ei，e2,椭圆G与双曲线在第一象限的交点为P且N&PF2=（贝女）

A.若e［=苧，则02=V-3

B.登+式的最小值为1+，吾

c.△尸小尸2的内心为/，/到y轴的距离为。2

D.A6PF2的内心为/,过右焦点尸2作直线P/的垂线，垂足为。，点。的轨迹为圆

11.已知函数/(%)定义域为R，满足/(X+2)=g/Q),当一l3x<l时，/(x)=|x|.若函数y=/(X)的图象

与函数g(x)=&［导］(―2023WKW2023)的图象的交点为(右,月)，(x2,y2),....(xn,yn),(其中［幻表示

不超过x的最大整数)，贝1()

A.g。)是偶函数B.n=2024

C.£%v=0D.£L%=21oi2-2TOII

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.%2+y2_aXy+%+y=1是双曲线，求a的范围____.

13.若数列｛a九｝满足对任意九EN*,数列｛a九｝的前九2项至少有几项大于几，且a九20,则称数列｛%；｝具有性质

M2.若存在具有性质M2的数列｛厮｝,使得其前几项和九工福恒成立，则整数2的最小值是.

14.黎曼猜想由数学家波恩哈德-黎曼于1859年提出，是至今仍末解决的世界难匙.黎曼猜想研究的对象

是类似于出)-述-s=*+»/+…的无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和.+»»...+

白入手.请你回答以下问题：

n5

1111

(1)［正+/+9+—I"而^］=;(其中［x］表水不超过久的最大整数，如［—3.5］=4,［2］=2.)

(2)已知正项数列｛(1九｝的前几项和为S几，且满足S九=(<1九+2)，则£+—F-7——］=______.

乙的131、232023

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数f(%)=aex~r—x—1.

(1)讨论/(%)的单调性.

(2)证明：当。之1时，/(%)+x-Inx>

1

(3)证明：e~i>ln(n+1)+n.

16.(本小题15分)

有几个元素，将其中相同的元素归成一类，共有k类，这k类元素中每类分别中q,r2,加个，rr+r2+

…+加<"，将这几个元素全部取出的排列叫做几个不尽相异元素的全排列.

（1）求上述几个不尽相异的元素的全排列数；

（2）由结论（1）,回答“1个球队与10个球队各比赛1次，共有10场比赛，问五胜三负二平的可能情形有多少

种？”

17.（本小题15分）

如图1,在梯形力BCD中，AB//CD,E是线段4B上的一点，BE=CD=CE=<2,BC=2,将△力DE沿

DE翻折至UAPDE的位置.

（1）如图2,若二面角P—ED—B为直二面角，M,N分别是BC,PE的中点，若直线与平面P8C所成角

为氏sin9>苧,求平面P8C与平面PEC所成锐二面角的余弦值的取值范围；

（2）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点K为线段CE的中点，G,“分

别在线段PK,CD上（不包含端点），且GH为PK,CD的公垂线，如图3所示，记四面体CKGH的内切球半径

为r,证明：，>2忌+告）.

18.（本小题17分）

己知动点P与定点4（犯0）的距离和P到定直线尤=：的距离的比为常数蓝，其中m>0,n>0,且m力n,

记点尸的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明轨迹的形状；

（2）设点B（-皿0）,若曲线C,上两动点M,N均在x轴上方，AM//BN,且4N与BM相交于点Q.

①当根=2，I,n=4时，求证：患+高的值及△力8Q的周长均为定值；

（ii）当小>九时，记A4BQ的面积为S,其内切圆半径为r,试探究是否存在常数4,使得S=初恒成立？若

存在，求；1（用a,n表示）；若不存在，请说明理由.

19.（本小题17分）

对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.

若一个平面图形K在爪（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记爪为K

的一个对称变换,例如，正三角形R在小式绕中心。作120。的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所

以机i是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记机1=(；：Q；又如，R在

。(关于对称轴q所在直线的反射)的作用下仍然与R重合(如图1图3所示)，所以I1也是R的一个对称变换,

类似地，记人=(；2.记正三角形R的所有对称变换构成集合S.

一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：

I.Va,bEG,aObEG;

II.Va,b,ceG,(aOb)Oc=aO(bOc)；

III.Be6G,VaeG,aOe=eOa=a;

IV.VaEG,3a-1GG,aOa-1=a-1Oa=e.

对于一个群G,称m中的e为群G的单位元，称W中的a-1为a在群G中的逆元.

一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算。来说作成一个群.

(1)直接写出集合S(用符号语言表示S中的元素)；

⑵同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如113=0Jn)=

eIj)=(!\=(ii。对于集合s中的元素，定义一种新运算*,规则如下：

Q"虑a»}={瓦也也}

={cl>c2>C3)={1,2,3}.

①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；

②已知H是群G的一个子群，e,e'分别是G,H的单位元，a€H,a-1,优分别是a在群G,群”中的逆元.

猜想e,e'之间的关系以及a-1，a'之间的关系，并给出证明；

③写出群S的所有子群.

131

图1图2图3

参考答案

l.D

2.A

3.B

4.C

5.D

6.A

7.4

8.D

9.ACD

10.AC

11.BC

12.(一oo,—2)U(2,+8)

13.2

14.188

15.解：xGR,

当aWO时，f'{x}<0,所以函数/'(久)在R上单调递减，

当a>0时，令f'(x)=aex~1—1=0,解得x—1—Ina,

令［(x)>0,解得x>1—Ina,即f(x)在Q.—ma,+8)上单调递增,

令<0,得x<1—Ina,即/'(x)在(―8,1—伍a)上单调递减，

综上所述，当aWO时，函数”久)在R上单调递减，

当a>0时,/(x)在(-8,1—Zna)上单调递减,在(1—Zna,+8)上单调递增.

(2)证明：令g(x)=/(x)+x—伍x=ae^T—伍久一1,xE(0,+oo),

g'CO=ae*T-%

令九(%)="(%),a>1,

则/(、)=aex~r+^>0,

所以g'(%)在(0,+8)上单调递增，

当a=1时，g'(x)=ex~r—

又“⑴=0,

所以。€(0,1)g'(x)<0,即g(%)单调递减,

xE(1,+8),“(%)>0,即g(%)单调递增，

所以g(x)>g(l)=e°-,1一1=0,而此时空多=°，

所以当。=1时，/(%)+%一仇无之一^-成立,

当a>1时，可得工-1<0,ea-1<1,

a

一1111

所以g'(£)=ae^T—a-a(ea-14—1)<0,

又“⑴=a—l>0,

所以存在％oE(1,1),使得g'(%o)=0,即ae~T=L,

CLXQ

%£(O,%o),“(%)V0,g(%)单调递减，

%£(&,+8),“(%)>0,g。)单调递增，

•••g(x)>g(%o)=ae&T-lnx0-1,

由ae%oT=l可得，g(%)>xQ—2+Ina>2/x0•——2+Ina=Ina,

xo%o\xo

下面证明,a>2。a>1,

令9(X)=Inx—H%>1，

⑺=」5-(2j-2)(%T)2

>0,

x(x+l)x(x+l)2

所以0(%)在(1,+8)上单调递增,

•••(p(x)>0⑴=0,

即"a>得证，即g(%)=/(x)+x-Inx>成立，

综上所述，当a>1时，/(%)+x-Inx>成立.

(3)证明：由(2),当a=l时，有/(%)+%—仇无之0,gpex-1>Inx+1,

令％=巴口，nEN*,得前>In巴口+1=ln(n+1)—Inn+1,

nnvz

11

•••e+e2+—I-en>ln2—Ini+Zn3—ln2+Zn4—/n3+—I-ln(n+1)—Inn+n,

11

••・e+e2+—Fen>ln(n+1)+n,

1

即£忆1即>ln(n+l)+n.

16.解：(1)假定几个不尽相异元素的所有排列数有N种，在每种排列中，如果把相同的元素,

当成不相同的元素，则n个元素的所有排列数可增加为N--4苒……4:种；

另一方面，几个不同的元素的全排列有41种，

N.4?.X；2.….=线即N=7~

万万rkn4?4|…礁rv\r2'.-rk\

即得n个不尽相异元素的全排列数.

(2)将比赛结果的胜、负、平看作三种元素，按题意，10场比赛的结果是五胜三负二平，

即是一个不尽相异元素的全排列，由(1)知，共有越=2520种可能情况.

BE=CD=CE=y[2,BC=2,

设PE=t(t>0),

•••F(0,0,0),C(l,l,0),D(0,2,0),P(0,t,t).N(0,■，苧t)，

ZZ44

MN=(-L苧t,苧t)廊=(-1，苧t+1,与t)，

BC=(0,2,0),丽=(0,苧t,苧t),正=(1,1,0).

设平面PBC的法向量声=

%•BC=0得2yl=o

由f+亭+1加+%=o,取…得一吸。,1)，

,n7-BP=0

・•・sinO=同|丽一ji+¥j；+*—j4+6t2+8可

解得，<t<2.

设平面PEC的法向量底=(x2,y2,z2)f

由｛f五n?.~前pf=0o,得(|x2苧+皿丫2+=苧°tZ2=0

取小=1，得五=

设平面P8C与平面PEC所成锐二面角为a,

向词_争+1_1（争+1）2_1（2/2V2+1/6

贝kosa=

I同I可―国好+i_可7+i_qTTf干）

・•・平面PBC与平面PEC所成锐二面角余弦值的取值范围是(耳匚,?).

(2)证明：S是四面体的表面积，VK_CGH^^S-r,令KG与面CGH所成角为a,

VK_CGH=^GHCH-KGsina<^GH-CH-KG,

66

11

SCHC=.GH,SKHC=^KG-GH,

•••GH是公垂线，CD上的点和PK上的点的最短距离是GH,

ScKG>SKGH，SCKH>SCHG（取不到等号），

S>CH-GH+KG-GHGH-（CH+KG）,^GH-CH-KG>^GH-（CH+KG）-r,

63

4>2（击+击）

18.解：(1)设点P(x,y),由题意可知J(~7：+y2=

I，m।

即(%—m)2+y2=(；%_九)2,

22

经化简，得C的方程为马+uJ=l，

当m<71时，曲线C是焦点在％轴上的椭圆；

当相>71时，曲线C是焦点在％轴上的双曲线.

(2)设点MQ1，%),N(%2，y2)，用'(％3，%)，其中%>0,、2>0且％3=-％2,丫3=一丫2,

⑴证明：由(1)可知C的方程为最+占=1,2(22,0),8(—2"0),

loO

因为力M〃BN,所以T^=T^=T7^=*^，

—2V2%2~1~2V2—%2—2V2—2V2

22Z

因此，M,A,M'三点共线，且|BN|=J(尤2+2，1)2+及=J(-x2-272)+(-y2)=|XM|,

设直线MM'的方程为％=ty+2/1,联立C的方程，得(户+2»2+4，1b一8=0,

则yi+%=一震,y/3=一号'

由(1)可知|4M|=竿氏1—黑I=4—停=\AM'\=4—苧叼，

一苧丁苧尢)一苧-苧)

所以患+患=|4M|+|BN|_(41)+(43_(2ty1)+(2t>3

MMHBNI一("苧巧)(4-*9—(2子丁)(2子坟3)

4一苧©1+为4一争•(一震)

=1(定值),

2

4-V^t(y1+y3)+1ty1y34-<2t-(-善p+好-(--^)

由椭圆定义|BQ|+\QM\+\MA\=8,得|QM|=8-田Q|-|4M|,

..AM//BN,四1=31=8—|BQ|一|4M|

.AM〃&W,.•出N|-四一\BQ\

(8-\AM\y\BN\

解得田Q|=

\AM\+\BN\

(8-\BN\\\AM\

同理可得

MQ|=~\AM\+\BN\~

斫以“Cl+IRCI—(8-|8N|>|4M|(8-\AM\y\BN\

所以MQI+EQI-MM|+|BN|+MM|+|8N|

_8(|4M|+|BN|)-2|4MHBN|

—\AM\+\BN\

2

=8----1------=8—2=6.

Wi+|F/V)

因为|4B|=4，I,所以AABQ的周长为6+4/1(定值).

22

(ii)当zn>n时，曲线C的方程为今—+”=1,轨迹为双曲线,

nzmz—nz

根据⑴的证明，同理可得M,4M'三点共线，且|BN|=MM'|,

设直线MM'的方程为久=sy+zn,联立C的方程,

222222222

得[(TH?—n)s—n]y+2sm(m—n)y+(m—n)=0,

._2sm(m2—n2)_(m2—n2)2(、

,,J71.(源—几2)S2—TI2，％乃(m2—n2)s2—n2........(*)'

因为|4M|=^x1-n,\BN\=\AM'\=^x3-n,

所以，।1=1।1=|4M|+|4M'|

771八14Ml\BN\\AM\\AM'\\AM\-\AM'\

（I2X1_n）+（!2X3_n）（驷y+Z^）+（吗+E^）

（和一几）学3一磔一喘/+吟马（23+牛马

_等3+%)+吟敬,

警百力+吟®01+匕)+%登，

将(*)代入上式，化简得焉+焉=¥，，

、'\AM\\BN\m^—n^

由双曲线的定义|BQ|+\QM\-\MA\=2n,得|QM|=2n+\AM\-\BQ\,

相提|4M|_|QM|解徨IRCI_(.2n+\AM\\\BN\

根据两"W,解侍IBQI-MM+|BN|,

同理根据需;=湍，解得阿=写端冲，

斫以MCI*IRHI-

^+\BN\y\AM\(2n+\AM\y\BN\_2n+2\AM\-\BN\

所以MQI+|BQI-MM+|BN|+\AM\+\BN\-\AM\+\BN\

22

Q.2Q.TH2f2m+n

=2n+—i----1—=2n4----------

1I17In

]AM\'T'\BN\

_i

由内切圆性质可知，S=^(\AB\+\AQ\+\BQ\)-r,

当S="时，A=h\AB\+\AQ\+|BQ|）=m+常数）.

乙乙乙ri

因此，存在常数4使得S=方恒成立，且4=驾直.

19.解析：（1）由题设可知，正三角形R的对称变换如下:

绕中心。作120。的旋转变换mi=（；:绕中心。作240。的旋转变换机2=©I:

J.乙/''4•_）.L'

绕中心。作360。的旋转变换爪3