2024年人教版七年级数学下册同步讲义：有理数

专题1.2有理数

考点1：有理数分类

考点2:相反数定义及其应用缴

考点3:数轴的定义及应用

考点4:绝对值的几何意义及应用

考点5：有理数大小的比较1

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1.有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）

⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数，0,负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。①兀是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限

小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3,整数也能化成分数，也是有理数

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类

⑴按有理数的意义分类

‘正整数

像数J0

♦整数

有理数＜

正分数

超数V

出分数

⑵按正、负来分

「正整数

j正有理数＜

、正分数2

有理数〈0（0不能忽视）

「负整数

、负有理数4

〔负分数

总结：①正整数、。统称为非负整数（也叫自然数）；②负整数、。统称为非正整数；③正有理数、0统称为

非负有理数；④负有理数、0统称为非正有理数；

3.数轴

（1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：①数轴是一条向两端无限延伸的直线；②原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；

③同一数轴上的单位长度要统一；④数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

（2）数轴上的点与有理数的关系

①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的

点表示，0用原点表示。

②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴

上的点不是—一对应关系。（如，数轴上的点兀不是有理数）

（3）利用数轴表示两数大小

①在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；

②正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数；

③两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

（4）数轴上特殊的最大（小）数

①最小的自然数是0,无最大的自然数;

②最小的正整数是1,无最大的正整数；

③最大的负整数是-1,无最小的负整数

(5)a可以表示什么数

①a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；

②a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0

③a=0表示a是0；反之，a是0,,则a=0

4.相反数

(1)相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

(2)相反数的性质与判定

①任何数都有相反数，且只有一个；

②0的相反数是0；

③互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数，即a,b互为相反数，则a+b=0

(3)相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点

(0除外)在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。

说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

(4)相反数的求法

①求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号即可求得(如：5的相反数是-5)；

②求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添然后化简(如；5a+b的相反数是-(5a+b)。化

简得-5a-b)；

③求前面带“「的单个数，也应先用括号括起来再添然后化简（如：-5的相反数是-（-5）,化简得5）

（5）相反数的表示方法

①一般地，数a的相反数是-a,其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）

当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）

当a=0时,-a=0,（0的相反数是0）

5.绝对值

①绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作间。

②绝对值的代数定义

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

可用字母表示为：

如果a>0,那么|a|=a；如果a<0,那么|a|=-a；③如果a=0,那么|a|=0。

可归纳为①：a>0,<=>|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）

②k0,<=>|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）

6.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大

典例：（2022•全国•七年级）把下列各数填在相应的集合里：3,-1,-2,0.5,-0.75,0,30%,

n.

负数集合：｛__________________

整数集合：｛...｝;

正有理数集合：｛__________________

巩固练习

1.（2022・全国•七年级）在-1,0,1,-5；这四个数中，属于负整数的是（）

A.—1B.0C.1D.—5—

3

2.（2022•全国•七年级课时练习）下列说法正确的是（）

A.正有理数和负有理数组成全体有理数B.零既不是正数，也不是负数

C.0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D.在有理数中，零的意义表示没有

3.（2022•广西河池•七年级期末）下列各数中，是负整数的是（）

,1

A.+1B.-2C.——D.0

2

4.（2022•全国•七年级专题练习）在表中符合条件的空格里画上"V".

有理数整数分数正整数负分数自然数

-8是

—225是

3

《是

。是

3221

5.（2022・全国•七年级课时练习）在数+8,+丁0.275,2,0,-1.04,亍,-8,-100,中，负分数有

,非负整数有.

考点2：相反数定义及其应用

典例：（2022•吉林吉林•一模）如图，数轴上的整数。被"冰墩墩"遮挡，贝心的相反数是（）

-2-101,工3

A.-1B.-2C.1D.2

巩固练习

1.（2022•浙江宁波•中考真题）一2022的相反数是（）

11

A.-2022B.----C.2022

20222022

2.（2022•江苏泰州•二模）若a的相反数是-5,那么。=（)

A.5B.-5C.0D.10

3.（2022•辽宁营口・中考真题）-2的相反数是

4.（2022・全国•七年级专题练习）判断下列说法是否正确：

（1）-3是相反数；

（2）+3是相反数;

⑶3是-3的相反数；

⑷一3与+3互为相反数.

5.（2022•全国•七年级专题练习）求出下列各数，并在数轴上把它们表示出来:

（1）3的相反数；

（2）-2的相反数；

⑶-1g的相反数的相反数；

⑷0的相反数.

考点3：数轴的定义及应用

典例：（2022•全国•七年级课时练习）如图1,点A,B,C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数

为-5,b,4,某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点4发现点B对应刻度1.8cm,

点C对齐刻度5.4cm.则数轴上点B所对应的数6为（）

图1图2

A.3B.-1C.-2D.-3

巩固练习

1.（2021•广西•靖西市教学研究室七年级期中）下面表示数轴的图中，正确的是（）

A.B---101~*

-101

C.D

1--101

2.（2022•河北承德•二模）如图，数轴的单位长度为1,如果点B表示的数是4,那么点A表示的数是（）

A

B

A.1B.0C.-2D.-4

3.（2022•河北邯郸•三模）如图，数轴上的两个点分别表示数〃和一2,则〃可以是（

a

A

A.l3C.1D.2

4.（2022•河北•模拟预测）在数轴上，点M,N在原点。的两侧，分别表示数a,3,将点/向左平移2个

单位长度，得到点P,若OP=2OM则。的值为（）

A.-1B.-2C.13D.-4

5.（2020・湖南•常德市第七中学七年级期中）数轴上一点A表示的数为一7,当点A在数轴上滑动2个单位

后所表示的数是.

考点4：绝对值的几何意义及应用

典例：（2022・福建,厦门市湖里中学模拟预测）如图，某数轴的单位长度为1.5,如果点A,8表示的数的绝

对值相等，那么点A表示的数是（）

，4I-III-I力I-I----->

AB

A.-2B.-3C.-4.5D.0

巩固练习

1.（2022•辽宁•中考真题）-2022的绝对值是（)

11

A.-2022B.2022C.-------D.-------

2022-----------------------2022

2.（2022•山西阳泉•七年级期末）我们这样研究一个数的绝对值的性质：当a>0时，如|a|=|2|=2,止匕时a

的绝对值是它本身；当。=0时，如|。|=0,此时a的绝对值是0；当a<0时，如|a|=|-2|=2,此时a的绝

对值是它的相反数.这种分析问题的方法所体现的数学思想是（）

A.分类讨论思想B.公理化思想C.数形结合思想D.转化思想

3.（2022•山东青岛•一模）若X的绝对值是3,则X的值是（）

1

A.3B.-3C.+3D.—

3

4.（2022•黑龙江•哈尔滨德强学校期中）绝对值等于11的数是

5.（2022•江苏泰州•中考真题）若x=-3,则国的值为.

考点5：有理数大小的比较

典例：（2022•浙江温州•九年级开学考试）比-1大的数是（）

A.-3B.0C.--D.-1.5

9

巩固练习

1.（2022•全国•七年级课时练习）几种气体的液化温度（标准大气压）如表:其中液化温度最低的气体是（）

气体氧气氢气氮气氯气

液化温度回-183-253-195.8-268

A.氨气B.氮气C.氢气D.氧气

2

2.（2022•浙江•瑞安市安阳镇滨江中学三模）数1,0,--2中最小的是（）

2，.

A.1B.0C.D.—2

3

3.（2022・广西•靖西市教学研究室七年级期中）下列各组数中，比较大小正确的是（）

2144

A.|-TI^|-7TIB.-|-3-|=-（-3一）

131121111111

54

C.-|-8|>7D.--

65

4.（2022•黑龙江・哈尔滨工业大学附属中学校期中）比较大小：一4.3-3.4

5.（2021,河南南阳•七年级期中）如图，给出了未来一周中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是多

少？最高气温呢？请先将这七天中每天的最低气温在数轴上表示出来，再按从低到高的顺序排列.

M能力提升

一、单选题（每题3分）

1.（2021•黑龙江•逊克县教师进修学校一模）下列各数既不是正数也不是负数的是（）

A.-1B.0C.1D.n

2.（2022•黑龙江•哈尔滨市第六十九中学校期中）-5的相反数是（）.

11

A.—5B.5C.-D.—

55

3.（2022・河南•新乡市第一中学九年级期中）若x的相反数是5,则x的值是（）

1厂

A.-5B.——C.5D.±5

5

4.（2022•广西桂林•中考真题）-3的绝对值是（）

1

A.3B.-C.0D.-3

3

5.（2022•北京・中考真题）实数a〃在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

ab

।।■।ii.ii.

-3-2-10123

A.aV—2B.b<lC.a>bD.—a>b

6.（2022・河北唐山•二模）在数轴上与原点的距离大于8的点对应的x满足（）

A.-8<尤<8B.x<-8ngx>8C.x<8D.x>8

二、填空题（每题3分）

7.（2022•河南省实验中学一模）请写出一个小于11的正整数.

8.（2022•广西钦州•七年级期末）相反数等于它本身的数是.

o3

9.（2022•黑龙江•哈尔滨市第六十九中学校期中）用">号填空：

10.（2021•北京・临川学校七年级期中）在数4.3,-|,I0I,-I-3I,-（+5）中，

是正数

11.（2022•江西景德镇•七年级期末）已知数轴上有一点A表示的数是-5,将点A向右移动4个