山东省青岛某中学2024届高三年级下册第一次模拟考试数学试题（含答案解析）

山东省青岛第五十八中学2024届高三下学期第一次模拟考试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合“=何y=lg（2x_3）},N={y|y>l},则（）

A-[T'3b-IC]c-（1'+°°）D.

2.已知Z石是相互垂直的单位向量.若向量9=1方，OB=2a+b，则向量函在向量而上

的投影向量为（）

1-2r1-2丁

A.—Q+—。B.——a——b

5555

-2-1丁一2—l

C.—uH—bD.—a—br

5555

3.记正项等差数列{叫的前几项和为%S20=100,则％的最大值为（）

A.9B.16C.25D.50

22

4.已知双曲线C:乙-土=1的一条渐近线方程为y=2x,则7九=（）

4m

A.1B.2C.8D.16

5.己知某圆锥的侧面积为缶，轴截面面积为1,则该圆锥的母线与底面所成的角为（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

6.2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游.除常

见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、

丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（）

A.1800B.1080C.720D.360

7.已知尸为抛物线d=4y上一点，过P作圆f+（y-3）2=l的两条切线，切点分别为A,B,

贝iJcosNAPB的最小值为（）

8.已知函数〃尤）的定义域为R,且〃尤+1）为偶函数，〃x+2）-l为奇函数.若"1）=0,

26

则X/伏)=()

k=l

A.23B.24C.25D.26

二、多选题

9.已知复数Z]*2,下列说法正确的是()

A.若㈤=卜|,则z；=z；B.|平2同马上|

C.|4-2区团+闫D.1Z1+Z2归㈤+囱

10.已知函数/(x)=ln(cosx)+sin2x,则()

A./(x)=/(-x)B./(x)在单调递增

C./(x)有最小值D.f(x)的最大值为一--

2

11.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对

称美、和谐美的结合产物.关于曲线。：/+/=国+忖，则下列结论正确的是()

A.曲线C关于原点成中心对称图形

B.曲线c关于x轴，v轴成轴对称图形

C.曲线C上任意两点之间的距离都不超过2

D.曲线C所围成的“花瓣”形状区域的面积大于兀

三、填空题

12.若(l+x)5(a+/j展开式中/的系数为30,则“=.

13.在平面直角坐标系中，0(0,0)、A(sina,cosa)、BlcosfLsinfjj,当

NAOB=T时.写出。的一个值为.

22

14.已知双曲线二-当=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为耳，F,,若过点F,的直线与双

曲线的左、右两支分别交于A,B两点，且1A耳上3剧=2君.又以双曲线的顶点为圆心，半

径为20的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为.

试卷第2页，共4页

四、解答题

-，心.皿/、a(\nx+a\

15.已知函数----』

⑴当。=1时，求函数〃x)的单调区间;

(2)求证:当a>0时，/(x)<e2fl-2

16.已知椭圆E:=+方=1(。>匕>0)的左，右焦点分别为E，耳，椭圆£的离心率为万，椭

圆£上的点到右焦点的最小距离为1.

⑴求椭圆E的方程；

(2)若过右焦点F?的直线/与椭圆E交于8,C两点，E的右顶点记为A,ABUCR,求直线

/的方程.

17.如图，己知四棱锥S—ABCD中，A8=8C=1,ZA8C=12O\A8_LAO,C£>_L平面&4D,

⑴证明：BG〃平面SAD；

4

(2)已知锐二面角S-AC-。的正弦值为二，求二面角C-S4-O的余弦值.

18.树人中学高三(1)班某次数学质量检测(满分150分)的统计数据如下表:

性别参加考试人数平均成绩标准差

男3010016

女209019

在按比例分配分层随机抽样中，己知总体划分为2层，把第一层样本记为尤”无2,无3,…，X.，其

平均数记为Z方差记为S；;把第二层样本记为H，%，%，…,%，其平均数记为亍，方差记

为S；；把总样本数据的平均数记为△方差记为$2.

⑴证明:x—z

m+n

（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；

（3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布,以该班参加考试学生成绩的平均数

和标准差分别作为〃和。的估计值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分

到低分依次划分为4瓦四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）.

附：P（/z-o-<X<ii/+o-）®0.68,V302»17,A/322«18,V352«19.

19.数列{““}的前〃项％，%，…，4（〃eN*）组成集合4={4,/,…,4},从集合4中任取

以左=1,2,3,个数，其所有可能的上个数的乘积的和为"（若只取一个数，规定乘积为

此数本身），例如：对于数列{2〃-1},当”=1时，4={1},7]=1;"=2时，&={1,3},4=1+3,

心=卜3；

⑴若集合4=口，3,5,…,2〃-1},求当〃=3时，若:G的值;

⑵若集合4={1，3,7,…,2"-1},证明：〃“时集合《的空与仁女+1时集合&的图（为

了以示区别，用北表示）有关系式以=（2"=1）7；T+7；,其中

⑶对于（2）中集合4.定义5,=7；+n+~+7；,求S“（用”表示）.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DBCACBCCBCDABD

题号11

答案ABD

1.D

【分析】根据真数要大于0和集合交集的运算法则即可求解.

【详解】•.•M={x|2x-3>0}=1|,+8)N={y|y>l}=(l,+”)，

故MnN=g+J.

故选：D.

2.B

【分析】利用向量数量积的性质先求|荏|，丽•丽，然后由投影向量公式可得.

【详解】因为£石是相互垂直的单位向量，

所以〃•/?=(),@2=^2=].

又砺=£-B，0B=2a+b^所以在=访一次=Z+2B，

所以|荏1,(商+23)2=J『2+4洒3+4庐=亚,

^OA-AB=^a-b^a+2b^=a2+a-b-2b2=~l,

所以向量次在向量通上的投影向量为

网网研-

故选：B

3.C

【分析】根据等差数列的求和公式计算可得为+勺=1。，利用基本不等式计算即可得出结果.

【详解】•.•S2°=^^X20=1。。，

%+a20=10,.,.al0+0,5=%+a20=10.

又：aw>0,%>0,

答案第1页，共17页

...%)・孙＜］笞［I=-=25,当且仅当4。=%=5时，取"今

aw-an的最大值为25.

故选：C

4.A

【分析】利用双曲线方程先含参表示渐近线方程，再待定系数计算即可.

【详解】依题意，得山〉0,

2222

令-—L=Ony=±kx,即C的渐近线方程为＞=士-x,

4my/m7m

2

所以方==2=＞机=1.

7m

故选：A

5.C

【分析】设相应长度，根据圆锥的侧面积和轴截面面积列式可得~,再结合线面夹

角运算求解.

设该圆锥的母线与底面所成的角为6,则0。＜。＜90。，

h

可得tand=K=l,所以该圆锥的母线与底面所成的角为。=45。.

r

故选：C.

6.B

【分析】分成恰有2个部门所选的旅游地相同、4个部门所选的旅游地全不相同两类，再应

用分步计数及排列、组合数求至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数.

【详解】①恰有2个部门所选的旅游地相同，

答案第2页，共17页

第一步，先将选相同的2个部门取出，有Cj=6种;

第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有A：=120种,

根据分步计数原理可得，方法有6x120=720种；

②4个部门所选的旅游地都不相同的方法有A：=360种,

根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同

的方法种数共有720+360=1080种.

故选：B

7.C

【分析】设由|PC|取得最小值，则“有最大，cos/APB最小求解.

【详解】如图所示：

AC1

因为ZAP3=2ZAPC,sinZAPC=--=,

则匚-3]=--—+9=—(f2-4)2+8,

111^4J16216v)

当产=4时，IPC|取得最小值20,

此时ZAPB最大,COS/AP3最小，

且(cos/APB).=1-2sin2/APC=l—21七］=1,故C正确.

故选：C

8.C

【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线x=l对称和关于点(2」)对称，则得到其周期,

答案第3页，共17页

再计算其一个周期内的和，最后代入计算即可.

【详解】，(尤+1)为偶函数，贝U/(x+l)=/(—X+1)贝关于X=1对称，

/(尤+2)—1为奇函数，贝IJ/(一元+2)—l=-f(x+2)+l,

即/(-%+2)+f(x+2)=2,则关于点(2,1)对称，

则由其关于x=1对称有f(x)=/(-x+2),则/(%)+/(%+2)=2,

则f(x+2)+/(x+4)=2,作差有f(x)=f{x+4),

为周期函数，且周期为4,因为“l)+f(3)=2,/(1)=0,则〃3)=2,

因为/(。)=〃2),/(0)+/(2)=2,则为0)=/(2)=1,

/⑷=〃。)=1，贝I/(D+/⑵+/⑶+/⑷=4,

2426

.•.£/⑹=24,£/(%)=24+0+1=25,

k=lk=l

故选：C.

9.BCD

【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据复

数加减法的几何意义及坐标表示即可判断CD.

【详解】对于A,设4=l+2i，z=2+i,显然㈤=阂,

但z；=-3+4iwz；=3+4i,故A错；

对于B,设4=。+历/2=c+di,

则ZjZ2=ac-bd+^ad+bc^i,

匕好21=Q(ac-bd)~+(ad+bc)-=Ja。c。+a~d~+b°c-+d-d',

222222222222

[Z]J]z2|=yja+b->]c+d=yjac+ad+bc+dd,

所以|空2|=团同,故B对；

对于CD,根据复数的几何意义可知，复数均在复平面内对应向量西，

复数Z2对应向量运，复数加减法对应向量加减法，

故bI?1和匕+z2|分别为西和区为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，

答案第4页，共17页

所以［Z］-Z』(团+闾，忖+22归团+221，故c对,D对.

故选：BCD.

10.ABD

【分析】利用导数，函数的变化趋势等方法对选项逐一判断即可.

【详解】已知函数/(x)=ln(cosx)+sin2x,

对于A选项：/(-x)=ln[cos(-%)]+sin2(-x)=ln(cosx)+sin2x=f(x),正确；

对于B选项:

fr(x)=---任一sinx)+2sinxcosx=sincosx------)

COSXCOSX

、t,z兀兀、rttJ2]

当工£(一彳,一■7)时，cosxG(0,-^―),2cosx------G(-oo,0),sinx<0,

242cosx

ITTTT

所以/'Q)=sinxm2cosx------)>0,所以/'(x)在(-；，-：)单调递增，正确;

cosx24

对于C选项：

7T

当兀—耳时，cosxf0,ln(cos%)f-oo,siM%-l,/(x)——8,故

了(%)没有最小值，不正确；

对于D选项：

fM=ln(cosx)+sin2%的最小正周期为2兀,是偶函数,

TTTT7T

定义域为(-5+2航，5+2配)4eZ.故只需研究(-5,0］即可.

由B选项知：在(-三-。单调递增，在(-：,0］上单调递减,

244

/(x)的最大值为df=ln*jd=上詈，正确.

故选：ABD.

11.ABD

【分析】分类讨论去绝对值，可得曲线方程，从而可得曲线图像，最后可对命题进行判断.

表示以为圆心，与

【详解】当x〉o,y〉o时，曲线方程可化为

乙、乙乙)L

为半径的圆在第一象限的部分;

2

当x<0,y>0时，曲线方程可化为(尤+g\+£--表示以为圆心,坐为半

2\LL)2

答案第5页，共17页

径的圆在第二象限的部分;

曲线方程可化为H+,+£=；,表示以■，-£）为圆心，序为

当x<0,y<0时,

半径的圆在第三象限的部分;

曲线方程可化为卜-+|7+g）=1'表示以为圆心，与

当x>0,y<0时,为

半径的圆在第四象限的部分;

当尤=0时>=0或>=±1；当y=0时*=0或》=±1；图像上还有（0,0）,（0,1）,（0,-1）,（1,0）,

（-1,0）这5个点.

曲线图像如图所示:

对于A,将（-羽-y）代入曲线方程有（T）2+（-y）2=H|+f|,整理得/+/=W+可，所以

曲线C关于原点成中心对称图形，故A正确；

对于B,将（r,y）代入曲线方程有（T）2+/=T|+|y|,整理得/+9=可+h，所以曲线c

关于、轴成轴对称图形，将（％7）代入曲线方程有/+（-月2=卜|+卜力整理得

/+/=卜|+|引，所以曲线C关于X轴成轴对称图形，故B正确;

对于C,如图，每个小圆半径尺=走,

2

曲线上任意两点距离范围为（O,4R）,即两点距离范围为（0,20）,故C错误;

对于D,曲线C所围成的“花瓣”形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，设它的面积为

答案第6页，共17页

S,S=4xl;i7?2+(27?)2=7t+2>7t,故D正确.

2

故选：ABD

12.2

【分析】由题意得(l+x)'(a+=)=a(l+x)s+=(l+x)5,结合二项式展开式的通项公式建立方程,

XX

解之即可求解.

【详解】由题意知，(1+X)5(0+1■)=。。+x)5+=(l+x)5,

(1+X)5展开式的通项公式为C；l5-rZ=,

所以含/的项的系数为aC+aC；,

则oC；+aC；=30,即15a=30,解得4=2.

故答案为：2.

13.--(满足a=-工+阮或c=色+far(AeZ)的其中一值)

662

【分析】利用平面向量数量的坐标运算结合两角和的正弦公式可得出sin(2a+F]=-；,求

出a的值，即可得解.

71

【详解】由题意可得OA=(sina,cosa),OB=cosa+—,sina+—

[6{6

所以，网=Jsida+cos2a=1,同理可得I砺1=1,

OAOB.兀）.71

则cosZAOB=cos«A,O吟=1।।।了=sinacosa+—+cosasina+—

可理66

2TI1

=sin12a+£=cos——二——,

32

所以，3+2H（Z:GZ）或2="+2E（女GZ）,

6666

JTJT

解得二=---卜kit（keZ）或a=一+左兀（左£Z）,

62

故答案为：-刍(满足a=+E或a=：+标优eZ)的其中一值).

662

14.2

【分析】根据给定条件，结合双曲线定义及余弦定理、圆的定义求出〃,。即可.

【详解】令IG&l=2c,依题意，,2=/+62=(2&)2,解得c=2点,

答案第7页，共17页

显然|转|=|曲|+2a=2后+2。，|36|=|期|-2。=2若-2a,\AB\=\AF2\-\BF2\=4a,

于是cos/fJAF?=回

IMI

22

在中，由余弦定理|百居|=|A4『+1AF21-21ATIAF21cosZFtAF2,

得(40)2=20+(2A/5+2a)2-2x2石x(2#>+2a)x

忑，解得储=2,即a=-\/2)

所以双曲线的离心率为£=2.

a

【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离

心率的取值范围），常见有两种方法：

①求出a,c,代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于。，从c的齐次式，结合加=。2-°2转化为。的齐次式，

然后等式（不等式）两边分别除以a或/转化为关于e的方程（不等式）,解方程（不等式）即可得

e（e的取值范围）.

15.⑴增区间为（0』），减区间为（L+℃）

（2）证明见解析

【分析】（1）当。=1时，求出尸（力，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的

增区间和减区间;

（2）当a>0时，利用导数求出函数/（x）的最大值为《，然后证明即证:

ee

e"T2a,构造函数g（a）=ei-a,利用导数证得g（a）1mx川即可.

【详解】（1）解：当a=l时，〃x）=见山，广（口=一堂，

XX

答案第8页，共17页

由尸(x)<0,可得无>1,由广(x)>0,可得0<x<l,

故当a=l时，函数/(x)的增区间为(0,1),减区间为(L-).

(2)解：当。>0时，因为/(x)=a(ln；+a),则广⑺="1”司,

由尸(x)<0,可得x>e~,由/''(x)>。，可得0<x<e~,

所以，函数的增区间为(0,ej),减区间为(efy),

所以“x)mj/(e~)=第，下证：言…，即证：e->«.

记g(a)=e"T—a,g\a)=ea1-1,

当oe(0,l)时，gr(a)<0,当ae(l,+o。)时,g,(a)>0,

所以，函数g(a)的减区间为(0」)，增区间为(L+8),

所以，g(a)1mx=g0)=°，所以g(“)N。恒成立，即尸匕入

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法:证明不等式/⑺>g⑺(或"X)<g⑺)转化为证明/⑺-g(力>0

(或/(x)-g(x)<0)，进而构造辅助函数。x)=/(x)-g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函

数.

16.(1)—+^=1

43

/c\2"\/5T25/5

(2)xH----y-l=0或x-----y-1=0

5-5

【分析】(1)利用椭圆焦半径公式及性质计算即可；

(2)设直线/方程，&C坐标，根据平行关系得出两点纵坐标关系，联立椭圆方程结合韦

达定理解方程即可.

【详解】(1)设焦距为2c,由椭圆对称性不妨设椭圆上一点

易知耳(c,0),则附|=J(…y+J=…+入

答案第9页，共17页

2

_2cx+a?=_XQ—a—ci—XQf

aa

显然/=。时俨区1=。-。，

cl

a2

由题意得＜i解得a=2,c=l1=g,

u~C=1

a2=b2+c2

22

所以椭圆c的方程为土+匕=1；

43

（2）设。（士,%）,3（/,必），

因为A8//C%所以|/|：|钻|=|可闻：同旬=2：1

所以％=-2%①

I22

工+2L=i

设直线/的方程为％=冲+1,联立得=43",整理得（3病+4）y1+6my—9=0,

x=my+1

6m

,+%=-a2,”

3m+4

由韦达定理得9

%%=一

im2+4

6m

f_一病了，得白36m29

把①式代入上式得2（2）?

•m2+4|-23m+4

-2yf=--------、-

2-3m2+4

角军得m=±2G，

5

所以直线/的方程为：X+浊y—1=0或X—竿y—1=0.

（2）|

答案第10页，共17页

【分析】（1）法一和法二利用线面平行的判定定理即可证明；法三利用面面平行的性质定理

证明线面平行.

（2）法一和法二用定义法作出二面角S-AC-。的平面角和二面角的平面角，

结合已知在直角三角形中求解；法三建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的平面角

余弦值即可.

【详解】（1）法一：如图1,延长和D4相交于点E,连接SE,

BE=2AB,

—.2—.

又AB=BC,:.BE=2BC,SG=-SC,:.SG=2GC,

3

则BG//SE,-.-BG<z平面SAD,SEu平面SAD,:.BG//平面SAD.

法二：如图2,过G作G厂平行S4交AC于点尸，

AF==-BA+-BC,

333

BF=,I-BA2+-BC2+-BA-BC-cosl200=,1-+---=—,

V999V9993

1.•BA=1,BA2+BF2=AF2,BA±BF,-.-BA±AD,：.BF//AD,

■：SA//GF,BF//AD,GF,BF均平行于平面SAD,

且BF,GF是平面BGF内的两条相交直线，

平面3G/〃平面&LD,又：3Gu平面GBE,r.BG〃平面&4D.

答案第11页，共17页

法三：如图2,过8作8尸平行AD交AC于点尸，连接GP,

AB=BC=1,ZABC=120。,;.ZBAC=^BCA=3Q°,且AC=G

AB_LAD,aF平行A。，.-.BFLAB,则=^L=2AC,

cos30°33

Gb平行于SA,♦.•&!〃GRB尸〃A£),

..GR8尸均平行于平面&LD,且GF是平面3G/内的两条相交直线,

.,・平面3Gp〃平面&4D,又♦.•BGu平面GBP,;.8G〃平面5AD.

(2)法一：平面5AD,CDu平面ABCD,.•.平面ABCD，平面&LD,

如图3,过点S作SMJ_AD交AD于平面SADc平面ABCD=AD,

二SM，平面ABCD,•「ACu平面ABCD,AC1SM.

过点〃作MN_LAC交AC于N,又MNcSM=M,

且A/N,SMu平面SMN,AC_1_平面SMN,

SM4

.,./SNM为二面角S—AC—。的平面角，则sinZSNM=—=-,

SN5

设SM=a,则SN=—a,

4

•.•。_1平面540,4。(=平面5/10,，。_0_1^0,

y.-.-AB±AD,,-.AB//CD,-.-ZABC=nO,AB=BC,:.ZBCA=30°,

.•.RtAADC中，/ACD=30。,AC=石，则且，

2

过点。作。尸，&1交&4于点尸，连接CP,

则/CPD为二面角C-&4-。的平面角,

SMADV3

/〜八DPSMAD4E2

PCSNACSN-AC5^/35

SA

2

综上所述，二面角C-的余弦值为二.

法二：如图4,在平面出⑦内过点。作AD的垂线于AS的延长线交于点。

答案第12页，共17页

Q

图4

过。作。尸_LAC交AC于尸，连接。P,

•.1CD_L平面SAD,CDu平面ABCD,:.平面SAD±平面ABCD,

平面SA£)c平面ABCD=AD,QD±AD,QDu平面SAD,

.•.QD_L平面ABC。，

ACu平面ABCD,QD_LAC,

又:AC±OP,..AC，平面QDP,即ZQPD为二面角S-AC-D的平面角,

•.•8_1平面54。,4。<=平面5>1£),..。£>_140,又•.♦AB_LAD,

.-.AB//CD,-.-ZABC=\2Q)°,AB=BC=1,:.NBCA=30°

.•.RSADC中，^ACD=30°,AC=y[3,则AO=立,8=』，

22

1344

DP=-CD=-^:sinZQPD=-,：AmZQPD=-,

/.QD=DPtan^QPD=1,

「QDAD

REQ/M中，边QA上的高〃一QA

设二面角C-5A-。的平面角为仇：CO，平面&4D,

cos8=,—

y]h2+CD2

2

综上所述，二面角C-的余弦值为

法三：如图5,•.•CD,平面必，•.在平面SAD内过点。引AD的垂线记为z轴,

以A£),CD所在直线为x轴，V轴如图建立空间直角坐标系，

答案第13页，共17页

sz.

•.•。。_1平面&1。,y1£)匚平面&4£),,8_14£>,又•.•AB_LAT>,

图5

,-.AB//CD,-.-ZABC=n(T,AB=BC=1,/.NBCA=30°,

.•.RtATWC中，/ACD=3CT,AC=右，则AO=3,CO=』,

22

则0(0,0,0),A与0,0,cfo,|,op(m,o,»),

设平面&4C的法向量为元=(x,y,z),

mx+nz=0

DS-n=0

,n<^33，取x=贝!Jy=l,z=———

ACn=0------x+—y=0n

[22

得为二\/3,1,—,平面AC。的法向量为为=(0,0,1),

n

7

4

••・二面角S—AC—。的正弦值为彳,

设二面角C-5A-O的平面角为夕，平面SW的法向量为为=(0,1,0),

2

得cos9=(,

2

综上所述，二面角C-5A-。的余弦值为不

18.(1)证明见解析;

⑵平均数为96分，标准差为18分;

(3)将XN114定为A等级，96KXVH4定为B等级，78<X<96定为C等级，Xv78定为

答案第14页，共17页

D等级.

【分析】（1）利用平均数及方差公式即可求解；

（2）利用平均数及方差公式，结合标准差公式即可求解;

（3）根据（2）的结论及正态分布的特点即可求解.

,1

【详解】(1)S2=——9(%-方

m+n,i=\z=l

-x+x-z)2+^(x--y+y-z