初中数学圆中常用辅助线的作法八大题型及答案

圆中常用辅助线的作法【八大题型】

A题型梳理1

【题型1遇弦连半径构造三角形】1

【题型2遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】5

【题型3遇直径作直径所对的圆周角】8

【题型4遇切线作过切点的半径】11

【题型5遇90的圆周角连直径】16

【题型6转移线段】19

【题型7构造相似三角形】23

【题型8四点共圆】30

A举一反三

【题型1遇弦连半径构造三角形】

1.(2024•陕西渭南•三模)如图，4ABC内接于。0,AB为。0的直径，点D在。0上，连接CD、BD,BD

=BC,眯DB至U点E,峙BE=BD,®CE.

(1)求证：ZA+ZE=90°；

⑵若。0的半径为学，BC=5,求CE的长.

O

2.（23-24九年级上•重庆大足・期末）如图，AB是。0的直径，弦CDLAB,垂足为点P,若CD=8,0P

C.5D.3

3.（2024•贵州黔东南•二模）如图，。。是4ABC的外接圆，且AC=BC,过点B作BE，AC,垂足为点

E,延长BE交。0于点D,连接AD,CD,CO,并延长CO交BD于点F.

（1）写出图中一个与NACD相等的角：

⑵求证：CD=CF；

⑶若BC=10,BE=6,求。0的半径.

4.（2024•陕西咸阳•模拟预测）如图，在RtZ^ABC中，ZACB=9（7,BC是。。的直径，。。与边AB交于

点D,E为BD的中点，连接CE,与AB交于点F.

（1）求证：AC=AF.

⑵当F为AB的中点时，求证：FC=2EF.

【题型2遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】

5.（23-24九年级上・云南昆明・期末）如图,半径为5的。。中，有两条互相垂直的弦AB、CD,垂足为点

E,且AB=CD=8,则0E的长为（）

C.2V3D.3V2

6.（23-24九年级上・山东潍坊•期末）如图,O0的半径是4,点P是弦AB延长线上的一点，连接OP,若

0P=6,ZAPO=30,贝弦AB的长为()

C.5D-4

7.（23-24九年级下•明•阶段练习）如图，。。和。。相交于A和B,过点A作QQ的平行线交两圆

于C、D,改口01O2=20cm,则CD=cm.

8.（23-24九年级上•福建厦门•期末）关于x的一元二次方程V2"ax2+2cx+03=0,如果a、b、c满足a2

+b2=c2且cW0,那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题：

（1）求证：关于x的“勾系方程"。ax2+2cx+/2b=0必有实数根.

⑵如图，已知AB、CD是半径为5的。。的两条平行弦，AB=2a,CD=2b,且关于x的方程「2ax2+

10x+9=0是“勾系方程”.

①求/BDC的度数，

②直接写出BD的长：（用含a、b的式子表示）.

【题型3遇直径作直径所对的圆周角】

9.（2024•安徽合肥•一模）如图，AB是。0的直径，CD是。0的一条弦，AB±CD于点M,连接0D

⑴若NODB=54，求ZBAC的度数；

（2）AC,DB的延长线相交于点F,CE是。0的切线，交BF于点E,若CE±DF,求证：AC=CD.

10.（2024九年级上•湖北武汉•期中）如图，AB为。。的直径，点C为BE的中点，CDAE交直线AE于

D点.

⑴求证：0C〃AD；

⑵若DE=1,CD=2,求。0的直径.

11.（2024•浙江温州•三模）如图，已知AABC中，NACB=90,AB=4,AC=3,点E是AC边上的动点，以

CE为直径作。F,雌BE交。F于点D,则AD的最小值为.

12.（23-24九年级上•福建莆田•期中）如图，AB是半圆。的直径，AB=10,点D在半圆。上，AD=6,C

是弧BD上的一个动点，连接AC,过D点作DH_LAC于H,峨BH,在点C移动的过程中，BH的最

小值是.

【题型4遇切线作过切点的半径】

13.（2024•贵州•模拟预测）如图,在RtAABC中，ZACB=90,点P为边BC上一点，连接AP,分别以点A,

P为圆心，大于是：AP的长为半径画弧，两弧交于点E,F,EF交AB于点D,再以点D为圆心，DA长

为半径作圆，交AB于点M,BC恰好是。D的切线.若/B=3（J,AC=6,贝i]BM的长为（）

A.考^B.雪C亨D.VT

14.（2024•辽宁大连•一模）如图，4ABC内接于。0,AD是。。的直径与BC交于点F,NCAD=45，过B

点的切线交AD的延长线于点E.

⑴若NC=64，求NE的度数；

⑵。0的半径是3,OF=1,求BE的长.

15.（2024•福建泉州•哪I预测）已知AB与。0相切于点B,直线AO与。0相交于C,D两点（AO>

AC）,E为BD的中点，连接OE并延长，交AB的延长线于点F.

（1）如图①，若E为0F的中点，求/A的大小;

⑵如图②，连接BD与OF相交于点G,求证：ZD=ZF.

16.（23-24九年级上•北京西城•期中）如图，AB为。。的直径，CB,CD分别切。。于点B,D,CD交

BA的延长线于点E,CO的延长线交。0于点G,EF±0G于点F.若BC=6,DE=4.

⑴求证：ZFEB=ZECF；

⑵求。。的半径长.

⑶求线段EF的长.

【题型5遇90的圆周角连直径】

17.（2024•安徽合肥•一模）如图，四边形ABCD内接于。0,ZBAD=90°,BC=CD,过电C作CE,使得

CD=CE,交AD的延长线于点E.

(1)求证：AB=AE.

⑵若AD=DE=2,求CD的长.

18.（2024•浙工嘉兴•模拟预测）如图，矩形ABCD内接于。0,AB=2,BC=2«■，则AB的长为（）

/x------

A.yH

19.（23-24九年级下•四川成都•开学考试）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟

数学之美.如图，正方形ABCD的边长为2.以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形

ABCD,若AB:AB=2:1,则四边形ABCD的外接圆半径.

20.（2024•江西景德镇•三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，。P经过点0,与y轴交于点A0,6，与x轴

交于点B8,0，则0P的长为.

【题型6转移线段】

21.（23-24九年级上•四川泸州•阶段练习）如图，。。的直径AB=8,弦CD=3,且弦CD在圆上滑动（CD

的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作CP±AB于点P,若M是CD的中点，则PM的最大

值是.

22.（2024九年级上•浙江台州•期中）如图，在4ABC中,AB=5,AC4,BC3,经过点C且与边AB相切

的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是

9

23.（2024-西徐州•三模）【问题情境】

如图1,P是。0外的一点，直线PO分别交。。于点A、B.

小明认为线段PA是点P到。0上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在。0上任意取一个不

同于点A的点C,曲0C、CP,贝盾OP<0C+PC,即OP-0C<PC,由0A=0C得OP-0A<

PC,即PA<PC,从而得出线段PA是点P到。。上各点的距离中最短的线段.

小红认为在图1中，线段PB是点P到。0上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请

说明理由.

【直接运用】

如图3,在RtAABC中，ZACB=9O,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是CD上的一

个动点，连接AP,则AP的最小值是；

【构造运用】

如图4,在边长为2的菱形ABCD中，/A=6O,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将4AMN沿

MN所在的直线翻折得到AAMN,连妾AC,请求出AC长度的最小值.

图4图5

【深度运用】

如图5,已知点C在以AB为直径，。为圆心的半圆上，AB=4,以BC为边作等边ABCD,则AD的最大

值是.

24.(23-24九年级上•河南开封•阶段练习)如图，以G(0,3)为圆心，半径为6的圆与x轴交于A,B两点，与

y轴交于C,D两点，点E为。G上一动点，CF_LAE于F,点E在G的运动过程中，线段FG的长度的

最小值为.

G2石

~x

\D

【题型7构造相似三角形】

25.(2024•贵州六盘水•二模)如图，四边形ABCD内接于。0,AD为直径，DB平分NADC,CA=CD,DB

与CA交于点E,延长AB,DC交于点F.

(1)直接写出线段AB与线段BC的数量关系;

⑵求证：AAFC^ADEC；

01的值

⑶设4ABD的面积为S”4BCD的面积为S2,求十

2

26.（2024•吉林长春•模拟预测）已知DE是。0的直径，DE=6.点A是圆外一点，点D和点E在同一条直

线上.且AD=2.过点A另一条直线交。。于B、C.

⑴如图1,当AC=5时，研究发现:连接CE、BD可以得至！JZiABDsAAEC,继而可以求AB长.请写

出完整的解答过程.

⑵如图2,当B、C重合于一点时，AC=

⑶如图3,当0B平分/A0C时，AC=.

27.（23-24九年级下・福建厦门・阶段练习）如凰以AB为直径的。。与AH相切于点A,点C在AB左侧

圆弧上，弦CD，AB交。0于点D,痛AC,AD,点A关于CD的对称点为E,苴线CE交。0于点

F,交AH于点G.

（1）求证：ZCAG=ZAGC；

⑵当点E在AB上，连接AF交CD于点P,若器=，求吟的值；

CE5CP

⑶当点E在射线AB上，AB=2,四边形AC0F中有一组对边平行时，求AE的长.

28.（2024九年级上・上海•专题练习）已知AB是。0的一条弦，点C在。。上，连接CO并延长，交弦AB于

点D,且CD=CB.

⑴如图1,女昧B0平分NABC,求证：AB=BC；

⑵如图2,女腥AOL0B,求AD:DB的值；

⑶延长线段A0交弦BC于点E,女瞟^EOB是等腰三角形，且。0的半径长等于2,求玄BC的长.

【题型8四点共圆】

29.（2024九年级上•北京海淀•阶段练习）如图1,在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EFLBC,

且FE=FC（CE<CB）,■CE、AE,点G是AE的中点，连接FG.

图1图2

⑴用等式表示线段BF与FG的数量关系：;

⑵将图1中的4CEF绕点C按逆时针旋转，使ACEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上,

点G仍是AE的中点，连接FG、DF.

①在图2中，依据题意补全图形；

②用等式表示线段DF与FG的数量关系并证明.

30.（23-24九年级上•湖南长沙•阶段练习）如图，已知AABC中，NACB=90,AC=4,BC=3,NCPB

/A,过点C作CP的垂线，与BP的延长线交于点Q,则CQ的最大值为（）

P

A.4B.5C.D,警

5

31.（2024•浙江嘉兴•中考真题）如图，在△ABC中，ZBAC=90,AB=AC=5,点D在AC上，且AD=2,

点E是AB上的动点，连结DE,点F,G分别是BC,DE的中点，连接AG,FG,当AG=FG时，线段

DE长为（）

32.（23-24九年级下•重庆•阶段练习）在AABC中，AC=BC,点D在BC上方，连接CD,将CD绕点D顺

时针旋转90到ED.

图1图2图3

（1）如图LNACB=90点D在AC右上方，连接AE,CE,若ZACD=15,AB=2©,CD=2而，求

AE的长；

⑵如图2,点D在AC的左侧上方，连接BE交CD于点M,F为BE上一点，若NDEF=NEDF+

NEBC,且M为BF的中点，过F作FH，DE于点H,求证：DM=4DE+FH；

⑶如图3,NACB=90,BC=2,CD=2，5■，将AEDC沿着直线CD翻折至CD连接EB,连妾

EA并延长交CD于点Q,交EB于点R,当CR最长时，直接写出此时4AQD的面积.1

圆中常用辅助线的作法【八大题型】

A题型梳理1

【题型1遇弦连半径构造三角形】1

【题型2遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】5

【题型3遇直径作直径所对的圆周角】8

【题型4遇切线作过切点的半径】11

【题型5遇90的圆周角连直径】16

【题型6转移线段】19

【题型7构造相似三角形】23

【题型8四点共圆】30

A举一反三

【题型1遇弦连半径构造三角形】

1.(2024•陕西渭南•三模)如图，4ABC内接于。0,AB为。0的直径，点D在。0上，连接CD、BD,BD

=BC,眯DB至U点E,峙BE=BD,®CE.

(1)求证：ZA+ZE=90°；

⑵若。0的半径为学，BC=5,求CE的长.

O

【答案】⑴见解析

⑵6

【分析】本题考查了圆综合，其中涉及到了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理解三角形，圆周

角定理及推论等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键.

⑴利于等边对等角的性质得到/BCE=ZE,ZBCD=ZD,利用三角形的内角和得到NBCE+ZE+

ZBCD+ZD=180,艮阿得到/E+ND=90,再由圆周角的性质等量代换即可；

⑵连接0C,由垂径定理推出OB±CD,CF=DF,利用勾股定理建立式子运算出BF的长，再利用中位线

定理即可推出CE的长.

【详解】⑴证明：：BD=BC,BE=BD,

ABC=BE,

AZBCE=ZE,ZBCD=ZD,

VZBCE+ZE+ZBCD+ZD=180,

.\ZE+ZD=-lx180=90,

VZA=ZD,

?.ZA+ZE=90；

⑵解：峨0C,则OC=OB=孕，如图所示：_一C

0

VBC=BD,

ABC=BD,

AOB_LCD,CF=DF,

在RtZkOCF中，CF2=OC2-0F2=至2

66D

停pRt/kBCF中，CF2—D以一D「2-。2

...2_25__BF2_52_BF2

66

解得BF=3,

VBD=BE,DF=CF,

；.BF为ADCE的中位线，

.\CE=2BF=6.

2.（23-24九年级上・重庆大足・期末）如图,AB是。0的直径，弦CD±AB,垂足为点P,若CD=8,0P

=3,则。0的直径为（）

A.10B.8C.5D.3

【答案】A

【分析】连接0C,由垂径定理可得CP=PD=4,然后再根据勾股定理可得OC,进而问题可求解.

【详解】解：瞄0C,如图所示：C____

VCD_LAB,CD=8,

ACP=PD=4,

VOP=3,

・••在RtACPO中，

OC=Jcp2+opz=5,

二。。的直径为10；

故选A.

【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.

3.（2024•贵州黔东南•』）如图，。。是AABC的外接圆，且AC=BC,过点B作BE，AC,垂足为点

E,延长BE交。0于点D,连接AD,CD,CO,并延长CO交BD于点F.

c

⑴写出图中一个与NACD相等的角：；

⑵求证：CD=CF；

⑶若BC=10,BE=6,求。0的半径.

【答案】⑴NACD=NABD（答案不唯一）

⑵见解析

⑶。0的半径为吗?

【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质；

⑴根据圆周角可得/ACD=NABD；

⑵延长CF交AB于M,根据垂径定理的推论可得/ACF=/BCF,CM_LAB,即可由BE_LAC得到

ZACF=ZABD,进而得到/ACD=NABD=/ACF=NBCF,由三线合一即可得到CD=CF；

⑶连0A,由勾股定理求得CE=8,进而依次得到AE=2,AB=2/TD,AM=JAB=/ID,再求出CM，最

后在Rt^AOM中利用勾股定理求半径即可.

【详解】⑴由圆周角可得：ZACD=ZABD,

故答案为：NABD（答案不唯一）；

⑵延长CF交AB于M,

VAC=BC,延长CO交BD于点F

.".ZACF=ZBCF,CM_LAB,AM=:AB

•/BE±AC,

/.ZBEC=NAMC=9。，

Z.ZACF=ZABD=90-ZCAB,

AZACD=ZABD=ZACF=ZBCF,

VBE±AC,

AZCED=ZCEF=90,

AACED^ACEF,

.".CD=CF；

⑶连0A,

VBC=10,BE=6,

ACE=JBC2-CE2=8,AC=BC=10

AE=AC-CE=2,

/.AB=JAE2+BEZ=27HT,

二.AM=yAB=vnr

CM=JAC'AM2=3vliT,

A0M=CM-0A=3vHT-0A

RtAAOM中，OM2+AM2=OA2,

3VHI-0A2+网2=0A2

解得0A=驾£,

U

.•.00的半径为包要.

4.（2024•陕西咸阳•模拟预测）如图，在RSABC中，NACB=90,BC是。。的直径，。。与边AB交于

点D,E为BD的中点，连接CE,与AB交于点F.

B

(1)求证：AC=AF.

⑵当F为AB的中点时，求证：FC=2EF.

【答案】⑴见详解

⑵见详解

【分析】⑴连接E0,交BD于点N,楠gE为BD的中点，可得0E±BD,艮崎/NEF+ZEFN=90,再根

据E0=0C,可得N0EC=Z0CE,进而可得。ACF=ZAFC,即可证明；

⑵连接EB,在RtZiABC中，有BF=AF=FC=：AB,即NABC=ZFCB,再由E为BD的中点，可得

ZEBD=ZFCB,进而可得NEBD二ZABC,即可证明AEBF^ACBA,问题随之得证.

【详解】⑴连接E0,交BD于点N,如图，B

：E为BD的中点，、

"BD，必/\

AZENF=90,/\

7

Z.ZNEF+ZEFN=90,及''1(7

AZNEF+ZAFC=90,\/\/

VE0=0C,\/

AZOEC=ZOCE,

VZACB=9ff,C

AZACF+Z0CE=90,

Z.ZACF+N0EC=90,

VZNEF+ZAFC=90,

.\ZACF=ZAFC,

/.AC=AF；

⑵连接EB,如图，

•.•在RtZ^ABC中，F为AB的中点，

ABF=AF=FC=：AB,

AZABC=ZFCB,,

：E为BD的中点，

ADE=BE,

AZEBD=ZFCB,

.".ZEBD=ZABC,

：BC是。0的直径，

AZBEC=90,

AZBEC=ZACB,

XVZEBD二ZABC,

.,.△EBF^ACBA,

.EFBF

"AC^"HF'

即里=以=£,

ACAB2

A2EF=AC,

VAF=FC,(1)已证明AC二AF,

即FC=2EF.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边等知识，作出合理的辅

助线，掌握垂径定理是解答本题的关键.

【题型2遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】

5.（23-24九年级上・云南昆明・期末）如图，半径为5的。。中，有两条互相垂直的弦AB、CD,垂足为点

E,且AB=CD=8,则0E的长为（）

C.2JTD.

【答案】D

【分析】作0M_LAB于M,ON_LCB于N,雌0A,0C,根据垂径定理得出BM=AM=4,DN=CN=4,

根据勾股定理求出0M和0N证明四边形OMEN是正方形，即可解决问题.

【邮】解：如图，作0M_LAB于M,ON_LCB于N,螃0A,0C.

AM二BM=4,CN=DN=4,

VOA=0C=5,

7T

A0M=VOA-AM-=V5p=3,ON=X/OC-CN-二=3

A0M=ON,

VAB±CD,

.NOME=ZONE=ZMEN=90,

.••四边形OMEN是矩形，

VOM=ON,

四边形OMEN是正方形，

/.OE=VZOM=3v2,

故选：D.

【点睛】本题主要考查圆的垂径定理和正方形的判定，关键在于作出辅助线，利用垂径定理得到证明.

6.（23-24九年级上•山东潍坊•期末）如图，。。的半径是4,点P是弦AB延长线上的一点，连接0P,若

0P=6,NAPO=30,贝舷AB的长为（）

A.2^/7B.77

【答案】A

【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，含30的直角三角形，连接0A,则0A=4,过点。作0DAB交

AB于点D,则可计算出0D,利用勾股定理求出AD,进一步利用垂径定理即可求出弦AB的长.

【详解】解：髅0A,则0A=4,过点。作0D，AB交AB于点D,__八

\,若0P=6,ZAP0=30°

/.0D=0P4-2=64-2=3,/\

则AD=J0A2-0D2=|J

二AB=2AD=20\。）

故选：A./

7.（23-24九年级下•上每•阶段练习）如图，OQ和。G相交于A和B,过点A作QQ的平行线交两圆

于C、D,改口。1。2=20cm，贝!JCD=cm.

\Oiyo2J

【答案】40

【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作0出±CD于点E,02F±CD于点F,利用垂径

定理得到AE二CE,AF=DF,且易得四边形0Q?FE为矩形，进而得到EF=0曾2=20cm,再利用等量代

换即可得到CD.

【详解】解：作OiE，CD于点E,O2F，CD于点F,

0[E〃02F,AE=CE,AF=DF,

V0^2/7CD,（•-H—•）

易得四边形O1O2FE为矩形，\0,WO2/

・・ccon-------------------/

.0]C）2=20cm,

/.EF=01O2=20cm,

二•CD=CE+AE+AF+DF=2AE+AF=2EF=40cm,

故答案为：40.

8.（23-24九年级上・福建厦门・期末）关于*的一元二次方程72^2+2。*+9=0,如果a、b、c满足a?

+62=©2且。/0,那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题：

备用图

（1）求证：关于x的“勾系方程”0ax2+2cx+Ob=0必有实数根.

⑵如图，已知AB、CD是半径为5的。。的两条平行弦，AB=2a,CD=2b,且关于x的方程02ax2+

10x+/b=0是“勾系方程”.

①求NBDC的度数,

②直接写出BD的长：（用含a、b的式子表示）.

【答案】⑴见解析

⑵①NBDC=45；②V?a+b

【分析】⑴根据一元二次方程根的判别式即可判断；

⑵①由勾股定理，圆周角定理，垂径定理即可求解.

②过点D作AB的垂线，垂足为G,则四边形DGEF是矩形，根据AB〃CD,得出NGBD=/BDC=45，进

而勾股定理，即可求解.

【详解】⑴证明：•；关于x的一元二次方程"2ax2丁4ex/40—u是“勾系方程”

/.a2+b2=c2且cW0,a#0,

A=2c2-4'^/Zb

=4c2-8ab

=4a2+b2-8ab

=4a2+b2-2ab

=4a-b2,

a-b220,

A^O,

方程必有实数根；

⑵解：①/BDC=45,理由如下：

作OE_LAB于E,4E0交CD于F,联OB,0C,

,/DC〃AB,

EF_LCD,

/.AE=BE=a,CF=DF=b,

,/BE2+OE2=OB2,

a2+0E2=52,

+lOx+^/Zb=0是"勾系方程"，

/.a2+b2=52,

OE=b=CF；

VOB=0C,

・•・RtABOE^RtAOCFHL；

・•・ZFOC=ZOBE,

ZOBE+ZEOB=90,

JZFOC+ZEOB=9(J,

JZCOB=90,

ZBDC=1.ZBOC=45.'

②如图所示，过点D作AB的垂线，垂足为G,则四边形DGEF是矩形，/\

；.DG=EF=a+b,I；I

：AB〃CD,贝!J/GBD=ZBDC=45\1

；.DB=V^DG="a+b^Q~E~/B

故答案为：取a+b.

【点睛】本题考查了“勾系方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，三角形

全等，解题的关键是明白“勾系方程”的定义.

【题型3遇直径作直径所对的圆周角】

9.(2024•安徽合肥•一模)如图，AB是。。的直径，CD是。。的一条弦，AB，CD于点M,迩妾0D

⑴若NODB=54，求ZBAC的度数；

(2)AC,DB的延长线相交于点F,CE是。0的切线，交BF于点E,若CE±DF,求证：AC=CD.

【答案】⑴36

⑵见详解

【分析】⑴根据等腰三角形的性质得到/ODB=/OBD=54,WfZDOB=180-ZOBD-ZODB=72,

根据垂径定理得到BC=BD,于是得到结论；

⑵连接0C,BC,根据切线的性质得到0C±CE,根据平行线的性质得到ZACO=ZF,根据等腰三角形的

性质得到/A=NACO,求得AB=BF,根据等腰三角形的性质得到AC=CF,等量代换得到结论.

本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是

解题的关键.

【详解】⑴解：；0D=0B,

.\ZODB=ZOBD=54,

Z.ZDOB=180-ZOBD-ZODB=72,

：AB是。0的直径，AB±CD,

BC=BD,

.\ZBAC=1-ZB0D=36,

故NBAC的度数为36；

⑵证明：连接0C,BC,

：CE是。0的切线，

：.0C_LCE,F

VCE_LDF,

・・・0C〃DF,

AZACO=ZF,

VOA=OC,

AZA=ZACO,

・・・NA=NF,

AAB=BF,

TAB是。0的直径,

ABC±AF,

AAC=CF,

VZA=ZCDB,

Z.ZCDB=NF,

ACD=CF,

AAC=CD.

10.（2024九年级上•湖北武汉•期中）如图，AB为。0的直径，点C为BE的中点，CD，AE交直线AE于

D点.

⑵若DE=1,CD=2,求。0的直径.

【答案】⑴见解析

⑵5

【分析】⑴证明0C±EB,AD±BE即可得出结论；

⑵设BE交0C于点T,证明四边形DETC是矩形，设OB=OC=r,利用勾股定理即可求解.

【详解】⑴证明：钮BE,如图，

TAB为。。的直径，

AZAEB=90，即AD_LBE,

•・,点C为BE的中点，

AEC=CB,

A0C±EB,

・・・0C〃AD；

⑵解：设BE交0C于点T,如图，

VCD±AD,

AZD=ZDET=ZCTE=90,

・•・四边形DETC是矩形，

ACD=ET=2,DE=CT=1,

VOC±EB,

ABT=TE=2,

设OB=OC=r,ZvX..

贝（]a=r-]2+22/

2,

；.AB=2r=5,即。0的直径为5；zQ#"

【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构

建方程解决问题，属于中考常考题.

11.（2024•浙江温州•三模）如图，已知aABC中，NACB=90,AB=4,AC=3,点E是AC边上的动点，以

CE为直径作。F,连妾BE交。F于点D,则AD的最小值为.

【分析】连接DC,由以CE为直径作。F,得NCDE=90,ZCDB=90，即可得动点D在以BC为直径的圆上

运动，当A,D,0在一直线上时，根据AD2AO-0D,即可求解.

【详解】解：AABC中，ZACB=90,AB=4,AC=3,

BC=JAB「_AC2=J42-32=0

连接DC,由以CE为直径作。F,BC=4,AC=5,

AZCDE=90,ZCDB=90,

动点D在以BC为直径的圆上运动，。为圆心，

当A,D,0在一直线上时，

卜。7+斗2’

AD三AO-0D=乎=闻j"

即AD的最小值为弋彳

故答案为：闻二彳.

12.（23-24九年级上存箍莆田•期中）如图，AB是半圆0的直径，AB=10,点D在半圆0上，AD=6,C

是弧BD上的一个动点，连接AC,过D点作DH，AC于H,睡BH,在点C移动的过程中，BH的最

小值是.

___________9

D

C

AoB

【答案】V7T-3/-3+g

【分析】连接BD,取AD的中点E,9BE,由题意先判断出点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、

H、E三点共线时，BH取得最小值，然后利用勾股定理，求出BD的长，再利用勾股定理，求出BE的长，再利

用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出EH的长，再由BH=BE-EH,即可算出BH的长.

【详解】解：如图，网BD,取AD的中点E,般BE,

...点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值，

VAB是直径，

/.ZBDA=90,

在RtABDA中，

VAB=10,AD=6,

由勾股定理得：BD=VAB2-AD2=7100-36=8,

为AD的中点，

/.DE=-1AD=3,

在RtABDE中，

VBD=8,DE=3,

由勾股定理得：BEDEZ+BDZ=巾®=03,

又：DH，AC,且点E为AD的中点，

AEH=1-AD=3,

ABH=BE-EH=^/TS-3.

故答案为："7-3.

【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

能够判断出动点的运动轨迹是解本题的关键.

【题型4遇切线作过切点的半径】

13.（2024•贵州•模拟预测）如图,在RtAABC中，ZACB=90,点P为边BC上一点，连接AP,分别以点A,

P为圆心，大于是：AP的长为半径画弧，两弧交于点E,F,EF交AB于点D,再以点D为圆心，DA长

为半径作圆，交AB于点M,BC恰好是。D的切线.若/B=3（J,AC=则BM的长为（）

C

EP

M

pV*-D.V3

B-3~4

【答案】A

【分析】本题考查的是切线的性质、含30角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握圆的切线垂

直于经过切点的半径是