2024-2025学年广东省某中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省实验中学高三（上）月考数学试卷（10月份）

一、单选题：本题共9小题，共46分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合4={x\x<a},B={幻一2<x<1},且2UCRB=R,贝b的取值范围是（）

A.[1,+8）B.（1,+oo）C.[—2,1]D.（—2,+8）

2.如图，/O'A'B'是水平放置的△04B用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与x'轴和y轴平行），0'8'=

2O'D'=6,O'C=8,则△。48的面积为（）

A"多方

B.1272/

C.24/

/O'~~B'x

D.48

3.设满足一元线性回归模型的两个变量的71对样本数据为（勺,月）,。2，、2），…，（久n/n），下列统计量中不

能刻画数据与直线y=+a的“整体接近程度”的是（）

A.XzLiIyt-（.bxi+a）|B.£%等匕

C.£匕（%—（。/+a））2D..+。）

4.已知a、b为异面直线，则下列命题正确的是（）

A.过直线a、b外一点P一定可以作一条与a、6都平行的直线

B.过直线a、6外一点一定可以作一个与a、6都平行的平面

C.过直线a一定可以作一个与直线6平行的平面

D.过直线a一定可以作一个与直线b垂直的平面

5.已知sin（久+9=—|浮则曰匚=（）

、4,544i—tanx

A2121r（7M

A•痂BR.一痂c』D.一而

6.已知椭圆C的方程为马+4=l（a>6>0）,焦距为2c,直线1；丫=?久与椭圆C相交于48两点，若

\AB\=2c,则椭圆C的离心率为（）

A.?B.|C.|Di

2424

7.已知等差数列{时}的前n项和为配，若S15>0,S[6<0,则”的取值范围是（）

A.（^）B.儒）A（-8,》U[,+CO）D.（-oo^）u（g,+oo）

8.侬！I圆海镜》是金元之际李冶所著中国古代数学著作，这是中国古代论述容圆的一部专著，也是论述天

元术的代表作.天元术与现代数学中列方程的方法基本一致，先立“天元一”为…，相当于“设久为…”，再

根据问题的已知条件列出两个相等的多项式，最后通过合并同类项得到方程Q。%九十的%九T+…+^.1%+

nn+1

an=0.设f(%)=aox+的第九t+—Fan_rx+an(nGN),若/(2)=5x2—3n—8,则/(I)=()

2222

A3n+4n口3n+lln「3n+5n+4门3n+7n+4

A.B.-------C.-------L).-------

1-q—一1

9.设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P(B)q,P(B⑷建,P(B|4)=：,则()

113I

A.p(a)=|B.P(AB)=7C.P(2+8)=tD.PQ4|B)="

6

二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

1。已知等比数列的公比为q,前?i项和为4,若S]=-1,MVnGN*,an+2>an,则()

1

A.>0B.0<q<1C.a九+i>。九D.Sn</

11.如图，在直三棱柱ABC-4/iG中，々1CB=90。，AC=BCCC1=2,E

为BiG的中点，过力E的截面与BBi、&G分别交于点尸、G,则下列说法中正确

的是()

A.存在点F,使得&F1AE

B.线段C】G长度的取值范围是[0,1]

C.当点尸与点B重合时，四棱锥C—4FEG的体积为2

D.设截面AFEG、AAEG,△4EF的面积分别为S1、S2,S3,条的最小值为2门

32、3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(/+|)5的展开式中久4的系数为一

13.设直线，与球。有且只有一个公共点，从直线/出发的两个半平面a,0截球。的两个截面圆的半径分别为

1和3,二面角a—1—£的平面角为早则球。的半径为.

14.已知函数/'(久)=sinx—x+1,若关于久的不等式/(axe*)+f(—aex-x+2)>2的解集中有且仅有2个

正整数，则实数a的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在△ABC中，角2,B,C的对边分别为a,b,c,已知(1--tcmB)=2,b=3,a=

(1)求C的值；

(2)延长到D点，使得乙CDB=4ACB,求BD的长度.

16.(本小题15分)

已知函数/'(x)=久(％-c)2,xER,c是常数.

(1)若〃久)在[|,+8)存在单调递减区间，求c的取值范围.

(2)若函数y=f(x)在尤=2处有极大值，求c的值.

17.(本小题15分)

如图，三棱台ABC—AiBiC],AB1BC,AC1BBr,平面ABBiA11平面力BC,AB=6,BC=4,BB1=

2,4Q与4C相交于点D,AE=2EB,且DE〃平面BCC1a.

(1)求三棱锥C-的体积；

(2)平面&B1C与平面力BC所成角为a,CQ与平面4B4所成角为0,求a+0的值.

18.(本小题17分)

已知抛物线勿：%2=4y,A,B,C是勿上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点4,B',C,则

称三角形A'8'C'为抛物线的外切三角形.

(1)当点C的坐标为(2,1),B为坐标原点，且B4=BC时，求点B'的坐标；

(2)设外切三角形AB'C'的垂心为H,试判断”是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理

由；

(3)证明：三角形ABC与外切三角形的面积之比为定值.

19.(本小题17分)

给定正整数NN3,已知项数为771且无重复项的数对序列4：(%i，yi)，(久2,月)...。仅,加)满足如下三个

性质：

①久”y；G[1,2,且%A%(i=1,2,

②/+i=%{i=1,2,

③(p,q)与(q,p)不同时在数对序列4中.

⑴当N=3,爪=3时，写出所有满足匕=1的数对序列4；

(II)当N=6时，证明：m<13；

(III)当N为奇数时，记小的最大值为T(N),求T(N).

参考答案

1.71

2.D

3.D

4.C

5.C

6.A

1.B

8.D

9.C

10.BC

11.BC

12.90

1二2/21

14臣3|「)

15.解：(1)在△ABC中，由(1一位九4)(1-tcmB)=2,得

tanA+tanB=tanAtanB—1,

显然力cmAtcmBW1,否则tan2A=-1,于是兽生/空=一i,

1—tanAtanB

即taziC=—tan(X+8)=1,而。VC<TT,所以C=p

(2)在4ABC中，Z-ACD=^,b=3,a=V-2,

由余弦定理得C=J(77)2+32—2x/Ix3*苧=，耳，

^Z-CDB=Z-ACB,Z-A=Z-AfACD^LABC,

AD4c匕29

则一=—,AD=—=.，

ABAC'C/5

所以BD=AD—c=号.

16.解：(1)依题意，/(x)=3/一4cx+c?=Q-c)(3x-c)<0在［|,+8)上有解,

则c>|,即c的取值范围为(|,+8);

(2)/'(%)=3x2-4cx+c2=(%—c)(3x—c),

若C=0,则f(%)=%3,/(%)在R上单调递增，无极大值；

若c<0,当%€u(|,+8)时,/(%)>o,当久e(c5)时，/(x)<0,

可得f(x)的增区间为(-8,C),6,+8),减区间为(C《)，

；./(久)在x=2处有极大值，贝Ijc=2,与c<0矛盾；

若c>0,当％e(-8,卞u(c,+8)时，f(x)>0,当xe(,,c)时，[。)<0,

可得/'(X)的增区间为(一8,|),(C,+8),减区间为G，C),

/(x)在久=2处有极大值，贝丹=2,得c=6.

综上所述，c=6.

17魂军：(1),•,平面1平面A8C,且平面C平面ABC=AB,AB1BC,BCu平面ABC,

.­.BC1平面4BB12,又BB]u平面

BC1,又AClBBi，BCP\AC=C,BC,ACu平面ABC,

•••BBi1平面力BC,连接QB,

•••DE〃平面BCC/i，DEu平面4BQ,平面ABC】n平面BCC/】=QB,

DE//CrB,vAE=2丽，AD=2西，；.ArCr=^AC,

三棱锥C—&B1C1底面力iB】Ci的面积S1=1x2x3=3,高h=BB1=2,

••・三棱锥C-4/1Cl的体积为：U==/x3X2=2；

(2)由题，分别以瓦4，前，西为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(6,0,0),C(0,4,0),Bi(0,0,2),4式3,0,2),Q(0,2,2),

O1=(3,0,0),庠=(0,4,-2),鬲=(0,-2,2)，

设平面AB4的法向量为元=(x,y,z),

丁竺I=3乂=。,取元=91,2),

则

n•B]C=4y-2z=0

又平面力BC的一个法向量为西=（0,0,2）,

,,一、।\n-BBl\4275

.-.C0Sa=|cos<n,BB]>|=超丽=或=可

.°匠砥I2V30

又a,/76(0,、)，则s讥a=cos0=

/I4c.C3/102<5710<5y[2

•*•COS(Q+p)—COSOCCOSp-SITICCSITIp=—-—x----------x—

又a+/?e(0,yr),

・•・a+S=今

18.解：⑴由题意可知4（—2,1）,x2=4y,即为y=二，

求导得V,=p则%,=1.由直线的点斜式化简得切线AB'的方程为y=%-1,

B'为切线AB'与y轴的交点，则点B'的坐标为（0,-1）.

⑵设4%,苧）,8（如军,eg务，

由⑴易知跖心=案则抛物线在4点处的切线B'c，的方程为y=也泛—/）+或=&X—丘,

乙2424

2

同理可得切线AC'的方程为y=文光-合，

24

直线B'C'和直线AC'联立可得交点C'（殁这，安）.

Z4

同理可得A(空，

xxXXXX

l223v31

xx

设垂心”的坐标为(%,y),则=xr+x2X2+x3=~2'%”=-3+l,

-22-*2-

XX

y31

由4C，1B'H可知kA，c，・心田=春—町*盯=-1，

X2-

即2%+x2y=%3+%i+"吸

同理可得2%+x3y=%1+&+警会.

4

两式相减可得（冷一x2）y=型一%3，即y=-L

因此垂心”在定直线y=-1上.

化简得丫=华”一竽，

且MBI=J01_比2）2+令一卷）2=J1+（然犷氏-巧卜

点（;（久3,［）到直线48的距离为：

阜毕」（52）（『/

LC1-।-----------।----------，

J1+（中）24』1+（哈2

11

则三角形4BC的面积Si=^\AB\-dx=制(久2-%)(久3—久1)(久3-％2)1・

Zo-

由（2）知切线BC的方程为y=罚一苧,

4，(%2+%3.2%3)4(%3+%1%3%1)c，(％l+%2%1%2)

可知|B'C'|=J1+*空—空|="1+(表2-3-X2|.

.X-iXn+X-iXoXiX7Xo.

J_I4、一彳一~—|(%2-

LC+而一…’

11

则外切三角形力'8'C’的面积52=jIB'C'I•d2=白(%2—%1)(尤3—%1)(%3—X2)\.

故S]_1|(^2-%1)(%3-%1)(%3_%2)1_2

‘2田(X2-丫1)(久3-巧)(久3-工2)1

因此三角形A8C与外切三角形AB'C'的面积之比为定值2.

19.解:(1)4：(1,2),(2,3),(3,1),或A(1,3),(3,2),(2,1)；

(II)证明：因为(p,q)和(q,p)不同时出现在力中，故mW髭=15,

所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次，

又因为%+1=%(i=1222■■■.m-1),

所以只有的，为对应的数可以出现5次,

1

2-

(III)当N为奇数时，先证明T(N+2)=T(N)+2N+1,

因为(p,q)和(q,p)不同时出现在4中，所以T(N)<觥=^N(N—1),

当N=3时，构造4：(1,2),(2,3),(3,1)恰有第项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1,

对奇数N,如果可以构造一个恰有觥项的序列4且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1,

那么对奇数N+2而言，可按如下方式构造满足条件的序列4：首先，对于如下2N+1个数对集合：

{(1,N