2024年高考数学复习专项试题汇编：三角函数与解三角形

(3)三角函数与解三角形

——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编

一、选择题

1.[2024年新课标I卷高考真题]已知cos(a+/?)="tanortan/?=2,则cos(a-/?)=()

mvn

A.-3mB.--C.—D.3m

33

2.[2024年新课标II卷高考真题]设函数f(x)=a(x+l)2-1,g(x)-cosx+2ax,当xe(-1,1)时，

曲线y=/(x)和y=g(x)恰有一个交点.则a=()

A.-1B.-C.lD.2

2

3.[2024年新课标I卷高考真题]当xe[0,2初时，曲线y=sinx与y=2sin(3x-工)的交点个数

6

为()

A.3B.4C.6D.8

4.[2024届嘿龙江齐齐哈尔•一模]已知33+看卜：，则si《2a-看卜()

733

AB.--C.-D.--

-i888

JT

5.[2024届•山西长治•一模校考]已知函数/(x)=Asin((yx+°)(A>0,a)>0,⑷<,)的部分图

象如图所示,若方程/(%)=用在上有两个不相等的实数根，则实数机的取值范围是()

6.[2024届•江西•模拟考试]在△ABC中，若sinA=2cos3cosC,则cosz5+cos2c的取值范围

为()

A[B.可]c."D"铝

7.[2024届.湖北.模拟考试联考]在△ABC中，AC2+BC2^5AB2,则晒色+晒C=()

tanAtanB

A.2B.lC.BD正

3222

8.[2024届•湖南师大附中•模拟考试]若锐角a,/3满足3cos(a+0=cosccos〃，则tang+尸)

的最小值为()

A.272B.273C.2A/50,276

二、多项选择题

9.[2024年新课标H卷高考真题]对于函数/(x)=sin2x和g(x)=sin12x-£|,下列说法中正确

的有()

A./(%)与g(x)有相同的零点B./(x)与g(x)有相同的最大值

C./(%)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴

10.[2024届.河北衡水.二模联考]如图，点A,B,C是函数/(x)=sin(ox+0)(o>O)的图象与

直线y=且相邻的三个交点，且忸=/，ff--1=0,则()

23112J

C.函数“力在[看]上单调递减

D.若将函数"％)的图象沿x轴平移夕个单位，得到一个偶函数的图像，则冏的最小值为最

三、填空题

U.[2024年新课标n卷高考真题]已知a为第一象限角，/3为第三象限角，tano+tan，=4,

tanatan/3=A/2+1,则sin(tz+耳)=.

12.[2024届.山东威海.二模]在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知&=«,

Z?+c=4>cosC=•贝UsinA=-------------

6

13.[2024届.长沙市第一中学.模拟考试]已知函数

/(x)=sin[ox+'|J+6cos[ox-'1'1+6cos0x(O<间<1)的图象的一条对称轴为直线x=~,

则a)=.

四、解答题

14.[2024年新课标I卷高考真题]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinC=^2cosB,a2+b2-c2=Oab.

(1)求&

(2)若△ABC的面积为3+百，求c.

15.[2024年新课标H卷高考真题]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinA+V3COSA=2.

(1)求A；

(2)若a=2,y/2bsinC=csin2B,求△ABC的周长.

参考答案

1.答案：A

sinasinD

解析：由cos(df+J3)=相得cosecos/?-sinasin/3=根①.由tanatan/?=2得---------=2②，

cosacos0

,［cosacos3=-m_

由①②得《，所以cos(e-7?)=cosacos/?+sinasin乃=一3根，故选A.

sinasm/3--2m

2.答案：D

解析：由题意知/(X)=g(x),贝！J6Z(X+1)2-1=COSX+2^X,即COSX=+1)一1,令

h(x)=cosx-a(^x2+1)+1.易知h(x)为偶函数，由题意知力(九)在(一1,1)上有唯一零点，所以

/z(0)=0,即cosO—Q(0+1)+1=0,得a=2,故选D.

3.答案：C

解析：因为函数y=2sin13x-F)的最小正周期T=§,所以函数y=2sin［3x-t］在。2河上

的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数〉=25由［3%-看］与丁=5足工在。2兀］上的图象如

图所示，

由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.

4.答案：A

解析：设tz+'=f,则&=/■一巴，cost=-,sin(2tz—工］=sin2。一工］一工=sinfIt--

664I6［66I2

=_cos2?=_(2COS2,_1)=_-]=—•

故选：A.

5.答案：B

解析：观察图象知，A=2,函数/(x)的周期T=g*-(-g)]=7i,。=与=2,

由/(!1■)=2，得2*5+夕='1+24兀，左eZ,而l9l<],则°=

于是/(x)=2sin(2x+m),当时，2%+三e[―g,]],

当2x+^e[-勺，即xe[-±-型],函数单调递减，函数值从-逝减小到-2,

332212

当2x+^e[-二,当，即xe[-2,0]时，函数/⑶单调递增，函数值从-2增大到石，

32312

显然函数“X)的[-工-马上的图象关于直线x=-型对称，

2312

方程/(%)=根在[-],0]上有两个不相等的实数根，即直线>=加与函数y=/(x)在[-],0]上的

图象有两个公共点，

所以实数机的取值范围是(-2,-.

故选：B.

6.答案：B

解析：SsinA=2cosBcosCsinBcosC+cosBsinC=2cosBcosC,所以tan5+tanC=2,又

--cos^R

2cos5cosc>0,所以5,C均为锐角，即tan_B>0,tanCAO.cosO^B+cosOCu——石--------z—+

sin2B+cos2B

22222

------c-o--s---C------=-------1------1-------1------=----2--+--t-a--n---B---+--t-a-n---C----=----------t-a--n---B--+---t-a-n---C---+--2----------

sin2C+cos2C1+tan2B1+tan2C(^1+tan2B^l+tan2C)tan2Btan2C+tan2B+tan2C+1

.因为tan?J3+tan2C=(tan3+tanC)2-2tanjBtanC=4-2tanBtanC,所以cos26+cos?C=

6-2tanBtanC

设3—tanBtanC=m,贝！]cos2B+cos2C=--------------------------

tan2Btan2C-2tanBtanC+5(3—m)—2(3—m)+5

—=—|—，因为tan^tanCJtan8+tanC[=],当且仅当A=3=乌时等号成

苏—4"吐8m+l_4I2)4

m

立，所以加e[2,3),m+—£^4^2,6,cos2B+cos2Ce1,-------|.故选A

7.答案：B

解析：设AC*BC=a,AB=c,

由3+802=56,

则it?+〃=5c-,

tanCtanCJcosAcos5sinCsin(A+B)sin2C

------+-------=tanC|-------+-------

tanAtanB[sinAsinBcosCsinAsinBsinAsin5cosC

―—1

a+b2-c1=彳，故选：B.

a7bx-------------2

lab

8.答案：D

2

解析：3cos(cr+)3)=cosacosP=^>3cosacos/?-3sinorsinp=cosocos/?=^>tanortan

于是tan(6z+〃)=‘an"+tan'=3(tana+tan〃)>6jtanatan/?=2A/6.选D.

1-tanortan/?

9.答案：BC

解析：对于令贝！］弓，又kit

A,/(x)=0,%=keZ,gWO,故A错误;

对于B,/(x)与g(x)的最大值都为1,故B正确；

对于C,/(x)与g(x)的最小正周期都为兀，故C正确；

对于D,/(%)图象的对称轴方程为2》=二+也，ZreZ,BPx=-+—,ZeZ,g(x)图象的对

242

称轴方程为2x-2=2+版，keZ,即x=型+如，kwZ,故/(x)与g(x)的图象的对称轴不

4282

相同，故D错误.故选BC.

10.答案：ACD

解析：令/(x)=sin(ox+0)=岑得，a>x+(p=^+2kn^a)x+(p=^-+2kn,keZ,

=__兀兀27r

由图可知：coxA+(p=—+2kn,coxc+(p=—+2H+2TI,coxB+(p=-+2kn,

所以忸£+।阴=&"*

coHH

所以]=|5c|-|A创1+2兀）所以口=4,故A选项正确,

所以〃“=sin（4x+0）,由/卜/=0且x=*处在减区间，得sin=0,

JT

所以--\-(p=Tt+2左兀,keZ,

3

47r

所以夕=丁+2.，左£Z,

所以/(x)=sin(4x+也+2左兀]=sin|4x+—|=-sin|4x+—

)兀57171

4x+—G——，2兀+一

333

因为y=-sinf在峰[?,2兀+皆为减函数，故"X）在上单调递减，故C正确；

将函数“X）的图象沿x轴平移9个单位得g（x）=-5由14%+4，+5],（。＜0时向右平移，。＞0

时向左平移），

g（x）为偶函数得4。+]=]+®,keZ,

所以£=（+,,keZ,则冏的最小值为（，故D正确.

故选：ACD.

11.答案：-述

解析：由题知tan(a+yg)=1alia+tan尸一=---4=_2插,gpsin((z+/3)=-2^2cos((z+/3),

1-tan-tan1-^2-1

Xsin2(ci:+/7)+cos2(a+P)=1,可得sin(c+，)=~~~~.由2%兀<a<2%兀+]keZ,

2mn+7i</7<2mn+—,meZ,M2(A;+m)7t+n<a+J3<2(Jc+in)n+2n,左+7〃GZ.又

tan(o+0<O,所以a+，是第四象限角，故sin(a+夕)=-2^.

答案：立

12.

3

解析：在△ABC中，由余弦定理可得02=42+82—2abcosC，

所以/—Z?2=6-2V6£>x(―^^-)»所以(c—b)(c+Z?)=6+2Z?，

因为c+/?=4,所以4(c-b)=6+2b,所以4c-6b=6

解得6=1，c=3，

由cosC=一^-9可得sinC=，

66

在△ABC中，由正弦定理可得-^=4，

sinCsinA

[7

所以「asinC"义―T非.

smA=--------=---------U—=——

c33

故答案为：昱.

3

13.答案：工

3

解析：/(X)=sincoxcos—+coscoxsin—+A/3COSGXCOS—+^sinGxsin—+A/3COSCOX

3333

=2sinG%+2gcosG%=4sina>x+—,

I3j

由于/(x)的图象的一条对称轴为直线x=:,

所以:①+三=]+hi(左GZ),

2

解得①=§+4k(keZ).

又因为0<|G|<1,

所以O=工•

3

故答案为：'

3

14.答案：（1）B=-

3

（2）C=2A/2

解析：⑴由余弦定理得COSC=F272^_2=I6，

7T

又0＜。＜兀，.\C=—.

4

正1

/.0cosB=sinC=——，cosB=一

22

jr

又0＜5＜兀，:.B=—.

3

57r

（2）由（1）^A=n-B-C=—,

12

由正弦定理^得L=/，

sinAsinCj2+，6122

4~T

.".△ABC的面积S=—ocsinB=1+"c?义^~—3+-x/3,得c=2A/2.

242

15.答案：（1）A=-

6

（2）2+76+372

解析：（1）解法一：由sinA+J^cosA=2,sinA+^-cosA=1,

22

所以si“A+m=1.

因为0＜4＜兀，所以工＜A+二〈生，

333

所以A+^=巴，故4=工.

326

解法二：由sinA+百cosA=2,得/cosA=2-sinA,

两边同时平方，得3cos2A=4-4sinA+sin2A,

贝!J3(^1-sin2A)=4-4sinA+sin2A,

整理，^l-4sinA+4sin2A=0,

所以(1—2sinA)2=0,则sinA=^.

2

因为0<4<兀，所以A=2或A=2.

66

当人=色时，sinA+百cosA=2成立，符合条件；

6

当A=型时，sinA+geosA=2不成立，不符合条件.故A=q.

66

解法三：由sinA+百cosA=2,得sinA=2-百cosA,

两边同时平方，得sin2A=4-cosA+3cos2A,

则l-cos?A=4-4石cosA+3cos2A,

整理，得3—4后cosA+4cos2A=0,

所以(6—2COSA)?=0,贝!JcosA=

2

因为0cA<71,所以A=巴.

6

(2)由yjlbsinC=csin23,得absinC=2