2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：拓展之基本不等式（学生版+解析）

第06讲：拓展一：基本不等式

目录

法

方

一直接法...........................................3

法

方

二凑配法...........................................3

法

方

三分离法...........................................4

法

方

四

法

方

五

法常数代换的代换.............................

方

六“1”18

法

七

方消元法...........................................6

对钩函数.........................................6

1、基本不等式(一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱)

①如果a>0,b>0,J茄〈竺当且仅当a=b时，等号成立.

2

②其中J拓叫做正数。，b的几何平均数；手叫做正数。，b的算数平均数.

2、两个重要的不等式

①a2+b222abSGR)当且仅当a=b时，等号成立.

②abW(，)2(a,b^R)当且仅当a=b时，等号成立.

3、利用基本不等式求最值

①已知》,y是正数，如果积型等于定值尸，那么当且仅当％=V时，和x+y有最小

值2介；

②已知x,y是正数，如果和x+y等于定值s,那么当且仅当％=丁时，积冲有最大值

文

彳；

4、对钩函数：

b

对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：f(x)=ax+-Ca>0,b>0)

x

的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等.

b常考对钩函

/(%)=〃%+—(a>0,b>0)f(x)=x+—(〃>0)

函数.X数X

定义域(-8,0)(0,+0O)定义域(-00,0)(0,+8)

值域(-GO,-2A/^F][2y[ab,+co)值域(-oo,-2]v1[2,+oo)

奇偶性奇函数奇偶性奇函数

/（%）=〃%+一在f（%）=X在（—CO,,

单调性X单调性

'（P，+8）上单（、7,+8）上单调递增；在

VaVci（-右,0）,（0,右）单调递减

调递增；在（―J40）,

Va

（o单调递减

Va

5、常用技巧

利用基本不等式求最值的变形技巧—凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低

于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.

2%-^y<i(%>o)

③除：例：x2+l

XH----

X

④1的代入：例：已知。〉03〉0,。+八=1,求工+工的最小值.

ab

解析：l+l=(l+l)(a+/?)=2+-+->4.

ababab

⑤整体解：例：已知Q,。是正数，且ab=Q+b+3,求〃+/?的最小值.

解析：»a+h+3,即：(a+b)2—(a+b)—3N0,解得

a+b>6{a+b<-2舍去).

基本不等式高频考点方法

方法一：直接法

典型例题

例题L（2024上•山西长治•高一校联考期末）当无片0时，尤2的最小值为（）

A.—B.1C.2D.2^/2

例题2.（2024上•陕西商洛•高一统考期末）若正数尤，y满足孙=100,贝Ijx+y的最小值

是（）

A.10B.20C.100D.200

练透核心考点

1.（2024上•湖南长沙•高一校考期末）若x>0,则x+工的最小值为（）

X

r~3

A.—2B.-2A/2C.——D.2

2.（2024上•贵州六盘水•高一统考期末）己知a>0力>0,。+万=3,则漏的最大值为.

方法二：凑配法

典型例题

4

例题L（2024下•河南•高三校联考开学考试）已知。>0/>0,贝必+26+—的最小

a+2b+l

值为（）

A.6B.5C.4D.3

（上.黑龙江哈尔滨.高一统考期末）已知实数0,则…占的（）

例题2.20242

A.最小值为1B.最大值为1C.最小值为-1D.最大值为-1

Q

例题3.（2024上•江苏南通•高一统考期末）函数〃x）=4x+0,1,收）的最小值为

（）

A.6B.8C.10D.12

练透核心考点

1.（2024上•湖北•高一校联考期末）已知无>1,则x+不二的最小值为__________

22x-l

Q

2.（2024上•福建莆田•高一莆田一中校考期末）已知x>2,则x+一^的最小值为____.

x-2

3.（2024上•福建宁德,高一统考期末）Vxe（2,+co）,了+―二〉山?+3机恒成立，则实数加

x-2

的取值范围是.

方法三：分离法

典型例题

例题1.（2024・全国•高三专题练习）函数"#=虹23应2

的最大值是（）

八卜4/+1

753

A.2B.一C.一D.

444

例题2.（2024•全国•高三专题练习）函数y=『+*+3（x>2）的最小值为

%—2

练透核心考点

1.（2023•全国•高一专题练习）函数〃尤）的最小值是（）

A.-1B.3C.6D.12

）丫2q

2.（2024•全国•高三专题练习）函数〃力=」=—（尤<0）的最大值为.

方法四：换元法

典型例题

A.9B.10C.12D.13

例题2.（多选）（2024下•吉林通化•高三梅河口市第五中学校考开学考试）已知，＞0,匕＞0,

若a+2Z?=l,贝|（）

A.a+b＞-B.a+b＜\

2

C.乃的最大值为1:D.4?+；1的最小值为8

4ab

例题3.（2024下•全国•高一专题练习）如图所示，在.SBC中，点。为5C边上一点，且

BD=2DC，过点。的直线所与直线A5相交于£点，与直线AC相交于尸点（E,F交

两点不重合）.若AD="iA5+九AC，贝!J加〃二,若45=九43，AF=juAC,贝1JX+〃的

最小值为.

练透核心考点

1.（多选）（2024下•湖北•高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）已知正实数盯

,满足％+2y=l,则()

A.xy<-B.+C.y+2x>9xyD.x2+y2<1

8

2.（多选M2024上•云南昭通•高一昭通市第一中学校联考期末）若根＞0,〃＞0,且m+2几=1,

则（）

A.mn<—B.y[m+>A/2

8

"9

C.D.m2+4/<—

mn2

41

3.（2024上•江西•高一校联考期末）若存在正实数演V满足一+—=1,且使不等式

y%

T＜丁—有解，则实数加的取值范围是——

方法六：消元法

典型例题

例题1.（2024上•安徽亳州•高一亳州二中校考期末）已知x>0,>>0,2x+y=D，贝l|2x+y

的最小值为（）

A.8B.4C.8及D.472

41

例题2.（2024上•四川眉山•高一统考期末）已知。>0,b>0,且〃+4=勿?，则一+二；的

ab-A

最小值为.

练透核心考点

1.（2024上•安徽芜湖•高一统考期末）若实数X,〉满足冲=1,则/+2丁的最小值为（）

A.1B.72C.2D.2&

2.（2023上•广东东莞•高一统考期末）若x>0、J>0,且,+y=l,则上的最大值

XX

为.

方法七：对钩函数

典型例题

例题1.（2022上,全国•高一校联考阶段练习）函数y=x+」（无22）的最小值为（）

X

57

A.2B.-C.3D.-

22

例题2.（2023上•江苏苏州•高三统考阶段练习）若不等式％2—以+44。对任意工«1,司恒成

立，则实数〃的取值范围为（）

13

A.a>5B.a>4C.a>4D.a>——

3

例题5.（2023上•山东•高一校联考期中）若五3；使得不等式f+分+2>0成立,

则实数。的取值范围是.

练透核心考点

1.(2023上•海南海口•高一海南华侨中学校考阶段练习)若函数/(幻=厂+2工+4在

X+1

xe[O,+⑼是增函数，则实数。的取值范围是()

A.(3,2]B.[0,1]

C.(—0,1]D.[1,2]

2.(2023上•四川宜宾•高一校考阶段练习)已知函数打灯=|则，若存在根>">0,使得

〃祖)=/(")=♦，当，叩,3]时，求利+〃的最小值为.

3.(2024上•山东日照•高一统考期末)已知函数〃x)=(log/-2)(log2X-l).

⑴求不等式〃x)<0的解集；

⑵若存在xe[4,16],使得不等式/(x)Nmlog2X成立，求实数机的取值范围.

第06讲：拓展一：基本不等式

目录

法

方

一直接法...........................................3

法

方

二凑配法...........................................3

法

方

三分离法...........................................4

法

方

四

换元法...........................................

法

方4

五

法常数代换的代换.............................

方

六“1”18

法

七

方消元法...........................................6

对钩函数.........................................6

1、基本不等式(一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱)

①如果a>0,b>0,J茄〈竺当且仅当a=b时，等号成立.

2

②其中J拓叫做正数。，b的几何平均数；叫做正数。，b的算数平均数.

2、两个重要的不等式

①/+廿22"人SGR)当且仅当a=b时，等号成立.

②abW(，)2(a,b^R)当且仅当a=b时，等号成立.

3、利用基本不等式求最值

①已知x,y是正数，如果积型等于定值p,那么当且仅当％=V时，和x+y有最小

值2介；

②已知》,y是正数，如果和x+y等于定值s,那么当且仅当％=丁时，积取有最大值

文

彳；

4、对钩函数：

b

对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：f(x)=ax+-Qa>0,b>0)

x

的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等.

b常考对钩函

/(%)=〃%+—(a>0,b>0)/(%)=%+—(〃>0)

函数.X数X

定义域(-8,0)(0,+0O)定义域(-8,0)(0,+8)

值域(-OO,-2A/O^][2A/^K,+OO)值域(-^,-2]l.[2,+a>)

奇偶性奇函数奇偶性奇函数

/（%）=or+—在f（%）=X在（—co,—^/^）,

单调性X单调性

（一00,、（P，+8）上单（、份,+00）上单调递增；在

VaY〃

（-7^,0）,（O,JZ）单调递减

调递增；在（―J4o）,

Va

（o,j2）单调递减

Ya

5、常用技巧

利用基本不等式求最值的变形技巧—凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低

于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.

①凑：凑项，例：％H-------—x—QH------------l~aN2+Q=3(%>a)；

x-ax-a

凑系数，例:

②拆：例:C-4+4…2+——

x—2x—2x-2x—3

2x

—<1(%>0)

③除：例：%2+1

XH----

X

④1的代入：例：已知。>0涉〉O,a+Z?=l,求工+工的最小值.

ab

解析：1+-=（1+1）（«+/2）=2+-+->4.

ababab

⑤整体解：例：已知是正数，且勿?=。+/?+3,求〃+6的最小值.

解析：ab<^-^-a+b+3,即:（a+b）2—（&+b）—3N0,解得

a+b>6{a+b<-2舍去）.

基本不等式高频考点方法

方法一：直接法

典型例题

例题1.（2024上•山西长治•高一校联考期末）当xwO时，尤2+士的最小值为（）

X

A.；B.1C.2D.2立

【答案】C

【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.

【详解】由xwO,可得d>o,则炉+二22、/二=2,

X\X

当且仅当尤2=5时，即尤=±1时，等号成立，故*+5的最小值为2.

故选：C.

例题2.（2024上•陕西商洛,高一统考期末）若正数x,，满足孙=100,则无+>的最小值

是（）

A.10B.20C.100D.200

【答案】B

【分析】根据基本不等式求出最值.

【详解】由题意得x+y22而=20,当且仅当x=y=10时，等号成立，

故x+y的最小值是20.

故选：B

练透核心考点

1.（2024上•湖南长沙•高一校考期末）若x>0,则x+工的最小值为（）

L3

A.—2B.-2A/2C.——D.2

【答案】D

【分析】直接根据基本不等式求解即可.

【详解】若x>0,则%+工22、口=2,

xVx

当且仅当尤=',即X=1时取等号，

X

所以x+—的最小值为2.

x

故选：D.

2.(2024上•贵州六盘水•高一统考期末)已知Q>0力>0,Q+人=3,则岫的最大值为

【答案】49

4

【分析】由基本不等式求积的最大值.

【详解】a>0,b>0,a+b=3,

由基本不等式可知=(,

当且仅当〃=b=：3时等号成立，即功的最大值为Q1.

24

9

故答案为：—

4

方法二：凑配法

典型例题

4

例题1.(2024下•河南•高三校联考开学考试)已知。＞0,〃＞。，贝!JQ+20+—丁〕的最小

a+2b+l

值为()

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【分析】根据基本不等式即可求解.

【详解】由于a＞0,b＞。，所以a+2Z;+l＞。，

44I4

由〃+2Z?H---------=(Q+2/?+1)H-----------1＞2.(a+2/7+1)x----------1=3,

a+2b+l')Q+28+1Va+2b+\

4

（当且仅当a+2b=l时取等号），可得。+2〃+一丁工的最小值为3,

故选：D.

例题2.（2024上•黑龙江哈尔滨•高一统考期末）已知实数x>l,则2-x-一、的（）

x-1

A.最小值为1B.最大值为1C.最小值为-1D.最大值为-1

【答案】D

【分析】由基本不等式得出结果.

【详解】因为2—x^-=1+1—无一一—=1-（x-l）+—41_2）（尤=

X~1X~1X~1\X~1

当且仅当一\=即尤=2时取等号；

X-Y

故最大值为-1，

故选：D.

g

例题3.（2024上•江苏南通•高一统考期末）函数〃X）=4_¥+—1，xw（T,+oo）的最小值为

（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

Q

【分析】将函数解析式变形为/（X）=4（X+1）+A^-4,利用基本不等式可求得该函数的最

小值.

gg

【详解】因为则x+l>0,则〃刈=4.*+々=4（%+1）+合一4

人"II人i-L

>2^4（x+l）--1j-4=12-4=8,

，9

当且仅当<4（'+1）"］石时，即当元=；时，等号成立，

x>-l2

9

故函数“力=4彳+京工,xe（—l,+oo）的最小值为8.

故选：B.

练透核心考点

1.（2024上•湖北•高一校联考期末）已知x>:,则X+不二的最小值为__________

22x-l

【答案】—+^2

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】由于％>7，所以

22

1111

所以％+=x--------1-------------1—

2x—l22x-l2

当且仅当x-L=—^，彳=立土1时等号成立,

22x-l2

所以x+，的最小值为［+也.

2x-l2

故答案为：—+A/2

,9

2.(2024上•福建莆田•图一莆田一中校考期末)已知x>2,则x+—^的最小值为____.

x-2

【答案】8

【分析】利用基本不等式求最值可得答案.

【详解】尤>2时x-2>0,

QQIO-

贝ijx+——=x-2+——+222、(无一2"——+2=8，

x—2%—2yx—2

9

当且仅当尤-2='即x=5时等号成立.

无一2

故答案为：8.

3.(2024上•福建宁德•高一统考期末)Vxe(2,+w),彳+，>苏+3”恒成立，则实数相

x-2

的取值范围是.

【答案】(-4#

【分析】利用基本不等式求出x+—124,从而得到4>.2+3切，求出答案.

x-2

【详解】V%e(2,+co),x+—!—=(x-2)+^—+2>2J(x-2)-^—+2=4,

%-2x—2vx—2

当且仅当尤-2=」，即x=3时，等号成立，

x-2

i^4>m2+3m-解得

故实数机的取值范围是(-4,1).

故答案为：(-4,1)

方法三：分离法

典型例题

例题1.（2024・全国•高三专题练习）函数〃乂）=妇色匠士D的最大值是（）

八）一4x2+l

-53

C.一D.

44

【答案】C

【分析】化简函数“-=中+，,9

6-+84+1l+,z2。1，结合基本不等式，即可求

16厂+8+—

尤

解.

,、J(x2+1)(16%-+1)(x2+l)16X2+1)h6x4+17x2+T

【详解】由题意，函数/x=上一-4———「J/八」

4丁+17V16X4+8X2+1

=1119x2--11i9一

“16/+8Y+1J16/+8+4

又由16/+二28,当且仅当16尤2=二，即*=±1时等号成立，

X2X22

9<2595

所以十京FF所以「京…M

X\X

即函数”力的最大值是:

故选：C.

例题2.（2024・全国•高三专题练习）函数y=2（x>2）的最小值为,

【答案】11

9

【分析】将函数化为y=x-2+\+5,利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.

x-2

，、辛Qj,I（%—2）〜+5（冗一2）+9_9_-r-yr八

［详角牛］由丁=-----------------=x-2d---------F5,X%-2>0,

%—2x—2

所以y22j（x-2>—？―+5=11,当且仅当兀一2=—^,即x=5时等号成立，

Vx-2x-2

所以原函数的最小值为11.

故答案为：11

练透核心考点

1.（2023•全国•高一专题练习）函数f（x）=x2~^+3（x.0）的最小值是（）

A.-1B.3C.6D.12

【答案】A

【分析】由基本不等式求解，

%2+3

【详解】f（x）=-^=（%+1）+-1--7（X.O）.

因为x..0,所以^+1+—..279=6,（当且仅当x+l=3,即x=2时，等号成立）.

x+1

故/（X）最小值为-1,

故选：A

2.（2024・全国•高三专题练习）函数=2/丁+3（X<0）的最大值为.

【答案】\-2限I-2娓+\

【分析】首先化简可得小）=2厂+X+3=2X+3+1=_（_2X+3）+1,由T>。则可以利用

XX—X

基本不等式求最值即可.

【详解】因为XV。，贝!）一犬>。，

所以/（%）=〃=2%+—+1=—（-2%+—）+1

XX-X

当且仅当-2x=2，即犬=一逅时等号成立,

-x2

所以〃元）的最大值为1-26.

故答案为：1-2#.

方法四：换元法

典型例题

例题L（2023・全国•高一专题练习）函数y==—（x>2）的最小值为

x-2

【答案】7

【分析】换元转化成基本不等式的形式，利用积为定值即可求和的最小值.

【详解】令L2=/,”0；贝IJ

+x—5（/+2）2+/+2—5/'2+5/+11_

--------=-——---------=--------=才+—+527

x-2ttt

（当且仅当r=1,即x=3时，等号成立），

故函数,x«2,+8）的最小值为7

故答案为：7

例题2.（2023・全国•高三专题练习）求下列函数的最小值

(1)y二(x>0)；

x2+2x+6

(2)y=(x>1).

x-1

【答案】（1）3；（2）10.

【分析】（1）化简整理可得y,+x+l…雪1,利用基本不等式，即可求得最小值.

XX

9

（2）令，=%-整理可得y=/+=+4,利用基本不等式，即可求得最小值.

t

【详解】(1)y=x2+X+l=x+-+l

XX

x>0,.\x+—>2A/X--=2(当且仅当x=即时取等号)

xvxx

...>=三£±1(入〉0)的最小值为3；

x

(2)令£=%-1。>0),则％=T+1,

/+2%+6a+l)2+2(Z+l)+6*+4/+99⑺

y=---------=-——-----——-——=--------=r+-+4>2jr-+44=10

x-1ttt\t

当且仅当/='Q即片3时取等号

t

-y的最小值为10

练透核心考点

1.（2023上•江西南昌•高一南昌二中校考阶段练习）求函数〉=立詈3">-1）的最小

值.

【答案】9.

【分析】令f=x+l,则上正tlGD士丝=/+壮+5,利用基本不等式计算可得;

tt

【详解】因为%>-!,所以％+1>。，令，=X+1,所以/>0,

_(r-l)2+7(r-l)+10_?+5r+444

所以y===t+-+5>2jt--+5=9>

当且仅当1=2,即x=l时等号成立;

所以函数y=*q；l°(x>-1)的最小值为9.

2.(2023•全国•高一专题练习)求下列函数的最小值

+X+1,八、

(1)y=-------(x>0)；

x

尤2+5,小

(2)

x2+2x+6.

(3)

【答案】(1)3；(2)-；(3)10.

2

【分析】对分式函数利用分离常数法构造基本不等式(对勾函数)的结构，或利用基本不等

式(1,、2)或利用函数单调性求最值.

X2+X+1_l1、嗔

【详解】(1)1­=x+t+]_3

x>0,：.x+->2,xx-=2(当且仅当x=L即x=l时取"=")

xVxx

即y=>+x+l(x>0)的最小值为3；

X

(2)令/=，尤?+4(△2),贝1」y=1+；(/22)在［2,+00)是单增，

.,.当t=2时，y取最小值y1nhi=2+；=:；

即y的最小值为g

(3)令/=无一1(/>0),则y=『+2x+6(x>i)可化为:

x-1

9I~9

y=t-\—1-4>2Jzx—+4=10

当且仅当t=3时取〃=〃

即y的最小值为10

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1广一正二定三相等""一正"就是各项必须为正数；

(2)"二定〃就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则

必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3广三相等"是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定

值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

方法五：常数代换“1”的代换

典型例题

31

例题1.（2024上•浙江杭州•高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知尤>0,，>0,且—+—=1,

xy

X

则2x+y+—的最小值为（）

y

A.9B.10C.12D.13

【答案】D

【分析】借助基本不等式中"1〃的妙用即可得.

［详解］2x+y+-=（-+^-］（2x+y}+-=6+l+^+—+-

yyjyxyy

3y43尤>7上。13y3尤

=/H------1------->/+21------------=13,

xy'xy

当且仅当空=空，即x=y=4时，等号成立.

九y

故选：D.

例题2.（多选）（2024下•吉林通化•高三梅河口市第五中学校考开学考试）已知。>0,匕>。，

若a+2Z?=l,贝|（）

A.a+b>—B.a+b<\

2

C.必的最大值为1:D.7［1的最小值为8

4ab

【答案】ABD

【分析】对于AB：根据题意消去〃，结合b的取值范围分析求解；对于C：根据基本不等式

运算求解；对于D：根据〃1〃的灵活应用结合基本不等式分析求解.

【详角军】因为a>0,〃>0,a+2b=\,则Q=1—2Z?>0,可得人6［。，］）,

对于选项AB：因为a+b=l-2Z?+〃=l—b,

所以“+a+b<\,故AB正确；

因为"=1（26）4咛11

对于选项c：

8

当且仅当“=2八时,等号成立,

所以M的最大值为:，故C错误;

O

对于选项D：因为2+工=（。+26/2+工］=4+丝+q24+2）竺・@=8,

ab\ab）ab\ab

当且仅当4丝b=：a,即。=28=1:时，等号成立，

ab2

21

所以—的最小值为8,故D正确；

ab

故选：ABD.

例题3.（2024下•全国,高一专题练习）如图所示，在一ABC中，点。为8C边上一点，且

BD=2DC，过点。的直线所与直线A3相交于E点，与直线AC相交于厂点（E,尸交

两点不重合）.若AD=〃?AB+〃AC，贝！]，^AE=AAB,AF=〃AC,贝i]X+〃的

最小值为.

【分析】根据向量的加减运算，以AB,AC为基底，表示出A。，和已知等式比较，即可得机,〃

12

的值，求得利”的值;结合已知用AE,A尸表示A。，结合三点共线可得7T+丁=1（4〃>0）,

将4+〃化为（几+〃）:+曰，展开后利用基本不等式，即可求得彳+〃的最小值.

2

【详解】在△45。中，AD^AB+BD^BD=2DC，则=

r\r\

i^AD=AB+BD=AB+^BC=AB+^AC-AB^

2212

=AB——AB+-AC=-AB+-AC,

3333

122

故根=一,〃=—,，mn=—

339

12

yiAD=-AB+-AC,而AE=4A