2024年初高数学衔接之运算能力训练基础版

初高数学衔接之运算能力训练基础版

专题01：乘法公式、因式分解、二次根式与绝对值

一、填空题(共12题，每题5分)

1.若/++k是一个完全平方式，则k等于—

2.(a+b)2—(a—b)2=

3.分解因式a2+8ab—33b2得—

4.若多项式x2-3x+a可分解为(%-5)(%-b),则a、b的值是

5,当％V3时，计算V9—6%+%2—|x—6|=—.

6.二次根式Va1=-a成立的条件是—

7•若|a—4|=-\b+2|,则化简得__

8.已知(%—2)2+\2y—1|=0,则％+2y=

9.已知a<-6，化简|6-Va2l结果为—

10.已知x2+y2=169,、-y=7,那么xy的值为

11.若(a+I)2+|h—2|=0，则a=—;b=—.

12.因式分解a3—5a2b+6ab2为—

二.解答题(共4题,每题10分)

13.计算

(1)(4+m)(16—4m+m2)

(2)m-|n)(257712+^mn+^712)

(3)(2x-

(4)(x+1)(%—l)(x2—x+l)(x2+x+1)

(5)(a+2)(a—2)(a，+4a2+16)

14.因式分解

⑴x2+6x+8

(2)8a3-b3

(3)b4-2b2-8

(4)3x24-4xy+y2

(5)b2+c2+2ab+2ac+2bc

15.化简

⑴4V24-6V54+3V96-2750

(2)闻*|舟(—2同

16.已知冗2_3、+1=0,求％3+2+3的值.

专题02:分式运算、分式方程与分式不等式

(训练时间:40分钟,满分:100分)

一、填空题(共12题，每题5分)

1.分式咦的值为1时,m的值是

m+5

2.代数式一「有意义，则x需要满足的条件是

H——

3.不等式2>1的解集为

J=1的根为

2

5.a=^,b=二则3a—ab

3a2+5ab-2b2

6•不等式奈<。的解为—・

7.正数居y满足x2-y2-Ixy，则—的值为

9.若B=则白=

10.若分式券的值为0,则x的值等于—

x-1

11.关于X的方程2a*+3=J的根为X--2，则a-

a-x4

12.若分式方程三-5=已无解，那么m的值应为—

x-22-x

二、解答题(共4题，每题10分)

13.解不等式：

(1)$三>0;(2]>3.

IJx2-x+l'Jx+2

14.解方程：

(11—-1=——-——

I)x-1(x-l)(x+2)

⑵2%-1_一-5

〔J(%-1)(%-2)-(%-2)(%-3)

15.若手==-+A，求常数4B的值.

x(x+2)xx+2

24--....—

16.化简：好1

x+k

专题03:韦达定理

(训练时间:40分钟,满分:100分)

一、填空题(共12题，每题5分)

1.已知关于%的方程/+k%-2=0的一个根是1,则它的另一个根是—

2.若关于%的方程久2+(1_1)K+k+1=0的两根互为相反数，则k的值为—

3.若一元二次方程(m—I)%2+2(m+l)x—m—0有两个正根，求m的取值范围

4.设一元二次方程%2-6x-3=0的两个实根为修、K2，则Xi+%2-

2

5.已知方程%-3%-1=0的两根为xltx2，则Qi-3)(久2-3)=

6.已知方程x2+px+q-0的两根均为正整数，且p+q=28，那么这个方程两根为

7,已知a、0是方程2/+4%-3=0的两个根，则(+卷=

2

8.已知关于x的等式x+x+a-0的两根为％1、x2，则I%—x2\-

2

9.已知x1,x2是关于x的一元二次方程--(2m+3)尤+m-0的两个不相等的

实数根，并且满足三+三=1,则实数m为—

XlX2

10.已知a,P是方程%2+2%-5=0的两个实数根，求仇2+打3+2a的值为

11.已知方程2/—(k+1)%+k+3=0的两根之差为1,则k的值为

若实数arb，且、b满足22，则代数式—+—

12.aa-8a+5=0,h-8h+5=0a-lb-1

的

值为一

二.解答题(共4题，每题10分)

13.已知两个数的和为4,积为12,求这两个数.

14.已知关于x的一元二次方程2久2+收-2a+1=0的两个实根的平方和为-,

4

求a的值.

2

15.已知xltx2是关于x的方程+(2a-l)x+a=0的两个实根，若

(%i+2)3+2)=11,求a的值.

16,已知关于x的方程x2+2(m-2)久+m2+4-0有两个实数根，并且这两个实

数根的平方和比两个根的积大21,求实数利的值.

专题04:二次函数的图像与性质(基础版)

一、填空题

1,二次函数y-x2-2x-4的最小值为—

2.二次函数y=/+2%+c的最小值是1,则c的值是

3.已知某二次函数的顶点坐标是(1,2)，并且图象经过点(3,-1)，则此二次函数的表

达式为—

4.已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8)，则此二次函数的表达式为

5.二次函数y=2x2-mx+n图像的顶点坐标为(1,一2)，则m=_，九=_.

6.一个二次函数的图象的顶点坐标为(3,-1)，与y轴的交点坐标为(0,-4)，这个二

次函数的解析式是—

7.把抛物线y=-/向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的

表达式为—

8.二次函数y=-/+2久+8的函数图象与x轴两交点之间的距离为—

9.已知函数y--/+4%-2,当上时y的最小值是—

10.二次函数y-ax2+2ax+1的最大值为|,则a的值为—.

11.已知二次函数的图象过点(一3,0),(1,0)，且顶点到x轴的距离等于2,二次函数的

表达式为—

12.已知二次函数y=-/+2x+c,当一1W久W2时,函数的最大值与最小值的差

为一

二、解答题

13.已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=久+1上，并且图象经过点

[3,-11求二次函数的解析式.

14.抛物线y--x2+(m—l)x+租与y轴交于(0,3)点.

(1)求出m的值并画出这条抛物线；

(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；

(3)x取什么值时，抛物线在%轴上方？

(4)x取什么值时,y的值随x值的增大而减小？

15.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量m

(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m=162-3%,30<%<54.

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价》之间的函数关系式；

(2)若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适？最大销

售利润为多少？

16.已知某二次函数的图象与x轴交于点4(2,0),B(4,0)，且过点(1,3),

(1)求此二次函数的解析式；

(2)求1WxW>1)时的最大值和最小值.

第8页共32页

专题05:三个二次的关系(基础版)

(训练时间:40分钟,满分:100分)

一、填空题(共12题，每题5分)

1.不等式%2+6%+8>0的解集为

2.不等式(x+5)(l-x)>8的解集是

3.若关于x的不等式%2+mx+n<0的解集是{%|-3<%<2},则m+n=

4.二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的图象如图所示，则不等式(ax+b)(cx-/?)<

0的解集是_.

6.不等式4x2-4x+1>0的解集为—.

7,已知不等式(k-I)%2—6%+8<0的解是(-co,-2)UQ,+8)，则k=—.

8.不等式交詈>0的解集为

9.关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|%W1或％22},则a+b=

10.不等式-3/+6%>2的解集为

11.若关于%的不等式x2+(/c-1)%+4>0对一切实数%恒成立，则实数k的取值

范围是

12.不等式ax?+%+1>0的解集为(犯1)，则m=

二、解答题(共4题，每题10分)

13.解下列不等式：

⑴4%2—4%+1>0;

(2)%2—6%+9<0.

14.已知不等式ax2+bx+1>0的解为［-1V、VI,求a和b的值，

并解不等式bx2—5x—a<0.

15.解下列不等式：

⑴x2—ax—12a2<0(a<0);

(2)(a—%)(、—1)>0(0<a<1).

16.已知不等式(a+l)%2-4%-6<0的解集是{%I-1<%<3］.

(1)求常数Q的值；

(2)若关于x的不等式ax2+mx+4>0的解集为R,求m的取值范围.

详细解析：

专题一参考答案：

14.一1m2

16

【分析】由题可得x2+\mx+k^(x+［租?，即得.

【详解】因为/+1利久+k是一个完全平方式，

所以x2+-mx+/c=%2+2x-mx+k=(%+-m］，即k=—m2.故答案为：

24\4716

12

16

2.4ab【分析】直接由完全平方公式求解即可.

【详解】(a+b}2—(a—b)2=a2+2ab+b2—(a2-2ab+b2)=4ab.故答案为:

4ab.

3.(a+llb)(a—3b)

【分析】直接由十字相乘法分解因式即可.

【详解】a2+8ab—33b2=(a+11b)(Q—3b).故答案为：(a+llb)(a—3b).

4.a=—10,b=—2

【分析】直接由整式的乘法及因式分解求解即可.

【详解】(％-5)(%-&)=x2-(5+b)x+5b，则厂3=-(5+防，解得(b=-2

I。=5bla=-10

故答案为:a=-10,b=-2.

5.3

【分析】利用二次根式的性质化简,再利用绝对值的代数意义计算即可.

【详解】解:r%<3，所以%-3<0,%-6<0,

:.V9—6%+x2一—6|=1(x_3产—|x—6|=|x—3|—|x—6|=—(%—3)—

[一(%—6)]=—x+3+%—6=-3,

故答案为:3

6.a<0

【分析】利用=\a\得到|a|=-。,从而得到a<0.

【详解】二次根式=\a\=—a,所以a40.故答案为:a<07.a=4,b=—2

第11页共32页

【分析】利用绝对值的非负性求出afb的值.

【详解】|a—4|=—\b+2|=|a—4|+也+2|=0=a=4,b=—2故答案为：

a=4,b=—2.

8.3

【分析】直接由绝对值和平方求出光,2y,代入求解即可.

【详解】由题意知,x—2=0,2y—1=0,即％=2,2y=1,则久+2y=3.故答案为:

3.9.-CL—6

【分析】利用笳=⑷,结合去绝对值法则化简计算.

【详解】|6—Va^l=|6—\a||,因为a<-6,所以\a\=—a,故|6——|6—\a||

=|6+Q|,

又因为ci<—6,所以a+6Vo,所以16—Vci21=|6—\a||=|6+ct\=-6—ci，故答

案为：—a—6

10.60

【分析】直接由完全平方公式求解即可.

【详解】由％—y=7可得(N―y)2=x2+y2—2xy=49，又x2+y2=169，则

xy=60.

故答案为：60.

11,-12

【分析】根据平方和绝对值的非负性得到｛，1;二;，求出答案.

【详解】因为(a+1)220,仍一2|。0,(a+1)2+>一2|=0,

所以E5?，解得:£=,故答案为:1,2

3—2=03=2

12.a(a—2b)(a—3b)

【分析】直接由提公因式法和十字相乘法因式分解即可.

【详解】a3—5a2b+6ab2=a(a2—Sab+6b2)=a(a—2b)(a—3b).故答案为:

a(a—2b)(a—3b).

13.(1)64+m3

(2)—m3—-n3

IJ1258

(3)8x3-36x2+54%-27

(4)%6-1(5)a6-64

【分析】由立方和、立方差等公式结合整式的乘法依次求解即可.

⑴

(4+m)(16—4m+m2)=43+m3=64+m3;

(2)

11

/I1V212—3/I1313

-m------n—H--------mn+-n^]=\-m]—\-n=——-----n3;

\52八25104/\5/\2J1258

(3)

(2%—3)3=8%3—36%2+54%—27;

⑷

解法一：(x+1)(%—1)(——X+l)(x2+X+1)=(x2—l)[(x2+l)2—X2]=

(%2—1)(%4+%2+1)=%6—1;

解法二:

(%+1)(久—1)(久2—X+1)(%2+X+1)=(X+1)(/—X+1)(%—1)(/+%+1)

=(X3+1)(%3—1)=%6—1;

⑸

(a+2)(a—2)(a44-4a2+16)=(a2—4)(a4+4a2+42)=(a2)3—43—a6—64.

14.(l)(x+2)(%+4)

(2)(2a—b)(4a2+2ab+b2)

(3)(b2+2)(6+2)(b-2)

(4)(3x+y)(x+y)

(5)(2a+b+c)(b+c)

【分析】由十字相乘法、提公因式法和公式法依次因式分解即可.

【详解】[1]/+6%+8=(%+2)(%4-4);

(2)8a3—b3—(2a)3—b3—(2a—b)(4a24-2ab+b2);

(3)b4-2b2-8=(b2+2)(b2—4)=(b2+2)(b+2)(b-2)；

(4)3x24-4xy+y2—(3x+y)(x+y);

⑸b2+c2+2ab+2ac+2bc=(b+c)2+2a(b+c)=(2a+b+c)(b+c).

15.(1)-8V6

(2)-3V2

【分析】(1)(2)由二次根式的运算法则依次化简求解即可.

(1)

4V24-6V544-3画-2V100=8标一18V64-12V6-10V6=-8V6;

【解析】先求出％13，再化简原式为（久+折t+y-3]+3，即得解.

2

【详解】V%—3%+1=0A%0A%+-=3.

X

由题得原式=(%+；)(/-1+丧)+3=(久+:)(久+()—34-3

=3(32—3)+3=21.

故答案为:21

专题二参考答案:

1.3

【分析】由题意,列分式方程,解得未知数的值,可得答案.

【详解】由题意，可得咦=1,解得租=一3,故答案为:3.

m+5

2.{%|%W—1且冗W-2}

【分析】根据分式有意义的条件可得」7+1H0且％+1。0,即可得到答案

X+1

【详解】解:要使代数式上有意义，

1+在I

所以+1W0且％+1H0，解得％W—1且％W—2，故答案为:{%|%W—1且

xW—2}

3.{%|0<%<5]

【分析】写出分式不等式的等价不等式组,再解不等式组即可.

【详解】解:因为§>1,所以§一1>0,即巴>0,

XXX

所以(5-x)x>0，解得0<%<5,

故不等式|>1的解集为{%I0<%<5},故答案为:(%|0<%<5]

4.1

【分析】根据题意化简方程为/一3久+2=0，求得方程的解，代入验证，即可求解.

14%2

【详解】原方程可化为:---------1---------------------------------

%+2(%—2)(%+2)X—21,

方程两边各项都乘以%2—4，可得(%—2)+4%—2(%+2)=7—4,即3%—6=

/—4,整理得：

%2—3%+2=0，解得％=1或%=2,

检睑把x=1代入/一4，不等于0,所以x=1是原方程的解；

把％=2代入％2—4，等于0,所以％=2是增根.所以,原方程的解是x=1.故答案

为：1.

5.-

7

【分析】由题意，化简分式，代入数值，可得答案.

3a2-aba(3a-Z?)a1

【详解】由题意,

3a2+5。匕-2匕2-(3a—匕)(a+2匕)-a+2b~i2-/

+a

将a=(b=j代入可得号=3故答案为目

(F)

【分析】将分式不等式转化为整式不等式，求解即可.

【详解】解：；笫<0,...(2%-3)(%+1)<0

即『二二匕。或［之二二3*。解得一1<无<,或无解.即不等式的解集为:,­,

+1>0+1<02

(F)

故答案为(―1,|)

【点睛】本题考查分式不等式的解法，需注意将解集写成集合或区间的形式,属于基

础题.

7.V2-1

［分析］令t==则t>0,由/一y2=2xy，得1一/=2t，解得t=四一1,所以

X

口=弓=£,将「值代入即可.

x+y1+/1+t

【详解】令t因为居y为正数，所以t>0,

因为/一y2=2孙，所以1一©)2=2占即1一#=2口

y

解得t=或一1或t=一加一1(舍)，所以4=舞=产=蓍=四一1,故答案

x+y1+-1+tV2

为鱼-1.【点睛】本题主要考查了转化与化归思通的运用.把已知等式转化为一

元二次方程问题来解决，是解题的关键.

8.%=—1或x=-21

【分析】先将原方程整理成，3,~=接着去分母得到两个解,最后检

(x-7)(2x+3)(x-7)(x-5)

验是否满足原方程

【详解】解：由—石=看片可得百会=湍有，

去分母化简，得x2+22%+21=0，解得巧=一1,%2=-21,

经检验，K1=-l,x2=-21都是原方程的解，故答案为:x=-1或尤=-21

9.-

4

【分析】交叉相乘并化简得4%=5y,从而可求不

【详解】解:签/=I"，3(2久一y)=2(%+y)，化简可得4x=5y..,.,=.故答案

为：；,y

4

10.1

【分析】通过题意得到当=0，所以分子为0,分母不为0,即可得到答案

x-1

【详解】解:因为分式”的值为0,所以岑=0，即。幻二1,解得％=-1,

x-1X-15-1W0

故答案为:1

11.-

21

【分析】将久=-2代入方程，然后去分母即可得到答案

【详解】解:因为方程型把=)的根为尤=一2,

a-x4

所以半竽=：(aH-2)，去分母得一16a+12=5a+10，解得a=5,故答案为:

a—(—2)421

2

21

12.8

【分析】分式方程首先转化整式方程,可解得整式方程的解,方程此解为分式方程的

增根时，可得答案.

【详解】由分式方程M-5=3，去分母可得4%-5(%-2)=-m,

x-22-x

解得久=10+m,当7H=-8时,x=2,即久一2=0，此为增根，分式方程无解.故答

案为：8.

13.(l){xIx>-3}

（2）{x|—7<%<—2]

【分析】（1）由分母恒大于0直接求解即可;

（2）作差，转化为求一元二次不等式即可.

⑴

X2—x+l=(x—^+^>0，原不等式可化为:%+3>0=>%>—3,

所以原不等式的解集为{%I%>-3}.

(2)

2x-1%+7

-3>0=><0,

%+2%+2

%+2W0铲汨

故(%+2)(%+7)<0速牛倚-7_x<-2.

所以原不等式的解集为{%|-7<x<-2].

14.（1）分式方程无根

（2）x=-1

【分析】（1）去分母,将分式方程变为整式方程,解方程,检验可确定原方程的根;

（2）去分母,将分式方程变为整式方程,解方程,检验可确定原方程的根;

⑴

由三一1=高而可得久（久+2）一（％一1）（%+2）=3,

整理得%+2=3,A%=1,

检验:％=1时,-1）（%+2）=0,故%=1不是原方程的解,

所以三一1=3没有根.

(x-l)(x+2)

(2)

由用万=遥不得（2久一D（久一。一5）（%—1）,

整理得x2-x-2-0，解得％=-1或x=2,

检验:当％=2时,（*-1）（%-2）,（%-2）（%-3）都等于0,

故％=2不是分式方程的根,％=-1适合分式方程，

2X-1x-5

故的根是x=-1

(X-l)(%-2)(X-2)(%-3)

15.A=2,B=3.

【分析】对等式右边进行通分，再由分子相等，建立方程组，即可得出常数4B的值.

A[x+2)+Bx_{A+B}x+2A_5x4-4

【详解】

x(x+2)x(x+2)x(x+2)

=5解得a=2,B=3.

ZA=4

【点睛】本题主要考查了数与式的运算，涉及了通分的应用，属于中档题.

16.-

X

【分析】根据题意，准确化简、运算，即可求解.

c,(x+l)-(x-l)2

2+112+(%_1)(%+!)_2+月=2(——1)+2=2/=2

[详解]由A'F

X-\-o--X+2%+.j]X(X2-1')+XX3X

x2-lx1

专题三参考答案：

1.2

【分析】由根与系数的关系求解.

【详解】由根与系数的关系知,1•久=一2,即久=一2.故答案为:2

2.1

【分析】利用韦达定理求出参数的值，再代入检验即可.

【详解】解:设方程/+(1—1)久+k+1=0的两根分别为久1、K2，

依题意，解得

%i+%2--也2-1)=0k=1或k=-1,

当k=1时方程即/+2=0，方程无实数根，故舍去；

当k=一1时方程即/=o，解得K1=牝=0，符合题意;故答案为:1

3.(0,1)

【解析】设两根为，由一元二次方程2有两个

x1,x2(m-I)%+2(m+l)x-m=0

正根，根据根的判别式和韦达定理,列式即可得解.

【详解】设两根为，根据题意可得：由2且

%1，%2A=4(m+I)4-4m(m-1)>0

m—10,

又有:％1•%2=---m---1--->0,x+%2乙=—m-17>0，解得:0VTHV1,故答案为：（0,1）

4.42

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系,结合完全平方和公式进行求解即可.

2

【详解】一元二次方程%-6%-3=0的两个实根为%2，所以有+犯=

6,x±x2——3,

2

因此瓷+/=（/+%2）—2%I%2=36—2X（—3）=42，故答案为:42

5.1

【解析】直接利用韦达定理计算可得；

2

【详解】解：因为方程X-3%-1=0的两根为XltX2，所以+%2=3,%1%2-~1

1

所以（%—3）（%2-3）=-3（尤+%2）+9=-1-3x3+9=-1,故答案为：1

6.2,30.

【分析】设方程的两根分别为均和x2，然后根据韦达定理可得p+q=-

1

（久+%2）=28,

然后等式两边都加1,利用因式分解求出X1和X2.

【详解】设久1，久2是方程的两个根，则①+%2=-p，②％1，%2=q,

v②①得：p+q=28,一（^i+K2）-28,x1x2-（久i4-%2）+1=29,

即%1（%2—1）—（%2-1）=29，整理得（%1—1）（%2—1）=29,

・••两根均为正整数,/一1=1*2-1=29或/-1=29,K2-1=1,

2

•••方程的两个根是:匕=2,久=30.或%=30,x2=2.故答案为:2,30.

【点睛】本题考查二次方程根的问题,考查学生运用韦达定理求根的能力,难度一般,

解答时针对原式合理变形是关键.

7.-

3

【解析】由于工+慨=修，所以利用根与系数的关系直接求解即可

apap

【详解】解：因为*0是2/+4%一3=0的两个实数根，

所以｛a/一〜所以！+"=穿=三=♦故答案为：！

I22

【点睛】熟练掌握根与系数的关系是解题关键.

8.vl—4a

【解析】用韦达定理求解即可

+%2)2—=V1—4(2

【详解】Xr+X2=-1,Xrx2=a,\xr—x2\=4%I%2

故答案为:V1—4a

9.3

【分析】化简后根据根与系数的关系求出血,再由判别式检验即可.

22

【详解】因为xlfx2是一元二次方程%-(2m+3)%+m=0的两个不相等的实

数根，

%1+

所以为1+上=2m+3,x1x2=血？，所以—+—=-=也芋=1,

*2%i%2

解得血=3或m=—1，又因为d=(2m+3)2—4m2=12m+9>0,得三，

4

所以m=3.

故答案为:3

10.0

【分析】由已知中见0是方程/+2x-5=0的两个实数根，结合韦达定理转化求

解即可.

【详解】解:a,0是方程/+2%-5=0的两个实数根，

可得a+0=—2,邓——5,a2+a/3+2a-a(a+0)+2a=—2a+2a—0.

所以必+戊0+2a的值为0.故答案为:0

【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与关系，难度不大,属于基础题.

11.3或9.

【分析】利用韦达定理求解.

(x+尤=把

【详解】设%1，%2为方程的两个根，则1之日"

卜「冷=三

由用一%2I=1得，(%1+尤2)2-4X^2=(?)-4X?=1,

整理得N-6k—27=0，解得:k=9或k=一3.

经检验当k=9或k=-3时,/>0成立.故答案为:3或9.

【点睛】本题考查二次方程根与系数的关系应用,属于简单题.

12.20

【分析】由题意可得b是方程％2一8工+5=0,可得a+b=8,ab=5,再将所

求的代数式化简整理即可求解.

【详解】因为a、b满足M—8a+5=0,炉—85+5=0,

所以a、b是方程%2—8%+5=0，可得a+b=8,ab=5,

(b-l)2+(a-l)2@2+匕2-2(a+b)+2

ab—(a+Z?)+l

(a+b)2-2a匕-2(a+b)+282-2X5-2x8+2

=-20,故答案为:20.

a匕一(a+b)+l5-8+1

13.2和6

【分析】法一:设这两个数分别是阳y,依题意得到方程组，解得即可；

法二：由韦达定理可知，这两个数是方程/-4久-12=0的两个根，解方程即可得解.

【详解】解:法一:设这两个数分别是阳y,则，

解得｛；1或「二，因此这两个数是2和6.

法二：由韦达定理可知，这两个数是方程/一钮-12=0的两个根，

解得%i=—2,X2=6，所以这两个数是2和6.

14.a=3

【解析】设%1，%2为方程的两根，写出韦达定理及根的判别式,再根据

2

xl+xl=%+%2)-2%1犯，即可得到关于。的一元二次方程，解得即可；

【详解】解:设为方程2%2+ax—2a+1=0的两根，则有:4=小—

8(—2a+1)>0

2

即a+16a—8>0①,xr+x2=―^②,xrx2-~~③

222

将②和③代入xr+x2=(%1+%2)—2rL&=9—1+2Q=B

解得a=3或a=—11,但a=—11不满足①式，故答案:a=3

15.1

【分析】根据两根之和等于-2,两根之积等于二把问题转化为方程即可解决问题.

CLQ

【详解】解:丁%i>%2是方程%,+(2a-l)x+M二0的两个实数根，

2

:.与+犯=1—2a,xr-x2=a

■:(%1+2)(X2+2)=11,

X

・•.X±X2+2aL+2)+4=11,

:.a?+2(1—2a)—7—0,

即a2—4a—5=0，解得a=-1,或a=5.

又•：A=(2a—l)2—4a2=1—4。开0,・•.a」.

4

a=5不合题意，舍去.a=-1.

16.m——1.

【分析】根据根的判别式可得利的大范围，再根据这两个实数根的平方和比两个根

的积大21,利用根与系数关系即可得到m的值

【详解】解:设方程的两个实数根为Xi，X2，

2

则%+冷=2(2-m),xrx2-m+4，根据这两个实数根的平方和比两个根的积

大21,

即+%2—xix2—(%i+%2)2—3久i%2—4(2—m)2—3(m2+4)=21,

解得TH=17或m,另由根的判别式可得N=4(m—2)2—4(m2+4)=

—16m>0,故m<0

综上,m--1,

【点睛】本题考查二次函数零点与方程根的关系，二次函数根与系数关系、根的判

别式等知识点，属于基础题.

专题四参考答案：

1.5

【分析】将二次函数配成顶点式,即可求出函数的最小值.

【详解】解:y=/-2%—4=/一2x+1—1—4=(久—1)2—5

.•・当％=1时,y有最小值，最小值为5,故答案为:5.

2.0

【分析】根据二次函数的解析式，得知其开口向上,函数的最小值就是其对称轴与二

次函数

图象的交点的纵坐标，把尤=-高=-1代入解析求解即可得参数C的值.

【详解】•••二次函数的对称轴为直线为=-2=-1,

2X1

.,.当％=—1时,y——1,二1-2+c=-1,解得c=0.故答案为:c—0.

3.y-—-X2+-%4--

,424

【分析】利用顶点假设二次函数为y=«(%-I)2+2g<0)，然后代入(3,-1)即

可得到答案

【详解】解:••・顶点坐标是(1,2),

设该二次函数的解析式为y-a(x-l)24-2(a<0),

・••二次函数的图像经过点(3,-1),.•.一1=a(3-1)2+2，解得a=-巳

二次函数的解析式为y=-：(%一I/+2,即y=-1x2+

4424

故答案为:y--|^2+|x+1

4.y——2x24-12%—8##y=-2(%—3)2+10

【分析】用待定系数法求解即可

【详解】设该二次函数为y=ax2+bx+c(aH0).

—22—CL—bc,

由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8)，可得一8=c,

、8=4a+2b+c,

解得a--2,b-12,c--8.所以，所求的二次函数为y--2x2+12%-8.

故答案为:y-―2久2+12%-8

5.40

【分析】利用二次函数的图像和性质直接计算即可.

【详解】因为二次函数y^2x2-mx+n图像的顶点坐标为(1,一2)，所以对称轴为

x—1,

即-1x2=1，解得租=4;将(1,—2)代入y-2%2-4%+n解得n—0.

故答案为:4;0.

1

6.y=-9+2%—4

【分析】根据二次函数的顶点坐标为（3,-1）,设这个二次函数的解析式为顶点式

y=a（久-3）2-1,然后再把点（0,-4）代入顶点式求解出待定参数a，从而得到函数

的解析式.

【详解】•••二次函数的图象的顶点坐标是（3,-1）,

•••设这个二次函数的解析式为y=a（久一3）2-1,把（0,-4）代入得a=-j

•••这个二次函数的解析式为y=-式无一3尸一1=-|%2+2x-4.

故答案为:y=-jx2+2x-4.

l.y——（%—l）2+3

【分析】根据二次函数的图象平移规律可得答案.

【详解】把抛物线y=--向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，

则平移后抛物线的解析式为:y=-（尤一I/+3.故答案为:y=-（久一1）2+3.

8.6

【分析】令函数值等于零没求出图像与久轴两交点即可求解.

【详解】解：由题意得：

2

令y=-x+2x+8—0解得:x1——2,x2—4：

二次函数y=-/+2x+8的函数图象与x轴两交点（一2,0）,（4,0）

这两点间的距离为4-（-2）=6，故答案为:6

9.2

【分析】通过配方,结合二次函数性质即可确定确定当1<xW4上时。的最小值.

【详解】y=-%2+4x-2=-（%—2尸+2,

则二次函数在（-8,2）上单调递增，在（2,+8）上单调递减，

•••1<%<4上，当x=4时有最小值2,故答案为:2.

10.--

2

【分析】由二次函数y=a/+2ax+l有最大值，知此二次函数开口向下，函数的最

大值就是其对称轴与二次函数图象的交点的纵坐标，把久=-三=-1代入解析求解

2a

即可.

【详解】r二次函数y=ax2+2ax+1的最大值为g,

a<0，且二次函数取得最大值时，此时%=-1.

2a

:.CLx(—1)2+2xax(—1)+1=a=—.故答案为:—g.

1<1<.y=-1x?+x——3或—p.、=——1xO—x+-3

,22z22

【分析】由题意可设二次函数为丫=。(久+3)0-1)(aHO),求得顶点的纵坐标为

-4a,于是有|-4a|=2,求出a的值即可得二次函数的解析式.

【详解】解：因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),

所以可设二次函数为y-a(%+3)(%-1)(aH0)，展开得:y=ax2+2ax-3a,

顶点的纵坐标为=_4a,

4a

由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2,

•••|-4a|=2,即a=±［,所以二次函数的表达式为y=之久2+无一|或丫=一］/一

2,

故答案为:y=1%2+欠一|或y=—1%2—%+1.

12.4

【分析】由一元二次函数的图像和性质计算即可.

【详解】二次函数y=-%2+2x+c的对称轴为了=-；=1,开口向下，

当一1W%W2时,y的最大值在x-1处取得,ymax--l+2+c-l+c,

由二次函数的对称性可得，当x--1时,y取最小值,ymin--l-2+c--3+c,

所以Wax-％nin=4.故答案为:4.

143o.V=——3X2+।-3X+.-5

y424

【解析】要充分利用题目中所给出的条件一一最大值、顶点位置，从而可以将二次

函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数a.

【详解】解:•••二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,顶点的纵

坐标为2.

又顶点在直线y-x+1上,所以,2-x+1,x-1.顶点坐标是(1,2).

设该二次函数的解析式为y=a(x-l)2+2,「二次函数的图像经过点(3,-1),

代入解得a=二次函数的解析式为y=—［久2+1%+工

【点睛】本题考查了二次函数解析式的求解.求二次函数的解析式时,要充分挖掘题

目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题.

14.⑴租=3，图象见解析⑵交点坐标(-1,0),(3,0)，顶点坐标(1,4)

(3)-1<%<3,(4)%>1

【详解】⑴由抛物线y--%2+(m-l)x+ni与y轴交于(0,3)得:m=3.

抛物线为y--%2+2x+3--(%-I)2+4;列表得：

X10123

V03430

(2)由一/+2久+3=0，解得/=3*2=-1)抛物线与无轴的交点为

(-1,0),(3,0),

y=-x2+2x+3--(%-l)2+4,抛物线的顶点坐标为(1,4)■

(3)由(1)的图象结合(2)中所求点的坐标，可得当-1<久<3时，抛物线在久

轴上方.

(4)由(1)的图象结合(2)中所求点的坐标,可得当1<x时,。的值随%增大而减小.

15.⑴y=-3x2+252%-4860,30<%<54;(2)当每件商品的售价定为42元时,

每天有

最大销售利润,最大销售利润为432元.

【解析】(1)求得每件商品的销售利润，乘以销量可得出销售利润y与每件销售价%

之间的函数关系式，并可求得x的取值范围；

(2)利用二次函数的基本性质可求得销售利润的最大值及其对应的%值，进而可得

出结论.

【详解】(1)由已知得每件商品的销售利润为(%-30)元且m=162-3%,

那么m件的销售利润为y—m(x—30)=(162—3x)(%—30)=—3%2+252%—

4860淇中

30<%<54

(2)由(1)知，二次函数y=-3/+252%-4860的对称轴方程为％=42,

且该二次函数的图象开口向下，

故当％=42时，二次函数y=一3/+252%-4860取得最大值，即

%nax=-3X422+252X42—4860=432.

因此,当每件商品的售价定为42元时,每天有最大销售利润,最大销售利润为432元.

【点睛】本题考查二次函数模型的实际应用，求出二次函数的解析式是解答的关键，

考查计算能力，属于中等题.

16.(1)y=%2-6%4-8;(2)答案见解析.

【解析】(1)设二次函数的解析式为y=a(x-2)(%-4)，将(1,3)代入即可求解.

(2)根据二次函数的性质讨论即可.

【详解】解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x-2)(尤-4),

将点(1,3)代入得:3=(1—2)x(1—4)a，解得:a=1,.1•y=(%—2)(久—4)=

x2—6x+8,

(2)ry=(久