2024年高考数学复习专项试题汇编：计数原理与概率统计

（9）计数原理与概率统计

——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编

一、选择题

1.［2024年新课标n卷高考真题］某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水

稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理如下表所示.

亩产[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

频数61218302410

根据表中数据，下列结论正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg到300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg到1000kg之间

2.［2024届.合肥一六八中学.模拟考试］在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：

10,7,6,9,8,9,5,这组数据的中位数和众数分别是（）

A.7,9B.9,9C.9,8D.8,9

3.［2024届.山西长治.一模校考］已知尤＞0,贝U“a=l”是“，x+亍］的二项展开式中常数

项为60”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.［2024届.山西长治.一模校考］小李买了新手机后下载了A,B,C,。个APP,已知手机桌

面上每排可以放4个APP,现要将它们放成两排，若每排都有这4个中的APP,且A和3放

在同一排，则不同的排列方式有（）

A.288种B.336种C.384种D.672种

5.［2024届.黑龙江齐齐哈尔.一模］某饮料厂生产A,3两种型号的饮料，已知这两种饮料的生

产比例分别为40%,60%,且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为20%,80%,若从该厂

生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（）

A.0.12B.0.20C.0.44D.0.32

6.［2024届•南宁三中•二模］若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参

加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（）

A.16B.20C.28D.40

7.［2024届.河北.模拟考试］某小学为提高课后延时服务水平和家长满意度，对该校学生家长就

服务质量、课程内容、学生感受、家长认可度等问题进行随机电话回访.某天共回访5位家长，

通话时长和评分情况如下表：

时长X（分钟）1012141519

评分y60m751.2m+590

根据散点图分析得知y与x具有线性相关关系且求得其回归方程为丁=3.2%+29.8，则m=（）

A.61B.63C.65D.67

二、多项选择题

8.［2024年新课标I卷高考真题］随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举

推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到

推动出口后亩收入的样本均值元=2.1,样本方差?=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从

正态分布N（L8,012）,假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（亍,$2）,则（若随机变量Z

服从正态分布则P（Z<〃+cr）a0.8413）（）

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0,5C.P（Y>2）>0.5D.P（Y>2）<0,8

9.［2024春.高二.江西宜春・月考校考］某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年

级中随机抽取了100名学生的成频，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析商分

学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于［80,90）内的学生成绩方差为12,

成绩位于［90.100）内的同学成绩方差为10.则（）

参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m,x,s^,n,J,s；平

均数为①.样本方差为$2,s；+（i）2］.

m+n'-」m+n1-」

B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14

C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25

三、填空题

10.[2024年新课标I卷高考真题]甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的

卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛,

在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数

字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮

次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为..

2+一（%-2丁）642

11.[2024届.江苏省前黄高级中学.一模]Iy）的展开式中XV的系数为.（用

数字作答）

四、双空题

12.[2024届.长沙市第一中学.模拟考试]某高中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发

展，决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校开设了传统武术、舞蹈、书法、

小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，从高一到高三3个学年将4门选修课

程学完，则每位同学的不同选修方式有种，若已知某同学高一学年只选修了舞蹈与

书法两门课程，则这位同学高二学年结束后就修完所有选修课程的概率为.

五、解答题

13.[2024年新课标H卷高考真题]某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比

赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰,

比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3

次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.

某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投

中与否相互独立.

(1)若p=0.4,4=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概

率.

(2)假设0<p<q.

(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

14.[2024届.山东临沂.二模]“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶

大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2x2列联表所示

(单位:人).

非常喜欢感觉一般合计

男性3t100

女性t

合计60

⑴求才的值，试根据小概率a=0.01的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性

别有关；

⑵从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女

性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5

人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望E(X).

参考公式:/=正端骑焉E其中…+”小

a0.10.050.01

X”2.7063.8416.635

15.[2024届.湖南师大附中.模拟考试]某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其

中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学

们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为;，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三

天内去运动场锻炼的次数为X,已知X的分布列如下：(其中。>0,0<;?<1)

X0123

a

p〃(1-p)2aa(l-p)

P

(1)记事件4表示王同学假期三天内去运动场锻炼，・次a=0,1,2,3),事件3表示王同学在这三

天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当时，试根据全概率公式求

产(3)的值;

⑵是否存在实数Q使得E(X)=g?若存在，求p的值：若不存在，请说明理由；

⑶记M表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”,N表示事件“王同学去甲运动场锻炼”,

0(尸(M)<1.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概

率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明：P(M\N)>P(M\N).

参考答案

1.答案：C

解析：对于A,因为前3组的频率之和0.06+0.12+0.18=0.36<0.5,前4组的频率之和

0.36+0.30=0.66>0.5,所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为［1050,1100),故A不正

确；

对于B,100块稻田中亩产量低于11001^的稻田所占比例为/)^^^义100%=66%,故8

不正确；

对于C,因为1200-900=300,1150-950=200,所以100块稻田亩产量的极差介于200kg至

300kg之间，故C正确;

对于D,100块稻田亩产量的平均值为

j^x(925x6+975xl2+1025xl8+1075x30+1125x24+1175xl0)=1067(kg),故D不正确.

综上所述，故选C.

2.答案：D

解析：某乡镇7个村的得分：10,7,6,9,8,9,5,由小到大排序为：5,6,7,8,9,9,

10,所以中位数为8,众数为9.

故选：D.

3.答案：B

=晨(2力~［彳］=CX26-r-^.

解析:的展开式的通项为

的常数项为C：-a4-22=60a4=60,则a=±l)

的二项展开式中常数项为60”的充分不必要条件.

故选：B.

4.答案：D

解析：选定一排放A和3的不同方法数是A；Aj,另一排放C,。的不同方法数是A；,

不同的排列方式有A；A：A：=2x12x12=288；

从C,。中取一个与A,3同排，不同的排列方式有A；A：A；A；=384,

所以不同的排列方式有288+384=672(种).

故选D.

5.答案：C

解析：由题意，选至U非碳酸饮料的概率为40%x(l—20%)+60%x(l—80%)=0.44.

故选：C.

6.答案：C

解析:第一步,先分组,分为一组2人,另一组4人，有C；C；=8种；分为每组各3人，有==6

种，分组方法共有14种.第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有A；=2种.所以，总的分

配方案有14x2=28种.故选：C.

7.答案：C

解析：依题意，^x=|x(10+12+14+15+19)=14,

—]

y=—x(60+/n+75+1.2/n+5+90)=46+0.447〃，

将样本中心正,y)代入回归方程y=3.2%+29.8，

得46+0.44m=3.2x14+29.8，解得m=65・

故选：C.

8.答案：BC

解析：由题意可知，X~N(1.8,012),所以尸(X>2)<P(X>1.8)=0.5,P(X<1,9)»0.8413,

所以P(X>2)〈尸(XNL9)=1—P(X<1.9)=1—0.8413=0.1587<。2,所以A错误，B正确.因

为y~N(2.1,012),所以尸(7<2.2)「0.8413,P(F>2)>P(F>2.1)=0.5,所以

P(2<Y<2,1)=P(2.1<y<2,2)=P(Y<2.2)-P(Y<2,1)«0.8413-0.5=0.3413,所以

P(y>2)=P(2<y<2.1)+P(y>2.1)^0.3413+0.5=0.8413>0,8,(另解:

P(Y>2)=P(Y<2.2)®0.8413>0.8)所以C正确，D错误.

综上，选BC.

9.答案：BCD

解析：对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1.

则(2a+3a+7a+6a+2a)xl0=200a=l,解得a=0.005,A错；

对于B选项，前两个矩形的面积之和为(2a+3a)x10=50a=0.25<0.5.

前三个矩形的面积之和为(2a+3a+7a)x10=120a=0,6>0,5.

设该年级学生成绩的中位数为机，贝I]me(70,80),

根据中位效的定义可得0.25+(m-70)x0.035-0.5,解得m«77.14,

所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14,B对；

对于C选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为一^义85+义95=87.5分,

6a+2a6a+2a

C对；

对于D选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为

|[12+(87.5-85)2]+^[10+(87.5-95)2]=30.25,D对.故选：BCD.

10.答案：-

2

解析：因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为

3.

若甲的总得分为3,则甲出卡片3,5,7时都赢，所以只有1种组合：3-2,5-4,7-6,1-8.

若甲的总得分为2,有以下三类情况：

第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为3-2,5-4,1-6,7-8；

第二类，当甲出卡片3和7时赢，有3—2,7—4,1—6,5—8或3—2,7—4,1—8,5—6或3—2,

7—6,1-4,5-8,共3种组合；

第三类，当甲出卡片5和7时赢，有5—2,7—4,1-6,3—8或5—2,7—4,1-8,3—6或

5-4,7-2,1-6,3-8或5-4,7-2,1-8,3-6或5-2,7-6,1-4,3-8或5-2,7-6,

1-8,3-4或5-4,7-6,1-2,3-8,共7种组合.

综上，甲的总得分不小于2共有12种组合，而所有不同的组合共有4x3x2x1=24(种)，所

以甲的总得分不小于2的概率尸=上19=上1.

242

11.答案：-40

解析：(x—2y)6的通项公式为4+1=C"~(—2y)'=q(—2)'产「V,

令r=2得，n=建(-2)2凸2=60卷2,此时60-广2=120凸2,

令r=3得,n爪6(-2)尤y=-160%y,此时y,

49

故xy的系数为120—160=-40

故答案为：-40

12.答案：①.54②，或0.25

4

解析：由题意可得三个学年修完四门选修课程，每学年至多选2门，

则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,2,2.

先将4门选修课程按1,1,2分成三组，有C】C[C；种方式,再分到三个学年，有A；种不同

A；

方式，

由分步计数原理得，不同的选修方式共有C£C.A；=36种.

尺

「202

同理，将4门选修课程按0,2,2分成三组，再排列，有金2.8=18种，

席

所以共有36+18=54种不同选修方式；

若将“某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程”记为事件4将“高二学年结束后就修

完所有选修课程”记为事件反

根据题意，满足事件A的所有选课情况共4种情况，其中包含高二选修完或高三选修完其他2

门，或是高二，高三各选1门，共4种情况，

其中同时满足事件B的仅有1种情况.根据条件概率公式P(B|A)=[券，可知所求概率为;.

故答案为：54；1

4

13.答案：(1)0.686

⑵(i)甲

(ii)甲

解析：(1)设/="甲、乙所在队进入第二阶段”，则P(A)=1-(1-0.4)3=0.784.

设&="乙在第二阶段至少得5分”，则P(4)=l—(1—0.5)3=0.875.

设&="甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，则尸(4)=尸(A)•尸(4)=0.686.

(2)(i)设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为4,

则谓=[1一(1—p)31/=p/.(3—3p+p2).

设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为名，

则与=小3.(3_3q+/).

则与=pq(3q2-3Pqi+p2q2-3p2+3p1q-p1q1^=3pq{q-p)-{p+q-pq),

由0<p<q<l,得q-p>0,p+q-pq=p+q(l-p)>0,

所以编-名〉0,即编〉乡.

故应该由甲参加第一阶段比赛.

(ii)若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,

15.

333

p(X=0)=(l-Jp)+[l-(l-Jp)]-(l-^)

P(X=5)=[1—(1—p)31c；.q.(l—4,

P(X=10)=[l—(1—p)31c；—q),

P(X=15)=[1—(1—p)31c：/,

2

所以E(X)=[1—(1-p)3].[15q(l—q)2+30^(l-^)+l5/]

==]5pq(p2—3〃+3).

若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩y的所有可能取值为0,5,10,15.

同理，可得E(y)=15pq(/_3q+3).

E(X)-E(Y)=15pq(p2-3p—/+3q)=15pq-(q-p)-(3-p-q),

由0<p<qKl,得q-P>0，3-p-q=3-(p-bq)>0,

所以E（X）-E（y）＞0,即E（X）＞E（y）.

故应该由甲参加第一阶段比赛.

14.答案：（1）年轻人对“赶大集”的态度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.

（2）分布列见解析，E（x）=—

解析：（1）由题意可知：3f+（60-。=100,解得f=20,

2x2列联表如下:

非常喜欢感觉一般合计

男性6040100

女性8020100

合计14060200

2_200x(60x20-80x40)2

__140x60x100x100-

200x20002

»9.524>6.635.

140x60x100x100

根据小概率值。=0.01的独立性检验，认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关，此推断犯

错误的概率不大于0.01.

（2）设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为如女性中非常喜欢“赶大集”的人

数为〃，则X=7"+〃，且X的所有可能取值为1,2,3,4.

p(X=l)=p(m=0,«=l)=^^=^=^,

P(X=2)=p(m=L"=1)+P(m=o,"=2)==U，

I/I7v)cqC；Cq；cC；C；30

z^'il-Irsrs

p(X=3)=P(m=2,H=l)+P(m=l,n=2)=^y-^+-^^=—=-,

P(X=4)=P(m=2,n=2)=232=—二一.

v'v'C；C；3010

・•・X的分布列为

X1234

11321

p

1530To

12cl3.12,