重庆某中学2025届高考数学模拟卷（六）含解析

重庆南开中学2025届高考数学试题模拟卷（六）

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知实数0<a<6,则下列说法正确的是（）

A.一〉7B.ac2<.bc2

ab

C.lna<lnbD.（g）“<（；）"

2.欧拉公式为卢=cosx+，sinx,（i虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数,

建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e会表

示的复数位于复平面中的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.如图，已知直线/:丁=左（％+1）（左>0）与抛物线C:/=4x相交于A,B两点,且A、3两点在抛物线准线上的投

影分别是M,N,^\AM\=2\BN\,则女的值是（）

5.如图所示的程序框图输出的S是126,则①应为（）

〃=1,5=0

n=n+l（结束〕

A.ra<5?B.zz<6?C.ra<7?D.«<8?

6.6知等差数列｛4｝的前几项和为乂,若％=12,§5=90,则等差数列｛%｝公差d=（）

3

A.2B.-C.3D.4

2

7.木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（）

A.24万+96B.48万+90C.48万+186D.144万+180

8.一个正四棱锥形骨架的底边边长为2,高为0，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面

积为（）

4迅乃

A.B.4%C・4亚itD.3〃

9.已知AA5C中内角A,瓦。所对应的边依次为a,b,c,若2a=b+l,c=^,C=3,则AABC的面积为()

A.孚B.73C.3A/3D.273

10.设Z花为非零向量，贝|++q=问+忖”是“日与否共线”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.已知。：出0〉l,log]%〉!；q:VxeR,e"〉x,则下列说法中正确的是()

22

A.7"4是假命题B.〃八4是真命题

C.pv(-1q)是真命题D.P△(-14)是假命题

2i3

12.i为虚数单位，则3一的虚部为()

1-i

A.-iB.iC.-1D.1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.二项式(«一：]的展开式中所有项的二项式系数之和是64,则展开式中的常数项为.

14.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果

把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成种不

同的音序.

15.曲线/(x)=^+lnL在点处的切线方程是.

XJC

16.若复数Z满足(1-2i)Z=-；(2+i),其中i为虚数单位，则Z的共轨复数在复平面内对应点的坐标为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

o

17.(12分)在底面为菱形的四棱柱ABCD—A4G。中，AB=AAl=2,AlB=AlD,ZBAD=6Q,AC[}BD=O,AO^

面

（1）证明：4c〃平面ABD；

（2）求二面角3-A4]-。的正弦值.

18.（12分）如图，在四棱锥尸-ABCD中，侧面上4D为等边三角形，且垂直于底面ABC。,

AB=BC=1,ZBAD=ZABC^90°,ZADC=45°，分别是AD,尸。的中点.

P

(1)证明：平面CAW//平面R43；

—.2—.

(2)已知点E在棱PC上且CE=§CP,求直线NE与平面PAB所成角的余弦值.

1+cosa

x=-----------

l]C°sa（a为参数）.以。为极点，x轴的正半轴为极

19.（12分）在直角坐标系中，曲线G的参数方程为

2sma

y二■

1-COS6Z

轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为€（0,兀）），将曲线q向左平移2个单位长度得到曲线C.

（1）求曲线C的普通方程和极坐标方程;

11

（2）设直线/与曲线。交于AB两点，求画+西的取值范围.

20.（12分）如图，在多面体A3CDEF中，四边形ABCD是菱形，EF//AC,EF=1,ZABC=60%CE_L平

G是OE的中点.

（I）求证：平面ACG//平面班反；

（II）求直线AD与平面AB厂所成的角的正弦值.

21.（12分）在本题中，我们把具体如下性质的函数“X）叫做区间。上的闭函数：①Ax）的定义域和值域都是。；

②f（x）在。上是增函数或者减函数.

(1)若/(x)=tan(s)在区间［-1,1］上是闭函数，求常数。的值;

(2)找出所有形如/(x)=alog3X+d6的函数都是常数)，使其在区间口9］上是闭函数.

22.(10分)如图，在四棱锥尸-A6CD中，底面ABC。是矩形，M是24的中点，平面ABC。，且

PD=CD=4，AD=2.

(1)求AP与平面CMB所成角的正弦.

(2)求二面角M—CB—尸的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

AB利用不等式性质可判断，C、£)利用对数函数和指数函数的单调性判断.

【详解】

11CC

解：对于,实数0<a<b,.,c<0不成立

abab

对于Ac=O不成立.

对于C.利用对数函数y=lnx单调递增性质，即可得出.

对于D.指数函数y=(；厂单调递减性质,因此不成立.

故选：C.

利用不等式性质比较大小.要注意不等式性质成立的前提条件.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采

用特殊值验证的方法.

2.A

【解析】

，

计算e3'=cos-+zsin-=-+—i.得到答案.

3322

【详解】

根据题意*=cosx+isinx，故=cos£+isin工=工+"，，表示的复数在第一象限.

3322

故选：A.

本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.

3.C

【解析】

直线丁=左(％+1)(左>0)恒过定点？(—1,0),由此推导出|03|=g|AF],由此能求出点3的坐标，从而能求出左的值.

【详解】

设抛物线C:9=4x的准线为/:尤=一1,

直线y=左(1+1)(左〉0)恒过定点P(-LO),

如图过A、2分别作40，/于M,BN上I于N,

^\AM\=2\BN\,贝ij|用=2|EB|,

点2为AP的中点、连接。8,则|。同=；|4耳，

-\OB\=\BF\,点B的横坐标为;，

•••点8的坐标为把代入直线丁=左(1+1)(左>0),

解得V

本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属

于中档题.

4.D

【解析】

TT

分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在兀)上的符号，即可判断选择.

详解：令/(%)=2®sin2%,

因为xGR,于(-X)=2kHsin2(—x)=-2国sin2x=-/(x),所以/(%)=2Msin2%为奇函数，排除选项A,B；

兀

因为^^('，兀)时，/(%)<0,所以排除选项C,选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：(1)由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值

域，判断图象的上、下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性;

(4)由函数的周期性，判断图象的循环往复.

5.B

【解析】

试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+...+2n

的值，并输出满足循环的条件.

解：分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是累加S=2+22+...+2n的值，

并输出满足循环的条件.

VS=2+22+...+21=121,

故①中应填nWl.

故选B

点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,

这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题

型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误.

6.C

【解析】

根据等差数列的求和公式即可得出.

【详解】

Vai=12,S5=90,

5x4

.".5x12+------d=90,

2

解得d=l.

故选C.

本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

7.C

【解析】

由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体，圆锥底面半径为r=卜+（半＞，圆锥的高h=J（3布）2—32,截去

的底面劣弧的圆心角为主，底面剩余部分的面积为5=!±乃/+!/5后主,利用锥体的体积公式即可求得.

32323

【详解】

由已知中的三视图知圆锥底面半径为r=J32+（半）=6，圆锥的高//=标豆二?=6,圆锥母线

Z=A/62+62=6A/2＞截去的底面弧的圆心角为120。，底面剩余部分的面积为

2912»212»/­

S--Jir1d■一r92sin——=—7ix692+—x692xsin——=24^+9v3，故几何体的体积为：

323323

V=1S/Z=1X(24^+9A/3)X6=48^+1873.

故选C.

本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题，考查了学生空间想象,数学运算能力，难度一般.

8.B

【解析】

根据正四棱锥底边边长为2,高为0，得到底面的中心到各棱的距离都是1,从而底面的中心即为球心.

【详解】

如图所示：

因为正四棱锥底边边长为2,高为0,

所以0B=也，SB=2，

0到SB的距离为d=SOxOB=1,

SB

同理。到SC,勿，必的距离为1,

所以。为球的球心，

所以球的半径为：1,

所以球的表面积为4万.

故选：B

本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.

9.A

【解析】

由余弦定理可得02+02—0^=7,结合2a=6+1可得a,b,再利用面积公式计算即可.

【详解】

7—+Z?2—uba=2

由余弦定理，得7=a?+b?-2abcosC=d+及—ab，由〈，，解得<

2a=b+lb=3

诉"C17•厂102836

所以，S^iKr=—absmC=—x2x3x——=------.

AABC2222

故选：A.

本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

10.A

【解析】

根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.

【详解】

若归+目=问+帆，则％与否共线，且方向相同，充分性；

当Z与B共线，方向相反时，忖+.第+|年故不必要.

故选：A-

本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.

11.D

【解析】

举例判断命题p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案.

【详解】

当天>1时，1°8工/<°，故。命题为假命题；

2

记/(x)=d-X的导数为了(X)=^-1,

易知/(x)-%在(-8,0)上递减，在(0,+oo)上递增，

.V(x)>f(0)=1>0,即故0命题为真命题；

:・〃△(—)〃)是假命题

故选D

本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题.

12.C

【解析】

利用复数的运算法则计算即可.

【详解】

2z3-2i-2i(l+i'),.、

■—:=■—:=7；一可—^=_'。+,)=1_，，故虚部为一I

1-11-1(l-z)(l+z)

故选：C.

本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数。+初(a,>eR)的虚部为b,不是初，本题为基础题，也是易错题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.—

4

【解析】

由二项式系数性质求出“，由二项展开式通项公式得出常数项的项数，从而得常数项.

【详解】

由题意2〃=64，n=6.

展开式通项为&i=2(4)6-(—，>=(—工)，墨:弓，由3一;=0得厂=2,

2x22

常数项为4=(一52盘=?.

故答案为：

4

本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，掌握二项展开式通项公式是解题关键.

14.1

【解析】

按照“角”的位置分类，分“角”在两端,在中间，以及在第二个或第四个位置上，即可求出.

【详解】

①若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有2x3x&xE=24种；

②若“角”在中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；

③若“角”在第二个或第四个位置上，则有2MM=8种；

综上，共有24+8=32种.

故答案为：1.

本题主要考查利用排列知识解决实际问题，涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原理的应用，意在考查学生分类讨论

思想的应用和综合运用知识的能力，属于基础题.

15.2%+y—3=0

【解析】

利用导数的几何意义计算即可.

【详解】

由已知，/(x)=-4-->所以f(l)=—2,又/(1)=1,

X"X

所以切线方程为y—1=—2(X—1),即2x+y—3=0.

故答案为：2x+y—3=0

本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道容易题.

16.°4

【解析】

把己知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出2得答案.

【详解】

1ii+2i

••・『2J(2+i)=—1—$，,z_--2_^4>)_E

l-2i(l-2i)(l+2i)2

则N=gi,，z的共辗复数在复平面内对应点的坐标为［0,g),

故答案为

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析；(2)1

7

【解析】

(1)由已知可证用c〃A。，即可证明结论；

(2)根据已知可证4。，平面ABCD,建立空间直角坐标系，求出坐标，进而求出平面AA5和平面A/D

的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.

【详解】

方法一：(1)依题意，AB\&AB,旦AB^CD,：.%B\上CD,

四边形A4CD是平行四边形，.•.四。〃4。，

*/B[CU平面AXBD,AXDu平面AXBD,

Z.4c〃平面ABD.

(2)•.•40，平面48。，；.40,4。，

•.•45=4。且。为5。的中点，；.40,3。，

AO.BDu平面ABC。且Aon3£＞=o,

A。，平面ABCD,

以。为原点，分别以双，前,鹏■为X轴、y轴、z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系。-孙Z,

则A(石,0,0),3(0,1,0),0(0,—1,0),4(0,0/),

...M=(-73,0,1),=(-A1,0),=(-73,-1,0),

设平面\AB的法向量为n=(%,y,z),

n±A^=0

.］一石x+z则3=(i,G,6).

则取X=1

方-LAB-y/3x+y=0

设平面A&D的法向量为正=(%,%,zj,

n_LAA^—y/ix+2=0

则＜取x=l,则加=(i,-百,gy

nJ_AD—y/3x-y=0

_-m-n11

•cos<m,n>=［一］1=—j=—；==—

,emdn币义币7

设二面角B—AA—。的平面角为。，贝＞Jsina=Jl—

二面角B-AA^-D的正弦值为生3.

7

方法二：(1)证明：连接AB1交48于点Q,

因为四边形4片痴为平行四边形，所以。为A耳中点，

又因为四边形ABCD为菱形，所以。为AC中点，

.•.在VABC中，0。〃4(7,且0。=；4。，

:OQu平面，4Ca平面48。，

4c〃平面A{BD

(2)略，同方法一.

本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养,

属于中档题.

18.(1)证明见解析；(2)—.

2

【解析】

(1)由平面几何知识可得出四边形是平行四边形，可得&以//43=。0〃面243,再由面面平行的判定

可证得面面平行；

(2)由(1)可知，两两垂直，故建立空间直角坐标系，可求得面的法向量，再运用线面角的向量

求法，可求得直线NE与平面所成角的余弦值.

【详解】

(1)•.•/54。=/46。=90°，..4)//3。,又/4£＞。=45°，AB=BC=1,:.AD=2,

而M、N分别是AD、的中点，.1MV/ABA,故MV//面H45,

又40//6。且40=3。，故四边形A3CM是平行四边形,.♦.。0//45=＞。以//面^45,

又MN,CM是面CMN内的两条相交直线，故面CMN//面？A3.

(2)由(1)可知，两两垂直，故建系如图所示，则

Q,l,O),P(O,O,g),N(O,g¥)，

)-CE-CP--E[^31♦・NE=(L”

AB=(1,0,0),PA=(O,-1,~我33

x=0

设n=(x,y,z)是平面PAB的法向量,，＜

-y-y/3z=0

_A/3

——,

2

本题考查空间的面面平行的判定，以及线面角的空间向量的求解方法，属于中档题.

19.(1)C的极坐标方程为22side-40cos"8=0,普通方程为y2=4(x+2)；(2)

【解析】

2aCa

cos—2cos—

y=-----爰，可得曲线G的普通方程，再运用图像的平移得依题意

(1)根据三角函数恒等变换可得x=------

a.a

si.n2—sm—

22

得曲线。的普通方程为，利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程;

(2)法一：将。代入曲线。的极坐标方程得「ZsiYq-42cosq-8=0,运用韦达定理可得

••向+血=；尸百,根据为w(0,兀)，可求得血+血的范围;

X=tCGS(p

法二:设直线/的参数方程为《.”为参数，9为直线的倾斜角)，代入曲线C的普通方程得

y=tsm(p

111r-n—11

t2sin2^7-4tcos0-8=0运用韦达定理可得•.•03+0可=/Jl+sin(P,根据。£(0,兀)，可求得可|+同时的范

围；

【详解】

a2aeaa

1,2cos2—cos—4sin-cos—2cos—

、1+cosa792sin夕

(1)**x——--------=-------―.......-222

1—cos。2«2£.a

2sinsin2s呜sin—

222

.2a

4cos一

y2=------1=4x,即曲线G的普通方程为V=4x,

.2a

sm——

2

依题意得曲线C的普通方程为j2=4(%+2),

令x=〃cose,y=x?sin。得曲线c的极坐标方程为p1sin2e-^pcosd-^=G；

(2)法一：将。=为代入曲线C的极坐标方程得"sii?4-4.cos4-8=0,则

4cos48

8+。2=;2〃，夕10=一装/万'：夕1夕2<°'-"|，夕2异号

5U1°。(xr>

________________(4COS-)2I32

.11_11_|Pi-P|_7(A+P)2-4AP_Vsin?%sin20_1/…有

222O

••西+•=同+同=而M==°

sin2%

]]]

1.16；)e(0,7i),.'.sin^e(0,l],+|5^|G<^2，^-];

x=tcos(p

法二:设直线/的参数方程为4.“为参数，。为直线的倾斜角)，代入曲线c的普通方程得

y=tsm(p

t2sin2-4tcos(p-8=0,

4cos08

则4+»2=阜2=一~——，•.,不2<。,异号

sin2(psm°

4cos夕232

22

1|1=11人+力.如Nsin(psincp

画画一间H8

sin2cp

]]]

“e(。㈤，•••sin”(0，l]，♦••阿+网丐

本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确

极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.

20.(I)详见解析；(II)巫.

5

【解析】

试题分析：(I)连接BD交AC于。，得。G/ABE,所以OG〃面5EF,又EFIIAC,得AC//面BEF,

即可利用面面平行的判定定理，证得结论；

(II)如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求的平面AB厂的一个法向量而，利用向量AD和向量而夹

角公式，即可求解AO与平面/所成角的正弦值.

试题解析：

(I)连接交AC于。，易知。是80的中点，OG//BE,BEu面BEF,0G在面BEb外，所以0G〃

面BEF；

又EFHAC,AC在面8砂外，BEF,又AC与0G相交于点。，面ACG有两条相交直线与面8EF平

行，故面ACG〃面8所；

(II)如图，以。为坐标原点，分别以0C、。。、。/为尤、y、z轴建立空间直角坐标系，则4(—1,0,0),网0,-60),

D(O,AO),F(0,0,A/3),AD=(1,V3,O),湿=(1,—疯0),AF=(1,0,73),

mlAB(a,b,c)-(l,-43,0\=a-y/3b=0

设面AB尸的法向量为讥=(a,/?,c),依题意有《一一\令a=6，b=l,

m1AF(a,d石)=6Z+A/3C=0

c--l,沅=(G/,—1),cos(AD,沅)=，

直线AD与面ABF成的角的正弦值是叵

5

21.(1)±7；(2)f{x}=31og3J;+A/X.

【解析】

（1）依据新定义,/（尤）的定义域和值域都是［-1,1］，且/（X）在［-1,1］上单调，建立方程求解；（2）依据新定义，讨

论/（X）的单调性,列出方程求解即可。

【详解】

（1）当。＞0时,由复合函数单调性知，/（x）=tan（0x）在区间［-1,1］上是增函数，即有＜tan(—0)=-l,解

tan。=1

得T