工程力学课件(动能定理)

第十三章

动能定理与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的联系，这是一种能量传递的规律。功是代数量§13-1力的功

常力在直线运动中的功单位J（焦耳）1J=1N·m

元功即变力在曲线运动中的功变力在无限小位移dr中可视为常力在无限小位移中做的功称为元功。记则力在路程上的功为1、重力的功质点系由重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。得几种常见力的功2、弹性力的功弹簧刚度系数k(N/m)弹性力弹性力的功为因式中得即弹性力的功也与路径无关3.定轴转动刚物体上作用力的功则若常量由得从角转动到角过程中力的功为§13-2质点和质点系的动能2、质点系的动能1、质点的动能

m为质点的质量，v为速度。动能的单位：J（焦耳）刚体是特殊的质点系，所以刚体的动能由刚体的运动形式决定。（1）平移刚体的动能（2）定轴转动刚体的动能即

即

即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和.得速度瞬心为P（3）平面运动刚体的动能上面结论也适用于刚体的任意运动.将两端点乘

dr

,由于§13-3动能定理1、质点的动能定理因此得上式称为质点动能定理的微分形式，即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。称质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个过程中,质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功.积分之,有2、质点系的动能定理称质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和.

由求和得称质点系动能定理的积分形式:质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和.积分之,有3、理想约束及内力做功（1）光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、柔索类等约束的约束力作功等于零.约束力作功等于零的约束为理想约束.对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可.注意：一般的摩擦力是做功的，不是理想约束。3、理想约束及内力做功内力作功之和不一定等于零.（2）质点系内力的功只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。当系统内包含发动机或变形元件（如弹簧、可伸长绳索等），内力的功必须考虑。例13-1已知:m,h,k,其它质量不计.求:解:质点的运动在I位置和II位置时，速度都是零。故有（舍去了负值）mgFk例13-2已知：轮O的R1

、m1

,质量分布在轮缘上;均质轮C

的R2

、m2

纯滚动,初始静止;θ,M

为常力偶。求:轮心C

走过路程S时的速度和加速度轮C与轮O共同作为一个质点系，进行受力分析和运动分析。解:ω2ω1vc写出系统的功和动能ω2ω1vc注意到：由动能定理：式(a)是函数关系式，两端对t求导,得消去Vc，得ω2ω1vc求:冲断试件需用的能量

例13-3冲击试验机m=18kg,l=840mm,杆重不计，在时静止释放，冲断试件后摆至得冲断试件需要的能量为解:系统仅受重力作用

例13-4已知:均质圆盘R,m,F=常量,且很大,使O向右运动,摩擦系数f,初静止

求:O走过S路程时ω、α圆盘速度瞬心为C,解:voω均不作功.voω注意:1、摩擦力Fd

的功S是力在空间的位移，不是受力作用点的位移.将式(a)两端对t求导,并利用得求:转过φ角的ω、α例13-5:已知:

,

均质;杆m均质,=l

,M=常量,纯滚动,处于水平面内,初始静止.

研究整个系统，受力分析和运动分析如图。解:式(a)对任何φ均成立,是函数关系,两端求导得注意:轮Ⅰ、Ⅱ接触点C存在摩擦力Fs,但作用于速度瞬心,此点无相对移动，故不作功.例13-6:均质杆OB=AB=l,质量m，系统在铅垂面内;M=常量,初始静止,不计摩擦.求:当A运动到O点时,解:取系统为研究对象,受力分析、运动分析如图mgmgMVAVAVBωABωOB图中C‘为AB杆的瞬心mgmgMVAVCVB图中C‘为AB杆的瞬心，当A到达O时,运动分析如图，注意到ωABωOB由于欲求VA，mgmgMVAVCVBωABωOB即整理，得§13-4功率、功率方程、机械效率1、功率：单位时间力所作的功称功率即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积.

由,得单位W（瓦特）,1W=1J/S作用在转动刚体上的力的功率为2、功率方程称功率方程,即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点系的所有力的功率的代数和.或3、机械效率机械效率有效功率多级转动系统例13-7已知:若，求F的最大值。求:切削力F的最大值解:当时§13-5势力场.势能.机械能守恒定律1.势力场势力场:场力的功只与力作用点的始、末位置有关,与路径无关.2.势能称势能零点力场

（1）重力场中心势能（2）弹性力场的势能质点系的零势能位置是指各质点都处于其零势能点的一组位置。注意：各有势力可有各自的零势能点例:已知均质杆l,m

弹簧强度k,AB水平时平衡，弹簧变形

求：系统的势能取弹簧自然位置O为弹性零势能点；水平位置为重力势能零点:由得取杆平衡位置为零势能位置:即3.机械能守恒定律由即:质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒.此类系统称保守系统及得质点系在势力场中运动,有势力功为M0M1M2

例：已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s匀速下降，钢索

k=3.35×N/m.

求:轮D突然卡住时，钢索的最大张力.卡住前

卡住时:解:得即由有取水平位置为零势能位置例:已知：m,,k水平位置平衡

OD=CD=b求：初速时，=?解:例:已知均质园轮m,r,R

,纯滚动求:轮心Ｃ的运动微分方程解:重力的功率（很小）本题也可用机械能守恒定律求解.取O为势能零点得例:已知两均质轮m,R

;物块m,ｋ,纯滚动,于弹簧原长处无初速释放.求：重物下降h时,v、a及滚轮与地面的摩擦力.

解:(1)用动能定理求运动mghFk将式（a）对t

求导（a）得其中取C轮研究，受力如图例:已知轮I:r,

m1;轮III:r,m3;轮II:R=2r,m2;压力角（即齿轮间作用力与图中两圆切线间的夹角）为20度,物块:mA;摩擦力不计.求:O1

O2处的约束力.其中解:利用其中研究I轮

压力角为研究物块A研究II轮例9：已知,m,R,k,CA=2R为弹簧原长,M为常力偶.求:圆心C无初速度由最低点到达最高点时,O处约束力解:得例均质杆AB,l,

m,初始铅直静止,无摩擦求：1.B端未脱离墙时,摆至θ角位置时的

,,FBx

,FBy2.B端脱