2023-2024学年河南省周口市鹿邑县高一年级下册7月期末数学试题+答案解析

2023-2024学年河南省周口市鹿邑县高一下学期7月期末数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.样本数据24,13,14,18,12,14,20,16的75%分位数为（）

A.17B.18C.19D.20

已知P(4)=1,F(B)=10

2.设事件/,B,P(AUB)=-,则4,3之间的关系一定为（）

5010

A.两个任意事件B.互斥事件c.非互斥事件D.对立事件

3.某圆台上底面圆半径为1,下底面圆半径为2,母线长为，则该圆台的体积为（）

77r57r-27r

ABD.37r

AT,"3"■"3"

7F

4.已知向量言,了满足=2A/3,|b|=3,且正,了的夹角为g,则向量了在向量W方向上的投影

向量为（）

A空B⑦C.RD与

5.设为两条不同的直线，a,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若2〃a,〃/P，则a〃/3B.若.〃0,〃/a,贝！H〃/?

C.若〃/n,nUa,贝!]〃/aD.若/_La』_L0,则。〃0

6.样本…,aio的平均数为工，样本本电,3•）瓦o的平均数为兀那么样本

%bi,«2）历,«3）h■aio,bio的平均数为（）

A.（a+5）B.2（a+b）C.|（a+b）D,^（a+b）

7.锐角△48。中，角/、3、C所对的边分别为°、6卬若。=7、b=8,夜=Q,cos4）,方=（$山4,―苧）,

且记则△ABC的面积为（）

A.y/3B.3\/3C.5遮D.10y3

8.如图，在梯形/BCD中，且/B=2OC，点E为线段BC的靠近点C的一个四等分点，点尸为

线段/。的中点，AE与BF交于点O,且而=啰混+则/+4的值为（）

14D

17|

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.以下四种说法正确的是()

q2

A.i3——=i

B.若乞=(1+i)2,则复平面内方对应的点位于第二象限

C.复数z=3—21的虚部为一2〃

D.复平面内，实轴上的点对应的复数是实数

10.某校为了落实“双减”政策，决定调查学生作业量完成情况.现随机抽取200名学生进行完成率统计，

发现抽取的学生作业完成比率均在50%至100%之间，进行适当地分组后

([50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]),画出频率分布直方图(如图)，下列说法正确的是()

A.直方图中x的值为0.015

B.在被抽取的学生中，作业完成比率在区间[90,100]内的学生有75人

C.估计全校学生作业完成比率的中位数约为86.67%

D.若各组数据用所在区间中点值代替，估计全校学生作业完成比率的平均值为84%

11.(多选题)从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中,

互斥而不对立的是()

A.至少有1个红球与都是红球B.至少有1个红球与至少有1个白球

C.恰有1个红球与恰有2个红球D.至多有1个红球与恰有2个红球

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量才=(皿1),T=(1,-2)，工=(2,3),若正—不与工共线，则实数.

13.已知点PA,B,C在同一个球的球表面上，P4,平面/8C,ABLAC,PA=Vb>BC=瓜,则

该球的表面积为.

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14.某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车

间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为；若/,B,C

三个车间产品的平均寿命分别为200,220,210小时，方差分别为30,20,40,则总样本的方差为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在△ABC中，而=2瓦，设显=/加+或记(①、＞为实数).

(1)求x,y的值；

⑵若获=(1,3)，五H=(4,3)，求血.百3

16.(本小题15分)

在正三棱柱ABC—43G中，已知它的底面边长为2.

(1)若该正三棱柱的高为4,分别求其表面积与体积.

(2)若直线小。与平面ABC所成角的大小为45°，求三棱锥Ci-C43的体积.

17.(本小题15分)

在中，内角4巴。的对边分别是a,b,c,若通b=4c，B=2C.

(1)求0)5_8；

⑵若c=5,点。为边上一点，且3。=6，求△4DC的面积.

18.(本小题17分)

质量监督局检测某种产品的三个质量指标叫y，z,用综合指标Q=2+4+Z核定该产品的等级.若Qw5,

则核定该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：

产品编号44444

质量指标(2,沙,2)(1,1,2)⑵1,2)(2,2,2)(1,3,1)(1,2,3)

产品编号4440

质量指标(z,g,z)(1,2,2)(2,3,1)(3,2,1)(1,1,1)(2JJ)

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;

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(2)在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件3为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均

满足Q44"，求事件3的概率.

19.(本小题17分)

上饶某中学为了解该校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了50名学生

的成绩作为样本进行统计(若该校全体学生的成绩均在[60,140)分)，按照

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140)的分组作出频率分布直方图如

图所示，若用分层抽样从分数在[70,90)内抽取8人，则抽得分数在[70,80)的人数为3人。

(1)求频率分布直方图中的x,y的值;并估计本次考试成绩的平均数(以每一组的中间值为估算值)；

(2)该高三数学组准备选取数学成绩在前5%的学生进行培优指导，若小明此次数学分数是132,请你估算

他能被选取吗？

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查百分位数的计算，属于基础题.

由百分位数的定义即可得解.

【解答】

解:数据从小到大排序为12,13,14,14,16,18,20,24,

则8x75%=6,

所以75%分位数为竺［列=19.

故选：C.

2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了互斥事件的概率公式的简单应用，属于基础题.

由题意先求尸(4)+P(B),然后检验与P(AU8)是否相等，从而可判断是否满足互斥关系.

【解答】

解：因为P(4)=:，P(B)=J,

0o

IIO

所以P(4)+PCB)=五+三=正，

OO10

又P(4UB)=g,

15

所以口＞^5)=。(4)+/月)，

所以/与3为互斥事件.

故选R

3.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查圆台的侧面积公式与体积公式，属于基础题.

先求出圆台的高，再由圆台的体积公式求出即可.

【解答】

解：设圆台的母线长为/,高为〃，

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因为圆台上底面圆的半径为1,下底面圆半径为2,/

所以圆台的高为/1=/2一(H-*2=,2—(2—1)2=1，

-11*17

所以圆台的体积为V=寸r(R2+Rr+r2)/i=-7T(4+2+1)x1=[.

ooo

故选：A.

4.【答案】D

【解析】【分析】利用投影向量的公式即可求解.

【详解】向量方在向量才方向上的投影向量61cos‘看=?才，

故选：D.

5.【答案】D

【解析】【分析】对于/,。与0还可能相交；对于8,还有可能/U0；对于C,还有可能/Ua；对于以

用反证法可证命题正确.

【详解】对于/，若/〃a〃/0,则a〃。或a与万相交.故4不正确;

对于3,若a〃反〃/a,贝也〃0或/U0.故8不正确；

对于C,若”/n,nUa,贝!H〃a或/Ua.故C不正确；

对于。，若必必50,则。〃0,命题正确，证明如下：

如图：

假设a与0不平行，则必相交，设aC0=wi,

设直线/与a和。分别交于点4_8,在"?上取一点连4W、BM,

因为„a,AMca,所以

因为LL。，BMC(3,所以LLBA/,

又直线/、直线/“、直线3在同一平面内，所以4刊〃这与月刊03〃=〃相矛盾，故假设不成

立，所以a〃民故。正确.

故选：D

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6.【答案】C

【解析】【详解】由题意可知旬+&2+•••+电0=10&,61+历+・一+与0=105,所以所求平均数为

QI+Q2H----FQio+瓦+b2H-----1-&ioQi+a2H-----F«io+瓦--+--b-2--H---------1--6i-o-=土1/_+,-6f

202020

考点：样本平均数

7.【答案】D

7T

【解析】【分析】先由向量垂直得到4=可，利用余弦定理求出c=3或c=5,利用锐角三角形排除c=3,

O

从而c=5,利用面积公式求出答案.

【详解】由题意得：isinA-cosA=0^故弋411?1=，9,

因为AGfo,—,

7T

所以▲=可,

O

64+c2-491

由余弦定理得：cosA=

2x8c1'

解得：。=3或。=5,

49+9-64

当c=3时,最大值为5,其中cosB=:十;:<0,故5为钝角，不合题意，舍去;

2x7x3

49425—64

当c=5时,最大值为5,其中cosB=:十:〉0,故B为锐角，符合题意，

2x7x51

」x8x5x遗

止匕时S/\ABC=-besinA=10A/3.

222

故选：D

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查向量的线性运算，向量的共线，考查运算能力和数学思维能力，属于中档题.

直接利用向量共线的应用和向量的线性运算建立方程组，进一步求出x和y的值.

【解答】

解：根据向量的线性运算,

A3=xA^+yB©=xAS—yA§+yA（i=（①一y）。1+y（AB+

=Q—++；割）=（2一y）A§+2yAP+

（一庙+2加

由于5、。、尸三点共线,

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所以/—之+2沙=1，整理得益+39—2=0；

又由初=房+而=瓦？+xA^+yB^

=B1-XB1+y-=（1—x）BA+yB^；

由于/、。、£三点共线，

所以1—2+包=1,整理得3c—44=0；

3

8

26+34—2=0"=F

故，解得《

3①-4g=06，

所以立+沙=存

故选：C.

9.【答案】AD

【解析】【分析】根据复数运算、复数对应点、虚部和实轴等知识确定正确答案.

„22-（-i）

【详解】A选项，i—；=—i—：—z—i+2i=i,A选项正确.

22•（—2）

8选项，z=（1+犷=2。2=—2人对应点（0,-2）,对应点在虚轴上，5选项错误.

C选项，复数z=3—25的虚部为—2,C选项错误.

。选项，复平面内，实轴上的点（a,0）,对应的复数？=a是实数，。选项正确.

故选：AD

10.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查频率分布直方图，属于基础题.

根据频率分布直方图逐一分析即可.

【解答】

解：由频率分布直方图可得（0.005+0.010+2+0.030+0.040）x10=1,解得/=0.015,故选项/正确;

作业完成比率在区间［90,100］的频率为0.040x10=0.4,

所以作业完成比率在区间［90,100］的学生有200x0.4=80（人），故选项8错误；

作业完成比率在区间［50,60）的频率为0.005x10=0.05,作业完成比率在区间［60,70）的频率为

0.010x10=0.1,

作业完成比率在区间［70,80）的频率为0.015x10=0.15,作业完成比率在区间［80,90）的频率为

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0.030x10=0.3,

因为0.05+0.1+0.15=0.3<0.5,所以，全校学生作业完成比率的中位数在区间［80,90)内，设中位数为

a%,则(a-80)x0.030+0.3=0.5解得a«86.67,

所以，估计全校学生作业完成比率的中位数约为86.67%，故选项C正确；

由频率分布直方图可得，

55x0.005x10+65x0.010x10+75x0.015x10+85x0.030x10+95x0.040x10=84,

所以，估计全校学生作业完成比率的平均值为84%，故选项。正确.

故选ACD.

11.【答案】CD

【解析】【分析】

根据互斥不对立事件的定义辨析即可.

【详解】根据互斥事件与对立事件的定义判断.

/中两事件不是互斥事件，事件“3个球都是红球”是两事件的交事件；

2中两事件能同时发生，如“恰有1个红球和2个白球”，故不是互斥事件；

C中两事件是互斥而不对立事件;至多有1个红球，即有0个或1个红球，与恰有2个红球互斥，除此还有3

个都是红球的情况，因此它们不对立，

D符合题意.

故选：CD

本题主要考查了互斥与对立事件的辨析，属于基础题型.

12.【答案】3

【解析】【分析】

本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题.

先求出正—了=(6―1,3)，再由W—7与工共线，列方程能求出实数m.

【解答】

解：•.•向量才=(m,1),了=(1,一2)，工=(2,3),

：,重=(m-1,3)>

•.•记—了与下共线，

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=解得实数m=3.

/O

故答案为：3.

13.【答案】87r

【解析】【分析】通过补形的方法求得球的半径，由此求得球的表面积.

【详解】由于平面所以而4BLAC，

所以AP,AB,AC是长方体一个顶点引出的三条棱，

设球的半径为R,则(2R)2=ap2+402+402=5+3=8,所以7?=禽,

所以球的表面积为4开4=87r.

故答案为：87r

14.【答案】21；89

【解析】【分析】根据分层抽样按比例抽取即可得到C车间应抽取的件数；由分层抽样的方差公式：

£=+@1-X)2]+?卜2?+@2-初2]+[fi32+@3-5)2]计算即可.

【详解】解：由分层抽样方法可得：抽取C车间应抽取的件数为70x30%=21；

样本的总体平均数为：亍=20%x200+50%x220+30%x210=213,

样本的总体方差为：$2=得忸+(200—213)2]+[[20+(220-213)2]+^40+(210-213)2]=89,

故答案为：21；89.

15.【答案】解：(1”..初=2瓦，；.口=前+说=而+彳加=前+|(AS-A5)=+萍,

(2)由(1)得标=(2,3)，睨=前一幅=(3,0)，

睨=6.

【解析】本题主要考查向量的线性运算，向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题.

(1)利用向量的线性运算可得而吞+g前，从而可求得x,y的值；

(2)利用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可求解.

16.【答案】解：(1)正三棱柱的两个底面积之和为2x遗x22=2逐，

正三棱柱的侧面积为3x2x4=24,

故正三棱柱的表面积为2g+24；

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正三棱柱的体积为通x4=4通;

⑵因为44J平面N3C,所以/小。4即为直线4。与平面/2C所成角,

故/4。4=45°,

所以44=4。=2,故G0=2,

Vbi-CAiBi=Vc-CiAiBi=■|Sz\G4iBi,℃i=：x坐X22X2=

【解析】（1）求出三棱柱的侧面积和底面积，求出表面积，利用体积公式求出体积；

（2）先根据线面角求出棱柱的高，进而利用等体积法求出三棱锥的体积.

17.【答案】解：⑴3=2。，sinB=sin2。=2sinCcosC,

在△48。中，由正弦定理得，—

sinCc

又属=4c，-cosC=^^-=-=^>.-.COSB=COS2C=2COS2C-1=I；

2sinC2c55

⑵,「c=5,%/^b=4c,6=4通,

3

由余弦定理得，昭=Q?+c?—2QCCOSB，则80=Q?+25—2・Q•5x

5

化简得，Q?—6。—55=0，解得Q=11或。=—5（负值舍去），

BD=6，/.CD=5，,「cosCJ乘、CE（0,7r）,sinC=\/l-cos2C=—

55

△/℃的面积s=:CO-AC•sinC=1x5x4^5x—=10.

225

【解析】（1）根据二倍角以及正弦定理可得cosC=上，即可根据余弦的二倍角公式求解,

5

（2）根据余弦定理可得a=11,即可根据同角关系得sinC=四，由面积公式即可求解.

5

18.【答案】解：（1）计算10件产品的综合指标0,如下表：

第H页，共13页

产品编号4人244446444Ao

Q4565656634

其中Q<5的有4,A2,A4,4,A9,4O共6件，故该样本的一等品率为^=0.6,

从而估计该批产品的一等品率为0.6.

（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为：

Mi,4}