佳木斯市某中学2024-2025学年高二年级上册（10月份）月考数学试卷（含答案）

佳木斯市第一中学校2024-

2025学年高二上学期（10月份）月考数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、选择题

1.直线的一个方向向量为芯=（1,-3）,且经过点（0,2）,则直线的方程为（）

A.3x-y+2=0B.3x+y-2=0C.3x+y+2=0D.3x-y-2=0

22

2.已知方程工+工=i表示椭圆，则/的取值范围是（）

4-tt-1

A.l</<4或*</<4C./>4或/<1D./>4

22

3.下列说法正确的是（）

A.E?=k不能表示过点”（石,必）且斜率为左的直线方程

B.在x轴、y轴上的截距分别为a,，的直线方程为二+上=1

ab

C.直线y=Ax+b与y轴的交点到原点的距离为b

D.设2（-2,2）,5（1,1）,若直线/:办+了+1=0与线段23有交点，贝Ija的取值范围是

（-co,-2）

4.椭圆三+/=1伍〉1）的离心率为七，则0=（）

a2

A.空■B.V2C.V3

D.2

3

5.已知直线/的斜率左则该直线的倾斜角a的取值范围为（）

AT-,—1B.k-luf—C,F-,—

_34JL3JL4）164_L6jL4

6.经过两条直线2x—y+l=0和x+y+2=0的交点，且与直线2x+3y=0平行的直线

的方程为（）

A.2x+3y-5=0B.2X+3J+5=0C.2x+3y+1=0D.2x-3y-l=0

7.已知0为直线/:x+2y+l=0上的动点，点P满足存=（1,-3），记尸的轨迹为E,则（

）

A.E是一个半径为柄的圆B.E是一条与/相交的直线

C.E上的点到/的距离均为指D.E是两条平行直线

2

8.已知椭圆c：,+/=l的左、右两个顶点为4B,点、M2,AG是48的四等

分点，分别过这三点作斜率为左（左。0）的一组平行线，交椭圆C于片，鸟，…，Pb,则

直线修，…，4P6,这6条直线的斜率乘积为（）

A.--B.--C.8D.64

864

二、多项选择题

9.已知圆。:丁+产―6x+4y_3=0，则下列说法正确的是（）

A.圆C的半径为16

B.圆C截x轴所得的弦长为4G

C.圆C与圆£：（工一6）2+5-2）2=1相外切

D.若圆C上有且仅有两点到直线3x+4y+加=0的距离为1,则实数机的取值范围是

（19,24）U（-26,-21）

10.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的

平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为

直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中2（-2,0）,8（2,0）,满足

|R4|=2|0石的点尸的轨迹为C,则下列结论正确的是（）

A.点尸的轨迹是以为圆心，外=|为半径的圆

B.轨迹C上的点到直线3x-4y+5=0的最小距离为;

C.若点（x,y）在轨迹C上，则％+后的最小值是-2

D.圆必+（4=4与轨迹。有公共点，则a的取值范围是—还<a<^-

,33

22

11.已知椭圆0：5+三=1，耳，耳分别为它的左右焦点，点48分别为它的左右顶

点，已知定点。（4,2）,点尸是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）

A.存在点P,使得/原隼=120。B.直线尸/与直线口斜率乘积为定值

Cj^|+晨^有最小值g口.|尸@+|尸片|的范围为[2&7,12]

三、填空题

12.已知直线/经过点尸(1,0),圆。：/+/+2%—6y+6=0,若直线/与圆C相切，则直

线/的方程为.

13.已知圆C：(x-iy+(y_2y=i，若从点/(3,5)发出的光线经过直线4：

x+j-l=0,反射后恰好平分圆C的圆周，反射光线所在直线的方程是.

22

14.已知产是椭圆0:二+齐=l(a〉b〉0)上一点，小鸟是C的两个焦点，

两•班=0，点。在/月尸耳的平分线上，。为原点，OQHPF],且[0。=26.则。的离

心率为.

四、解答题

15.平面直角坐标系中，圆〃的方程为(x—2)?+/=1，圆N的方程为(x+2)2+/=49

,动圆尸与圆N内切，与圆〃外切.

⑴求动圆尸的圆心的轨迹方程；

⑵当NMPN=60。时，求1PM忖叫的大小.

16.已知圆C的圆心在x+.y=0上，点2(2,0)在圆C上，且圆C与直线x——v—4=0相切.

⑴求圆C的标准方程；

(2)过点Z和点(3,2)的直线/交圆C于4E两点，求弦m目的长.

17.已知直线4：y=2x-1,直线4与直线4垂直，且直线人,2的交点的横坐标与纵坐

标相等.

(1)求直线4的方程；

⑵若直线/被直线4，42所截得的线段恰好被点尸(2,-2)平分，求直线/的方程.

18.已知圆C:x2—mx+y2+2(2-/M)J+=0,meR.

(1)证明：圆C过定点；

(2)当机=0时，点尸为直线/：菱+上=1上的动点，过尸作圆C的两条切线，切点分别为Z

,B,求四边形尸ZCB面积最小值，并写出此时直线Z3的方程.

19.已知椭圆0：《+片=1伍〉10)的长轴长为20，离心率为也.

a2b22

⑴求椭圆C的方程；

22

⑵若椭圆1+4=1伍〉6〉0)上点(%,%)处的切线方程是誓+岑=1，

abab

①过直线/：x=2上一点朋引。的两条切线，切点分别是尸、Q，求证：直线尸。恒过定

点N；

②是否存在实数4，使得|/训+|°叫=川尸啊|纱|,若存在，求出4的值，若不存在,

说明理由.

参考答案

1.答案：B

解析：方法一•.•直线的一个方向向量为芯=(1,-3),.•.左=-3，

直线的方程为y=-3x+2,即3x+y-2=0.

方法二由题意知直线的一个法向量为方=(3,1),

直线的方程可设为3x+j+C=0,将点(0,2)代入得C=-2，

故所求直线的方程为3x+y-2=0.

故选：B

2.答案：B

,f4-r>0

解析：因为方程上—=i表示椭圆，所以,解得1*或*<4，

4-tt-1A22

故选：B.

3.答案：A

解析：对于选项A：由三^=左可知XHXJ所以不过点加(匹,乂)，故选项A正确，

对于选项B：当q=b=0时，在x轴、了轴上的截距分别为0的直线不可用二+上=1表示

ab

,故选项B错误，

对于选项C：直线了=丘+6与y轴的交点为(0/),到原点的距离为例，故选项C错误,

对于选项D：直线/方程可化为y=-1,恒过定点尸(0,-1),画出图形，如图所示，

若直线/:ax+y+l=O与线段4g有交点，贝1J—a22，或-aW-g，

即aW-2或。之乡，故选项D错误,

2

故选：A.

4.答案：A

2

解析：由椭圆的标准方程二+/=1伍〉1)可知〃=1,所以02=/_1.又离心率

a

C1二匚［、1/-11A77ZB24八八

e=—二一，所以—；—二一，斛得a二一，所以a=-----.故选A.

a2a1433

5.答案：B

解析：直线倾斜角为。，贝！］。£［0,兀)，

由一IV左V百可得一14tana<G，

所以0,—U—,TI\

L3」［4)

故选：B.

6.答案：B

解析：联立［2x7+1=°,解得F=-1

即交点为(-1,-1),

x+y+2=0［y=-1

因为直线2x+3y=0的斜率为-g,

所以，所求直线的方程为y+l=-g(x+l)，即2x+3y+5=0.

故选：B.

7.答案：C

解析:设尸("),由毋=(1,-3)，则。(x-1)+3),

由。在直线/:%+2y+l=0上，故工一1+2(歹+3)+1=0,

化简得1+2歹+6=0,即P的轨迹为£为直线且与直线/平行，

£上的点到/的距离d=16Tl=亚,故A、B、D错误，C正确.

A/12+22

故选：C.

8.答案：A

解析：如图,

左右顶点的坐标分别为N(-a,O),8(a,0),设椭圆上任意一点坐标为尸(天,先),

2

且尸不与/、8重合，则左.左=」——2V=

a■厂Dr22

%+ax0-axG-a

又尸(x0,%)在椭圆上,故与+4=1，所以一缚=一0片一吟,

abaa

贝ukAp-kBP=2yo2=~~i，

x0-aa

kk

所以演q=AP6，BP6=kAp、，:.kAp、-kAp6

同理可得k-k=k-k=-2

zAiPZj/A1PZ4/AIPZg/iIZP2。

二直线”…仍这6条直线的斜率乘积m

故选：A.

9.答案：BC

解析：由圆C:x2+y2_6x+4y-3=0，可得圆c的标准方程为(x-3)2+(y+2『=16,

所以圆C的半径为4,故A错误；

令了=0,得》2_6》_3=0，设圆。与x轴交点的横坐标分别为可，々，

则X],是必一6》_3=0的两个根，所以西+/=6,XjX2=-3>

所以W—q=+毛)2—4%也=4c,故B正确；

两圆圆心距|C£|=J(6—3)2+(2+2)2=5=4+1，故C正确；

由圆C上有且仅有两点到直线3x+4.y+机=0的距禺为1,

|3x3+4x(-2)+7”

则3<<5，解得14(加<24或一26(根<—16,

'-A/32+42''-

即实数机的取值范围是(14,24)U(-26,-16),故D错误.

故选：BC.

10.答案：ACD

解析：设尸(xj),由户旬=2|08|=(x+2)2+「=4［(x—2)2+/,

整理得、号1+/=墨显然点尸的轨迹是以C律为圆心，r=|为半径的圆,

故A正确；

圆心到直线3x-4y+5=0的距离3x§-0+58,

3>r=—

3

所以轨迹C上的点到直线3》-4了+5=0的最小距离为4-「=3-g=［，故B错误;

号,0)至U直线/=x+Gy的距离

=x+yfiy>易知圆心C

26］，故C正确;

-----------LG4不

易知圆/+3一02=4的半径为2,则其与轨迹C相交或相外切时符合题意,

,解之得—逑v迤，故D正确.

故选：ACD

11.答案：BCD

22

解析：对于A中，由椭圆c.上+匕=1，可得口=5，6=3，c=4＞

259

且tan4co=：=g＜G，可得/片。。＜60。，所以2公尸鸟＜120。，所以A错误；

对于B中,设尸(x/),则|^+弓_=1，且2(—5,0),5(5,0),可得X?—25=—等",

yyy2y29

kpAkpB-2--

^\'x+5x-5-X-25-25225为定值，所以B正确•

F

对于C中，由椭圆的定义，可得|尸制+|尸月|=10,

则」一+m-U」一+至)”+河。」(26+n+至闿〕

1

1Ml叫io1附I।明■为2”ioc附II^I)

、

PFA25336_18

>—26+2

10I*KIJ10

当且仅当露甯时，即附|=5附|=方时等号成立,所以C正确.

对于D中，由点。在椭圆外,设直线。片，。耳与椭圆相交于耳，P],

如图所示，则(|P2|+附％=|*+\PXQ\=\QF\=a4+0+22=2后,

因为|Q阂=2,且|尸@+|尸周=2a+|尸0卜|尸闾=10+|尸0卜|尸阊,

可得间卜匹归绥|，即|尸。卜|叫＜2，

所以(|尸。|+|尸片|)厘=10+㈤。|—上闯=10+|。段=12,

所以|00|+|产片归[2万,12],所以D正确.

故选：BCD.

12.答案:%=1或5%+12歹-5=0

解析：将圆C：/+/+2x_6y+6=0的方程化为标准方程为（x+Q—3『=4,

所以圆心坐标为C（-l,3）,半径y=2，

0^Jl2+02+2xl-6x0+6>0>所以点尸（1,0）在圆。外，

当直线/的斜率不存在时，即直线为x=l，

圆心C（-l,3）到直线x=l的距离为2,符合题意；

当直线/的斜率存在时，设直线方程为y=左（》-1）,即Ax-y-k=0,

所以圆心C（—1,3）到直线fcc—y—左=0的距离=

整理：12k+5=0，解得上=-』，

12

所以直线为一』x—y+9=0，即5x+12y—5=0,

1212

综上所述：直线/的方程为％=1或5x+12y-5=0.

13.答案：4x-5y+6=0

解析：如图所示，由圆c：（x_i『+（y_2）2=l，可得圆心为

设M（3,5）关于直线/2：x+y-l=0的对称点为N（x/）,

2^=1

则满足x—3解得％=—44=—2,即N(—4,—2)，

贮+9-1=0

I22

因为反射后恰好平分圆。的圆周，所以反射光线经过N,C两点,

又由“C=；；；；=（'所以反射光线的方程为y-2=g（x-1），即4x-5y+6=0.

14.答案：叵

6

解析：如图，设户用=加，忸勾=〃，延长OQ交Pg于幺，

由题意知。0〃/当，。为月片的中点，故Z为尸鸟中点，

又两•至=0，即尸大，尸巴，则/大尸鸟=NQ4P=],

又点。在/月尸鸟的平分线上，则NQR4=e，故是等腰直角三角形,

因此|/。|=|尸/|=；俨玛|=；〃，

则|CM|=g|P用=g加=|OQ|+HQ|=26+g〃,

可得，m—n=4b，

又卢片|+|尸耳|=2Q,则加+〃=2a,

m=a+2b

因此可得＜

n=a-2b

又在Rt△尸片片中，户用2+「用2=1片用2,贝1]/+〃2=402,

将＜,代入加2+及2=公2得(4+26)2+(Q-2〃)2=公2,

n=a-2b

即/+4/=2。2，由从=M一。2所以5/=6c2，

所以e2=《=3,e=①

a266

故答案为：叵.

6

15.答案:⑴二+片=1；

1612

⑵16

解析：(1)圆"的圆心为/(2,0),半径为么=1,

圆N的圆心为N（-2,0）,半径为4=7.

设动圆尸的圆心为P（x,y）,半径为八

则依题意得|NP|=7-r,|〃P|=1+「，

所以即|+画=8〉4=|跖V|,

所以，点尸的轨迹为椭圆，焦点在x轴上，其中2a=8，2c=4，^Z,2=42-22=12-

所以，动圆尸的圆心的轨迹方程为片+其=1.

1612

故椭圆方程为土+匕=1.

1612

(2)记］稗［=",\MP\=m,ZMPN=60°>

由（1）矢口，加+〃=8,

由余弦定理可得tn+n2-2加〃cos60。=\MNf=16,

整理得（加+〃）~—2加〃一根〃=16,即机〃=16,

所以1PMH°N卜加"=16.

NO

16.答案:(1)(X-1)2+(J+1)2=2；

Q+b=0

解析：⑴设圆的标准方程为（》-4+5一92=/,由题意得<（2—4+62=/,解

|（2-Z?-4|

~^~=r

a-\

得<b=-l,所以圆的标准方程为（％-+（y+i）2=2；

r=V2

（2）直线/过点4（2,0）和点（3,2）,直线的斜率为勺=2,

直线/为歹=2（工一2）,即2x-y-4=0.

设圆心到直线的距离为d=©4二4=「叵,

45455

22

•••弓"1+/=/,\AE\=2yJr-d=2^2-1=>

二弦/£的长为aL

5

17.答案：⑴x+2y-3=0;

（2）x_3y_8=0

解析：⑴由题意设直线4，42的交点坐标为3。），则a=2a-1，得a=l，

所以直线4，42的交点坐标为（1』），

由题意设直线4为x+2y+〃z=0,则1+2+加=0，得加=一3，

所以直线,2的方程为x+2y—3=0；

（2）设直线/交直线6，4分别于点次石,必）,B^x2,y2）,

因为尸（2,-2）为45的中点，所以西+》2=4，+72=-4>

因为y=2玉—I’j2=-1x2+|>

1q

所以2%]-1-5%2--4,即4xr-x2=-9,

由<,斛得再=一1,%2=5，

再+々=4

所以％=—3,%=—1，所以4—L—3)，5(5,—1),

-1-(-3)_1

所以勺=

5-(-1)=3

所以直线/的方程为y+3=；(x+l)，即x-3y-8=0.

18.答案：(1)证明见解析；

(2)面积最小值为5百，2x+4y+3=0

解析：(1)依题意，将圆C的方程x?-++2(2-加)y-1=0化为

x2+j2+4j-l+(l-x-2j)m=0,

令l-x-2y=0,BPx=1-2v>贝I(l-2y)2+/+4y-l=0T旦成立，

解得x=l,y=0,即圆C过定点(1,0);

(2)当加=0时,圆C:x?+(y+2)2=5，

直线/一+上=1,

63

设尸(取)，依题意四边形R4C8的面积S=2Sec=2xg|R4|x6,

当|/训取得最小值时，四边形PACB的面积最小，

又以=J|PC「-5，即当|尸最小时，四边形PNC8的面积最小，

圆心C(0,-2)到直线//+上=1的距离即为归C|的最小值,

63

RnIIIo—4—6|

即pc.=j—一

1lnunV5

5min=715x75=5A/3^即四边形尸NC8面积最小值为5G，

此时直线尸C与直线/垂直，

所以直线尸。的方程为了=2x-2,与直线/联立，解得尸(2,2),

设以PC为直径的圆。上任意一点。(xj)：DP-DC=x(x-2)+(v+2)(v-2)=0>

故圆。的方程为x(x-2)+(y+2)(y-2)=0,

即J+y?-2x-4=