2025中考数学专项复习：旋转两种解题模型（含答案）

2025中考数学专项复习旋转两种解题模

型

旋转两种解题模型

目录

解题知识必备

压轴题型讲练

题型一:奔驰模型

题型二:费马点模型

压轴能力测评

♦♦解题知识必备♦♦

模型一:奔驰模型

旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类题型,

提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点：旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题

模型二:费马点模型

如图，以aABC的三边向外分别作等边三角形，然后把外

面的三个顶点与原三角形的相对顶点相连，交于点P,点

尸就是原三角形的费马点.

♦值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型,目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所

以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。

”压轴题型讲练”

题型一:奔驰模型

一.选择题（共1小题）

1.（2020秋•顺平县期中）如图，P是等边三角形48。内的一点，且E4=3,=4,PC=5,将AABP绕

点B顺时针旋转60°到AC8Q位置.连接PQ,则以下结论错误的是（）

A.ZQPB=60°B.APQC=90°C.ZAPS=150°D.ZAFC=135°

二.填空题（共4小题）

2.（2023秋•北屯市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知AAOB是等边三角形，点A的坐标是（0,

6）,点B在第一象限，AOAB的平分线交力轴于点P,把A40P绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO

与AB重合，得到AABD,连接DP.则DP=,。点坐标为.

3.（2023秋・长宁区校级期中）已知在AABC中，乙4cB=90°,AB=20,sinB=Wl（如图），把AABC绕

5

着点C按顺时针方向旋转a°（0<a<360）,将点A、B的对应点分别记为点4、"，如果444Y7为直角

三角形，那么点人与点曰的距离为.

____________即

4.（2022秋•新抚区期中）如图，正方形ABC©中，将边AB绕着点A旋转，当点B落在边CD的垂直平分

线上的点E处时，/BE。的度数为.

5.（2021秋•盘龙区校级期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3,PB=4,PC=5,以为

边在AABC外作NBQCx'BPA,连接尸Q,则以下结论中正确有（填序号）

①ABPQ是等边三角形②APCQ是直角三角形③乙4pB=150°④乙4PC=135°

三.解答题（共6小题）

6.（2022秋•西湖区校级期中）如图，一块等腰直角的三角板48。,在水平桌面上绕点。按顺时针方向旋转

到ACDE的位置，使A,C,。三点在同一直线上，连接4E,求4位4的度数.

7.（2021秋・长乐区期中）在放AABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,将A4BC绕点B顺时针旋

转一定的角度得到ADBE,点A,。的对应点分别是。，及连接AD.

⑴如图1,当点E恰好在边人口上时，求NADE的大小;

⑵如图2,若F为人。中点，求C尸的最大值.

8.（2022秋・东胜区校级期中）（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题:如图1,P是正

方形ABCD内一点，连结P4,PB,PC现将AB4口绕点B顺时针旋转90°得到的△PCB,连接PP.

地PA=6,PB=3,ZAPB=135°，则PC的长为，正方形ABCD的边长为.

（变式猜想）（2）如图2,若点P是等边^ABC内的一点，且9=3,可=4,。。=5,请猜想AAPB的度

数,并说明理由.

（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：

如图3,在四边形ABCD中，AD=3,CD=2,NACB=N4DC=45°,则RD的长度为

9.（2023秋•梁山县期中）如图，P是正三角形ABC内的一点，且上4=6,PB=8,PC=10.若将AR4C

绕点A逆时针旋转后,得到^P'AB.

（1）求点P与点尸’之间的距离；

（2）求NAPB的度数.

10.（2020秋•黄石期中）下面是一道例题及其解答过程,请补充完整.

（1）如图1,在等边三角形ABC内部有一点。，24=3,。6=4,/3。=5,求/4?8的度数.

11.（2023秋•罗山县期中）阅读与理解:如图1,等边ABDE（边长为a）按如图所示方式设置.

操作与证明：

（1）操作：固定等边ZL4BC（边长为b）,将ABDE绕点、B按逆时针方向旋转120°,连接A。，无,如图2；在

图2中，请直接写出线段CE与之间具有怎样的大小关系.

（2）操作：若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度a（60°<aV180°）,连接AD,

CE,AD与CE相交于点双，连BA7,如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？

NEMD的度数是多少？证明你的结论.

猜想与发现：

（3）根据上面的操作过程,请你猜想在旋转过程中，当a为多少度时，线段的长度最大,最大是多少？

当a为多少度时，线段入。的长度最小,最小是多少？

题型二:费马点模型

一.选择题（共1小题）

1.（2023秋•萧山区期中）如图，已知乙氏4。=60°,48=4,47=6,点P在A4BC内，将AAPC绕着点人

逆时针方向旋转60°得到A4EF.则AE+PB+PC的最小值为（）

A.10B.2V19C.5V3D.2V13

二.解答题（共2小题）

2.（台州期中）（1）知识储备

①如图1,已知点P为等边A4BC外接圆的上任意一点.求证：P8+PC=a4.

②定义：在AABC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为的

费马点,此时PA+PB+PC的值为AABC的费马距离.

（2）知识迁移

①我们有如下探寻"（其中ZA,NB,NC均小于120°）的费马点和费马距离的方法：n

如图2,在kABC的外部以BC为边长作等边ABCD及其外接圆，根据⑴的结论，易知线段

AD的长度即为XABC的费马距离.

②在图3中，用不同于图2的方法作出AABC的费马点P（要求尺规作图）.

（3）知识应用

①判断题（正确的打V,错误的打X）：

「任意三角形的费马点有且只有一个；

ii.任意三角形的费马点一定在三角形的内部.

②已知正方形ABCD,P是正方形内部一点，且24++PC的最小值为V6+V2,求正方形ABCD

的

边长.

图2

3.（宿豫区校级期中）探究问题：

（1）阅读理解：

①如图（A）,在已知A46c所在平面上存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为

AABC的费马点，此时E4+PB+PC的值为&ABC的费马距离；

②如图（B）,若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有+=此为托勒密

定理；

（2）知识迁移;

①请你利用托勒密定理,解决如下问题：

如图（C）,已知点P为等边A4BC外接圆的BC上任意一点.求证：PB+PC=PA；

②根据⑵①的结论，我们有如下探寻A4BC（其中N4ZB,/C均小于120°）的费马点和费马距离的方

法：

第一步:如图（。）,在bABC的外部以BC为边长作等边ABCD及其外接圆;r

第二步：在BC上任取一点P',连接P'A,P'B,PC、P'D.易知P'A+P'B+P'C=P'A+（P'B+

P'C）=P'A+；

第三步:请你根据（1）①中定义，在图（O）中找出kABC的费马点P,并请指出线段的长度即为

△ABC的费马距离.

D

（图C）（®D）

（3）知识应用：

2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓

的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.

已知三村庄A、B、。构成了如图（E）所示的ZL4BC（其中乙4、45、NC均小于120°）,现选取一点P打

水井，使从水井P到三村庄A、B、。所铺设的输水管总长度最小,求输水管总长度的最小值.

4km

（图E）

”压轴能力测评”

1.（连城县期中）（1）如图1,点P是等边A4BC内一点，已知E4=3,P8=4,PC=5,求乙4PB的度数.

要直接求/A的度数显然很困难,注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三

边集中到一个三角形内，如图2,作NPAD=60°使4D=AP,连接尸。，CD,则AR4O是等边三角形.

/.=AD=AP=3,AADP=APAD=60°

A4BC是等边三角形

/.AC=AB,ABAC=60°

ABAP=

AABP4AACD

:.BP=CD=4,=AADC

•.•在APCD中，PD=3,PC=5,CD=4,PEP+CEP=PC"

：.ZPDC=°

AAPB=AADC=AADP+APDC=60°+90°=150°V4

（2）如图3,在AABC中，=/4BC=90°,点P是AABC内一点，B4=1,尸8=2,PC=3,求

NAP8的度数.

2.（西城区校级期中）如图，？是等边山4口。内的一点,且片4=5,尸口=4,9。=3,将44?38绕点8逆时

针旋转，得到ACQB.求：

（1）点P与点Q之间的距离；

（2）求/BPC的度数.

3.（汉阳区期中）如图，P是等腰ZL4BC内一点，=连接P4,PB,PC.

⑴如图1,当2ABe=90°时,将APAB绕B点顺时针旋转90°,画出旋转后的图形；

⑵在⑴中，若上4=2,尸B=4,PC=6,求乙4PB的大小；

（3）当乙48。=60°时，且_B4=3,PB=4,PC=5,则A4PC的面积是jV3+3（直接

填答案）

4.（汉阳区期中）（1）阅读证明

①如图1,在A4BC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小,则称点P为AABC：

的费马点,此时融+PB+PC的值为'ABC的费马距离.

②如图2,已知点P为等边A4BC外接圆的BC上任意一点.求证：+PC=Q4.

（2）知识迁移」

____________F

根据⑴的结论，我们有如下探寻“口。（其中ZA,NB,NC均小于120°）的费马点和费马距离的方法：

第一步:如图3,在AABC的外部以为边长作等边ABCD及其外接圆；

第二步：在市上取一点品，连接品入，P0B,P0C,P0D.易知几人+巳口+媪。=舄4+（品3+舄。）=

PQA+;

第三步:根据（1）①中定义，在图3中找出kABC的费马点P,线段的长度即为^ABC的费马距

离.

（3）知识应用

已知三村庄。构成了如图4所示的A4BC（其中乙4,乙8,NC均小于120°）,现选取一点尸打水

井，使水井尸到三村庄A，B,。所铺设的输水管总长度最小.求输水管总长度的最小值.

5.（当涂县校级期中）如图，点P是等边A4BC外一点，上4=3,PB=4,PC=5

（1）将AAPC绕点A逆时针旋转60°得到△BAG，画出旋转后的图形；

（2）在（1）的图形中，求乙4PB的度数.

_________/

旋转两种解题模型

目录

解题知识必备

压轴题型训箍

题型一:奔融模型

题型二:费马点模型

压轴能力漏评

♦♦解题知识必备♦♦

模型一:奔驰模型

旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类题型,

提升利用旋转解决问题的能力，更直要的是要明白一点：旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题

模型二:费马点模型

费马点作法

如图，以aABC的三边向外分别作等边三角形，然后把外

面的三个顶点与原三角形的相对顶点相连，交于点P,点

尸就是原三角形的费马点.

♦值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型,目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所

以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。

”压轴题型讲练”

题型一:奔驰模型

一.选择题（共1小题）

1.（2020秋•顺平县期中）如图，P是等边三角形48。内的一点，且E4=3,=4,PC=5,将AABP绕

点B顺时针旋转60°到AC8Q位置.连接PQ,则以下结论错误的是（）

A.ZQPB=60°B.APQC=90°C.ZAPS=150°D.ZAFC=135°

【分析】根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断B;依据ABPQ是等边三角形，即可得到

AQPB=APBQ=ABQP=60°,进而得出ABPA=ABQC=60°+90°=150°,求出AQPC=15°即可判断D

选项.

【解答】解：•.•△ABC是等边三角形，

/ABC=60°,

•.•将AABP绕点B顺时针旋转60°到ACBQ位置,

：.ABQCMABPA,

：.NBPA=NBQC,BP=BQ=4,QC=B4=3,4ABp=4QBC,

NPBQ=ZPBC+/LCBQ=NPBC+NABP=NABC=60°,

ABFQ是等边三角形，

PQ=BP=4,

•：PQ2+QC2=^+32=25,PC'2=52=25,

：.PQ2+QC2PC2,

：.4PQC=90°,即APQC是直角三角形，故B正确，

•••ABPQ是等边三角形，

/.NQPB=APBQ=ZBQP=60°,故A正确，

/.ABPA=2BQC=600+90°=150°,故。正确,

若/4PC=135°,则ZQPC=360°-135°-150°-60°=15°,与_R4=3,PB=4,PC=5不符，故选项。错误.

故选：D.

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推

理的能力.

二.填空题（共4小题）

_____________________________B

2.(2023秋•北屯市校级期中)如图，在平面直角坐标系中，已知^AOB是等边三角形，点A的坐标是(0,

6),点8在第一象限，ZOAB的平分线交c轴于点P,把^AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO

与AB重合，得到A4BD,连接DP.则DP=泵^，。点坐标为.

【分析】根据等边三角形的每一个角都是60°可得60°,然后根据对应边的夹角2OAB为旋转角求出

APAD=60°,再判断出^APD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得DP=AP,根据，AOAB

的平分线交c轴于点P,/OAP=30°,利用三角函数求出AP,从而得到DP,再求出/OAD=90°,然后写出

点。的坐标即可.

【解答】解：•.•AAOB是等边三角形，

.,.ZOAB=60°,

•/^AOP绕着点A按逆时针方向旋转边AO与4B重合，

/.旋转角=AOAB=APAD=60°,AD=AP,

：.AAPD是等边三角形，

:.DP=AP,ZPAD^60°,

•/A的坐标是(0,6),ZOAB的平分线交力轴于点P,

ZOAP=30°,AO—6,

.-.OF=273,

AP=4V3,

DP=AP=4V3,

•/ZOAP=30°,ZPAD=60°,

/OAD=30°+60°=90°,

.•.点。的坐标为(4V3,6).

故答案为：DP=4V3:点。的坐标为(4V3,6).

【点评】本题考查了旋转的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性质并判

断出AAPD是等边三角形是解题的关键.

3.(2023秋・长宁区校级期中)已知在AABC中，ZACB=90°,48=20,sin8=艰(如图)，把AABC绕

着点。按顺时针方向旋转a°(0<a<360),将点A、B的对应点分别记为点A、E,如果A44C为直角

三角形，那么点A与点9的距离为4、或行.

【分析】根据△A4C为直角三角形，分两种情况：①当点在线段ACCA延长线上时，△44，。为直角三角

形；②当点4在线段8。上时，△A4。为直角三角形，依据线段的和差关系进行计算即可得到点A与点日

的距离.

【解答】解：分两种情况：

①当点9在线段CA延长线上时，4c为直角三角形，

NACB=90°,AB=20,sinB=铝，

5

AC=ABx项=20x叁=4V5,

55

A'C=4^5,BC=VAB^CA2=8V5=B'C,

：.AB'=B'C-AC=8V5-4V5=475;

②当点H在线段BC上时，△44。为直角三角形，

同理可得，3C=8啰，AC=4方，

AB'=AC+B'C=8V5+4V5=12V5;

综上所述，点A与点的距离为4V5或12V5.

故答案为：电狗或12遍.

【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，运用分类思想是本题的关键.

4.（2022秋・新抚区期中）如图，正方形ABCD中，将边AB绕着点A旋转，当点B落在边CD的垂直平分

线上的点E处时，/BE。的度数为45°或135°.

【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和线段垂直平分线的性质可得ABEC是等边三角形，由等腰三角形的

性质可求解.

【解答】解:如图，当点E在向1的右边时，

•.♦AW是CD的垂直平分线，四边形ABCD是正方形，

.•.朋N垂直平分BA,

：.BE-EA,

•.•将边BA绕着点A旋转，

：.BA^AE,

：.ABE4是等边三角形，

/EBA=/BEA=60°,

:.NCBE=/EAD=30°,

,：AB^AD^AE,

乙4ED=75°,

ABED=75°+60°=135°;

当点E'在BA的左边时，

同理可得是等边三角形，

/.BA=BE\ABE'A=60°=AABE',

：./DAE，=150°,

•：AB^AD^AE',

：.AAE'B=15°,

：./BE'0=45°,

ABED的度数为45°或135°.

故答案为：45°或135°.

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关

键.

5.（2021秋•盘龙区校级期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且R4=3,PB=4,PC=5,以为

边在'ABC外作l\BQC=bBPA,连接尸Q,则以下结论中正确有①②③（填序号）

①ABPQ是等边三角形②APCQ是直角三角形③乙4尸B=150°④N4PC=135°

【分析】根据等边三角形性质得出/ABC=60°,根据全等得出ZBPA=/BQC,BP=BQ=4,QC=PA=

3,乙4BP=/QBC,求出/PBQ=60°,即可判断①，根据勾股定理的逆定理即可判断②；求出ZBQF=60°,

APQC=90°,即可判断③，求出AAPC+AQPC=150°和PQWQC判断④.

【解答】解：•.•AABC是等边三角形，

/4BC=60°,

•/ABQCxkBPA,

：.NBPA=NBQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,AABP=AQBC,

：.NPBQ=APBC+ACBQ=ZPBC+NABP=AABC=60°,

AAErQ是等边三角形，

PQ=BP=4,

•.•PQ2+QC2=42+32=25,FC2=52=25,

PQ2+QC2=PC2,

：.ZPQC=90°,即APQC是直角三角形，

•••ABFQ是等边三角形，

/./BOQ=/BQP=60°,

ABPA=NBQC=60°+90°=150°,

/.AAPC=360°-150°-60°-ZQPC=150°-ZQPC,

•：ZQPC>30°,

即ZAPC<135°,

故答案为：①②③.

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，掌握全等三角形的性质、等边三角形

的判定定理、勾股定理的逆定理是解题的关键.

三.解答题（共6小题）

6.（2022秋•西湖区校级期中）如图，一块等腰直角的三角板ABC,在水平桌面上绕点。按顺时针方向旋转

到bCDE的位置，使A,C,。三点在同一直线上，连接AE,求NDEA的度数.

【分析】由已知直接可得旋转中心为点C,旋转的度数为135°,而NCAE+/CEA=45°,AC=CE,即得

2CAE=ACEA=22.5°,由此即可求出ZDEA的度数.

【解答】解：•.•等腰直角三角板ABC,在水平桌面上绕点。按顺时针方向旋转到XCDE的位置，

旋转中心为点。，旋转的度数为135°,

•/NECD=/ACB=45°,

：.ACAE+ACEA=45°,

•：AC=CE,

ACAE=ACEA=22.5°,

NDAE的度数为22.5°,

NDEA=90°-22.5°=67.5°.

【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题,解题的关键是掌握等腰直角三角形性质及旋转的性质.

7.（2021秋・长乐区期中）在放AABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,将A4BC绕点B顺时针旋

转一定的角度得到ADBE,点A,。的对应点分别是。，及连接AD.

（1）如图1,当点E恰好在边AB上时,求AADE的大小;

⑵如图2,若F为中点，求CF的最大值.

图2

【分析】（1）由旋转可得：=NEBD=NCBA=30°,乙4cB=90°,再运用三角形内角和定理

即可得出答案；

（2）如图2,连接利用等腰三角形的性质证明乙4斤8=90°,然后证明A、C、B、F四点共圆，接着利用圆

是圆中最长的弦即可求解.

【解答】解：（1）如图1,•.•△ABC绕点3顺时针旋转&得到ADEB,点、E恰好在AB上,

：.BA=BD.AEBD=ZCBA=30°./DEB=ZACB=90°.

ABAD=ZBDA=75°,

：.ZADE=9Q°-75°=15\

⑵如图2,连接BF,

•.•氏4=m，9为4D中点，

：.BF±AD,

：.ZAFB=90°,

而乙4cB=90°,

.,.A、C、B、F四点共圆，

AB为这个圆的直径，CF为这个圆的一条弦,图2

VAC=4,/ABC=30°,

AB—8,

.,.CF的最大值为8.

【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了含30°角的直角三角形的性质，有一定的综合性.

8.（2022秋・东胜区校级期中）（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题:如图1,P是正

方形ABCD内一点，连结PA,PB,PC现将^PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△PCB,连接PP,.

若弘=方，P8=3,NAPB=135°，则PC的长为2"，正方形ABCD的边长为.

（变式猜想）（2）如图2,若点P是等边^ABC内的一点，且9=3,可=4,。。=5,请猜想AAPB的度

数,并说明理由.

（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：

如图3,在四边形ABCD中，AD=3,CD=2,NACB=N4DC=45°,则RD的长度为

【分析】（1）由旋转的性质得BP=BP，=3,P，C=PA=0APBP'=90°,4BP，C=AAPB=135°,则

^BPP'为等腰直角三角形，再由勾股定理得PC=2/K,过点A作AE_LBP交BP的延长线于E,则^AEP

是等腰直角三角形，得AE=PE=1,得BE=4,然后由勾股定理即可求解；

（2）由旋转的性质得^BPP'是等边三角形，则PP=BP=4,/BPP=60°,AP=3,AP=PC=5,再由勾

股定理的逆定理得A4PP为直角三角形，即可求解；

⑶由旋转的性质得AK=AD=3,CK=BD,/KAD=90°,则ADAK是等腰直角三角形，得。K=，

AADK=45°,再证ACDK=90°，即可解决问题.

【解答】解：（1）绕点B顺时针旋转90°得到的△PCB,

ABP=BP=3,P'C=PA=0APBP'=90°,ABP'C=AAPB=135°,

.,.△BPP为等腰直角三角形，R

ABP'P=45°,PP'=V2PB=3A/2,

A4PP'C=135°-45°=90°,

在中，由勾股定理得：2(方(

Rt/\PP'CPC=yJPP'-+P'C=J3y+2y=2A/5

过点A作AE_LBP交BP的延长线于E,如图1所示：

•//APB=135°,

zLAPE=180°-135°=45°,

^AEP是等腰直南三角形，

:.AE=PE=卓=亨x0=1,

...BE=PB+PE=3+1=4,

在R1AAEB中，由勾股定理得：AB=JAE?+=/俨+42=4y,图1

故答案为：2方，，行；

（2）ZAPB的度数为150°,理由如下：

­.•AABC是等边三角形，

AB=BC,/ABC=60°,

将ABPC绕点B逆时针旋转60°,得至I/\BP'A,连接PP'，如图2所示：

则ABPP是等边三角形，4

PP'=BP=4,ZBPP'=60°,..--X

•：AP=3,AP'=PC=5,p，:二二/I\

P'P2+AP2=AP'2,\7/p\\

：.AAPP，为直角三角形，\/

AAPP'=90°,B^C

/APB=/LAPP'+ZBPP'=90°+60°=150°;图2

（3）VAABC=AACB=/ADC=45°,

ABAC是等腰直角三角形，

ABAC=90°,AB=AC,7

将AABO绕点人顺时针旋转90°,得到连接。K,

如图3所示：?；

由旋转的性质得：AK=AD=3,CK=BD,/K4O=90°,/；

ADAK是等腰直角三角形，

:.DK=6AD=36,AADK=45。，\

A4CDK=AADC+AADK^45°+45°=90°,\ZB

，ACDK是直角三角形，c

CK=y/DK^+CD2=V（3V2）2+22=V22,图3

BD=V22,

故答案为：，药.

【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角

形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质

是解题的关键，属于中考常考题型.

9.（2023秋•梁山县期中）如图，P是正三角形4BC内的一点，且上4=6,P8=8,PC=10.若将AR4C

绕点A逆时针旋转后,得到△PAB.

（1）求点P与点P之间的距离；

⑵求乙4PB的度数.

【分析】（1）由已知绕点A逆时针旋转后，得到△。弘3,可得47%。会/\"48,曰=_?9，旋转角

AP'AP=ABAC=60°,所以^APP'为等边三角形，即可求得PP;

⑵由^APP'为等边三角形，得/4PP'=60°,在/\PP'B中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，

得出ZPPB=90°,可求NAPB的度数.

【解答】解：（1）连接PP,由题意可知BP=PC=10,AP'=AP,

ZPAC=ZP'AB,而ZPAC+/BAP=60°,

所以ZB4P=60度.故AAPP为等边三角形，

所以PP=AP=4P'=6;

（2）利用勾股定理的逆定理可知：

PP松+BP2=BP'2，所以^BPP'为直角三角形，且ABPP'=90°

可求ZAPS=90°+60°=150°.

【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变.

10.（2020秋・黄石期中）下面是一道例题及其解答过程,请补充完整.

（1）如图1,在等边三角形ABC内部有一点P,e4=3,P8=4,PC=5,求的度数.

解:将AAPC绕点A逆时针旋转60°,得到△APB,连接PP,则AAPP为等边三角形.

,:PP=PA=3,PB=4,P，B=PC=5,

：.P'P2+PB2=P'B\

：.^BPP'为直角三角形.

/.乙4PB的度数为.

（2）类比延伸

如图2,在正方形ABCD内部有一点P,若/APD=135°,试判断线段E4、PB、P。之间的数量关系，并说明

理由.

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得到ABFP为直角三角形，且/BPP=90°,即可得到乙4PB的度数；

⑵把^ADP绕点A顺时针旋转90°得到AABF',根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得：

PB=PD,PA=_R4,然后求出AAPP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出FF,2=2B42,：

/PPA=45°,再求出/PPB=90°,然后利用勾股定理得出PP'2+P32=PB2,等量代换得出2B42+PD2=：

PB2.：

【解答】解：⑴如图1,将^APC绕点A逆时针旋转60°,得至IA4P_B,连_接PP_'，则A_4P_P为_等边_三角形.F：

•：PP'=PA=3,PB=4：,P'B=PC=5,

：.P'P2+PB2^P'B2.

：.ABPP为直角三角形.

/./APB的度数为90°+60°=150°.

故答案为：直角；150°;

+PD2PB2.理由如下：

如图2,

把^ADP绕点A顺时针旋转90°得到AABP，,连接PP'.

则P'B=PD,P'A=PA,ZB4F,=90°,P'

/.^APP'是等腰直角三角形，图2

/.PP'2=B42+Pd=2B42,APP'A=45°,

•.•/APD=135°,

/./AP'B=/APD=135°,

/.APP'B=135°-45°=90°,

在Rt/SPP'B中，由勾股定理得，PP'2+P'B2=PB2,

：.2B42+PD2=PB\

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对

应点到旋转中心的距离相等.也考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理.

11.（2023秋•罗山县期中）阅读与理解:如图1,等边ABDE（边长为a）按如图所示方式设置.

操作与证明：

（1）操作：固定等边A46C（边长为b）,将ABDE绕点B按逆时针方向旋转120°,连接4D,CE,如图2；在

图2中，请直接写出线段CE与之间具有怎样的大小关系.

（2）操作：若将图1中的kBDE,绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度«（60°<«<180°）,连接AD,

CE,40与CE相交于点河，连如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？

NEMO的度数是多少？证明你的结论.

猜想与发现：

（3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，当a为多少度时，线段AD的长度最大,最大是多少？

当a为多少度时，线段入。的长度最小,最小是多少？

【分析】（1）利用SAS证明AEBCwADBA即可；

⑵利用SAS证明dEBC=ADBA,得EC=AD,4CEB=NADB，再利用三角形内角和定理可得答案;

（3）点。在以点B为圆心，BD长为半径的圆上运动，当三点共线时，AD最长或最短.

【解答】解：(1)EC=AD;

•.•将^BDE绕点B按逆时针方向旋转120°,

AZABD=NCBE,

(BD=BE

在AEBC和ADBA中，(4ABD=4CBE,

[AB^BC

：.^EBC=^DBA(SAS)>,

:.EC=AD;

⑵EC=AD,/EMD=60°,理由如下：

设AD与BE交于点O,

将ABDE绕点B按逆时针方向旋转4度,

ZEBC=ZDBA=a,

•：AABC与ABDE是等边三角形，

:.BC=AB,BD=BE,

：.^EBC=^DBA(SAS)>,

：.EC=AD,ACEB=AADB,

4EOM=4DOB,

：.AEMD=ZEBD=60°,

⑶由旋转的性质可知，点。在以点口为圆心，BD长为半径的圆上运动，当A,D,B三点共线时，AD最长或

最短.

当a为：180°时，线段AO的长度最大，等于a+6;当a为0°（或360°）时，线段AO的长度最小，等于a—6.

【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平

分线的判定等知识，证明XEBC"DBA是解题的关键.

题型二:费马点模型

一.选择题（共1小题）

1.（2023秋・萧山区期中）如图，已知ABAC=60°,48=4,47=6,点P在A4BC内，将AAPC绕着点A

逆时针方向旋转60°得到AAEF.则4E+PB+PC的最小值为（）

A.10B.2V19C.5V3D.2V13

【分析】连接BF,过点3作8。_1AF,与AF的延长线交于点。，由旋转可知424E=/CAF=60°,AP=

AE,PC=EF,AC=AF=6,于是可得AAPE为等边三角形，进而得到AE+PB+PC^PE+PB+EF>

利用含30度的直角三角形性质可得人。=/48=2,=最后利用勾股定理求出BF

的长即可.

【解答】解:如图，连接BF,过点B作BD_LAF,与AF的延长线交于点D,

则/ADB=90°,-

•/将^APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到^AEF,

/B4E=/CAF=60°,AP^AE,PC=EF,AC=AF=6,

AAAPE为等边三角形，

:.AE=PE,

：.AE+PB+PC^PE+PB+EF,

,：PB+PE+EF^BF,

：.当点B、P、E在同一条直线上时，PB+PE+EF取得最小值为BF,

即AE+PB+PC取得最小值为BF,

ZR4C=60°=/CAE,

/BAD=60°,

A/ABD=30°,

AD==2,BD=V3AD=2^/3,

DF^AD+AF^2+6=8,

在RtABDF中，BF=y/Blf+DF2=V（2A/3）2+82=2V19,

AE+PB+PC取得最小值为

故选：B.

【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质、勾股定理，熟练掌

握旋转的性质是解题关键.

二.解答题（共2小题）

2.（台州期中）（1）知识储备

①如图1,已知点P为等边A4BC外接圆的上任意一点.求证：P8+PC=R1.

②定义:在A4BC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为A4BC的

费马点，此时R4+PB+PC的值为AABC的费马距离.

（2）知识迁移

①我们有如下探寻“口。（其中乙4,NB,NC均小于120°）的费马点和费马距离的方法：

如图2,在A4BC的外部以为边长作等边ABCD及其外接圆，根据⑴的结论，易知线段

AD的长度即为bABC的费马距离.

②在图3中，用不同于图2的方法作出AABC的费马点P（要求尺规作图）.

（3）知识应用

①判断题（正确的打V